七年级数学平行线的有关证明及复习资料
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平行线的性质与判定的证明
练习题
温故而知新:
1.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补.
2.平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行互补.
例1 已知如图2-2,AB∥CD∥EF,点M,N,P分别在AB,CD,EF上,NQ平分∠MNP.(1)若∠AMN=60°,∠EPN=80°,分别求∠MNP,∠DNQ的度数;
(2)探求∠DNQ与∠AMN,∠EPN的数量关系.
解析:
在我们完成涉及平行线性质的相关问题时,注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换,即同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.
例2 如图,∠AGD=∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明:∠1=∠2.
解析:在完成证明的问题时,我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系,由直线之间的关系也可得到角的关系.
例3 (1)已知:如图2-4①,直线AB∥ED,求证:∠ABC+∠CDE=∠BCD;
(2)当点C位于如图2-4②所示时,∠ABC,∠CDE与∠BCD存在什么等量关系?并证明.
解析:在运用平行线性质时,有时需要作平行线,取到桥梁的作用,实现已知条件的转化.
例4 如图2-5,一条公路修到湖边时,需绕道,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行,那么∠C应为多少度?
解析:把关于角度的问题转化为平行线问题,利用平行线的性质与判定予以解答.
举一反三:
1.如图2-9,FG∥HI,则∠x的度数为()
A.60°
B. 72°
C. 90°
D. 100°
2. 已知如图所示,AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数.
3.已知:如图2-10,AB∥EF,BC∥ED,AB,DE交于点G.
求证:∠B=∠E.
例4如图2-6,已知AB ∥CD ,试再添上一个条件,使∠1=∠2成立,并说明理由.
解决此类条件开放性问题需要从结果出发,找出结果成立所需要的条件,由果溯因.
5.如图1-7,已知直线1l 2l ,且3l 和1l 、2l 分别交于A 、两点,点P 在AB 上,4l 和1l 、2l 分别交于C 、D 两点,连接PC 、PD 。
(1)试求出∠1、∠2、∠3之间的关系,并说明理由。
(2)如果点P在A、B两点之间运动时,问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。(3)如果点P在AB两点的外侧运动时,试探究∠1、∠2、∠3之间的关系(点P和A、B不重合)
6.如图2-11,CD平分∠ACB,DE∥AC,EF∥CD,EF平分∠DEB吗?请说明理由.
7.如图1-12,CD∥EF, ∠1+∠2=∠ABC,
求证:AB∥GF
8.如图2-13,已知AB∥CD,∠ECD=125°,∠BEC=20°,求∠ABE的度数.
答案:
1. 根据两直线平行,内错角相等及角平分线定义求解.
(标注∠MND=∠AMN,∠DNP=∠EPN)
答案:(标注∠MND=∠AMN=60°,
∠DNP=∠EPN=80°)
解:(1)∵AB∥CD∥EF,
∴∠MND=∠AMN=60°,
∠DNP=∠EPN=80°,
∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°,
又NQ平分∠MNP,
∴∠MNQ= ∠MNP= ×140°=70°,
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°,
∴∠MNP,∠DNQ的度数分别为140°,10°.(下一步)
(2)(标注∠MND=∠AMN,∠DNP=∠EPN)
由(1)得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN,
∴∠MNQ= ∠MNP= (∠AMN+∠EPN),
∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND
= (∠AMN+∠EPN)-∠AMN
= (∠EPN-∠AMN),
即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.
2.(标注:∠1=∠2=∠DCB,DG∥BC,CD∥EF)答案:(标注:∠1=∠2=∠DCB)证明:因为∠AGD=∠ACB,
所以DG∥BC,
所以∠1=∠DCB,
又因为CD⊥AB,EF⊥AB,
所以CD∥EF,
所以∠2=∠DCB,
所以∠1=∠2.
3. (1)动画过点C作CF∥AB
由平行线性质找到角的关系.(标注∠1=∠ABC,∠2=∠CDE)
答案:证明:如图,过点C作CF∥AB,
∵直线AB∥ED,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠1=∠ABC,∠2=∠CDE.
∵∠BCD=∠1+∠2,
∴∠ABC+∠CDE=∠BCD;
(2)解析:动画过点C作CF∥AB, 由平行线性质找到角的关系.
(标注∠ABC+∠1=180°,∠2+∠CDE=180°)
答案:∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.
证明:如图,过点C作CF∥AB,
∵直线AB∥ED,
∴AB∥CF∥DE,
∴∠ABC+∠1=180°,∠2+∠CDE=180°.
∵∠BCD=∠1+∠2,
∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°.
4.动画过点B作BD∥AE,
答案:
解:过点B作BD∥AE,∵AE∥CF,