新课标人教A版高中数学选修2-1常用逻辑用语知识点总结

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高中数学人教A版选修2-1 简单的逻辑联结词

（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；（2）8≥7；（3）2是偶数，且2是质数；（4）π不是整数；（5）平行线不相交；
“p且q”形式的复合命题真假：
例2：判断下列命题的真假：（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形；（2）5是10的约数且是15的约数（3）5是10的约数且是8的约数
“p或q”形式的复合命题真假：
p
q
全假为假,有真即真.
思考3? 下列两个命题间有什么关系?
(1)35能被5的整除;
(2)35不能被5整除。
一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,
记作 p 读作“非p” 或 “p的否定”
p p
若p是真命题,则 p必是假命题;若p是假命题,则 p必是真命题.
例1:指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
(1)12能被3整除;
(2)12能被4整除;
(3)12能被3整除且能被4整除.
一般地,用逻辑联结词”且”把命题p和命题q联结起来.就得到一个新命题,
记作 p q 读作 “p且q”
规定:当p,q都是真命题时, p q 是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时, p q 是假命题.
pq
第一章常用逻辑用语
1.31 简单的逻辑联结词
高二数学选修2-1
复习回顾：判断下面的语句是否为命题?若是命题，指出它的真假。
(1)请全体同学起立！ (2)x2 + x > 0. (3)29是质数. (4)这道数学题目有趣吗? (5)任何无限小数都是无理数. (6)若x2=1，则x=1.
如何把（6）改成真命题？
例3：判断下列命题的真假：（1）5是10的约数或是15的约数；（2）5是12的约数或是8的约数；（3）5是12的约数或是15的约数；（4）方程x2－3x-4=0的判别式大于或等于零

高中数学人教A版选修2-1专题四常用逻辑用语.docx

专题四常用逻辑用语一、基础知识1.全称命题，存在性命题的真假判定方法2.p 或q ，p 且q ，p ⌝的真假判定方法,()x p x ∀的否定形式 ,()x p x ∃的否定形式3.p q 则p 是q 的条件，q 是p 的条件。

4.原命题：若p 则q 逆命题否命题逆否命题原命题与，逆命题与互为逆否命题。

互为逆否的两个命题，真假性相同。

(填写两命题间的关系)二、习题1.下列命题真命题的个数①存在一个函数既是奇函数又是偶函数 ②有两个无理数的乘积等于有理数 ③有的向量方向不定④实数都能写成小数形式，有理数都能写成分数 ⑤,a b R ∀∈，方程0ax b +=恰有一解 A.2 B.3 C.4 D.5 2.“ab=0”是“a=0” 条件。

A.充分不必要 B.必要不充分C.既不充分不必要D.充要条件3.“240x -=”的一个充分不必要条件为 A.2x = B.2x =或2x =- C.4x =D.以上均不对原命题否命题逆命题逆否命题 ⇒⇐4.命题“若x ，y 都是偶数”，则x+y 也是偶数的逆否命题是A.若x+y 是偶数，则x 与y 不都是偶数B.若x+y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C.若x+y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D.若x+y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 5.已知命题p ：x ∃使52sinx =，命题q ：2,10x R x x ∀∈++＞，下列结论：①p q ∧为真 ②()p q q ∧⌝为假 ③(p)q ⌝∨是真 ④()()p q ⌝∨⌝为假A.②④B.②③C.③④D.①②③ 6.,,x y R ∀∈如果0xy =，则0x =或0y =的否命题为命题。

7.命题x R ∃∈，2210x -＞的否定是 8.不等式221ax x ++＞0恒成立的充要条件是9.已知0,1a a ≠＞，命题p ：函数log (1)a y x =+在(0，+∞)上是减函数，命题q ：不等式222290x ax a ++-≥的解集为R若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求a 的范围。

人教版数学选修2-1知识点

复合命题的真假可用如下真值表来表示：
p q p∧q p ∨q ¬p 真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真
3、含有一个量词的命题的否定 (1)含有一个量词的特称命题的否定
特称命题 p : xM,p(x) 它的否定 p : xM,p(x)
(2)含有一个量词的全称命题的否定
全称命题 p : xM,p(x)
（2）性质 1) a e a cos a , e
2) a b a b 0
2
3) a a a
11.向量的直角坐标运算
(1）坐标表示
设 a (a 1 ,a 2 ,a 3 )b , (b 1 ,b 2 ,b 3 )则
a b(a1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3);
a b(a1 b 1,a2b 2,a 3b 3);
l
b
a
一个平面的法向量有无数个
（2）平行关系：设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注设意直：线这l里的的方线向线向平量行为包a 括线(线a 1 ,重b 1 合,c 1 ，),线平面面平行的
a(a 1,a 2,a 3),( R );
aba1b1a2b2a3b3 ;
a//b a 1 b 1 ,a 2 b 2 ,a 3 b 3 ( R );
a 1/b 1a 2/b 2a 2/b 2 . a b a1b1a2b2a3b30;
(2）夹角
cosa,b8、抛物线及其标准方程
﹒图象开口方向标准方程

高中数学新人教A版选修2-1课件：模块复习课第1课时常用逻辑用语

则1-m≥0,即m≤1;
命题q:“不等式x2-4x+1-m≤0无解”,
则Δ=16-4(1-m)<0,即m<-3.
如果命题p∨q为真,命题p∧q为假,则命题p,q一真一假,
若p真,q假,则-3≤m≤1,
若p假,q真,则不存在满足条件的m值,
∴-3≤m≤1.
∴实数m的取值范围是[-3,1].
课堂篇专题整合
④已知p,q为两个命题,若“p∨q”为假命题,则“( p)∧( q)”为真命
题.
其中所有真命题的序号是
.
思路分析对于②③要注意四种命题及其关系,对于④涉及含逻辑
联结词的命题,要根据真值表与逻辑联结词的含义判断.
课堂篇专题整合
专题归纳
高考体验
自主解答①∵x-3=0⇒x-3≤0,∴为真命题.
②逆命题:“若a⊥b,则a·b=0”为真命题.
的必要不充分条件.
答案B
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专题归纳
高考体验
4.(2019 北京高考)设点 A,B,C 不共线,则“与的夹角为锐角”是
“| + |>||”的(
)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析∵A,B,C 三点不共线,∴| + |>||⇔| + |>| −
当a>1时,由(x-1)(x-a)≤0得1≤x≤a,
若p是q的必要不充分条件,则a>3,
即实数a的取值范围是(3,+∞).
答案(3,+∞)
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专题归纳
高考体验
专题三全称命题与特称命题
例3 判断下列命题是特称命题还是全称命题,用符号写出其否定

高中数学第一章常用逻辑用语 1.1 命题及其关系逆否命题素材新人教A版选修2-1

逆否命题原命题为：若a，则b。

逆否命题为：若非b，则非a如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。

命题的否定只否结论。

一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。

原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．名称定义命题：可以判断真假的语句叫做命题。

原命题为：若a，则b逆命题为：若b，则a否命题为：若非a，则非b逆否命题为：若非b，则非a互为逆否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件的否定，则这两个命题称互为逆否命题。

命题的否定只否结论。

性质一个命题为原命题，则和它互为逆否命题的命题为原命题的逆否命题。

原命题和逆否命题为等价命题．如果原命题成立，逆否命题成立．逆命题和否命题为等价命题，如果逆命题成立，否命题成立．逻辑学认为命题与逆否命题是等价的，也就是命题真，则逆否命题也真。

命题同它的逆否命题等价是作为公理存在的，你既不能证明它正确也不能证明它错误。

其实这个东西可以认为是公理。

它和公理“排中律”是等价的。

我们数学的体系就是建立在这些公理之上。

2逆否命题的滥用现实生活中存在许多对逆否逻辑的滥用，使用时须注意以下几点：1、逆否命题、逆命题、否命题概念适用的前提是原命题为复合命题，而非简单命题。

复合命题是由简单命题通过逻辑连接词互相连接而组成的。

简单命题难以区分前提和结论，其真假只能通过生活经验和客观事实加以判断。

例如：“我爱你”。

这个句子不能算作命题。

因为是否“爱”的真假没有一个明确的判断标准。

如果“我爱你”是命题，那么它是一个简单命题。

我们可以把它等价转换为“若p，则q”的形式。

再谈论其逆否命题。

（”我爱你“不具有排他性）等价转换为：若我存在，则至少存在一个爱你的人（或”若我存在，则存在我爱你“）。

逆否命题为：若不存在一个爱你的人，则我不存在（如果所有人都不爱你了，那么我也不存在了）。

高中数学新人教A版选修2-1课件：第一章常用逻辑用语本章整合

(1)充分不必要条件,即 p⇒q,而 q p.
(2)必要不充分条件,即 p q,而 q⇒p.
(3)充要条件,既有 p⇒q,又有 q⇒p.
(4)既不充分也不必要条件,既有 p q,又有 q p.
2.充分条件与必要条件的判断
(1)直接利用定义判断:即“若p⇒q成立,则p是q的充分条件,q是p的
必要条件”.
专题一
专题二
专题三
专题四
原命题为真,它的逆命题不一定为真.
原命题为真,它的否命题不一定为真.
原命题为真,它的逆否命题一定为真.
因为互为逆否命题同真同假,所以讨论四种命题的真假性只讨论
原命题和逆否命题中的一个,逆命题和否命题中的一个,即只讨论
两种就可以了,不必对四种命题情势一一加以讨论.
综合应用
专题一
逆命题是“若一个平行四边形不是矩形,则它的两条对角线不相
等”,是真命题.
否命题是“若一个平行四边形的两条对角线相等,则它是矩形”,是
真命题.
逆否命题是“若一个平行四边形是矩形,则它的两条对角线相等”,
是真命题.
综合应用
专题一
专题二
专题三
专题四
专题二充分条件与必要条件
1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类:
解析:因为由x3=x,解得x=0,x=1或x=-1,所以“x=1”是“x3=x”的充分
不必要条件.
答案:A
综合应用
专题一
专题二
专题三
专题四
应用2已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-a2>0,若p是q的充分不必要条
件,则正实数a的取值范围是
.
解析:A={x|x2-8x-20>0}={x|x<-2或x>10},

高中数学人教A版选修2-1第一章常用逻辑用语.docx

第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.1 命题双基达标(限时20分钟)1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是 ( )．A．不是命题 B．真命题C．假命题 D．不能判断真假解析考查不等式的性质，两边同加上同一个数不等式仍然成立．答案 B2．下列命题中是假命题的是 ( )．A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．5>3解析|a|＝|b|只能说明a与b长度一样．a＝b不一定成立．答案 B3．在下列4个命题中，是真命题的序号为( )．①3≥3；②100或50是10的倍数；③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；④等腰三角形至少有两个内角相等．A．① B．①② C．①②③ D．①②④解析对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形．答案 D4．给出以下语句：①空集是任何集合的真子集；②三角函数是周期函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中为命题的是________，真命题的序号为________．解析①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集．②这是个疑问句，故不是命题．③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数．④该语句是感叹句，不符合命题定义，所以不是命题．⑤是命题，因为Δ＝16－20＝－4<0，所以是真命题．⑥该语句是祈使句，不是命题．答案①③⑤⑤5．给出下列命题①若ac＝bc，则a＝b；②方程x2－x＋1＝0有两个实根；③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；④若p>0，则p2>p；⑤正方形不是菱形．其中真命题是________，假命题是________．解析①c＝0时，a不一定等于b，假命题．②此方程无实根，假命题．③结论成立，真命题．④0<p≤1时结论不成立，假命题．⑤不成立，假命题．答案③①②④⑤6．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．(1)相似三角形的对应角相等；(2)当a>1时，函数y＝a x是增函数．解(1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，结论q：对应角相等．(2)若a>1，则函数y＝a x是增函数．条件p：a>1，结论q：函数y＝a x是增函数．综合提高（限时25分钟）7．设α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数是 ( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；③由面面平行性质定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．答案 B8．给定下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中真命题的序号是 ( )．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④解析①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．答案 B9．下列语句是命题的是______．①求证3是无理数；②x2＋4x＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数；⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．答案 ②④⑤10．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }；③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6，得到y ＝3sin 2x 的图象； ⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．解析 ①y ＝sin 4x －cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )(sin 2x －cos 2x )＝－cos 2x ，∴T ＝π；②终边在y 轴上的角的集合为{α|α＝k π＋π2，k ∈Z }； ③两图象应有一个公共点；④平移后y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin 2x . ⑤函数y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，在[0，π]上应是增函数．答案 ①④11．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(2)求证：若x ∈R ，方程x 2－x ＋2＝0无实根；(3)平行于同一条直线的两条直线必平行吗？(4)当x ＝4时，2x ＋1<0.解：(1)是命题，因为当等比数列的首项a 1<0，公比q >1时，该数列为递减数列，因此是一个假命题．(2)不是命题，它是祈使句．(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．(4)是命题，能判断真假，它是一个假命题．12．(创新拓展)把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断命题的真假．(1)ac ＞bc ⇒a ＞b ；(2)已知x 、y ∈N *，当y ＝x ＋1时，y ＝3，x ＝2；(3)当m ＞14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (4)当x 2－2x －3＝0时，x ＝3或x ＝－1.解 (1)若ac ＞bc ，则a ＞b ，是假命题．(2)已知x 、y ∈N *，若y ＝x ＋1，则y ＝3，x ＝2，是假命题．(3)若m ＞14，则mx 2－x ＋1＝0无实根，是真命题． (4)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1，是真命题．。

高中数学新人教A版选修2-1课件：第一章常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词

【思考】视察三个命题:①2是4的约数;②2是6的约数;③2是8的
约数且是10的约数,它们之间有什么关用“且”联结得到的新命题,“且”与集合
运算中交集的定义A∩B={x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同,表示
“并且”,“同时”的意思.“且”作为逻辑联结词,与生活用语中“既……,
定有x>1成立,故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件,故q为假命题,则
p∧q、 p为假命题, q为真命题,( p)∧( q)、( p)∧q为假命
题,p∧( q)为真命题,故选D.
答案D
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
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探究一含逻辑联结词的命题的构成
例1 指出下列命题的构成情势,以及构成它的简单命题:
(3)对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作 p,读作“非p”
或“p的否定”.
名师点拨1.对于逻辑联结词“且”“或”“非”,可以分别结合集合中
的“交集”“并集”“补集”来进行理解.
2.一个命题的否定与命题的否命题不同,命题的否定只是将命题
的结论进行否定,而否命题则是将命题的条件和结论都进行否定.
形对应角相等.
(4)这个命题是p∧q情势,其中p:垂直于弦的直径平分这条弦,q:垂
直于弦的直径平分这条弦所对的两段弧.
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探究二含逻辑联结词的命题的真假判断
例2 分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“ p”情势
的命题的真假.
(1)p:2是奇数,q:2是合数;
际意义判断命题的结构.
解(1)这个命题是p∨q情势,其中p:1是质数,q:1是合数.

人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_常用逻辑用语全章复习与巩固

人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《常用逻辑用语》全章复习与巩固【学习目标】1. 理解命题的概念；了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.了解命题“若p,则q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.4. 理解全称量词与存在量词的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定.【知识网络】【要点梳理】要点一：命题（1）命题的概念：可以真假的语句叫做命题. 一般可以用小写英文字母表示. 其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题.（2）全称量词与全称命题全称量词：在指定范围内，表示整体或者全部的含义的量词称为全称量词.如“所有的”、“任意一个”、“每一个”、“一切”、“任给”等.全称命题：含有全称量词的命题，叫做全称命题. 符号表示为x M ∀∈，()p x （3）存在量词与存在性命题存在量词：表示个别或一部分的含义的量词称为存在量词.如“有一个”，“存在一个”,“至少有一个”，“有的”,“有些”等.存在性命题：含有存在量词的命题，叫做存在性命题. 符号表示为x M ∃∈，()q x . 要点二：基本逻辑联结词基本逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.（1）p q ∧：用“且”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 且q ”，相当于集合中的交集.（2）p q ∨：用“或”把命题p 和q 联结起来，得到的新命题，读作“p 或q ”，相当于集合中的并集.（3）p ⌝：对命题p 加以否定，得到的新命题，读作“非p ”或“p 的否定”，相当于集合中的补集.要点三：充分条件、必要条件、充要条件对于“若p 则q ”形式的命题：①若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若p ⇒q ，但q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，记作p ⇔q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 判断命题充要条件的三种方法（1）定义法：（2）等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，因此，如果原命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来判断．即利用A B ⇒与B A ⌝⌝⇒；B A ⇒与A B ⌝⌝⇒；A B ⇔与B A ⌝⌝⇔的等价关系，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断，比如A ⊆B 可判断为A ⇒B ；A=B 可判断为A ⇒B ，且B ⇒A ，即A ⇔B.如图：“A B ”⇔“x A ∈⇒x B ∈，且x B ∈⇒/x A ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分不必要条件.“A B =”⇔“x A ∈⇔x B ∈”⇔x A ∈是x B ∈的充分必要条件.要点诠释：（1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论，再用结论推条件，最后进行判断.（2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”.“必须且只须”.“等价于”“…反过来也成立”等均为充要条件的同义词语.要点四：四种命题及相互关系如果用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，用⌝p 和⌝q 分别表示p 和q 的否定，则命题的四种形式为：原命题：若p 则q ；逆命题：若q 则p ；否命题：若⌝p 则⌝q ；逆否命题：若⌝q 则⌝p. 四种命题的关系①原命题⇔逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题⇔否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径.除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 要点五：命题真假的判断方法（1）对于一般的命题，结合所学知识经过推理论证或举反例来判断；（2）对于含有逻辑联结词的命题的真假判断，可参考下表（真值表）：命题的真假判断（利用真值表）：pq非pp q 或 p q 且互逆⌝⌝否命题若p 则q原命题若p 则q逆命题若q 则p⌝⌝逆否命题若q 则p互逆互逆否为互逆否为否否互互（3）对于“若，则”型的命题，因为原命题与逆否命题同真或同假，故可以利用其逆否命题的真假来判断.要点诠释：①当p 、q 同时为假时，“p 或q ”为假，其它情况时为真，可简称为“一真必真”； ②当p 、q 同时为真时，“p 且q ”为真，其它情况时为假，可简称为“一假必假”； ③“p ⌝”与p 的真假相反. 要点六：量词与全称命题、特称命题全称量词与存在量词（1）全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。

高中数学人教A版选修2-1第一章常用逻辑用语

第一章常用逻辑用语第2节充分条件与必要条件1.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.“a >b 且c >d ”是“a +c >b +d ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A B⊆”的() A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.在△ABC中，“A>30°”是“1sin2A>”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设x∈R，则“12x>”是“2x2+x－1>0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设，是向量，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：1.A2.A3.B4.Aa rb r ||||a b =r r ||||a b a b +=-r r rr5.A6.A7.D。

人教A版高中数学选修2-1第一章常用逻辑用语章末总结

2a2a 1
2a2a 1
2
所以 a 的取值范围是(2,8).
误区警示 (1)解题时,易忽略三角形的三边应满足两边之和大于第三边,而使某些字母的范围变大. (2)本题实质上是求2a+1,a,2a-1能构成钝角三角形三边的充要条件,除了要保证三边长均为正数外,还应满足两边之和大于第三边、最大边所对角的余弦值为负数.
因为 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,所以 sin(A+C)+sin A(sin C-cos C)=0, sin Acos C+cos Asin C+sin Asin C-sin Acos C=0,cos Asin C+sin Asin C=0, 因为 sin C>0,所以 sin A+cos A=0.所以 tan A=-1,
(2)在涉及三角形面积时,常常借助正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
四、三角形中的取值范围【典例4】设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角. (1)证明:B-A= π ;
2
(1)证明:由 a=btan A 及正弦定理,得 sin A = a = sin A , cos A b sin B
中 sin θ= 26 ,0°<θ<90°）且与点 A 相距 10 13 海里的位置 C. 26
(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);
解:(1)如图,AB=40 2 , AC=10 13 ,∠BAC=θ,sin θ= 26 .
26
所以 cos θ= 5 26 . 26
由余弦定理得 BC= AB2 AC2 2AB AC cos =10 5 . 所以船的行驶速度为 10 5 ÷ 2 =15 5 (海里/小时).

高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习及答案

2.若则命题的四种形式描述：若则命题命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论．逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题为“若 q ，则 p ”．否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”．逆否命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆否命题为“若 ¬q ，则 ¬p ”．四种命题的相互关系四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性； ② 互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系．例题：把下列命题改写成“若 p ，则 q ” 的形式，并判断命题的真假．（1）当 ac > bc 时， a > b ；（2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，当 y = 3 时，x = 2；（3）当 m > （4）菱形的对角线互相垂直．解：（1）若 ac > bc，则 a > b，假命题；（2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，若 y = 3，则 x = 2 ，真命题；（3）若 m > （4）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，真命题．

数学知识点新人教A版高中数学(选修2-1)《第一章常用逻辑用语小结综合》word学案-总结

本章复习.知识点一四种命题间的关系判断下列命题的真假．(1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 的逆命题与逆否命题； (2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题； (3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a ·b ＝0的逆命题和否命题．解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题． (2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3， ∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，|－12－2|＝52<3.故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a ·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a ·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a ·b ≠0也为真．知识点二充要条件及其应用已知关于x 的方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0，a ∈R ，求方程有两正根的充要条件．解方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2，或a ≥10，即a ≥10，或a ≤2，且a ≠1.设此时方程的两实根为x 1、x 2，有两个正根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1a ≤2，或a ≥10x 1＋x 2>0x 1·x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1a ≤2，或a ≥10a ＋2a －1>04a －1>0⇔1<a ≤2，或a ≥10.即方程有两个正根的充要条件是1<a ≤2，或a ≥10.x ，y 是实数，且“xy >0”是“|x ＋y |＝|x |＋|y |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析由xy >0知x ，y 同号，则有|x ＋y |＝|x |＋|y |. 即xy >0⇒|x ＋y |＝|x |＋|y |；反之，则不一定成立，例如，x ＝0，y ＝－3，则|x ＋y |＝|x |＋|y |成立，但是xy >0不成立，即|x ＋y |＝|x |＋|y |D ⇒/xy >0. 答案 A知识点三逻辑联结词的应用设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．解 p ：由ax 2－x ＋116a ≥0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a16≤0，∴a ≥2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12，∴t <1＋a t 2－12，∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a >1.p 或q 为真，p 且q 为假，则p 与q 一真一假．若p 真q 假，a ≥2且a ≤1不存在．若p 假q 真，则a <2且a >1，∴1<a <2. 故a 的取值范围为：1<a <2.知识点四全称命题与特称命题在下列四个命题中，真命题的个数是( )①∀x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②∀x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数；③∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 ①中x 2＋x ＋3＝(x ＋12)2＋114≥114>0，故①是真命题．②中x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1一定是有理数，故②是真命题．③中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sinα＋sinβ＝0，故③是真命题．④中x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④是真命题．答案 D考题赏析1．(济南模拟)给出如下三个命题：①四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc；②命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”为假命题；③若p∧q为假命题，则p、q均为假命题．其中不正确的命题序号是()A．①②③B．①②C．②③D．③解析①a、b、c、d成等比数列能推出ad＝bc，但是ad＝bc并不能推出a、b、c、d依次成等比数列，故①是真命题；②命题为假命题；③p∧q为假命题，则p、q皆为假命题，或者p、q 中一个为假命题，一个为真命题．答案 C2．(潍坊模拟)给出下列四个命题：①若x，y∈R，则|x＋y|≤|x|＋|y|；②“a<2”是函数“f(x)＝x2－ax＋1无零点”的充分不必要条件；③若向量p＝e1＋e2，其中e1，e2是两个单位向量，则|p|的取值范围是[0,2]；④命题“若lg x>lg y，则x>y”的逆命题．其中正确的命题是()A．①②B．①③C．③④D．①②③解析①正确；②取a＝－4，则f(x)＝x2＋4x＋1，其判别式Δ＝16－4＝12>0，∴f(x)有零点，②不正确；③|p|＝|e1＋e2|＝e21＋e22＋2e1·e2＝1＋1＋2cos〈e1，e2〉.∵－1≤cos〈e1，e2〉≤1，∴0≤|p|≤2，∴③正确；④的逆命题是“若x>y，则lg x>lg y”．取x＝1，y＝0知④不正确．答案 B讲练学案部分章末检测一、选择题(本大题共12小7题，每小题5分，共60分)1．全称命题“∀x∈Z,2x＋1是整数”的逆命题是()A．若2x＋1是整数，则x∈ZB．若2x＋1是奇数，则x∈ZC．若2x＋1是偶数，则x∈ZD．若2x＋1能被3整除，则x∈Z答案 A2．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()A．有一个α，使tan(90°－α)＝1 tanαB．存在实数x，使sin x＝π2C．对一切α，sin(180°－α)＝sinαD．sin15°＝sin60°cos45°－cos60°sin45°答案 A3．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A4．下列四个条件中，p是q的必要不充分条件的是()A．p：a>b，q：a2>b2B．p：a>b，q：2a>2bC．p：α＝π4，q：tanα＝1 D．p：x2>4，q：x>3答案 D5．与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是()A．若x∉A，则y∉A B．若y∉A，则x∈A C．若x∉A，则y∈A D．若y∈A，则x∉A 答案 D解析原命题与它的逆否命题为等价命题．故选D.6．对于命题“我们班学生都是团员”，给出下列三种否定：①我们班学生不都是团员；②我们班有学生不是团员；③我们班学生都不是团员．正确答案的序号是()A．①②B．①②③C．①③D．②③答案 A7．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是()A．②④B．②③C．③④D．①②③答案 B解析因p为假命题，q为真命题，故綈p真，綈q假；所以p∧q假，p∧綈q假，綈p∨q 真，綈p∨綈q真．8．已知命题p、q，则“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B9．已知：m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，其中m⊂α，n⊂β.命题p：若α∥β，则m∥n的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是() A．0个B．1个C．2个D．4个答案 A解析原命题为假命题；逆命题：若m∥n，则α∥β，为假命题；否命题：若αD∥\β，则mD∥\n，为假命题；逆否命题：若mD∥\n，则αD∥\β，为假命题．10．下列说法错误的是()A．命题“若x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题：“若x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”答案 C11．设x，y∈R，命题p：|x－y|<1，命题q：|x|<|y|＋1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由绝对值不等式的运算性质可得：|x|－|y|≤|x－y|<1，即：|x|－|y|<1，所以|x|<|y|＋1，即由命题p可以推出命题q，而由命题q不能推出命题p，故选A.12．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，a，b∈R，对于命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”有下列结论：①此命题的逆命题为真命题；②此命题的否命题为真命题；③此命题的逆否命题为真命题；④此命题的逆命题和否命题有且只有一个真命题．其中，正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析因逆否命题和原命题等价，因此判断原命题的真假即可，∵a＋b≥0，∴a≥－b，又f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f(a)≥f(－b)，同理f(b)≥f(－a)，∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．原命题真，所以③真，同理可证否命题为真，因此逆命题也为真，所以①②③都真，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13．命题“∃x∈{正实数}，使x<x”的否定为________命题．(填“真”、“假”)答案假14．若|x－1|<a的充分条件是|x－1|<b(其中a，b>0)，则a，b之间的关系是________．答案a≥b解析由题意可知|x－1|<b的解集范围不能超过|x－1|<a的解集范围，∴a≥b.15．命题“在△ABC中，如果∠C＝90°，那么c2＝a2＋b2”的逆否命题是__________________________________．答案在△ABC中，若c2≠a2＋b2，则∠C≠90°16．若M、N为非空集合，且M N，则“a∈M或a∈N”是“a∈(M∩N)的”________________条件．答案必要不充分三、解答题(本大题共6小题，共74分)17．(12分)(1)当c<0时，若ac>bc，则a<b.请写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形，请写出“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题．解(1)逆命题：当c<0时，若a<b，则ac>bc(真命题)否命题：当c<0时，若ac≤bc，则a≥b(真命题)逆否命题：当c<0时，若a≥b，则ac≤bc(真命题)．(2)p或q：对角线互相垂直的四边形或对角线互相平分的四边形是菱形．p且q：对角线互相垂直的四边形且对角线互相平分的四边形是菱形．非p：对角线互相垂直的四边形不是菱形．18．(12分)分别写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断它们的真假．(1)p：平行四边形对角线相等；q：平行四边形的对角线互相平分；(2)p：方程x2－16＝0的两根的符号不同；q：方程x2－16＝0的两根的绝对值相等．解(1)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相平分．p ∧q ：平行四边形的对角线相等且互相平分．綈p ：平行四边形的对角线不相等．由于p 假q 真，所以p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真． (2)p ∨q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同或绝对值相等． p ∧q ：方程x 2－16＝0的两根符号不同且绝对值相等．綈p ：方程x 2－16＝0的两根符号相同．由于p 真q 真，所以p ∨q 、p ∧q 均为真，綈p 为假．19．(12分)在一次模拟打飞机的游戏中，小王接连射击两次，设命题p 是“第一次击中飞机”，命题q 是“第二次击中飞机”，试用p 、q 以及逻辑联结词表示下列命题：(1)命题s ：两次都击中飞机；(2)命题r ：两次都没有击中飞机； (3)命题t ：恰有一次击中飞机； (4)命题u ：至少有一次击中飞机．解 (1)命题s ：p ∧q ；(2)命题r ：(綈p )∧(綈q )；(3)命题t ：(p ∧綈q )∨(綈p ∧q )；(4)命题u ：p ∨q .20．(12分)设α、β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析“a >2且b >1”是“α、β均大于1”的什么条件？解根据韦达定理，得a ＝α＋β，b ＝αβ.判定条件是p ：⎩⎨⎧ a >2b >1，结论是q ：⎩⎨⎧α>1β>1(还要注意条件中满足Δ＝a 2－4b ≥0)． (1)由⎩⎨⎧α>1β>1得a ＝α＋β>2，b ＝αβ>1，所以q ⇒p ；(2)为了证明pD ⇒/q ，可以举反例：取α＝4，β＝12，它满足a ＝α＋β＝4＋12>2，b ＝αβ＝4×12＝2>1，且满足Δ>0，但q 不成立．由上述讨论可知：a >2且b >1是α>1，β>1的必要不充分条件．21．(12分)已知p ：a ＝0，q ：直线l 1：x －2ay －1＝0与直线l 2：2x －2ay －1＝0平行，求证：p 是q 的充要条件．证明 (1)当a ＝0时，l 1：x ＝1，l 2：x ＝12，所以l 1∥l 2，即由“a ＝0”能推出“l 1∥l 2”． (2)当l 1∥l 2时，若a ≠0，则l 1：y ＝12a x －12a ，l 2：y ＝1a x －12a ，所以12a ＝1a，无解．若a ＝0，则l 1：x ＝1，l 2：x ＝12，显然l 1∥l 2，即由“l 1∥l 2”能推出“a ＝0”．综上所述a ＝0⇔l 1∥l 2，所以“a ＝0”是“l 1∥l 2”的充要条件． 22．(14分)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数．分别求出符合下列条件的实数a 的范围． (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙中有且只有一个是真命题．解甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即a >13或a <－1.乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13}．(2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为 {a |13<a ≤1或－1≤a <－12}．。

高中数学选修2-1知识点包括必修二要看的内容

高中数学选修2-1知识点包括必修二要看的内容修高二数学选修 2 －1 第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、若 p ，则 q 形式的命题中的 p 称为命题的条件， q 称为命题的结论. 3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为若 p ，则 q ，它的逆命题为若 q ，则 p . 4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为若 p ，则 q ，则它的否命题为若 p ，则 q . 5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为若 p ，则 q ，则它的否命题为若 q ，则 p 。

6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真1/ 21假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：( ) 1 两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； ( ) 2 两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 7、若 p q ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件．若的必要条件．若 p q ，则 p 是 q 的充要条件（充分必要条件）． 8、用联结词且把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q ．当 p 、 q 都是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题中有一个命题是假命题时， p q 是假命题．用联结词或把命题 p 和命题 q 联结起来，得到一个新命题，记作 p q ．当 p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时， p q 是真命题；当 p 、 q 两个命题都是假命题时， p q 是假命题．对一个命题 p 全盘否定，得到一个新命题，记作 p ．若 p 是真命题，则 p 必是假命题；若 p 是假命题，则 p 必是真命题． 9、短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题对中任意一个 x ，有 ( ) p x 成立，记作 x ， ( ) p x ．短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题存在中的一个 x ，使 ( ) p x 成立，记作 x ， ( ) p x ． 10、全称命题 p ：x ， ( ) p x ，它的否定 p ：x ， ( ) p x 。