二次根式单元复习正式课件
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二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
数学：二次根式单元复习课件
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5
1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
2
（３）
1 x x由1 来自xx 0得：x 0
1且x
0
2．（１） ( 3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1 （３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
练一练
1．若 x 1 y 1 0
二次根式 单元复习（1）
知识结构
二个概念
最简二次根式 同类二次根式
1、 a 0(a 0)
二
三个性质 2、 a 2 aa 0
次
3、 a 2 a a 0
根
1、 ab a ba 0,b 0
式
两个公式
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
四种运算
题型4同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 下列哪些是同类二次根式
18 27 8 9m 32
3 2 3 3 2 2 3 m 4 2
18 、 8 、 32 是同类二次根式
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
的取值范围
1
（１） 3 x （２） 2x 5
由3 x 0得：x 3 由2x 5 0得：x 5
加 、减、乘、除
二次根式的概念
二次根式单元复习 (共44张PPT)
注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
梳理八. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
考点
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
知识点
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
梳理二．二次根式的性质
第 16章 二 次 根 式单元复习
复习内容
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
复习重点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
12.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
梳理八. 混合运算法则 1.先算乘方，再算乘除，最后算加减，
有括号先算先算括号里面的.
2.对于二次根式的运算，各种运算 律照常使用，各种乘法公式照常 使用
考点
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
（1）.表示a的算术平方根
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
知识点
梳理一. 二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
梳理二．二次根式的性质
第 16章 二 次 根 式单元复习
复习内容
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
二次根式
1、 ab a ba 0,b 0
二 次
两个性质
2、
a b
a b
(a 0,b 0)
根 式
1、 a 2 aa 0
两个公式
aa 0
2、 a2 a aa 0
四种运算
加 、减、乘、除
复习重点
（1）二次根式的运算结果，应该尽量化简， 有理数的运算律在实数范围内仍可使用
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
12.下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与 0.5 √ (2) 12与 18 ×
二次根式复习课件
第 21 章 二 次 根 式 单元复习
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 1、 ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二 次
两个公式
a = 2、 b
(
a b
a )
2
( a ≥ 0, b ≥ 0 )
= a
a ≥ 0 （ ａ ≥ 0）
三个性质
a
四种运算
2
=
a
= {
a ,a ≥ 0 − a ,a < 0
．
（ 2） 9 ）
4 5 ÷3
1 3 × 5 2
2
2 3
（ 3） ）
1 3 +
+
2
1 2 +1
1 3 −1
2． 若 x=
3 −1 ， y= 3 +1
3 +1 ，求 3 −1
x 2 + y 2 + 2 的值．
能力提升
1． 阅 读 下 面 一 道 题 的 解 答 过 程 ， 判 断 是 否 正 确 ， 如 若 不 正 确 ， 请 写 出 正 ． 确的解答过程．
A = 60 +80 B
2
2
= 10000
=100
b设a、b为实数,且|√2 -a|+ √ b-2 =0 为实数,
拓展1 拓展1
∴ （1）求a -2 2a+2+b 的值. a = 2，b = 2
2 2
解： ) 2 − a ≥ 0, b − 2 ≥ 0 (1 而 2 −a + b−2 = 0
∴ 2 −a = 0 ， −2= 0 b ∴a = 2，b = 2
P
B
知识结构
三个概念
二次根式 最简二次根式 同类二次根式 1、 ab = a ⋅ b (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二 次
两个公式
a = 2、 b
(
a b
a )
2
( a ≥ 0, b ≥ 0 )
= a
a ≥ 0 （ ａ ≥ 0）
三个性质
a
四种运算
2
=
a
= {
a ,a ≥ 0 − a ,a < 0
．
（ 2） 9 ）
4 5 ÷3
1 3 × 5 2
2
2 3
（ 3） ）
1 3 +
+
2
1 2 +1
1 3 −1
2． 若 x=
3 −1 ， y= 3 +1
3 +1 ，求 3 −1
x 2 + y 2 + 2 的值．
能力提升
1． 阅 读 下 面 一 道 题 的 解 答 过 程 ， 判 断 是 否 正 确 ， 如 若 不 正 确 ， 请 写 出 正 ． 确的解答过程．
A = 60 +80 B
2
2
= 10000
=100
b设a、b为实数,且|√2 -a|+ √ b-2 =0 为实数,
拓展1 拓展1
∴ （1）求a -2 2a+2+b 的值. a = 2，b = 2
2 2
解： ) 2 − a ≥ 0, b − 2 ≥ 0 (1 而 2 −a + b−2 = 0
∴ 2 −a = 0 ， −2= 0 b ∴a = 2，b = 2
P
B
二次根式复习课件
பைடு நூலகம்
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
四种运算
加 、减、乘、除
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
第九章二次根式复习
刘艳琴
复习目标
• 1.掌握二次根式和最简二次根式的概念。 • 2.理解二次根式的性质和二次根式的运算法 则。 • 3.会用二次根式的性质和法则进行运算以及 解决一些实际问题。
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
• 这节课你有什么收获？
达标练习一
2 -4
1 当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
二 次 根 式
两个公式
a 2、 b
(
a (a 0, b 0) b a 0 （ａ 0）
a )2 a
,a 0 a 2 a {a a ,a 0
三个性质
四种运算
加 、减、乘、除
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
①
15
a b
2
2
②
3a
a2 1
③
x 100
第九章二次根式复习
刘艳琴
复习目标
• 1.掌握二次根式和最简二次根式的概念。 • 2.理解二次根式的性质和二次根式的运算法 则。 • 3.会用二次根式的性质和法则进行运算以及 解决一些实际问题。
知识结构
三个概念
二次根式
最简二次根式
同类二次根式
1、 ab a b a 0, b 0
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式 （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
例1：把下列各式化成最简二次根式
(1) 54
1 1 2
(2)
4a 2 16a 2
y x
(a≥0)
例2：把下列各式化成最简二次根式
(1 ) 4 (2)x
2
(x>0)
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后利用分 母有理化,将式子化简。
• 这节课你有什么收获？
达标练习一
2 -4
1 当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
二次根式单元复习正式课件ppt
D PC
2021/7/26
43
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
2021/7/26
40
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
2021/7/26
25
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.已知x,y为实数,且
x 1 + 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
6.若 （a 2）2 2 a，则a的取值范围是 a 2
2021/7/26
26
本章知识
(二）、二次根式的性质：
1.( a)2 a (a 0)
二次根式的复习PPT课件(华师大版)
例2、计算
(1)3 5 2 15
(2) 40 45
(3)3 m6n5 5 m4n2 (m、、 为正数）
(4) 1 48 1
2
8
三、二次根式的乘除 1、积的算术平方根的性质
ab a b(a 0,b 0)
2、二次根式的乘法法则
a b ab(a 0,b 0)
3、商的算术平方根的性质
而 2a b2 0
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
练一练 :
1.如果最简根式 ba 3b 和 2b a 2
是同类二次根式，那么a、b的值分别是（ ） A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=-1，b=1 D．a=1，b=-2
3 的整数部分 1 ，小数部分 3 1 。 15 的整数部分 3 ，小数部分 15 3。
2、化简： ( 15 3)2 ( 15 4)2
3、若a、b分别是 6 13 的整数部分和 小数部分2a-b的值是 13 。
拓展2
细心视察图形,认真分析,思考下列问题.
（1）你能求出哪些线段的长？
OA2=___S1=___ OA3=___S2=___
2.实数a在数轴上的位置如图所示,化简
a
a 1 (a 2)2 =
-1 0 1 2
.
3.若代数式 (2 a)2 (a 4)2 的值是常数2,
则a的取值范围是( )
A. a 2
C. 2 a 4
B. a 2
D. a 2或a 4
4、把 a 1 根号外的因式移到根号内得 a
（） 5、若化简 1 x x24
S4
…… …… A6
S5
OAn=___
二次根式复习课件
近似计算的意义：在实际问题中，有时需要计算二次根式的近似值 近似计算的方法：可以通过泰勒级数展开、牛顿迭代法等方法进行近似计算 近似计算的精度：根据实际需要选择合适的近似计算方法，以提高计算精度 近似计算的应用：在工程、物理、化学等领域，二次根式的近似计算有着广泛的应用
概念：二次根 式的无理数表 示是指将二次 根式转化为无
相似三角形：二次根式在相 似三角形中的应用
圆周率：二次根式在圆周率 中的应用
测量：测量距离、 角度等
计算：计算面积、 体积等
工程：建筑、机 械等工程计算
科学：物理、化 学等科学计算
解方程：二次根式方程的求解 求值：二次根式的值域和取值范围 证明：二次根式的不等式证明 应用：二次根式在几何、代数、概率等领域的应用
化简技巧：利用平 方差公式、完全平 方公式等技巧进行 化简
同分母二次根式加减法：将分母化为相同，再相加或相减 异分母二次根式加减法：将分母化为相同，再相加或相减 带分数二次根式加减法：将带分数化为假分数，再相加或相减 混合二次根式加减法：将二次根式化为最简二次根式，再相加或相减
二次根式的乘法：将两个二次根式 的被开方数相乘，根指数不变
二次根式的乘方：将二次根式乘方， 根指数变为原来的2倍
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
二次根式的除法：将两个二次根式 的被开方数相除，根指数不变
二次根式的开方：将二次根式开方， 根指数变为原来的1/2倍
乘法运算：将两个二次根式化 为最简二次根式后，再进行乘 法运算
减法运算：将两个二次根式化 为最简二次根式后，再进行减 法运算
根
二次根式的几 何意义是表示 一个数的平方
根
二次根式的几 何意义是表示 一个数的平方
九年级数学总复习课件：二次根式(共29张PPT)
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
演示文稿二次根式单元复习课件
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD A
于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=____1
D
PC
第二十七页，共28页。
拓展3
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
Ａ．a 0 Ｃ．a 0
Ｂ． a 0
Ｄ． a为任意数
第九页，共28页。
5．若 a2 ( a，)2则a的取值范围是（）
Ａ．a 0 Ｃ．a 0
Ｂ． a 0
Ｄ．a 为任意数
第十页，共28页。
6．计算 （１） ( 5)2 (5)2
（２） ( 10)2 (3 3)2
第十一页，共28页。
7.计算或化简：
（优选）二次根式单元复习 课件
第一页，共28页。
知识结构
最简二次根式
三个概念 同类二次根式
有理化因式 --不要求，只需了解
1、 a 2 aa 0
二
两个性质
aa 0
次
2、 a2 a aa 0
根
1、 ab a ba 0,b 0
式
两个公式
2、
a b
a b
(a 0, b0)
第二页，共28页。
1 9 3 7 12 5 48
2
12 4
1 8
3
1 4 3
0.5
3 3 2 2 33 2 2 3
4
第十四页，共28页。
a b
•
b a
1 b
10、计算：
1. 5 4 9
第16章《 二次根式》单元复习课件
同类二次根式的定义： 几个二次根式化成最简二次 根式以后，如果被开方数相同， 这几个二次根式叫做同类二次 根式.
⑴ 同类二次根式的判断，一般首先需 要把所需判断的二次根式化成最简二次根 式，再观察被开方数是否相同.若相同， 则是同类二次根式，否则不是.
⑵ 几个二次根式是不是同类二次根式， 只与被开方数和根指数有关，而与根号外 的因式或因数无关.
⑶ 只有同类二次根式才可以合并，不 是同类二次根式的不能合并. ⑷ 合并同类二次根式时，将同类二次 根式的系数相加减，根指数与被开方数 （式）保持不变.
二次根式加减运算的一般步骤
⑴ 将每个二次根式化为最简二次根式； ⑵ 找出其中同类二次根式； ⑶ 合并同类二次根式. 1、在运算过程中要注意，根号外的因 式就是这个二次根式的系数，如果系数 是带分数，还要化成假分数. 2、二次根式化为最简二次根式后，被 开方数不同的二次根式不能合并，但是 绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.
( )
求下列各式的值：
4 2 ⑴ ( 300)² ⑵ 3 9 ⑶ (－ 2.7)² ⑷ (－2 5)²
⑴ 可直接运用性质 1 ，⑵ ⑶ ⑷ 先利用积的乘方性质 (ab)² ＝ a² b²进行 变形，然后再计算.
( )
解： ⑴ ( 300)² ＝300
⑵
( ) ( )
3 4 9
2
＝3² ×
4 9
2
1.从形式上看，二次根式必须含有 9 ＝3 “ ”如： ，等号左边是二 次根式，右边不是二次根式.
a (a≥o)的式子叫做二次根 形如＿＿ 式。在二次根式 a中，字母 a 必须满 a≥0 足＿＿＿，即被开方数必须是非负数 .
2. 被开方数 a 可以是一个数，也可 以是一个含有字母的式子，但前提是 a≥0.
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A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
拓展2
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D， BC⊥CD于C，
A
若点P为线段CD上动点。
①则AD=__2__ BC=___1_
2x 2y
变式： 8x3 y ( y 0)
练习：把下列各式化成最简二次根式
(1) 1.5
(2) 4a 2 16a 2
3 6 22
20a2 2 5a
化简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是整数或整式时，先因数分解或因 式分解,然后利用积的算术平方根的性质,将式子化简。 （2）如果被开方数是分数或分式时,先利用商的算术平 方根的性质,将其变为二次根式相除的形式,然后将式子 化简。
解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.已知x,y为实数,且
x 1 + 3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
6.若（a 2）2 2 a，则a的取值范围是 a 2
本章知识
(二）、二次根式的性质：
1.( a)2 a (a 0)
15 15
24 24
（2）你判断完以上各题之后，能猜想这类式子具有什么 规律？
（3）试用数学知识说明你所提出的猜想是正确的吗？
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
（1）求a2 -2 2a+2+b2的值.a 2， b 2
解：1 2 a 0, b 2 0
而 2a b2 0
，则 x_______
7.一个台阶2如3图x，阶梯6每一0层高15cm，宽2125cm2，长
60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
解：
B
B
60 15
25 AB 602 802
60
10000 15
25
100
25
25
15
60
15
60
A
A
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中 字母的取值范围常转化为不等式（组）
题型2:二次根式的非负性的应用.
注意：几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0。
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP
C
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
(1) 2x 1 (2) 1 1 3x
(3) x 2 (4) (x 3)2 x2
(5) a 1 1 3a
一.二次根式的概念及意义. 形如 a (a≥0 )这样的式子叫做二次根式,
其中a可以是数,也可以是单项式和多项式.
注：两个非负： ①a≥0
② a ≥0
例1、当x取何值时，下列等式成立：
2．（１） (3 )2 ____3
（２）当 x 1 时， (1 x)2 __x__1
（３） (x 2)2 x 2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
（４）若
(x 7)2 1
，
x7
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿7
3．若 x 1 y2 y 1 0
4
求 y x 的值
4．计算 （１）
x4 9
A
42
2 10
知 识 点 四 1达 标 练 习
A
62 2ab b
A A
D
2 3 3
9x 2
知 识 点 五 达 标 练 习
11 6 3 2 34
A
知
-1
识
点
32 2
六
42
达
标
15 ( 5 3) 2
练
习
7
本章知识
（一）、二次根式概念及意义.
像 a2 42、 b 3 这样表示 的 _算__术__平__方__根___，且
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
D PC
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
2 a 0 ，b 2 0
a 2， b 2
原式 (a 2)2 b2 ( 2 2)2 22
4
拓展1
设a、b为实数,且|2 -a|+ √ b-2 =0
（1）求a2 -2 2a+2+b2的值.a 2， b 2
(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这 个等腰三角形的面积.
（２） x2 2 5x 5
知识点二达标练习
2
-4
1
当x=- 9 时，最小值为3
6＜l＜10
(x 3)(x 3)
D
-3b
探索性练习：
（1）判断下列各式是否成立？你认为成立的，请在括号里 打 “√”，不成立的，请在括号里打 “×”
2 2 2 2, 3 3 3 3
33
88
4 4 4 4 , 5 5 5 5
C
1200 60
D 162 16
4下列各式化简后与 2的被开方数相同的是（ C ）
A 10 B 24
C 72
5计算 5 1 10的值是（
5
A 10
B 5
C5 10
D 2
3
C）
D 10
2
（三）二次根式的乘法
把被开方数的积作为积的被开方数．
a b a b (a 0,b 0)
（三）二次根式的除法
题型4同类二次根式：
化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式。 下列哪些是同类二次根式
18 27 8 9m 32
3 2 3 3 2 2 3 m 4 2
18 、 8 、 32 是同类二次根式
题型5：利用 a ( a)2(a 0) 进行分解因式
例：分解因式：
(1) x2 2
x2 ( 2)2 x 2 x 2
解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为 （ 2）2 1 1
∴三角形的面积为
1 2 1 1 2
若a为底,b为腰,此时底边上的高为
22
2 2
2
4 1 2
7 2
14 2
∴三角形的面积为 1 2 14 7
2
22
D
知
识
a ≥4
点
30 2
三
达
288 15
标
143
练
习
A
45
a
D
96 4
DP
C
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
三角形的三边为 5， 5， 10，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，
A
BC⊥CD于C，
若点P为线段CD上动点。
B
①则AD=__2__ BC=__1__
DP C
拓展1
已知△ABP的一边AB= 10，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使
(1) (4)2
(2) 9
(3) (3 )2 (4)x 2,则 x2 4x 4
(二）二次根式的简单性质
积的算术平方根
积的算术平方根，等于积中各 因式的算术平方根的积（a、b都是 非负数）。
a b a b (a 0,b 0)
(二）二次根式的简单性质
商的算术平方根 商的算术平方根等于被除式的算
2（. 1 a）2 a2 4a 4
3、实数在数轴上的位置如图示，
化简|a-1|+ (a 2)2
。
4、请计算a= 2 1， b= 2 1 ， 求 a2b-ab2 的值
5.
若数轴上表示数x的点在原点的左边，
则化简|3x+ x2| 的结果是（ C ）
A.-4x B.4x
C.-2x
D.2x
6.若方程
a （a 0）
2. a2 a
0 （a 0）
a （a 0）
3. ab a b (a 0 b 0)
4.
a b
a b
(a 0
b 0)