圆锥曲线标准方程与几何性质

圆锥曲线的标准方程与几何性质

1、 椭圆的标准方程与几何性质： 1、椭圆第一定义：

平面内与两个定点12F F ,的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆焦距． 2、椭圆第二定义：

平面内到一个定点的距离和它到一条定直线l 的距离之比是常数(01)e e <<的点的轨迹叫做椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫椭圆的离心率．

另外：（1）椭圆的通径就是过焦点垂直于长轴的直线与椭圆相交所得的线段长度

椭圆的通径长：2

2b a

.

（2）焦点三角形的面积为：2

12tan

,2

S b F MF θ

θ==∠.

2. 双曲线

②

一、 第一定义：平面内与两个定点

12,F F 的距离之差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双

曲线。

第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)

0(>>a c a c

的点的轨迹是双曲线.

共轭双曲线的四个焦点共圆．

一：抛物线的定义

定义：平面内与一个定点和一条定直线（不经过点

）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，

定点

叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线．

二：抛物线的标准方程

抛物线标准方程的四种形式：，，

，。

三、抛物线的几何性质：

1．通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p

因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为，，所以抛物线的通径长为2p

2．已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：

①焦点弦长

②

③，其中|AF|叫做焦半径，

④焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p

测试题

一、填空题

④

1、双曲线

22

22

1124x y m m

-=+-的焦距是 。 2、双曲线22

1169x y -=的左、右焦点分别为F 1，F 2，在左支上过点F 1的弦AB 的长为5，那么△ABF 2

的周长是 。

3、已知椭圆22

189

x y a +=+的离心率为12，则a = 。

4、双曲线2233m

x my -=的一个焦点为()0,2，则m 的值是 。

5、平面内有两个顶点21,F F 和一动点M,设命题甲：21MF MF -是定值；命题乙：点M 的轨迹是双曲

线。则命题甲是命题乙的________________条件。

6、若方程11

42

2=-+-t y t x 所表示的曲线为C ，给出下列四个命题：

①若C 为椭圆，则14或t<1； ③曲线C 不可能是圆； ④若C 表是椭圆，且长轴在x 轴上，

则2

3

1<

7、已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若⊿2ABF 是

正三角形，求这个椭圆的离心率。

8、中心在原点，焦点在x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1,F 2,且13221=F F ,椭圆的长

半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7，求这两条曲线的方程。

9、已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，

左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,设点11,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

.

（1）求该椭圆的标准方程； （2）若P 是椭圆上的动点，求线段PA 中点M 的轨迹方程；

10、设12F F 、为椭圆2

21625400x

y +=的焦点，P 为椭圆上的一点，且012120F PF ∠=，求12

PF F ∆的面积。

⑥

11、已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右焦点为F ，过点F 作直线PF 垂直于该双曲线的一

条渐近线l 于)36,33(P ．求该双曲线的方程。

12、已知椭圆()22

2210x y a b a b +=>>

的离心率e =()0,A b -和(),0B a

的直线与原点的距离为

⑴求椭圆的方程；

⑵已知定点()1,0E -，若直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由。

13、在直线l ：09=+-y x 上取一点P ，过点P 以椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为焦点作椭圆。 （1）P 点在何处时，所求椭圆长轴最短？ （2）求长轴最短时的椭圆方程。

练习：

1、椭圆

22

189

x y a +=+的离心率为12，则a 的值为 . 2、直线l 过椭圆C ：22

143

x y +=的左焦点F 1，且斜率为１，设l 与椭圆C 在ｘ轴上方的交点为P ，椭圆右准线与ｘ轴的交点为N,求△PF １N 的面积.