中考数学复习指导：网格中的勾股定理

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完整版)勾股定理知识点与常见题型总结

完整版)勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理复勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，表示为a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角三角形的两直角边，c为斜边。

勾股定理的证明常用拼图的方法。

通过割补拼接图形后，根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

常见的证明方法有以下三种：1.通过正方形的面积证明，即4ab + (b-a)^2 = c^2，化简可证。

2.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积，即4ab + c^2 = 2ab + c^2，化简得证。

3.通过梯形的面积证明，即(a+b)×(a+b)/2 = 2ab + c^2，化简得证。

勾股定理适用于直角三角形，因此在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。

勾股定理可用于解决直角三角形中的边长计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题。

在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算。

同时，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。

勾股定理的逆定理是：如果三角形三边长a、b、c满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

a^2+b^2=c^2$是勾股定理的基本公式。

如果三角形ABC 不是直角三角形，我们可以类比勾股定理，猜想$a+b$与$c$的关系，并对其进行证明。

勾股定理的实际应用有很多。

例如，在图中，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m。

现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m。

同时梯子的顶端B下降至B′。

那么BB′的长度是小于1m的（选项A）。

又如，在图中，一根24cm的筷子置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中。

设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是7cm ≤ h ≤ 16cm（选项D）。

备战2023年中考数学一轮复习考点10 勾股定理

考点10 勾股定理勾股定理主要包括勾股定理、勾股定理的逆定理以及勾股数、直角三角形的判断。

在中考中，勾股定理主要以选择题和填空题的形式进行考查，但是勾股定理同样是作为一项工具性质的知识，多与其他几何知识结合，多用来计算三角形边的长度，难度中等。

一、勾股定理；二、勾股定理的逆定理；三、勾股定理的应用。

考向一：勾股定理1.勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么．（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．（3）理解勾股定理的一些变式：，，． 2.勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．在图（1）中22222214c b a ab c b a S ABCD =+⇒⨯+=+=）（正方形方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．a b ，c 222a b c +=222a c b =-222b c a =-()222c a b ab =+-在图（2）中22222214)(c b a ab a b c S ABCD =+⇒⨯--==正方形，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．在图（3）中，2222212122))((c b a c ab b a b a S ABCD =+⇒+⨯=++=正方形。

1．如图，ABC 中，D 为AB 的中点，E 在AC 上，且BE AC ⊥．若10DE =，16AE =，则BE 的长度为（）A ．10B ．11C ．12D ．132．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边6AC =cm ，8BC =cm ，现将ACD 沿直线AD 折叠，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，则CD 的长为（）cm ．A ．52B ．53C ．3D ．323．如图，在ABC 中，AB AC =，72B ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交AB 于点D ．若2AC =，则CB 的长为（）A1 B．3 CD4．如图，三角形ABC 中，90AB AC BAC BD BC CE BC ∠︒⊥⊥=，=，，， 45DAE ∠︒=，若BD=CE =DE =（）A ．2 B．C ．4 D．5．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，点D 为边AB 的中点，DE DF ⊥，DE 交AC 于点E ，DF 交BC 于点F ．若3AE =，2BF =，则EF 的长为（）AB ．5 CD ．13考向二：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；a b c 、、222a b c +=c（2）验证：与是否具有相等关系：若，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若时，△ABC 是锐角三角形；若时，△ABC 是钝角三角形．3.勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形。

10 专题勾股定理(逆定理)与网格画图

专题勾股定理（逆定理）与网格画图
【方法归纳】通过网格运用勾股定理及其逆定理来研究三角形或四边形的形状．
1．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为．
2．如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个三角形，使它的三边长分别是3，22，5，且三角形的三个顶点都在格点上．
3．如图，每个小正方形的边长都是1，在图中画一个边长为5的正方形，且正方形的四个顶点在格点上．
4．在图中以格点为顶点画一个等腰三角形，使其内部已标注的格点只有3个．
5．如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个三角形中，与众不同的是中的三角形，图4中最长边上的高为． A
C
B
第2
题图第3题图
第4
题图
6．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：
7．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB 的端点在格点上．
（1）图1中，以AB 为腰的等腰三角形有个，画出其中的一个，并直接写出其
边长．
（2）图2中，以AB 为底边的等腰三角形有个，画出其中一个，并直接写出其底边上的高．
图4图3图2图
1图2
图1图2图1
A
B A B。

中考数学真题分类汇编及解析(二十五)勾股定理

（2022•湖州中考）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4√2B．6C．2√10D．3√5【解析】选C．如图所示：△MNP为等腰直角三角形，∠MPN＝45°，此时PM最长，根据勾股定理得：PM=√22+62=√40=2√10．（2022•宁波中考）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE中点．若AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（）A．2√2B．3C．2√3D．4【解析】选D．因为D为斜边AC的中点，F为CE中点，DF＝2，所以AE＝2DF＝4，因为AE＝AD，所以AD＝4，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，所以BD=12AC＝AD＝4A ．2B ．32C ．12D ．√55【解析】选A ．由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a ，短直角边为b ，则a 2+b 2＝5，a ﹣b ＝1，解得a ＝2，b ＝1，所以tan α=a b =21=2（2022·遵义中考）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若AB ＝BC ＝1，∠AOB ＝30°，则点B 到OC 的距离为（）A ．√55B ．2√55C ．1D ．2 【解析】选B ．作BH ⊥OC 于H ，因为∠AOB ＝30°，∠A ＝90°，所以OB ＝2AB ＝2，在Rt △OBC 中，由勾股定理得，OC =√OB 2+BC 2=√22+12=√5，因为∠CBO ＝∠BHC ＝90°，所以∠CBH ＝∠BOC ，所以cos ∠BOC ＝cos ∠CBH ，所以OBOC =BHBC ，所以2√5=BH 1，所以BH =2√55.（2022•十堰中考）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E，F分别在BC，CD 上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（√3−1）m，若在M，N 之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少370 m（结果取整数，参考数据：√3≈1.7）．【解析】解法一：如图，延长DC，AB交于点G，因为∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，所以∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，所以∠G＝90°，所以AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，BC＝50，CG＝50√3，所以DG＝CD+CG＝100+50√3，所以BG=12所以AD＝2DG＝200+100√3，AG=√3DG＝150+100√3，因为DM＝100，所以AM＝AD﹣DM＝200+100√3−100＝100+100√3，因为BG＝50，BN＝50（√3−1），所以AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100√3−50﹣50（√3−1）＝150+50√3，AN＝75+25√3，AH=√3NH＝75√3+75，Rt△ANH中，因为∠A＝30°，所以NH=12由勾股定理得：MN=√NH2+MH2=√(75+25√3)2+(25√3+25)2=50（√3+1），所以AM+AN﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，因为CD＝DM，∠D＝60°，所以△BCM是等边三角形，所以∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50√3，GN＝BG+BN＝50+50（√3−1）＝50√3，所以△CGN是等腰直角三角形，所以∠GCN＝45°，所以∠BCN＝45°﹣30°＝15°，所以∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°=12∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（√3−1）＝50√3+50，因为AM+AN﹣MN＝AD+AG﹣MN＝100+100√3+150+50√3−50（√3+1）＝200+100√3≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．答案：370．（2022•河南中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13．【解析】如图：因为∠ACB＝90°，AC＝BC＝2√2，所以AB=√2AC＝4，因为点D为AB的中点，所以CD＝AD=12AB＝2，∠ADC＝90°，因为∠ADQ＝90°，所以点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，所以AQ=√AD2+DQ2=√22+12=√5，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ ′＝3，所以AQ′=√AD2+DQ′2=√22+32=√13，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为√5或√13.答案：√5或√13是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【解析】因为大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，所以AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，所以（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），所以x﹣1＝3.答案：3（2022•泰州中考）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为√2．【解析】走两步后的落点与出发点间的最短距离为√12+12=√2．答案：√2．（2022•内江中考）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝48．【解析】设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，所以S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．。

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)

中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解）知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。

若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。

2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。

3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。

4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。

②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。

5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。

练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ．故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝，故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。

01 专题一：勾股定理(逆定理)与网格图

【引例1】1、如图，每个小正方形的边长为1，在图中画3条线段长度分别为 √5 ，√10，√132、如图，每个小正方形的边长为1，则完成下列问题：(1) BC= √17 ； (2)求点A 到BC 边的距离h= 32√10.【引例2】如图，每个小正方形的边长为1，在图中画一个边长为√5 的正方形，且正方形的四个顶点在格点上若几何图形的顶点在格点上，则利用勾股定理可求得其边长，进而求其周长.网格中，求顶点在格点上的四边形或五边形等几何图形的面积，可利用外部补法，转化成用长方形（或正方形）的面积减去直角三角形面积.【例1】如图，点A ，B 都在格点上，要求格点上再找一点C ，使得△ABC 为直角三角形（画出所有符合要求的C 点）.典例精讲方法点睛专题导入勾股定理（逆定理）与网格图A CB举一反三：1．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，找点D,使得点D，点B位于AC的异侧，且△ACD为等腰直角三角形，并求出线段BD的长.2．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的等腰直角三角形；（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，√5，√13；（3）如图3，点A，B，C是格点，直接写出∠ABC的度数；（4）在图4中画出△ABC（点C是格点），使△ABC为等腰三角形（画一个）．【解答】解：（1）√12+32＝√10，1×√10×√10＝5，如图1所示；2（2）√12+22＝√5，√22+32＝√13，三角形如图2所示；（3）如图3，连接AC．∵AC＝BC＝√10，AB＝2√5，∴AC2+BC2＝AB2．∴∠ACB＝90°．∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°．（4）以AB为腰，如图4所示：【例2】（1）在△ABC 中，AB ，BC ，AC 三边的长分别为√5，√17，√10，求这个三角形的面积．如图1，某同学在解答这道题时，先建立一个每个小正方形的边长都是1的网格，再在网格中画出边长符合要求的格点三角形ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），这样不需要求△ABC 的高，而借用网格就能就算出它的面积．请你将△ABC 的面积直接填写在横线上．思维拓展：（2）已知△ABC 三边的长分别为√13a ，2√2a ，√17a （a ＞0），求这个三角形的面积．我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．如图2，网格中每个小正方形的边长都是a ，请在网格中画出相应的△ABC ，并求出它的面积．类比创新：（3）若△ABC 三边的长分别为√m 2+16n 2，√16m 2+9n 2，√9m 2+n 2（m ＞0，n ＞0，且m ≠n ），求出这个三角形的面积．如图3，网格中每个小长方形长、宽都是m ，n ，请在网格中画出相应的△ABC ，用网格计算这个三角形的面积．解：（1）△ABC 的面积＝2×4﹣12×1×2﹣12×1×4﹣12×1×3＝3.5，故答案为：3.5；（2）如图2，△ABC 的面积＝3a ×4a ﹣12×3a ×2a ﹣12×a ×4a ﹣12×2a ×2a ＝5a 2；（3）如图3，△ABC 的面积＝4m ×4n ﹣12×m ×4n ﹣12×3m ×n ﹣12×4m ×3n ＝6.5mn ．举一反三：3.如图，点A是5×5网格图形中的一个格点，图中每个小正方形的边长为1，请在网格中按下列要求操作：（1）以点A为其中的一个顶点，在图（1）中画一个面积等于3的格点直角三角形；的格点等腰直角三角形．（2）以点A为其中的一个顶点，在图（2）中画一个面积等于52（3）以点A为其中的一个顶点，在图（3）中画一个三边比为1：√2：√5，且最长边为5的格点三角形．【分析】（1）画一个两直角边长为2和3的直角三角形即可；（2）画一个两直角边长为√5的直角三角形即可；（3）三边比为1：√2：√5，且最长边为5，另两边为√5和√10．【解答】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）如图所示：1．如图，在55⨯的网格中，每个格点小正方形的边长为1，ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 都在网格格点的位置上．（1）请直接写出AB 、BC 、AC 的长度；（2）求ABC ∆的面积；（3）求边AB 上的高．2．在下面的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，正方形的顶点称为格点，请在图中专题过关3.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形：（1）如图①，已知格点△ABC，分别求三边的长，并判断这个三角形是否直角三角形；（2）画格点△DEF，使其为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）．4.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在图①中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13；（2）在图②中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（3）观察图③中带阴影的图形，请你将它适当剪开，重新拼成一个正方形（要求：在图③中用虚线作出，并用文字说明剪拼方法）．图③说明：5．问题：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为√2，√13，√17求这个三角形的面积．（1）请你将△ABC 的面积直接填写在横线上．（2）我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法．若△ABC 三边的长分别为√2a ，2√5a ，√26a （a ＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积是：．（3）若△ABC 三边的长分别为√4m 2+n 2，√16m 2+n 2，2√m 2+n 2（m ＞0，n ＞0，m ≠n ），并求出△ABC 的面积为：．6．如图，每个小正方形的边长都为1．（1）求四边形ABCD 的周长．（2）求点A 到BC 的距离．7．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在55⨯的方格棋盘上从A 点行走至B 点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径1R ，2R ，3R ，其行经位置如图与表所示：已知A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断1R 、2R 、3R 这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．答案：（2）ABC ∆的面积2222=⨯÷=；3、【分析】（1）先根据勾股定理求出AB、BC及AC的长，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）根据题意画出钝角三角形，使三角形的面积为4即可．【解答】解：（1）∵AB＝√10，BC＝√5，AC＝√13，∵AB2+BC2≠AC2，∴这个三角形不是直角三角形；（2）如图所示．4．【分析】（1）根据1×2的对角线为√5，3×2的对角线为√13，可作出边长为2，√5，√13的三角形．（2）由正方形的面积为10，可知：正方形的边长为√10，1×3的长方形方格的对角线长是√10，从而作出面积为10的正方形；（3）阴影部分共有5个小正方形，面积为5，所以作出的正方形的边长为√5，然后沿相邻2个正方形的对角线剪开即可，再进行拼接即可．【解答】解：（1）如图所示，△ABC即为所求作的三角形；（2）如图所示，正方形ABCD的面积为10；（3）如图所示，沿虚线剪开，然后①、②、③分别对应拼接即可得解．5．【分析】（1）利用恰好能覆盖△ABC 的长为4，宽为2的小矩形的面积减去三个小直角三角形的面积即可解答；（2）√2a 是直角边为a 的等腰直角三角形的斜边，2√5a 是直角边长为4a ，2a 的直角三角形的斜边；√26a 是直角边长为5a ，a 的直角三角形的斜边；，把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积；（3）结合（1），（2）易得此三角形的三边分别是直角边长为2m ，n 的直角三角形的斜边；直角边长为4m ，n 的直角三角形的斜边；直角边长为2m ，2n 的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积．【解答】解：（1）如图1，S △ABC ＝2×4﹣12×1×1﹣12×1×4﹣12×2×3＝52；故填：52；（2）如图2，S △ABC ＝2a ×5a ﹣12×a ×a ﹣12×2a ×4a ﹣12×5a ×a ＝3a 2；故填：3a 2；（3）如图3，S △ABC ＝2n ×4m ﹣12×2m ×n ﹣12×4m ×n ﹣12×2m ×2n ＝3mn ；故填：3mn ．（2）设点A 到BC 的距离为h ，2510+∴最长路径为A E D F B →→→→；最短路径为A G B →→．。

勾股定理知识点整理

勾股定理知识点整理1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

即：a²+b²＝c²要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一。

其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题。

2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a²+b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。

运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c²＝a²+b²，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c²>a²+b²，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c²<a²+b²，则△ABC为锐角三角形）。

3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

专题04 勾股定理与网格问题(解析版)

专题04 勾股定理与网格问题一、单选题1．如图，在4×4的正方形网格中，所有线段的端点都在格点处，则这些线段的长度是无理数的有（）A．1 条B．2条C．3条D．4条【答案】B【分析】由勾股定理求出a、b、c、d，即可得出结果．【解析】=，=d=2，5∵长度是无理数的线段有2条，故选B．【小结】本题考查了勾股定理、无理数，熟练掌握勾股定理是解决问题的关键．A B C E为格点．O为大正方形的内切圆，BC 2．如图，在22⨯的网格中，每个小正方形的边长均为1,,,,∠=（）交O于点D，则cos AEDA B C．D5【答案】B【分析】由圆周角定理得到∵AED=∵ABD ，再由勾股定理求出BC 的长，即可求出cos∵AED 的值．【解析】由题意可得，∵AED=∵ABD在Rt∵ABC 中，AC=1，AB=2，由勾股定理可得：==所以cos∵AED=cos∵ABD=AB BC == 故选：B ．【小结】本题考查了圆周角定理，利用锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，解题的关键是找到直角三角形，从而利用锐角三角函数，勾股定理解直角三角形3．如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是（）A ．∵∵B ．∵∵C ．∵∵D ．∵∵【答案】A【分析】利用勾股定理，求出四个图形中阴影三角形的边长，然后判断哪两个三角形的三边成比例即可.【解析】由图，根据勾股定理，可得出∵图中阴影三角形的边长分别为：；∵∵图中阴影三角形的边长分别为：∵图中阴影三角形的边长分别为：可以得出∵∵22===，所以图∵∵两个阴影三角形相似；故答案为：A.【小结】本题考查相似三角形的判定，即如果两个三角形三条边对应成比例，则这两个三角形相似；本题在做题过程中还需注意，阴影三角形的边长利用勾股定理计算，有的图形需要把小正方形补全后计算比较准确. 4．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，则BAC ∠的大小是（）A ．30BAC ∠=B ．45BAC ∠= C ．60BAC ∠=D ．90BAC ∠=【答案】D【分析】根据勾股定理以及其逆定理即可得到问题答案．【解析】2AB ==AC ==5BC ==∵AB 2+AC 2=BC 2=25，∵∵ACB 是直角三角形，∵∵BAC=90°．故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．熟记勾股定理的内容是解题得关键．5．在正方形网格中，ABC ∆的位置如图所示，则sin BAC ∠的值为（）A ．35B ．34C ．45D ．43【答案】A【分析】延长AB 至D ，使AD=4个小正方形的边长，连接CD ，先证出∵ADC 是直角三角形和CD 的长，即可求出sin BAC ∠的值．【解析】延长AB 至D ，使AD=4个小正方形的边长，连接CD ，如下图所示，由图可知：∵ADC 是直角三角形，CD=3个小正方形的边长根据勾股定理可得：5=个小正方形的边长 ∵3sin 5CD BAC AC ∠== 故选A ．【小结】此题考查的是求一个角的正弦值，掌握构造直角三角形的方法是解决此题的关键．6．如图，正方形ABCD 是由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE ，AF ，则EAF ∠=（）A ．30B ．45︒C ．60︒D ．75︒【答案】B【解析】【分析】连结EF ，分别在格点三角形中，根据勾股定理求出AE ，EF ，AF 的长度，继而可得出∵EAF 的度数．【解析】如图，连接EF .根据勾股定理，得225AE EF ==，210AF =.因为5510+=，所以222AE EF AF +=，所以AEF ∆是等腰直角三角形，所以45EAF ∠=︒.故选B.【小结】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断∵AEF 是等腰直角三角形是解决本题的关键．7．如图，在44⨯的正方形网格中，点A ，B ，M ，N 都在格点上．从点M ，N 中任取一点，与点A ，B 顺次连接组成一个三角形，则下列事件是必然事件的是（）A．所得三角形是锐角三角形B．所得三角形是直角三角形C．所得三角形是钝角三角形D．所得三角形是等腰三角形【答案】D【分析】根据勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质以及随机事件的概念解答．【解析】如图，连接AN，AM，BM．A、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是锐角三角形属于随机事件，故本选项说法错误．B、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是直角三角形属于随机事件，故本选项说法错误．C、如图，由AB2＋BN2＝AN2＝8得到∵ABN是直角三角形，∵ABM是锐角三角形，则所得三角形是钝角三角形属于不可能事件，故本选项说法错误．D、如图，由AB＝BN，AM＝BM得到∵ABN和∵ABM是等腰三角形，则所得三角形是等腰三角形属于必然事件，故本选项说法正确．故选D．【小结】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质以及随机事件，解题时，利用了数形结合的数学思想，难度不大．，则AC边上的高是（）8．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得ABCA B C D 【答案】D【分析】首先根据大正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算，再根据勾股定理求得AC 的长，最后根据三角形的面积公式求出AC 边上的高．【解析】∵三角形ABC 的面积等于正方形的面积减去三个直角三角形的面积，即S ∵ABC =2×2－12×1×2－12×1×2－12×1×1=32，=,∵AC 边上的高=3122÷. 故本题答案为：D.【小结】本题主要考查了勾股定理、正方形及三角形的面积公式，根据题意求出∵ ABC 的面积及AC 的长是解题的关键.9．如图，A ，B ，C 是正方形网格中的格点（小正方形的顶点），则sin ACB ∠的值为（）A B C ．12 D ．3【答案】A【解析】【分析】设小正方形的边长为1，过点B 作BD∵AC 于D ，过点B 作BF∵AE 于点F ，由勾股定理可求AC ，BC 的长，由三角形的面积公式可求BD 的长，即可求sin∵ACB 的值．设小正方形的边长为1，过点B 作BD∵AC 于D ，过点B 作BF∵AE 于点F ， ∵S ∵ABC =2×7-12×1×3−12×1×7−12×2×4=5，由勾股定理可知：AC=221752+= ，∵12AC•BD=5， ∵BD=2，由勾股定理可知：BC=221310+= ，∵sin∵ACB=BD BC =25510= . 故选：A ．【小结】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是运用面积法求BD 的长．10．如图，ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∵CAB 等于（）A ．12BCD ．2【答案】B【分析】根据题意和图形，可以得到AC 、BC 和AB 的长，然后根据等面积法可以求得CD 的长，从而可以得到sin∵CAB【解析】作CD ∵AB ，交AB 于点D ，由图可得，AC BC ＝2，AB ∵322AB CD BC ⋅⨯=，∵2322CD ⨯=，解得，CD∵sin∵CAB ＝CD AC ==，故选：B ．【小结】本题主要考查三角函数，构造出直角三角形是解题的关键．11．如图，∵ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos∵C ＝（）A ．12B ．2C ．2D 【答案】D【分析】连接BD ，根据图形，可以求得AB 、AD 、DB 的长，然后根据勾股定理的逆定理可以得到∵ADB 时直角三角形，再根据图形，可以得到AC 、BC 的长，即可得到CD 的长，然后即可得到cos∵C 的值．【解析】连接BD ，由图可得，BD ，AD AB ，∵BD 2+AD 2＝AB 2，∵∵ADB 是直角三角形，∵ADB ＝90°，∵AC=AD BC 5=，∵CD ＝，∵cos∵C ＝CD CB =，故选：D ．【小结】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，根据题意得出cos∵C ＝CD CB，是解题的关键． 12．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，ABC ∆是格点三角形，在图中的88⨯正方形网格中，将ABC ∆绕点A 旋转，得到ADE ∆（不含ABC ∆），使得ADE ∆也是格点三角形（同一位置的格点三角形ADE ∆只算一个），这样的格点三角形ADE ∆一共有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】利用勾股定理求出AB=5=AC ，利用旋转角等于∵BAC ，90°，90°+∵BAC ，可得3个∵ADE 即可．【解析】利用勾股定理=5=AC ，以点A 为圆心旋转∵BAC 得∵AD 1E 1，以点A 为圆心旋转90°得∵AD 2E 2，以点A 为圆心旋转90°+∵BAC 得∵AD 3E 3，在网格中将ABC ∆绕点A 旋转，得到ADE ∆共有 3个．故选择：C ．【小结】本题考查三角形全等变换，掌握全等变换的方法，关键利用旋转角等于∵BAC ，90°，90°+∵BAC ． 13．在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 三点均在正方形格点上，则下列结论错误的是（）A ．S ∵ABC ＝10B ．∵BAC ＝90°C ．AB ＝D ．点A 到直线BC 的距离是2【答案】A【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可．A 、S ∵ABC ＝4×4﹣12×3×4﹣12×1×2﹣12×2×4＝5，本选项结论错误，符合题意； B 、∵AC 2＝12+22＝5，AB 2＝22+42＝20，BC 2＝32+42＝25，∵AC 2+AB 2＝BC 2，∵∵BAC ＝90°，本选项结论正确，不符合题意；C 、∵AB 2＝20，∵AB ＝D 、设点A 到直线BC 的距离为h ，则1212×5×h ，解得，h ＝2，本选项结论正确，不符合题意；故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理以及逆定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．熟记勾股定理的内容是解题得关键．14．如图，在四个44⨯的正方形网格中，三角形相似的是（）A ．∵和∵B ．∵和∵C ．∵和∵D ．∵和∵【答案】D【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形的三条边长，然后利用相似三角形的判定方法选择答案即可．【解析】如图∵=2=如图∵==、3如图∵，该三角形的三条边长分别是：2==如图∵，该三角形的三条边长分别是：35．只有图∵中的三角形的三条边与图∵中的三条边对应成比例，故选：D ．【小结】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键．15．在45⨯网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（小正方形的顶点），则下列等式正确的是（）A ．sin 2A =B ．1cos 2A = C ．tan 3A = D ．cos A =【答案】D【分析】本题需要构造出直角三角形，求出A ∠的度数，进而得出结论．【解析】如图将各顶点分别记为D 、E 、F ，连接BC ，由题意可得每个小格是一个正方形，设正方形的边长为1，∵1AF =，1AE =，1DC =，3BF =，2CE =，2BD =，根据勾股定理得：ABAC = BC ==∵2210+=，即 222AC BC AB +=，∵ACB 是直角三角形，且AC BC =，∵ACB 是等腰直角三角形，∵45A ∠=︒，∵cos A =故选：D ．【小结】此题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的相关知识，正确理解题意是解题的关键． 16．如图，在33⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是ABC 的边AC 上的高，则BD 的长为（）A B C D 【答案】D【分析】根据勾股定理计算AC 的长，利用割补法可得∵ABC 的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．【解析】由勾股定理得：AC =∵S ∵ABC ＝3×3−12×1×2−12×1×3−12×2×3＝72， ∵12AC•BD ＝72，＝7，∵BD 故选：D ．【小结】本题考查了勾股定理与三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．17．如图，∵ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∵ACB 的值为（）A ．13B ．35C ．23D ．12【答案】D【分析】根据题意连接BD 可知90ADB ∠=︒，进而利用勾股定理得出BD 和CD ，最后即可得出tan∵ACB 的值．【解析】如图，连接BD ，根据图象可知454590ADB ∠=︒+︒=︒，则有BD CD ====，所以12BD tan ACB CD ∠===．故选：D ．【小结】本题考查网格与勾股定理以及锐角三角函数的定义，注意掌握在直角三角形中，一锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．18．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示（顶点均落在格点上），则cos α的值是（）A．35B．34C．45D．53【答案】C【分析】在直角三角形ABC中，先求解AB的长，再由锐角的余弦的定义直接可得答案．【解析】如图，标注三角形的顶点,,,A B C904,3,ACB AC BC∠=︒==，5,AB∴=由余弦的定义可得：4 cos.5ACABα==故选：.C【小结】本题考查的是余弦的定义，勾股定理的应用，掌握锐角余弦的定义是解题的关键．19．如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，ABC的三个顶点均在格点上，则AB边上的高为（）A B C D 【答案】A【分析】首先，根据勾股定理求得ABC ∆各边的长度；然后，根据勾股定理逆定理推知ABC ∆是直角三角形；最后，根据面积法来求ABC ∆中AB 边上的高．【解析】设ABC ∆中AB 边上的高为h ．210AB ，28AC =，22BC =，222AB AC BC ∴=+，90ACB ∴∠=︒， 1122ABC S BC AC AB h ，即112221022h ．解得，h =．故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算，熟悉相关性质是解题的关键． 20．图中的大正方形是由4个小正方形组成的，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，得到∵ABC ，则AC 边上的高为（）A B C D．2【答案】A【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用网格采取分割法求出三角形ABC的面积，利用面积公式求出AC边上的高即可．【解析】小正方形边长为1，利用网格与勾股定理求得S∵ABC=S正方形ADEF-S∵ADC-S∵CEB-S∵AFB=4-1-12-1=32，设AC边上的高为h，∵13 AC h22=，∵h5=，故选择：A．【小结】本题考查勾股定理，正方形面积，三角形面积，掌握勾股定理以及面积额的求法，会利用面积求三角形的高是解题关键．21．如图，网络中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，则以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置的个数是（）A．6B．5C．4D．3【分析】由勾股定理求出AB=∵当A为顶角顶点时；∵当B为顶角顶点时；∵当C为顶角顶点时；即可得出结果．【解析】由勾股定理得：AB=∵当A为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有1个；∵当B为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有2个；∵当C为顶角顶点时，符合∵ABC为等腰三角形的C点有1个；综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1＋2＋1＝4（个）．故选：C．【小结】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定，分类讨论是解决问题的关键．22．如图，在5×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上．若将∵OAB绕点O逆时针旋转90°，得到∵OA′B′，A、B的对应点分别为A′、B′，则A、B′之间的距离为（）A．B．5C D【答案】C【分析】由旋转的性质作出∵A'OB'，连接AB'，由勾股定理可求解．如图，由旋转的性质作出∵A'OB'，连接AB'，∵每个小正方形的边长均为1，∵AB'=故选：C．【小结】本题考查了旋转的性质，勾股定理，确定点B'的位置是本题的关键．23．雷达通过无线电的方法发现目标并测定它们的空间位置，因此雷达被称为“无线电定位”．现有一款监测km那么能半径为5km的雷达，监测点旳分布情况如图，如果将雷达装置设在Р点，每一个小格的边长为1,被雷达监测到的最远点为（）A．G点B．H点C．M点D．N点【答案】B【分析】根据网格特征结合勾股定理分别求得点P到各点的距离即可判断．【解析】PG=3，PN=4，=，5=>，不在监测范围内，5∵能被雷达监测到的最远点为H点，故选：B．【小结】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．24．如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∵ABC的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．150 °【答案】B【分析】利用勾股定理的逆定理证明∵ACB为等腰直角三角形即可得到∵ABC的度数．【解析】连接AC，由勾股定理得：，∵AC2+BC2=AB2=10，∵∵ABC为等腰直角三角形，∵∵ABC=45°，故选：B．【小结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是根据正方形的性质求出边长，由勾股定理的逆定理判断出等腰直角三角形．25．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，有AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是（）．A ．AB ，CD ，EFB ．AB ，CD ，GHC ．AB ，EF ，GHD ．CD ，EF ，GH【答案】B【分析】先运用勾股定理计算出四条线段的平方，在每个选项中：把三条线段的平方按大小排序．若两个小数之和不等于最大的数，则不能构成直角三角形，该选项错误；若较小的两数之和等于最大的数就能构成直角三角形，该选项正确．【解析】由题意可得222125GH =+=，222228EF =+=，2223425AB =+=，2222420DC =+=，对于A 选项，∵222228EF =+=2223425AB =+=2222420DC =+=20+8≠25∵AB ，CD ，EF 三条线段不能构成直角三角形．对于B 选项，∵222125GH =+=2223425AB =+=2222420DC =+=∵GH ，DC ，AB 三条线段能构成直角三角形．对于C 选项，∵222125GH =+=222228EF =+=2223425AB =+=5+8≠25∵AB ，EF ，GH 三条线段不能构成直角三角形．对于D 选项，∵222125GH =+=222228EF =+=2222420DC =+=5+8≠20∵CD ，EF ，GH 三条线段不能构成直角三角形．综上讨论只有B 选项中三条线段能构成直角三角形．故选：B ．【小结】本题考查勾股定理及其逆定理的应用．运用勾股定理计算长度时，要分清直角边和斜边，计算斜边用平方和，计算直角边用平方差；运用勾股定理的逆定理时，先把三角形三边按大小排序，再看最大边的平方是否等于较小两边的平方和，若相等则构成直角三角形，否则不构成直角三角形．26．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ， B 都是格点，则线段AB 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．2【答案】A【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB 的长度即可．【解析】5AB ==，故选：A ．【小结】本题考查了勾股定理的知识，关键是作出图形使用勾股定理求解．27．如图，网格中所有小正方形的边长均为1，有A 、B 、C 三个格点，则ABC ∠的余弦值为（）A ．12BCD ．2【答案】B【分析】过点B 作BD∵AC 于点D ，过点C 作CE∵AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB ，BC 的长，利用面积法可求出CE 的长，再利用余弦的定义可求出∵ABC 的余弦值．【解析】过点B 作BD∵AC 于点D ，过点C 作CE∵AB 于点E ，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．AB=2232BD AD +=，BC=2210BD CD +=．∵12AC•BD=12AB•CE ，即12×2×3=12•CE ，，=∵cos∵ABC=5BE BC ==．故选：B ．【小结】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE ，BC的长度是解题的关键．28．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A 、B 、C 都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C 、D ，则cos∵ADC 的值为（）A ．13BC ．13D ．23【答案】C【分析】根据圆周角定理得到ADC ABC ∠=∠，再根据余弦的定义计算即可；【解析】由图可知ADC ABC ∠=∠，在Rt∵ABC 中，2AC =，3BC =，∵AB =∵cos∵ADC 3cos13BC ABC AB =∠===；故答案选C ．【小结】本题主要考查了圆周角定理、余弦定理、勾股定理，准确计算是解题的关键．∠的度数为（）29．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则ABCA．45︒B．50︒C．55︒D．60︒【答案】A【分析】由勾股定理及其逆定理可得三角形ABC是等腰直角三角形，从而得到∵ABC 的度数．【解析】如图，连结AC，由题意可得：=====AB AC BC∵AC=BC，222AB AC BC=+，∵∵ABC是等腰直角三角形，∵∵ABC=∵BAC=45°，故选A ．【小结】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的性质是解题关键．30．为准备一次大型实景演出，某旅游区划定了边长为12m的正方形演出区域，并在该区域画出4×4的网格以便演员定位（如图所示），其中O为中心，A，B，C，D是某节目中演员的四个定位点．为增强演出效果，总策划决定在该节目演出过程中增开人工喷泉．喷头位于演出区域东侧，且在中轴线l上与点O相距14m处．该喷泉喷出的水流落地半径最大为10m，为避免演员被喷泉淋湿，需要调整的定位点的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】把此题转化成一个直角坐标系的问题，然后求各点坐标，最后利用勾股定理即可判断.【解析】设喷头在点P ，则A(6，0)，B （3，0）；C （3，3）；D （4.5；1.5）；P （14，0）则AP=14-6=8m<10m ，故A 需调整；BP=14-3=11m>10m ，故B 不需调整；=，不需调整；=<10m ，故D 需调整；故选：B【小结】此题考查了勾股定理的应用，根据坐标系找到相应点的坐标，根据勾股定理计算长度是解答此题的关键. 31．如图，小正方形的边长均为1，A 、B 、C 分别是小正方形的三个顶点，则sin BAC ∠的值为（）A ．12B ．2C ．1 D【答案】B【分析】连接BC ，先根据勾股定理求得AB 、BC 、AC 的长，然后再利用勾股定理逆定理证得ABC ∆是直角三角形，最后根据正弦的定义解答即可【解析】如图：连接BC ，每个小正方形的边长均为1，AB ∴==BC ==AC ==，222AB BC AC +=，ABC ∆∴是直角三角形，sin2BC BAC AC ∴∠=== 故答案为B ．【小结】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及正弦的定义，根据题意证得ABC ∆是直角三角形是解答本题的关键．32．如图，设每个小方格的边长都为1 ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【分析】2，3【解析】2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF故选：D．【小结】本题考查的知识点是勾股定理，找到无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长是解决本题的关键．33．如图，2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则ABC中AB边上的高长为（）A B C D．2【答案】A【分析】首先利用大正方形的面积减去周围三个三角形的面积计算出∵ABC的面积和AB的长，利用三角形面积公式可得答案．【解析】过C作CD∵AB于D，如图：∵2111321211122222ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△，且12ABC S AB CD =⋅△，∵AB == ∵1322AB CD ⋅=，则CD ==，故选：A ．【小结】本题主要考查了勾股定理与网格问题，关键是正确求出三角形面积．34．如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，ABC 和DEF 的顶点都在格点上(小正方形的顶点).1P ，2P ，3P ，4P ，5P 是DEF 边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D 构成的三角形与ABC 相似，所有符合条件的三角形的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】欲求有几个符合条件的三角形与ABC 相似，先利用勾股定理求出ABC 的三边的长度，然后再去求以D ，1P ， 5P 为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论．【解析】根据题意得AC =AB =5BC =. 连接25P P，5DP =2DP =25P P =. 故522AC AB BC DP DP P P ==，∵52ACB DP P .同理可找到24P P D ，54P DP 和ACB △相似.故选B.【小结】本题考查的是相似三角形的判定方法“三边对就成比例，两三角形相似”, 理解题意，会根据勾股定理计算边的长度是关键．35．长和宽分别是19和15矩形内，如图所示放置5个大小相同的正方形，且A 、B 、C 、D 四个顶点分别在矩形的四条边上，则每个小正方形的边长是（）AB ．5.5 CD ．【答案】A【分析】设正方形边长为x ，由EF 与DT 边成的角为θ，PJ 与PC 边成的角为θ，利用θ的正弦值、余弦值表示出矩形的长和宽，进一步求得结论解决问题．【解析】设正方形边长为x ，由EF 与DT 边成的角为θ，PJ 与PC 边成的角为θ，在Rt∵DET、Rt∵POT、Rt∵PHA，Rt∵ABM中，可得EF＝ET+OT+AH+AM＝2x sinθ+3x cosθ＝19, ∵JH＝PJ+PH＝3x cosθ＝15, ∵解得x sinθ＝2，x cosθ＝5；两边平方相加得x2＝29，所以正方形的边长x．故选：A．【小结】此题考查正方形的性质，以及直角三角形中的边角关系，关键是利用函数值表示矩形的长和宽．二、填空题36．如图所示，∵ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD∵AC于点D，则BD的长为____________【答案】3【分析】BD即为∵ABC中AC上的高，利用等面积法即可求得BD．【解析】根据网格可知，BC=5，5AC==，11153=5222ABC S AC BD BD ，解得BD=3，故答案为：3．【小结】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识．掌握等面积法是解题关键．37．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点,,A B C 在小正方形的格点上，连接,AB BC ，则ABC ∠=________．【答案】45【分析】连接,AC 利用勾股定理求解222,,,AB AC BC 证明ABC 为等腰直角三角形，从而可得答案．【解析】如图，连接,AC由勾股定理得：2222222221310,1310,2420,AB AC BC =+==+==+=222,,AB AC AB AC BC ∴=+=ABC ∴为等腰直角三角形，90,BAC ∠=︒45,ABC ∴∠=︒故答案为：45︒,【小结】本题考查的是勾股定理的应用，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．38．如图，点A、点B均在边长为1的正方形网格的格点上，则线段AB的长度_______________3．(填“>”，“=”或“<”)【答案】＜【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】AB==∵(28=，239=，89<，∵3，故答案为：<．【小结】本题考查了勾股定理以及实数的大小比较，熟练掌握勾股定理是解题的关键．39．如图，网格中的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，∵ABC 的三个顶点都在格点上，则AB 边上的高为___________．【答案】65【分析】如图（见解析），先根据网格的特点、勾股定理求出AB 的长，再根据三角形的面积公式即可得．【解析】设AB 边上的高为h如图，由网格的特点得：2,4,3,5AC AD BD AB =====1122ABC S AC BD AB h =⋅=⋅ 1123522h ∴⨯⨯=⨯⋅ 解得65h = 故答案为：65．【小结】本题考查了勾股定理的网格问题，熟记勾股定理是解题关键．40．如图，ABC 在三个顶点均在正方形网格格点上，求AB AC=______．【分析】设正方形网格边长为x ，再根据勾股定理求得AB 、AC 的长度，从而求得其比值即可．【解析】设正方形网格边长为x ，=，=，∵10AB AC ==．．【小结】考查了勾股定理，解决关键是根据勾股定理求出AB 和AC 的值．41．在如图所示的正方形网格中，∵ABC 的三个顶点A 、B 、C 均在格点上，则点C 到AB 的距离为_____．【答案】85【分析】设点C 到AB 的距离为h ，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．【解析】设点C 到AB 的距离为h ，∵AB 5，∵S ∵ABC ＝12×2×4＝12×5×h ，∵h ＝85，故答案为：85．【小结】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．42．如图所示，已知网格中每个小正方形的边长均为1，ABC 的三个顶点均为格点，CD AB ⊥，垂足为D ，则CD =________．【答案】【分析】如图，根据SABC ABG BCF AEC BGEF S S S S =---矩形，12ABC S AB DC =△据此可求．【解析】 115S 5420,448,51222ABG BCF BGEF S S =⨯==⨯⨯==⨯⨯=矩形， 131322AEC S =⨯⨯=△， ABC ABG BCF AEC BGEF S S S S S ∴=---矩形，5320822=---， 8=，Rt ABG A B ===在中，CD AB ⊥，1142822ABC S AB CD CD ∴==⨯=△，CD ∴=，故答案为：【小结】本题考查三角形的面积，解题的关键是明确三角形面积的计算公式，会运用割补法求三角形的面积． 43．如图，已知∵ABC 的3个顶点均在格点上，则tanA 的值为__．【答案】12【分析】如图，连接BD ，根据勾股定理的逆定理得到BD∵AC ，解直角三角形即可得到结论．【解析】如图，连接BD ，根据勾股定理的逆定理得到BD ∵AC ，解直角三角形即可得到结论．如图，连接BD ，∵BC ＝2，BD ，CD∵22222224CD BD BC +=+=+==，∵BD ∵AC ，∵BD AD∵tanA ＝BD AD ＝12，故答案为：12．【小结】本题考查了解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．44．如图，若ABC 与DEF 都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），则DEF 与ABC 的周长比为_________．【分析】设正方形网格的边长为1，根据勾股定理求出∵EFD 、∵ABC 的边长，运用三边对应成比例，则两个三角形相似这一判定定理证明∵EDF ∵∵BAC ，即可解决问题．【解析】设正方形网格的边长为1，由勾股定理得：DE 2＝22+22，EF 2＝22+42，∵DE ＝EF ＝同理可求：AC ，BC ，∵DF ＝2，AB ＝2，∵1EF DE DF BC AB AC ===， ∵∵EDF ∵∵BAC ，∵DEF 与ABC ，．。

中考中的网格题都考些什么？

中考中的网格题都考些什么？一、根据作图分析判断图形之间的位置关系和数量关系【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC和∠CBD的关系．二、利用网格作图【仅用无刻度的直尺作图】2、（2021武汉中考）如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，矩形ABCD的四个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图。

（1）在图（1）中，先在边AB上画点E，使AE＝2BE，使EF平分矩形ABCD的面积；（2）在图（2）中，先画△BCD的高CG，再在边AB上画点H ，使 DH = BH 。

【分析】（1）如图取格点T,连接DT交AB于点E,连接BD,取BD 的中点F,作直线EF即可．（2）取格点M,N,连接MN,交AB于点O , 连接O C交BD于点G, 线段CG即为所求．取如图（2）中所示的小正方形的四个顶点（格点）连接对角线交于点S, 取BD的中点R, 作直线RS交AB于H,连接DH,点H即为所求．【解答】解：（1)如图，直线EF即为所求．（2）如图，线段CG就是所要求作的△BCD的高．3、（2021荆州中考）如图，在5×5的正方形网格图形中，小正方形的边长都为1，线段ED与AD的端点都在网格小正方形的顶点（称为格点）上．请在网格图形中画图：（1）以线段AD为边画正方形ABCD，再以线段DE为斜边画等腰直角三角形DEF，其中顶点F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所画图形基础上，以点B为其中一个顶点画一个新正方形，使新正方形的面积为正方形ABCD和△DEF面积之和，其它顶点也在格点上．4、如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）．（2）如图，点P即为所要求作的点。

勾股定理知识点归纳

勾股定理知识点归纳一、勾股定理的定义如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a²＋b²＝ c²。

这就是勾股定理。

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，是解决直角三角形相关问题的重要工具。

二、勾股定理的证明勾股定理的证明方法有很多种，常见的有以下几种：1、赵爽弦图法通过四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间形成一个小正方形。

大正方形的面积等于小正方形的面积加上四个直角三角形的面积，从而证明勾股定理。

2、毕达哥拉斯证明法以直角三角形的斜边为边长作正方形，再分别以两条直角边为边长作正方形。

通过计算三个正方形的面积关系来证明勾股定理。

3、总统证法通过将直角三角形拼成梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和来证明勾股定理。

三、勾股定理的应用1、已知直角三角形的两条直角边，求斜边例如，一个直角三角形的两条直角边分别为3 和4，根据勾股定理，斜边 c ＝√（3²＋ 4²) ＝ 5 。

2、已知直角三角形的一条直角边和斜边，求另一条直角边比如，直角三角形的斜边为 5，一条直角边为 3，则另一条直角边 b ＝√（5² 3²) ＝ 4 。

3、实际生活中的应用（1）测量问题在无法直接测量某些长度时，可以构建直角三角形，利用勾股定理来计算。

比如测量旗杆的高度，可以在旗杆底部向外量出一段距离，然后测量这段距离以及在这个点观测旗杆顶部的仰角，通过勾股定理计算旗杆高度。

（2）航海问题在航海中，确定船只的位置和航向时，经常会用到勾股定理。

（3）建筑问题在建筑施工中，计算建筑物的高度、角度等也会用到勾股定理。

四、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。

五、勾股数满足 a²＋ b²＝ c²的三个正整数，称为勾股数。

网格问题(中考专题复习)

A. 1 2 2 ; B. 1 ; 4 C. 1 ; 7 D. 1 . 8
பைடு நூலகம்图1
图2
[解析] 题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．在图1中可以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三 9 角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于 2 因此小正方形的面积是大正方形面积的 1 ．选 D． 8
六、利用格点图形探究规律．
【例18】如图,在10×10的正方形网格纸中，线段AB、CD的长均等于5．则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有（）．
A. 2个； B. 3个； C. 4个； D. 5个．
D F C G N A E B M
[解析] 从题目的语气看，似乎要画直线AB与 CD 夹角的平分线，但是网格中没有画出直线AB与CD 的夹角，图形的特殊性就在于 AC//BD，又已知AB=CD，因此四边形ABDC 是等腰梯形，线段BD的垂直平分线就是这个等腰梯形的对称轴．如图，M、N分别为BD、 AC的中点，直线MN上的点到直线AB、CD 的距离相等．恰好点M是格点，以MB为斜边的直角三角形的直角边长为3和1，这样，斜边在直线MN上，直角边为3和1的格点直角三角形有3个，符合题意的点有4个．选C．
【例19】在边长为l的正方形网格中，按下列方式得到“L”形图形第1个“L”形图形的周长是8，第2个“L”形图形的周长是 12，则第n个“L”形图形的周长是_________
① ② ③
① ② ③
图1 图2 [解析] 把图1中“L”形图形的边平移，成为图2中的形状，周长没有变化，规律尽在不言中．第n个“L”形图形的周长是 4(n+1)．

勾股定理中考章节复习知识点+经典题型分析总结)

AB Ca b c弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。

）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）4.命题、定理、证明⑴ 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。

⑵ 命题的分类（按正确、错误与否分）真命题（正确的命题）命题假命题（错误的命题）所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。

所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。

⑶ 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。

⑷ 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。

⑸ 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。

⑹ 证明的一般步骤 ① 根据题意，画出图形。

② 根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

③ 经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

5.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

中考数学总复习知识点专题讲解1---勾股定理证明及勾股数应用

大正方形面积=四个直角三角形面积和+小正方形面积
即： (a + b)2 = 4 × 1 ab + c2 .
2 化简得： a2 + b2 = c2 .
图 3 是由图 2 变化位置而来，证法与图 2 一致.
- 2 - / 15
2. 赵爽弦图证明法（如图 4）
b c
a
图 4 赵爽弦图
证法如下：
大正方形面积=四个直角三角形面积和+小正方形面积
图7
【答案】2
【解析】∵
S 1
=
1π 2
AC 2
2
,
S 2
=
1π 2
AB 2
2
,
S 3
=
1π 243;
S 3
=
1π 2
AB 2 2
+
1π 2
BC 2
2
=
1 2
π
AB2
+ BC2 4
又∵△ABC 为直角三角形
∴ AB2 + BC2 =AC2
∴
S 2
+
S 3
=
1π 2
AC 2 4
- 8 - / 15
图 15
图 16
A.9 B.10
C.11
D.12
【答案】B.
【解析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形 A，B，C，D 的面积
和即为最大正方形的面积．如图 16，根据勾股定理的几何意义，可得 A、B 的面积和为 S1，C、D 的面积和为 S2， S1+S2=S3，于是 S3=2+5+1+2=10. 故选 B．【点睛】发现正方形 A，B，C，D 的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形 A，B，C，D 的面积和是正方形 E 的面积．题 9. 如图 17 所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点 E，F 是中线 AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是 ( )

中考数学专题_网格问题ppt课件

B C
A
A
B
;C
D
3
热点网格中的三角函数
如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为
1
3
B’
B’
C’C’
C
C
B
AA
B
;
4
热点网格中的函数图象
下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图象解方程
5x﹣1=2x+5，其中正确的是（）
情况三:OP的垂直平分线
T; 4
(
5 4
,0)
x 8
[2011·安徽] 如图 X4－2，在边长为 1 个单位长度的小正
方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1 和△A2B2C2； (1)把△ABC 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，得
到△A1B1C1； (2)以图中的 O 为位似中心，将△A1B1C1 作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2.
图 X4－2
;
9
C2
C1 B2
A2
B1
A1
;
10
选一选： ①一切伟大的行动和思想，都有一个微不足道的开始。
②拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种
能力！
③再长的路一步步也能走完，再短的路不迈开双脚也无法到达！ ④争取机会，展现自我，相信自我，永不放弃！
;
11
如图所示的象棋盘上，若
位于点（1，－2）上，位于点（3，－2）上，
A
;
5
热点网格中一元二次方程的应用
如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰

中考数学复习微专题：勾股定理的几种简单应用

勾股定理的几种简单应用勾般定理是数学中一个重要的定理之一，是解决有关直角三角形问题的有效途径，也是沟通几何与代数的一个重要桥梁，它的应用十分广泛.现举几例，供同学们赏析.一、勾股定理在网格中的应用例1已知正方形的边长为1，(1)如图a .①分别求出图(b)，(c)，(d)中对角线的长 .②九个小正方形排成一排，对角线的长度(用含n 的式子表示)为 .分析借助于网格，构造直角三角形，直接利用勾股定理.解二、勾般定理在最短距离中的应用例2 如图，已知C 是SB 的中点，圆锥的母线长为10cm ，侧面展开图是一个半圆，A 处有一只蜗牛想吃到C 处的食物，它只能沿圆锥曲面爬行.请你求出蜗牛爬行的最短路程. 分析在求解几何图形两点间最短距离的问题时，将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，展开过程中必须要弄清楚所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中的相应位置.解该圆锥表面展开图如图所示.根据两点之间线段最短，线段AC 的长即为蜗牛爬行的最短路程.10AS cm =，52AS CS cm ==，90ASC ∠=︒. 在Rt ASC 中，90ASC ∠=︒，22210025125AC AS CS =+=+=,AS ∴=答:蜗牛爬行的最短路程为.点评在求立体几何图形的问题时，一般是通过平面展开图，将其转化成平面图形间题，然后求解.三、勾股定理在生活中的应用例3 如图，学校有一块长方形花园，有较少数同学为了避开拐角走“捷径”，在校园内走出了一条“路”.请同学们算一算，其实这些同学仅仅少走多少步路，却踩伤了花草.(假设1步为0.5m )分析把走“捷径”路长求出，就可以算出少走几步路.解原来走的路长437AB BC m =+=+=.在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒,222224325AC AB BC =+=+=.5AC ∴=.即走“捷径”路长为5m ，少走了752m -=.点评走“捷径”问题为出发点是常遇到情况，在考查勾股定理的同时，融入了环保教育:少走几步路，就可以留下一片期待的绿色.四、勾股定理在实际生活中的应用例4 小华想知道自家门前小河的宽度，于是按以下办法测出了如下数据:小华在河岸边选取点A ，在点A 的对岸选取一个参照点C ，测得30CAD ∠=︒，小华沿河岸向前走30m 选取点B ，并测得60CBD ∠=︒.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小华计算小河的宽度.分析先根据题意画出示意图，过点C 作CE AD ⊥于点E ，设BE x =，则在Rt ACE 中，可得出CE ，利用等腰三角形的性质可得出BC ，继而在Rt BCE 中，利用勾股定理可求出x 的值，也可得出CE 的长度.解过点C 作CE AD ⊥于点.由题意可得:30AB =，30CAD ∠=︒，60CBD ∠=︒.30ACB CAB ∴∠=∠=︒，30BA AB ∴==.设BE x =，在Rt BCE 中，可得CE =. 又222BC BE CE =+，即229003x x =+，15x ∴=，CE ∴=答:小华自家门前的小河的宽度为.点评此题考查直角三角形的应用，解答本题的关键在于画出示意图，将问题转化为解直角三角形的问题.。

中考数学复习：专题4-12 网格中的勾股定理

专题12 网格中的勾股定理【专题综述】网格题型是近几年的常考题型，也是近期各地中考考试的一个热点。

正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。

【方法解读】一、面积问题例1 如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD的面积比是（）A、3：4B、5：8C、9：16D、1：2【举一反三】如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为，面积为．【来源】山东省青岛市第四中学八年级数学上册：1.1探索勾股定理同步练习二、长度问题例2 如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（）A 、a ＜b ＜cB 、c ＜a ＜bC 、c ＜b ＜aD 、b ＜a ＜c【举一反三】勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦。

我国西汉《周髀算经》中周公与商高对话中涉及勾股定理，所以这个定理也有人称商高定理，勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的。

我们知道，可以用一个数表示数轴上的一个点，而每个数在数轴上也有一个点与之对应。

现在把这个数轴叫做x 轴，同时，增加一个垂直于x 轴的数轴，叫做y 轴，如下图。

这样，我们可以用一组数对来表示平面上的一个点，同时，平面上的一个点也可以用一组数对来表示，比如下图中A 点的位置可以表示为（2，3），而数对（2，3）所对应的点即为A 。

若平面上的点M ()11,x y ，N ()22,x y ，我们定义点M 、N 在x 轴方向上的距离为： 12x x -，点M 、N 在y 轴方向上的距离为： 12y y -。

勾股定理知识点及应用

勾股定理知识点及应用稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊勾股定理，这可是数学里超酷的一部分哦！啥是勾股定理呢？其实很简单啦，就是说在一个直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

比如说，有个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4，那斜边就得是 5 哦，因为 3 的平方加上 4 的平方，就等于 5 的平方，是不是还挺有趣的？那勾股定理能用来干啥呢？用处可多啦！比如咱要盖房子，工人师傅就得用它来算算房梁的长度合不合适。

要是去野外玩耍，迷路了想知道两点之间的距离，也能靠它来帮忙。

还有哦，勾股定理在数学考试里也是经常出现的大明星！做题的时候，只要看到直角三角形，就得马上想到勾股定理，说不定就能轻松拿下难题，得个高分呢！而且啊，勾股定理不只是在数学里有用，在生活里也到处都有它的影子。

像装修房子算尺寸，做个架子要确定长度，都离不开它。

所以说，勾股定理就像是我们的小，能帮我们解决好多好多的问题。

小伙伴们，你们记住它了吗？稿子二：哈喽呀！今天来和大家讲讲勾股定理，准备好一起探索啦！你知道吗？勾股定理就像是数学世界里的一把神奇钥匙。

它说的是，只要有个直角三角形，那两条直角边长度的平方加起来，就和斜边长度的平方一样。

举个例子哈，一个直角三角形，直角边是 6 和 8，那斜边肯定就是 10 啦。

这是不是很神奇？那它能怎么用呢？比如说你想在院子里搭个秋千，就得先算算绳子要多长，这时候勾股定理就能派上用场。

还有哦，工程师叔叔建大桥的时候，也得靠它来保证桥的结构稳固。

咱们平时做数学作业，遇到那种求三角形边长的题目，只要发现是直角三角形，马上用勾股定理，答案一下子就出来啦。

而且呀，勾股定理还能让我们变得更聪明呢！通过它，我们学会了思考和解决问题，脑子转得越来越快。

不管是在学校还是生活中，勾股定理都在默默地帮助我们。

怎么样，是不是觉得它特别厉害？。

网格中的勾股定理.doc

网格中的勾股定理正方形网格中的每一个角都是直角，所以在正方形网格中的计算都可以归结为求任意两个格点之间的长度问题，一般情况下都是设每一个小正方形的边长为1，然后应用勾股定理来进行计算。

一、面积问题例1、如图1所示，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是（）A 、3：4B 、5：8C 、9：16D 、1：2分析：可以设每一个小正方形的边长为1，则正方形ABCD 的面积就是4×4=16，小正方形的边长应该是直角三角形DEF 的斜边，另外两条直角边长度分别是1和3，根据勾股定理可以求出EF=10，所以小正方形的面积就是2)10(=10。

所以阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积比是10：16=5：8。

解：选择B 。

二、长度问题例2、如图2所示，在△ABC 中，三边a 、b 、c 的大小关系是（）A 、a ＜b ＜cB 、c ＜a ＜bC 、c ＜b ＜aD 、b ＜a ＜c分析：两个正数比较大小，可以按照下面的方法进行：如果a ＞0，b ＞0，并且 a ＞b ，那么a ＞b 。

可以设每一个小正方形的边长为1，在直角三角形BDC 中，根据勾股定理可以求出斜边a 2=10，通力可以求出b 2=5，c 2=13，因为b 2＜a 2＜c 2，所以b ＜a ＜c 。

解：选择D 。

图4PK G F E D B CA E 图1 c b aB FEDC A 图2 C''B''A''C'B'A'B C A 图3三、三角形形状问题例3、如图3所示为一个6×6的网格，在△ABC、△A’B’C’、△A’’B’’C’’三个三角形中，直角三角形有（）A、3个B、2个C、1个D以上都不对分析：要想判断是否为直角三角形，本题中可以根据勾股定理的逆定理来进行判断，前提条件是先求出三角形的三边的平方。