第二章测度论的知识要点与复习自测

第二章 测度论的知识要点与复习自测

一、Lebesgue 外测度的知识要点：

◇ 熟练掌握Lebesgue 外测度的定义和外测度的基本性质（包括基本性质：非负性、单调性、次可数可加性；Lebesgue 外测度的特有性质：距离分离性）；

◇ 会用定义或性质求一些典型集合的外测度（例如：n R 中至多可数集，区间，Cantor （三分）集，黎曼可积函数（特别是连续函数）图象等的外测度）；

◇ 特别注意零测集的含义和性质【如n R 中的任何集合并上零测集或减去零测集外侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】。

自测题：

1、叙述n R 中Lebesgue 外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：

（1）设n n Q R ⊂为有理点集，计算*n m Q 0=； （2）设n R E ⊂为至多可数集，计算*m 0E =；

（3）设n ,R E F ⊂，*m 0E =，则()()***m m m \F E F F E ⋃==。 2、据理说明下面的结论是否成立：设n R E ⊂， （1）若E 为有界集，则*m E <+∞； （2）若*m E <+∞，则E 为有界集； （3）若*m E =+∞，则E 为无界集； （4）若E 为无界集，则*m E =+∞。

3、设n R I ⊂为区间，证明：*m I I =，其中I 表示I 的体积（注意I 分有界和无界两种情况来证明）；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：

（1）设1[0,1]R P ⊂⊂为三分Cantor 集，则*m 0P =；（注意三分Cantor 集的构造）

（2）设()f x 为定义在1[,]R a b ⊂上的黎曼可积函数，

{}2()(,)(),[,]R p G f x y y f x x a b ==∈⊂，

()f x 在[,]a b 的图像，则*m ()0p G f =；（注意黎曼可积的充要条件的使用）

（3）设n R E ⊂有内点，则*m 0E >；

（4）（外侧度的介值性）设1R E ⊂为有界集，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，存在1E E ⊂，使得，*1m E c =；（注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值

性）

（5）（外侧度的介值性的一般形式）设1R E ⊂，*m 0E >，则对任意*0m c E ≤≤，

存在1E E ⊂，使得，*1m E c =。（注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）

二、Lebesgue 可测集的知识要点：

◇ 熟练掌握Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C.Caratheodory 定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的A E ⊂和c B E ⊂，总有()***m A B m A m B ⋃=+），会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等）；

◇ 熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断集合的可测性；

◇ 记{}R n E E ℑ=⊂是可测集，则2c c ℑ=>，其中c 为连续基数；

◇ 熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在证明中所起的作用；

◇ 熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是n R 中的可测集） （1）设1E ，2E ，L ，m E 为互不相交的可测集，则

1

1

m m m

m

i i i i E E ==⋃=∑（有限可加性）；

设1E ，2E ，L ，m E 为可测集（注意没有互不相交的要求），则

1

1

m m m

m

i i i i E E ==⋃≤∑（次有限可加性）。

（2）设1E ，2E ，L ，k E ，L 为互不相交的可测集，则

1

1

m m k k k k E E ∞

∞

==⋃=∑（可数可加性）；

设1E ，2E ，L ，k E ，L 为可测集列（注意没有互不相交的要求），则

1

1

m m k k k k E E ∞

∞

==⋃≤∑（次可数可加性）。

（3）差集测度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）

设E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则

① m m(\)m G G E E =+；

②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。 设E 和G 都是可测集，则

① m m(\)m G G E E ≤+；

②当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。

（4）单调可测集列测度的极限性（注意思考成立的条件）

设{}k E 为单调递增的可测集列，则

()

1m lim m lim m k

k k k k k E E E ∞→∞

=→∞

⎛⎫

=⋃= ⎪⎝⎭；

设{}k E 为单调递减的可测集列，且存在0k E ，使得0m k E <+∞，则

()

1

m lim m lim m k k k k k k E E E ∞

→∞

=→∞

=⋂=。

（5）一般可测集列测度的极限性

设{}k E 为可测集列，则

①m lim lim m()lim m k k k k i k

k k E E E ∞

→∞

=→∞

→∞

=⋂≤（关于测度的Fatou 定理【入不敷出】）；

②若存在k 0，使得0

m i i k E ∞

=⋃<+∞，则

mlim lim m()lim m k k k k k i k

k E E E ∞

→∞

→∞

=→∞

=⋃≥；

③若lim k k E E →∞

=存在，且存在k 0，使得0m k E <+∞，则lim m k k E →∞

存在，且

lim m m k k E E →∞

=。

（6）【可测集的直积的可测性及测度的计算公式】设p A R ⊂为可测集，q B R ⊂为可测集，则A B ⨯为p+q R 上的可测集，且

m(A B)=mA mB ⨯⋅。

自测题：

1、证明下面的差集测度或外侧度的关系（注意思考：条件“m E <+∞”的作用）

设n ,R E G ⊂

（1）若E 和G 都是可测集，且E G ⊂，则

① m m(\)m G G E E =+；

② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E =-。

（2）若E 和G 都是可测集，则

① m m(\)m G G E E ≤+；

② 当m E <+∞时，m(\)m m G E G E ≥-。

（3）若E 和G 不是可测集，则

① ***m m (\)m G G E E ≤+；

② 当*m E <+∞时，***m (\)m m G E G E ≥-。

2、利用1和可测集的性质证明：