高三数学整理解排列组合应用问题的十种思考方法
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“解排列、组合应用问题”的思维方法
一、优先考虑: 对有特殊元素(即被限制的元素)或特殊位置(被限制的位置)的排列,通常是先排特殊元素或特殊位置,再考虑其它的元素或其它的位置。
例1.(1)由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。
(2) 由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 个。
(3) 5个人排成一排,其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有 种。
二、“捆”在一起:有要求元素相邻(即连排)的排列问题,可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列,然后“整体”内部再进行排列。
例2.(1) 有3位老师、4名学生排成一排照相,其中老师必须在一起的排法共有 种。
(2) 有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有 种。
三、插空档:有要求元素不相邻(即间隔排)的排列问题,可以制造空档插空。
例3.(1)五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排,任两台电视机不靠在一起,有 种陈列方法。
(2)6名男生6名女生排成一排,要求男女相间的排法有 种。
四、减去特殊情况(即逆向思考):先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数,然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。
例4.(1)以正方体的顶点为顶点的四面体共有 个。
(2) 由0、1、2、3、4、可以组成 个无重复数字的三位数。
(3)集合A 有8个元素,集合B 有7个元素,B A 有4个元素,集合C 有3个元素且满足下列条件: B C A C B A C ,,的集合C 有几个。
(4)从6名短跑运动员中选4人参加4 100米的接力赛,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少种参赛方案?
五、先组后排:排列、组合综合题,通常都是先考虑组合后考虑排列。
例5(1)用1、2、3、 9这九个数字,能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有 个。
(2)有8本不同的书,从中取出6本,奖给5位数学优胜者,规定第一名(仅一人)得2本,
其它每人一本,则共有种不同的奖法。
(3)有五项工作,四个人来完成且每人至少做一项,共有种分配方法。
六、除以排列数:对某些元素有顺序限制的排列,可以先不考虑顺序限制排列后,再除去规定
顺序元素个数的全排列。
例6(1)有4名学生和3位老师排成一排照相,规定两端不排老师且老师顺序固定不变,那么不同的排法有种。
(2)由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字,十位数字小于百位数字,则这样的数共有个。
(3)书架上放有5本书(1~5册),现在要再插入3本书,保持原有的相对顺序不变,有种放法。
七、对象互调:有些排列或组合题直接就题论题很难入手,但换个角度去考虑便顺利求得结果
又易理解。
例7.(1)一部电影在四个单位轮放,每单位放映一场,可以有种放映次序。
(2)一排有8个座位,3人去坐,要求每人左右两边都有空位的坐法有种。
(3)有6个座位3人去坐,要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。
八、分情况研究:分情况研究(即分类计算)复杂的排列、组合综合题,常常通过画简图、按
元素的性质“分类”;按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果,尤其对含数字“0”的排列,常分“有0”及“无0”两种情况研究,在“有0”时,排列的“首位”
又是“特殊”位置要优先考虑。
例8.(1)从编号为了1、2、3 9的九个球中任取4个球,使它们的编号之和为奇数,再把这四个球排成一排,共有多少种不同的排法?
(2)用0、1、2、3 9这十个数字组成五位数,其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个?
(3)用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中,若按从小到大的顺序排列23140是第几个数?
排列与组合(思考方法1~8训练)
一.优先考虑
1.现有6名同学站成一排:
(1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法?
(2)甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法?
,2,1,0,5组成无重复数字的5位数,共可以组成多少个?
2.用4,3
二.插空
3.有6名同学站成一排:甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法?
4.有4男4女排成一排,要求(1)女的互不相邻有种排法;(2)男女相间有种排法。
三.捆在一起
5.由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数,其中2、3必须排在一起,4、5不能排在一起,则不同的5位数共有_________个。
6.有2位老师和6名学生排成一排,使两位老师之间有三名学生,这样的排法共有种。四.逆向思考
7.某小组有6名同学,现从中选出3人去参观展览,至少有1名女生入选时的不同选法有16种,则小组中的女生数为________。
8.6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法?
五.先组后排
9.有4名学生参加3相不同的小组活动,每组至少一人,有种参加方式。10.从两个集合 4,3,2,1和 7,6,5中各取两个元素组成一个四位数,可组成个数。六.除以排列数
11.书架上放有6本书,现在要再插入3本书,保持原有的相对顺序不变,有种放法。12.9人(个子长短不同)排队照相,要求中间的最高,两旁依次从高到矮共有种排法。七.对象互调:
13.某人射击8枪命中4枪,这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是。
14.三个人坐在一排7个座位上,
(1)若3个人中间没有空位,有种坐法。
(2)若4个空位中恰有3个空位连在一起,有种坐法。
八.分情况(即分类)
,2,1,0组成无重复数字的5位数,若按从小到大的顺序排列,则数12340是第_____ 15.用4,3
个数。
16.某车间有8名会车工或钳工的工人,其中6人会车工,5人会钳工,现从这些工人中选出2人分别干车工和钳工,问不同的选法有多少种?
九.和、整除、倍数、约数问题。