行程问题解题技巧

行程问题解题技巧

行程问题

在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。

行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。

相遇问题

两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。

相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间

基本公式有：

两地距离=速度和×相遇时间

相遇时间=两地距离÷速度和

速度和=两地距离÷相遇时间

二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有：

第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。

相离问题

两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。

解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。

基本公式有：

两地距离=速度和×相离时间

相离时间=两地距离÷速度和

速度和=两地距离÷相离时间

相遇（相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程

在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。

追及问题

两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，

经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

基本公式有：

追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间

速度差×追及时间=追及（或领先）的路程

追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差

要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。常用公式：

行程问题基本恒等关系式：速度×时间=路程，即S=vt.

行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比；

时间一定的情况下，路程和速度成正比；

速度一定的情况下，路程和时间成正比。

相遇追及问题中符号法则：相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。

流水行船问题中符号法则：促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。

行程问题常用比例关系式：路程比=速度比×时间比，即S

1/S

2

=v

1

/v

2

×t

1/

t

2

电梯运行规律：能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×顺电梯运动所需时间能看到的电梯级数=（人速—电梯速度）×逆电梯运动所需时间

2v

1v 2

往返运动问题核心公式：往返平均速度= ------- (其中v

1和v

2

分别表示往返的速

度)

v

1+v

2

3S

1+S

2

两次相遇问题核心公式：单岸型S= -------；两岸型 S=3S

1-S

2

（S表示两岸的距

离）

2

相向而行：相遇时间=距离÷速度之和

相背而行：相背距离=速度之和×时间

注意：同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。

环形运动的追击问题和相遇问题：若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈；若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。

解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。

对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。

分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。

理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。

（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的

At+bt=s t=s/a+b S甲=a*t=a*s/a+b S乙=b*t=b*s/a+b

封闭路线中的行程问题

解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度×时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。

封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。

直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。

每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。

流水行船问题

顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。

已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系：

船速：在静水中的速度

水速：河流中水流动的速度

顺水船速：船在顺水航行时的速度

逆水速度：船在逆水航行时的速度

船速+水速=顺水船速

船速－水速=逆水船速

（顺水船速+逆水船速）÷2=船速