追及和避碰问题

追及和避碰问题

宜城一中

赵世勇

两个物体同时在同一条直线上（或互相平行的直线上）做直线运动，可能相遇或碰撞，这一类问题称为“追及和相遇”问题。

“追及和相遇”问题的特点：

（1）有两个相关联的物体同时在运动。

（2）“追上”或“相遇”时两物体同时到达空间同一位置。

“追及和相遇”问题解题的关键是：

准确分析两个物体的运动过程，找出两个物体运动的三个关系：（1）时间关系（大多数情况下，两个物体的运动时间相同，有时运动时间也有先后）。（2）位移关系。（3）速度关系。

在“追及和相遇”问题中，要抓住临界状态：速度相同

．．．．。速度相同时，两物体间距离最小或最大。如果开始前面物体速度大，后面物体速度小，则两个物体间距离越来越大，当速度相同时，距离最大；如果开始前面物体速度小，后面物体速度大，则两个物体间距离越来越小，当速度相同时，距离最小。

[例1]：一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求：汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

[解析]：[方法一]：临界状态法

由于汽车的速度小于自行车的速度，汽车与自行车之间的距离越来

越大；当汽车的速度大于自行车的速度以后，汽车与自行车之间的距离便开始缩小，很显然，当汽车的速度与自行车的速度相等时，两车之间的距离最大。设经时间t 两车之间的距离最大。则

v 汽 =a t = v 自 ∴ t =

a

v 自=36s=2s

ΔS m = S 自 - S 汽 = v 自t - 2

1a t 2 =6×2m -2

1×3×22m =6m

[探究]：汽车经过多少时间能追上摩托车?此时汽车的速度是多大?汽车运动的位移又是多大？

[方法二]：图象法

在同一个V-t 图象中画出自行车和汽车的速度-时间图线，如图所示。其中Ⅰ表示自行车的速度图线，Ⅱ表示汽车的速度图线，自行车的位移S 自等于图线Ⅰ与

时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移S

汽

则等于图线Ⅱ与时间轴围成的三角形的面

积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当t =t 0时矩形与三角形的面积之差最大。

此时v 汽 =a t 0 = v 自

t 0 =

a

v 自=36s=2s

ΔS m =2

1t 0×v 自=2

1×2×6m=6m

[方法三]：二次函数极值法

设经过时间t 汽车和自行车之间的距离ΔS ，则 ΔS = S 自 - S 汽 = v 自t - 21at 2 =6t -23t 2

=-2

3 (t-2)2

+6

当t=2s 时两车之间的距离有最大值ΔS m ，且ΔS m =6m. ※[方法四]：相对运动法

选自行车为参照物，则从开始运动到两车相距最远这段过程中，以汽车相对地面的运动方向为正方向，汽车相对此参照物的各个物理量的分别为：v 0 = -6m/s ，a = 3 m/s 2

， v t = 0

对汽车由公式 2a S = v t 2

- v o 2

得

S m =

a

v v t 22

2-=

3

2)6(02

⨯--m =-6m

[例2]、当汽车B在汽车A前方7m时，A正以v A=4m/s的速度向右做匀速直线运动，而汽车B此时速度v B=10m/s，向右做匀减速直线运动，加速度大小为a=2m/s2.此时开始计时，则A追上B需要的时间是多少？

[解析]设B 车运动的时间为t 0,则0

1052

B v t s s

a

=

=

=

在5s 内，B 车的位移0105252

2

B B

v t s

m m

⨯=

=

=

A 车的位移s A =v A t 0=4×5m=20m

设A 车需要再经t 1追上B 车，根据两车的位移关系，有

01B A A s s s v t +-=

vAt=vBt-at2/2+s 0+25-20)/4=3s 0172520

34

B A

A

s s s t s s

v +-+-=

==

A 追上

B 需要的时间 t 0+t 1=(5+3)s=8s [答案]8s

s 0=7m

s B

s A

v A t 1

[例3]、火车以速度v1匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距x处有另一火车沿同方向以速度v2(对地，且v1＞v2)做匀速运动，司机立即以加速度a紧急刹车，要使两车不相撞，a应满足什么条件?

解析：后车刹车后虽做匀减速运动，但在其速度减小至与v 2相等之前，两车的距离仍将逐渐减小；当后车速度减小至小于前车速度后，两车距离将逐渐增大。可见，当两车速度相等时，两车距离最近。若后车减速的加速度过小，则会出现后车速度减为与前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为与前车速度相等时仍未追上前车，就不会发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度。

解法一：设经时间t ，恰追上而不相撞，则

v 1t -2

1a o t 2=v 2t +x

v 1-a o t =v 2

解之可得x

v v a

o

2)

(2

12-=

所以当x

v v a

o

2)

(2

12-≥

时，两车不会相

撞。