数理方程—横向纵向振动问题、波动方程
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波动方程定解条件IV
弦的一端固定在原点,另一端与 x 轴上 L 处的弹簧相 接.受到扰动,作上下微小横振动。 在右端点处(张力=弹性力) : Tux= -Ku
令 =T/K, 得[u + ux]x=L=0
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t u | x 0 0, [u x u] x L 0, 0 t u( x ,0) 0, u ( x ,0) 0, 0 x L t
数学物理方程
弦的横向振动问题 细杆的纵向振动问题 波动方程的定解条件
Leabharlann Baidu
物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等 领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。 物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各 阶导数与自变量的关系。
单摆的数学模型:
d 2 mL 2 mg sin dt
12/16
波动方程定解条件III
u(L,t) O L
细杆在 x = 0 点固定, 在 x = L 处受外力 F(t) 作用
utt F (t ) SYux ( L , t )
F(t) – SY ux( L , t ) = 0 ux
x L
F (t ) / SY
utt a 2 uxx , 0 x L, 0 t u | x 0 0, ux x L F ( t ) / SY , 0 t 0 x L u( x ,0) 0, ut ( x ,0) 0,
牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 虎克定律: (1) f = –k x; f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长 (2) p = Y ux; Y—杨氏模量; ux—弹性体相对伸长
二元函数:
u = u(x, t )
u( x x , t ) u( x ) lim 一阶偏导数: ux ( x , t ) x 0 x
习题 2.1（P.22）1、2、3、4
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思考题
1. 弦振动和简谐振动的数学模型有何区别？
2. 弦的横振动和杆的纵振动的数学模型中位移函数 u(x, t )有何不同？
3. 举一个实例简述第二类边界条件的物理背景
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偏微分方程定解条件小结:
第一种情况: 初始条件( 求解区域为无界区域 ) 第二种情况: 初边值条件(求解区域为有界区域) I. 第一类边界条件: 给定函数在边界上的函数值
II. 第二类边界条件: 给定函数在边界上的导数值 III. 第三类边界条件: 给定函数在边界上的函数值和 导数值的线性组合
设细弦上各点线密 度为 ρ, 细弦上质点 之间相互作用力为 张力T(x，t)
O
u
T2
T1 x
ds
ρgds x
x+dx
水平合力为零
T2 cos 2－T1 cos 1 = 0 T2≈T1≈T
cos 1≈cos 2 ≈1
铅直合力: F=m a T( sin 2－sin 1) = ρds utt sin 1 ≈tan 1 T( tan 2－tan 1) = ρds utt
x
tan 2
x
x x
几何意义——曲线曲率近似
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弦的横向振动问题
一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端 沿 x 轴拉紧固定在 x 轴上的 L 处，受到扰动，开 始沿 x 轴(平衡位置)作微小横振动(细弦线上各 点运动方向垂直于x 轴).试建立细弦线上任意点位移 函数 u(x,t) 所满足的规律 .
几何意义——曲线的切线斜率
u( x x , t ) u( x , t )
x
ˆ
u( x x, t ) u( x, t )
x x
x
u( x x , t ) u( x ) x 0 u x ( x , t ) x x 0 ˆ tan ux ( x, t ) tan
细杆的纵向振动问题
u(x,t) O x
u(x+dx,t) x+dx L
均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的 一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动 (沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t) 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y ux Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。 T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t 0 t u(0, t ) 0, u( L, t ) 0, u( x ,0) 0, u ( x ,0) ( x ), 0 x L t
I /(2 ), L / 2 x L / 2 ( x) other 0,
utt = a2 uxx
2 2u u 2 a 2 t x 2
令 a2 = Y/。化简，得 或
弦振动问题定解条件
细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初始 条件包括初始位移和初始速度 边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态
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二阶偏导数 utt 物理意义——物体运动加速度
二阶偏导数:
u x ( x x , t ) u x ( x , t ) u xx ( x , t ) lim x 0 x tan 2 tan 1 u xx ( x , t ) lim x 0 x
tan1
T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds utt
d s≈ dx utt= a2 uxx
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
其中 utt = a2 uxx
T
a2
一维波动方程:
考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维 波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)
SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
用牛顿第二定律
SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = S dxutt
由
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) uxx ( x , t ) dx
0 x L/ 2 2hx / L, ( x) 2h( L x ) / L, L / 2 x L
u h O
L/2
L
x
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波动方程定解条件II
细弦的线密度为,一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.弦的中点受到垂直于 x 轴方向的冲量 I 的作用,作微小横振动。函数 u(x,t) 表示位移
u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或: u(0,t)=0, u(L,t)=0
初始条件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x)
或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x)
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波动方程定解条件I
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t u(0, t ) 0, u( L, t ) 0, 0 t u( x ,0) ( x ), u ( x ,0) 0, 0 x L t
波动方程定解条件IV
弦的一端固定在原点,另一端与 x 轴上 L 处的弹簧相 接.受到扰动,作上下微小横振动。 在右端点处(张力=弹性力) : Tux= -Ku
令 =T/K, 得[u + ux]x=L=0
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t u | x 0 0, [u x u] x L 0, 0 t u( x ,0) 0, u ( x ,0) 0, 0 x L t
数学物理方程
弦的横向振动问题 细杆的纵向振动问题 波动方程的定解条件
Leabharlann Baidu
物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等 领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。 物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各 阶导数与自变量的关系。
单摆的数学模型:
d 2 mL 2 mg sin dt
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波动方程定解条件III
u(L,t) O L
细杆在 x = 0 点固定, 在 x = L 处受外力 F(t) 作用
utt F (t ) SYux ( L , t )
F(t) – SY ux( L , t ) = 0 ux
x L
F (t ) / SY
utt a 2 uxx , 0 x L, 0 t u | x 0 0, ux x L F ( t ) / SY , 0 t 0 x L u( x ,0) 0, ut ( x ,0) 0,
牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 虎克定律: (1) f = –k x; f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长 (2) p = Y ux; Y—杨氏模量; ux—弹性体相对伸长
二元函数:
u = u(x, t )
u( x x , t ) u( x ) lim 一阶偏导数: ux ( x , t ) x 0 x
习题 2.1（P.22）1、2、3、4
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思考题
1. 弦振动和简谐振动的数学模型有何区别？
2. 弦的横振动和杆的纵振动的数学模型中位移函数 u(x, t )有何不同？
3. 举一个实例简述第二类边界条件的物理背景
16/16
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偏微分方程定解条件小结:
第一种情况: 初始条件( 求解区域为无界区域 ) 第二种情况: 初边值条件(求解区域为有界区域) I. 第一类边界条件: 给定函数在边界上的函数值
II. 第二类边界条件: 给定函数在边界上的导数值 III. 第三类边界条件: 给定函数在边界上的函数值和 导数值的线性组合
设细弦上各点线密 度为 ρ, 细弦上质点 之间相互作用力为 张力T(x，t)
O
u
T2
T1 x
ds
ρgds x
x+dx
水平合力为零
T2 cos 2－T1 cos 1 = 0 T2≈T1≈T
cos 1≈cos 2 ≈1
铅直合力: F=m a T( sin 2－sin 1) = ρds utt sin 1 ≈tan 1 T( tan 2－tan 1) = ρds utt
x
tan 2
x
x x
几何意义——曲线曲率近似
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弦的横向振动问题
一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端 沿 x 轴拉紧固定在 x 轴上的 L 处，受到扰动，开 始沿 x 轴(平衡位置)作微小横振动(细弦线上各 点运动方向垂直于x 轴).试建立细弦线上任意点位移 函数 u(x,t) 所满足的规律 .
几何意义——曲线的切线斜率
u( x x , t ) u( x , t )
x
ˆ
u( x x, t ) u( x, t )
x x
x
u( x x , t ) u( x ) x 0 u x ( x , t ) x x 0 ˆ tan ux ( x, t ) tan
细杆的纵向振动问题
u(x,t) O x
u(x+dx,t) x+dx L
均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的 一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动 (沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t) 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y ux Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。 T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t 0 t u(0, t ) 0, u( L, t ) 0, u( x ,0) 0, u ( x ,0) ( x ), 0 x L t
I /(2 ), L / 2 x L / 2 ( x) other 0,
utt = a2 uxx
2 2u u 2 a 2 t x 2
令 a2 = Y/。化简，得 或
弦振动问题定解条件
细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初始 条件包括初始位移和初始速度 边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态
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二阶偏导数 utt 物理意义——物体运动加速度
二阶偏导数:
u x ( x x , t ) u x ( x , t ) u xx ( x , t ) lim x 0 x tan 2 tan 1 u xx ( x , t ) lim x 0 x
tan1
T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds utt
d s≈ dx utt= a2 uxx
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
其中 utt = a2 uxx
T
a2
一维波动方程:
考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维 波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)
SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
用牛顿第二定律
SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = S dxutt
由
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) uxx ( x , t ) dx
0 x L/ 2 2hx / L, ( x) 2h( L x ) / L, L / 2 x L
u h O
L/2
L
x
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波动方程定解条件II
细弦的线密度为,一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.弦的中点受到垂直于 x 轴方向的冲量 I 的作用,作微小横振动。函数 u(x,t) 表示位移
u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或: u(0,t)=0, u(L,t)=0
初始条件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x)
或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x)
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波动方程定解条件I
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t u(0, t ) 0, u( L, t ) 0, 0 t u( x ,0) ( x ), u ( x ,0) 0, 0 x L t