数理方程—横向纵向振动问题、波动方程
大学物理波动方程
4
波线: 沿波的传播方向作的 有方向的线。 波前: 在某一时刻，波传播 到的最前面的波面。
波面 波线
波面
波线
球面波 z
波面
x
y
波线
平面波
柱面波
5
注意 在各向同性均匀介质中，波线⊥波面。
三、波长
周期
频率和波速
波长（） : 同一波线上相邻两个相位差为 2 的质点之间
的距离；即波源作一次完全振动，波前进的距离 。波长反映了波的空间周期性。
T 4s
2m
u 0.5 m s 1
2 rad s 1 T 2 y0 0.5 cos( t ) t=0原点0: 2 2 2
20
例 一平面简谐波沿x轴正方向传播，已知其波函数为
y 0.04 cos (50t 0.10 x) m
1
横波 波的传播方向 质点的振动方向 特点：具有波峰和波谷 纵波 波的传播方向 质点振动方向 特点：具有疏密相间的区域
下面以横波为例观察波的形成过程
2
t 0
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
静止
T t 4
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13
振动状态 传至4
T t 2
1 2
t1 时刻x1 处的振动状态经Δt 时间传播到x1+Δx 处，则
可得到
x1 x1 x (t1 ) (t1 t ) u u x u t
x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] u x y ( x, t ) A cos[2π (t ) 0 ] t x y ( x, t ) A cos[2π ( ) 0 ] T
数理方程__波动方程的分析
数学与物理方程——波动方程的分析波动方程的分析摘要: 波动方程是一个二阶线性偏微分方程。
解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。
在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。
关键词: 波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数 1引言波动方程也可叫做波方程。
它是一种重要的偏微分方程，通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。
波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究过，其中包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。
2波动方程的导出(1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。
(2)波动方程等号两边分别是未知量y 对变量t 和对变量x 的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。
之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。
(3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。
如果1u 和2u 都是波动方程的解，即以下两式成立2122212xu atu ∂∂=∂∂ （1）2222222xu atu ∂∂=∂∂ （2）将以上两式相加，得()()221222212xu u atu u ∂+∂=∂+∂（3）这表示，21u u +也是波动方程的解。
21u u +表示两列波的叠加。
所以说，线性的波动方程从理论上保证了波动满足叠加原理。
(4)胡克定律表示，在比例极限以内，应力与应变满足线性关系。
在比例极限之内的应变必定是幅度很小的形变，这就是说，满足上述波动方程的波，一定是振幅很小的波，当这样的波传来时，所引起的介质各部分的形变也是很小的。
数理方程-波动方程的导出
地震波传播规律的研究中，波动方程发挥了重要作用 。
电磁波传播
在研究电磁波传播时，波动方程用于描述电磁场的变 化规律。
波动方程的数学表达形式
01
一维波动方程
一维波动方程是描述一维空间中波动现象的基本方程，形 式为 $frac{partial^2 u}{partial t^2} = c^2 frac{partial^2 u}{partial x^2}$。
03
CATALOGUE
波动方程的物理意义
波动方程的物理背景
波动现象
波动方程是描述波动现象的基本数学工具，如声波、光波、水波等。
波动方程的导出
基于物理定律和数学推导，将实际问题抽象为数学模型，进而得到波动方程。
波动方程的物理应用
声学研究
波动方程在声学研究中用于描述声波传播规律，如声 速、声压等。
从而模拟声波的传播过程。
水波传播的模拟
要点一
总结词
波动方程也可以用来描述水波的传播规律，通过求解波动 方程可以得到水波的传播速度、振幅和相位等信息。
要点二
详细描述
水波是一种常见的波动现象，其传播规律可以用波动方程 来描述。在水波传播的模拟中，我们需要考虑水的密度、 弹性模量、阻尼系数等参数，以及水波的频率、振幅、波 长等特征。通过求解波动方程，我们可以得到水波在介质 中的传播速度、振幅和相位等信息，从而模拟水波的传播 过程。
波动方程的应用实例
声波传播的模拟
总结词
波动方程可以用来描述声波在介质中的传播 规律，通过求解波动方程可以得到声波的传 播速度、振幅和相位等信息。
详细描述
声波是一种波动现象，其传播规律可以用波 动方程来描述。在声波传播的模拟中，我们 需要考虑介质的密度、弹性模量、阻尼系数 等参数，以及声波的频率、振幅、波长等特 征。通过求解波动方程，我们可以得到声波 在介质中的传播速度、振幅和相位等信息，
数理方程第2章波动方程
π
2π sin x,"" l
kπ 2 π 1,cos l x, cos x,""cos l l
π
x,"
是[0, l]上的正交函数列
⎧l , m=n≠0 ⎪ l mπ nπ ⎪2 = cos cos ∫0 l x l xdx ⎨ l m = n = 0 ⎪ ⎪ ⎩0 m≠n
17
例：
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 = , t > 0, 0 < x < l a ⎪ ∂t 2 2 ∂x ⎪ ⎪ u (0, t ) = u ( l , t ) = 0, ⎨ ⎪ u ( x , 0) = x ( l − x ), ⎪ 2π x ⎪ u t ( x , 0) = sin l ⎩
kπ X k ( x) = Bk sin x l
所以定解问题的级数形式解为
u ( x, t ) = ∑ X k ( x)Tk (t )
k =1
kπ a kπ a ⎞ kπ ⎛ t + bk sin t ⎟ sin x = ∑ ⎜ ak cos l l ⎠ l k =1 ⎝ ak =Bk Ck ,bk =Bk Dk .
8π at 8π x u ( x, t ) = 3cos sin sin + 5 cos l l l l
π at
πx
23
• 其它边界条件的混合问题
2 ⎧ ∂ 2u u ∂ 2 x ∈ (0, l ), t > 0 ⎪ ∂t 2 = a ∂x 2 , ⎪ ⎪ ⎨u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = ψ ( x), x ∈ [0, l ] ⎪u (0, t ) = u (l , t ) = 0, t≥0 x x ⎪ ⎪ ⎩
第一章----波动方程
求解动力学弹道的目
的是为了得到
x, y,v
三个参数，以便对射 程、导引方法及燃料 添置等方案进行选择
其中 P,Q,Y,, g 分别表示发动机的推力，气体阻力，升力（飞行速度、飞
行高度、导弹外形等因素确定），推力与速度的夹角在垂 直平面上的投影，重力加速度
m 导弹质量 x 飞行路程
练习：
求解下列二阶偏微分方程
uxy 0
复习：
牛顿运动定律、质量守恒定律、
动量守恒定律、热量守恒定律等基本的 物理定律？
冲量、动量等概念？
本学期（数学物理方程）学习的基本内容：
一、三类数理方程（弦振动方程、热传导方程 和调和方程)定解问题的
1、适定性 2、基本求解方法 3、解的性质等 二、二阶线性偏微分方程的分类 注：弦振动方程也叫波动方程
一般步骤（从宇宙探星谈起）： 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。
四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念
1、存在性 2、唯一性 3、稳定性
如果一个定解问题的解是存在的、 唯一的，而且是稳定的，则称该定 解问题是适定的。
五、微分方程的重要作用
可以说有了微积分，就有了微分方程 （微积分是17世纪为了解决物理、力学、 天体问题而产生的，而这些问题多为数学 物理方程）。
v 导弹速度 (t) 弹道倾角 y 飞行高度 mc 推进剂秒流量
2、金融数学（金融工程期权定价模型）
在基于股票的衍生证券市场上，欧式买入期权的行使办法是：
在到期日 ，当T 股票价格
X
S（T 行X 使价格）时，则按
欧式卖出期权的行使办法是：在到期日 T ，当股票价格 ST X （行使价格）时，则按 X 卖出股票，否则不行使期权。
第一章----波动方程
t
x y
y
c2H
其中 h 平均海平面下水深； 海平面相对平均海平面的高度； H h 总水深； u,v 垂直平均流速的 x, y 分量
几乎所有学科：分子扩散过程、激光诱导DNA分子动
力学模型、桥梁工程设计中的力学振动问题、流体力学、 量子力学、生物人口模型、最优控制论等等
上与x轴垂直的方向为 u轴。以 u( x, t )表
示弦上点x 在时刻t 垂直于x 轴方向的位移
对于弦的微小振动，可设倾角（弦上一点的切线和横轴
的夹角） 很小。即假定
sin ,cos 1,tan
在这种假设下，有：
（1）弦的伸长可忽略不计
ds (dx)2 (du)2 1 ( du)2 dx dx
x
x
T[u( x x, t) u( x, t)]
x
x
从而在时段该合力产生的冲量为
tt u( x x, t ) u( x, t )
t T[ x
]dt
x
由动量守恒定律可得
tt u( x x, t ) u( x, t )
T[
t
x
x ]dt =
xx [u( x, t t ) u( x, t )]dx
x
t
t
tt
xx 2u( x, t )
T
dxdt
x x
tt 2u( x, t) dtdx
t
x
x2
x
t
t 2
(1.1)
即
tt t
xx 2u( x, t) x T x2 dxdt
沿杆长方向的位移
胡克（
Hook）定律：
第三章波动方程
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gradru errersine
对于球面u只 纵存 波 r方在 ， 向位 上 u只 移 ， (是 r,t)的 即函数 u， u0 则
u rer u rrr
拉普拉斯算子：
2u
1 r2
r
(r2
ur )r
s1in(sin1r u
)r29;1(tV rp)rr
➢ 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 >> 1/r）
1
rr
up4r2Vp 2 1(tVp)r
26
3.3 地震波的动力学特点
▪ 在近震源区域，质点振动规律（波 函数）主要与震源函数 (t)有关；而 在远震源区域，质点振动主要与震 源函数的导数 '(t)有关。
2u
2
u u 0
1 r2
(2r
ur2 r
2u r2 )
2u 2
r2
r
u r
15
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 t21V P 2 2 r210
1r
可用达朗贝尔法 解r得：c(tr )c(tr )
1
数理方程重点总结
X (0) A 0 B 1 0
断 言: B 0， 于 是 有
u
u
0,
0 (2)
x x0
x xl
X ( x) A sin x
又 由 边 界 条 件u
0， 得
x xl
sin l 0
于 是 ， 得 到 空 间 变 量 问题 的 本 征 值
l n
或
n
( n l
)2
(n 1,2,3,)
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
可 以 由 两 个 边 界 条 件 唯一 地 被 确 定 。
例如 f (x) x
W (x)
1 6a 2
x3
C1 x C2
W (0) M1
M1 C2
W (l) M2
l3 M2 6a2 C1l M1
据此，得到W ( x) 的解
C1
M2
M1
l3 6a 2
l
M2
l
M1
l2 6a 2
X X 0
(1)
u x
0 , u
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
X ( x) A sin x B cos x
X ( x) A sin x B cos x
第一章_波动方程
假定有垂直于x轴方向的外力存在，并设其线密度为F(x,t)，则 弦段(x, x+Δx)上的外力为：
x x
x
F ( x ,t) dx
它在时间段(t, t+Δt)内的冲量为：
t x
t t x x
F ( x , t ) dx dt
数学物理方程
第一章 波动方程
于是有：
2 2 u ( x , t ) u ( x , t ) [ 2 T F ( x , t )] dx dt 0 2 t x t x t t x x
数学物理方程
第一章 波动方程
回 答 下 列 方 程 是 线 性、 的非 线 性 的 ？ 齐 次 非次 齐？ 阶 数 ？
(1)
4u
4
x x y y u u ( 2)u xy 0 x x
2u
2
2
4u
2 2
4u
4
0
四阶线性齐次 一阶非线性，拟线性的 二阶线性齐次的 二阶线性非齐次的 三阶非线性
要在区域 ( 0 x l ,t 0 )上（见右上图）求上述定解问题的解，就是
要求这样的连续函数u(x, t) ，它在区域0<x<l,t>0中满足波动方程(2.1)；在x 轴上的区间[0,l]上满足初始条件(2.2)；并在边界x=0和x=l上满足边界条件 (2.3)和 (2.4)。 一般称形如(2.3)和(2.4)的边界条件为第一类边界条件，也叫狄利克雷 （Dirichlet）边界条件。
非均匀弦的强迫横振动方程
一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述： 弹性杆的纵向振动 管道中气体小扰动的传播 ………等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象， 而是一类问题。
波动方程和振动方程的表达式(3篇)
第1篇一、波动方程波动方程是描述波动在连续介质中传播的偏微分方程。
常见的波动方程有弦振动方程、声波方程、光波方程等。
以下列举几种常见的波动方程及其表达式：1. 弦振动方程弦振动方程描述了弦在受到外力作用下的振动规律。
假设弦的线密度为λ，张力为T，弦上某点的位移为y(x,t)，则弦振动方程可表示为：∂²y/∂t² = (T/λ)∂²y/∂x²其中，x表示弦的长度，t表示时间，y(x,t)表示弦上某点的位移。
2. 声波方程声波方程描述了声波在介质中的传播规律。
假设介质的密度为ρ，声速为c，声波在介质中的波动函数为p(x,t)，则声波方程可表示为：∂²p/∂t² = c²∂²p/∂x²其中，x表示声波传播的距离，t表示时间，p(x,t)表示声波在介质中的波动函数。
3. 光波方程光波方程描述了光波在介质中的传播规律。
假设光波在介质中的波动函数为E(x,t)，介质的折射率为n，则光波方程可表示为：∂²E/∂t² = (n²/c²)∂²E/∂x²其中，x表示光波传播的距离，t表示时间，E(x,t)表示光波在介质中的波动函数。
二、振动方程振动方程描述了物体在受到外力作用下的振动规律。
常见的振动方程有单摆运动方程、弹簧振动方程等。
以下列举几种常见的振动方程及其表达式：1. 单摆运动方程单摆运动方程描述了单摆在重力作用下的振动规律。
假设单摆的摆长为L，摆球质量为m，摆球偏离平衡位置的角度为θ，则单摆运动方程可表示为：mL²θ'' = -mgLsinθ其中，θ'表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的导数，θ''表示摆球偏离平衡位置的角度对时间的二阶导数。
2. 弹簧振动方程弹簧振动方程描述了弹簧在受到外力作用下的振动规律。
假设弹簧的劲度系数为k，弹簧的位移为x，则弹簧振动方程可表示为：mω²x = -kx其中，ω表示弹簧振动的角频率，m表示弹簧的质量。
数理方程第一章答案
第一章． 波动方程§1 方程的导出。
定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程()⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。
证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ∆。
现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。
在时刻t 这段杆两端的坐标分别为：),();,(t x x u x x t x u x ∆++∆++其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u xxt x u x t x x u x x x ∆+=∆∆-+-∆++∆+θ令→∆x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。
由虎克定律，张力),(t x T 等于),()(),(t x u x E t x T x =其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。
设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ∆+两端的力分别为x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(∆+∆+).,(t x x ∆+于是得运动方程 tt u x x s x ⋅∆⋅)()(ρxESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-∆+∆+利用微分中值定理，消去x ∆，再令0→∆x 得ux s x )()(ρx∂∂=xESu()若=)(x s 常量，则得22)(tu x ∂∂ρ=))((xu x E x∂∂∂∂即得所证。
2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。
解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力xu x E t l T ∂∂=)(),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为xu ∂∂|l x ==0同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu ∂∂∣00==x(3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。
数学物理方程第二章(波动)
T T '，与x位置无关
纵向： sin T 'sin ' gds f 0 ds ma T 其中： cos 1 cos ' 1
y
M'
u ( x, t ) sin tan x u ( x dx, t ) sin ' tan ' x m ds
分析与假设：
1)柔软的细弦：弦上的任意一点仅有的张力且沿弦的切线方向。 2)拉紧：指弦线在弹性范围内，服从虎克定律。 3)横振动：指振动只有沿u轴方向的位移，可用u(x,t)表示。
u 1 x
4)微小：指弦上各点位移与弦长相比很小，夹角很小，即
数学物理方程
第二章 波动方程
用微元法及牛顿运动定律推导：
数学物理方程
第二章 波动方程
第二章 波动方程
§1 §2 §3 §4 §5 方程的导出及其定解条件 一维波动方程的初值问题 半无界弦的自由振动问题 高维波动方程的初值问题 混合问题的分离变量法
数学物理方程
第二章 波动方程
§1、方程的导出及其定解条件
一、弦的自由振动方程的建立
问题：均匀柔软且拉紧的细弦， 在平衡位置附近作微小横振动， 求不同时刻弦线的形状。
2 u ( x, t ) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx f 0 dx t 2 dx x x
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) 其中： dx x 2 dx x x x x
u ( x,0) af1( x) af 2( x) ( x) t 1 x 积分得： f1 ( x) f 2 ( x) ( )d C a 0 1 1 x C 1 1 x C f 1 ( x) ( x) ( )d f 2 ( x) ( x) ( )d 2 2a 0 2 2 2a 0 2 1 1 x at C 1 1 x at C u ( x at) 0 ( )d 2 2 ( x at) 2a 0 ( )d 2 2 2a 1 1 x at u ( x at ) ( x at ) xat ( )d 2 2a 一维波动方程的达朗贝尔公式
波动方程
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
首先假设，在原点处有振动y=f(t)，振动以速度v向x轴正方向传播，则t时刻x处的振动方程是
即x处的振动比原点处慢x/v。
这样我们就得到了沿x轴正方向传播的波函数一般形式
从波函数出发，可以推导出波动方程的一般形式。
令u=t-x/v
对时间的一阶偏导数
二阶偏导数
对坐标的一阶偏导数
二阶偏导数
可以很容易得到波函数时空变化关系，即波动方程
移相后就得到常见的波动方程
满足这方程的波，可以从特征式里面得出传播速度v。
麦克斯韦计算电磁波的传播速度就用到了上面的式子。
弦振动方程是在18世纪由达朗贝尔（d'Alembert）等人首先系统研究的，它是一大类偏微分方程的典型代表。
教学要求了解横波、纵波、波面、波前、平面波、波线、波动方程的推导
教学要求了解横波、纵波、波面、波前、平面波、波线、波动方程的推导；了解机械波产生的条件应力、体变模量、扬氏模量、切变模量。
理解波源、机械波、波速、波长、频率、波动方程。
掌握平面简谐波波函数的物理意义。
6.1 机械波的形成和传播6.1.1 机械波产生的条件机械波的产生，一是要有做机械振动的物体，即波源；二是具有弹性介质。
具体说，组成弹性介质的各质点之间都以弹性力相互作用着，一旦某质点（波源）离开其平衡位置，这就发生了形变，于是一方面，邻近质点对它施加弹性回复力，使它回到平衡位置，并在平衡位置附近振动起来；另一方面根据牛顿第三定律，这个质点也将对邻近质点施加弹性力，迫使邻近质点也在自己的平衡位置附近振动起来。
这样，振动就由近及远地传播开去，形成了波动。
6.1.2 横波 纵波根据介质中各点的振动方向与波的传播方向的关系，机械波可以分为横波和纵波两类：介质中质点的振动方向与波的传播方向相垂直称为横波。
如绳波就是横波。
介质中质点的振动方向与波的传播方向相平行称为纵波。
如声波就是纵波。
无论是横波还是纵波，它们都只是振动状态的传播，弹性介质中各质点仅在它们各自的平衡位置附近振动，并没有随波前进。
一般而言，介质中质点的振动情况是很复杂的，由此产生的波也很复杂。
例如水面上传播的水面波，水质点既有上下振动，也有前后运动，因此既不是纯粹的横波，也不是纯粹的纵波。
这种运动的复杂性，是由于液面上液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果。
但任何复杂的波都可以分解为横波和纵波来研究。
问题6-1 如图6-1为一纵波在某一时刻的波形图，波的传播方向如图所示。
在图上标注出质点d c b a 、、、的实际位置。
abd图6-1 问题6-1图u6.1.3 波面 波线波线和波面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念。
从波源沿各传播方向所画的带箭头的线，称为波线，用以表示波的传播路径和传播方向。
波在传播过程中，所有振动相位相同的点连成的面，称为波面。
数理方程—横向纵向振动问题、波动方程
u(xx,t) u( x, t )
ˆ u (x x ,t)u (x ,t)
x
x
xx
u (x x ,x t)u (x) x 0 u x(x,t)
tanˆ x 0ux(x,t)tan
3/16
二阶偏导数 u tt 物理意义——物体运动加速度
T( tan 2－tan 1) = ρds utt
T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds utt
ds≈dx
T ux(xd,d xt)x ux(x,t)utt
utt= a2 uxx
其中
T a2
一维波动方程: utt = a2 uxx
考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维 波动方程的非齐次形式
utt = a2 uxx + f(x, t)
细杆的纵向振动问题
u(x,t) u(x+dx,t)
O
x x+dx L
均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的
一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动
(沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t)
细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y ux Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。
由
ux(xd,d tx ) xux(x,t)ux(xx,t)
令 a2 = Y/。化简，得 utt = a2 uxx
或
2u t2
a2
2u x2
弦振动问题定解条件
细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初始 条件包括初始位移和初始速度 边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态
第三章波动方程
(1.15)
的解，则有
w(t, x; ti, ∆ti) = ∆tiw(t, x; ti).
(1.16)
于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n
n
t
u(t, x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x; ti, ∆ti)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x;
ti)∆ti
=
w(t, x; τ )dτ.
于f (ti, x)
=
F
(ti, ρ
x)
(这里F
(ti,
x)表示外力，而ρ是密度函数)，所以在时间段∆ti
内非齐
次项所产生的速度改变是为f (ti, x)∆ti。我们把这个速度改变量看作是在时刻ti时的初
3
始速度，它所产生的振动可以由下面的具有非齐初始条件的齐次方程的Cauchy问题来
描述
wtt − c2wxx = 0,
ξ − x = −c(τ − t)
-
0
ξ
图 1.1. 三角形区域Ω
上面我们用两种方法得到了Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解的表达式(1.19)式。它究竟是 否确实是Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解呢？这一点还需要按照解的定义进行验证。
我们假设f ∈ C1。由(1.19)式可知，
于是，有
为了求解Cauchy问题(1.1)-(1.2)，我们引入
wtt − c2wxx = 0,
(1.3)
t = τ : w = 0, wt = f (τ, x).
记Cauchy问题(1.3)-(1.4)的解为
w = w(t, x; τ ),
1波动方程
t x y = A cos2π + T λ
x y = A cos 2π ν t + λ 2π x y = A cos[ 2πν t +]
Tu = λ
1 ν= T
y
λ
ut
0 x X
T=λ/u=0.4/20=0.02s y(0,0)=0 v0>0 初位相为 φ= -π/2 2π 2πx π y = Acos( t + ) λ 2 T
F
y
0.04m
u
0.2m 0.4m
X
= 4 ×10 2 cos(100πt + 5πx π 2)m 17
因为: 因为: = y = y( x, t ) = Aω sin[ω (t + x ) + 0 ] v u t 所以 v = y = y ( x, t ) = 12.6 cos(100πt + 5πx)(m / s ) t 显然与波速u=20m/s 不同. 不同. 显然与波速 上例中条件是已知t=0时刻的波动方程 时刻的波动方程. 上例中条件是已知 时刻的波动方程. 如果t=0时 波源 波源x=0点的振动方程为: 点的振动方程为: 如果 时,波源 点的振动方程为
19
三,波函数的物理意义
1.振动方程与波动方程的区别 振动方程与波动方程的区别
x = A cos(ωt + )
振动方程是时间 t 的函 数 波动方程是坐标 x 和时间 t 的函数, 的函数,表示的是参与波 动的一系列的质点任意时 刻的振动位移. 刻的振动位移.
x o
x = f (t )
t
y = f ( x ,t )
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6
四,波阵面,波射线,波前 波阵面,波射线,
1-3 波动光学方法及波动方程
)
(
)
(
) (
)
(1-3-18b) 它的复杂性不仅在于方程的非齐次 性，还在于 E z 和 H z 之间存在耦合 ，必须联立求解。这意味着 ．．． ．． 既使对于很简单的折射率分布规律，要想得到解析解也是极其困难的。因此，一般都避免利用矢量 波动方程求解（虽然它是“精确”的）。 幸运的是：当式（1-3-18）中的 ∇ t ln n 项可以忽略的弱导近似 (这正是通信用光波导通常满 ．．．．
r r E(ξ, η, z, t ) = e(ξ, η, z )e jωt = E(ξ, η)e jωt e − jβz r r H(ξ, η, z, t ) = h(ξ, η, z )e jωt = H (ξ, η)e jωt e − jβz
(1-3-1a)
ˆ H (ξ, η) = H t + H z z
(1-3-9b)
由于在一般柱形坐标系中，笛卡尔坐标分量 E z 和 H z 满足标量波动方程,特别易于求解；再利用式 （1-3-4）或式（1-3-6）和式（1-3-8），即可得到场的横向分量。 纵横关系还有另一方面：考虑到无损光波导中 n 为实数，由式（1-3-4）和式（1-3-5）可知： 如果我们选择 E z 、 H z 为实数，则 E t 、 H t 必为虚数；反之亦然。这在物理上意味着场的纵向分 量与横向分量的最大的值在时间上差 ，在空间上差 。对于一个沿±z 传播的波来 ．．．． 1/4 ． ． ．周期 ．． ．．．． 1/4 ． ． ．波长 ．． 说，是再自然也不过了。 二、空间逆转关系 对于沿-Z 方向传播的波，β将变为-β。为了使 E t × H t 变换方向, E t 或 H t 中的一个必须变 号。由式（1-3-4）或式（1-3-5）可知， 这包含着两种可能性：
数理方程第一章-3讲解
a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
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知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变 形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量 定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模 量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变 能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在 力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝 单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是 金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
深圳大学电子科学与技术学院
例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静 止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）
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几何意义——曲线的切线斜率
u( x x , t ) u( x , t )
x
ˆ
u( x x, t ) u( x, t )
x x
x
u( x x , t ) u( x ) x 0 u x ( x , t ) x x 0 ˆ tan ux ( x, t ) tan
0 x L/ 2 2hx / L, ( x) 2h( L x ) / L, L / 2 x L
u h O
L/2
L
x
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波动方程定解条件II
细弦的线密度为,一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.弦的中点受到垂直于 x 轴方向的冲量 I 的作用,作微小横振动。函数 u(x,t) 表示位移
SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ]
用牛顿第二定律
SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = S dxutt
由
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) uxx ( x , t ) dx
数学物理方程
弦的横向振动问题 细杆的纵向振动问题 波动方程的定解条件
物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等 领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。 物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各 阶导数与自变量的关系。
单摆的数学模型:
d 2 mL 2 mg sin dt
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偏微分方程定解条件小结:
第一种情况: 初始条件( 求解区域为无界区域 ) 第二种情况: 初边值条件(求解区域为有界区域) I. 第一类边界条件: 给定函数在边界上的函数值
II. 第二类边界条件: 给定函数在边界上的导数值 III. 第三类边界条件: 给定函数在边界上的函数值和 导数值的线性组合
设细弦上各点线密 度为 ρ, 细弦上质点 之间相互作用力为 张力T(x，t)
O
u
T2
T1 x
ds
ρgds x
x+dx
水平合力为零
T2 cos 2－T1 cos 1 = 0 T2≈T1≈T
cos 1≈cos 2 ≈1
铅直合力: F=m a T( sin 2－sin 1) = ρds utt sin 1 ≈tan 1 T( tan 2－tan 1) = ρds utt
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二阶偏导数 utt 物理意义——物体运动加速度
二阶偏导数:
u x ( x x , t ) u x ( x , t ) u xx ( x , t ) lim x 0 x tan 2 tan 1 u xx ( x , t ) lim x 0 x
tan1
utt = a2 uxx
2 2u u 2 a 2 t x 2
令 a2 = Y/。化简，得 或
弦振动问题定解条件
细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初始 条件包括初始位移和初始速度 边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t 0 t u(0, t ) 0, u( L, t ) 0, u( x ,0) 0, u ( x ,0) ( x ), 0 x L t
I /(2 ), L / 2 x L / 2 ( x) other 0,
习题 2.1（P.22）1、2、3、4
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思考题
1. 弦振动和简谐振动的数学模型有何区别？
2. 弦的横振动和杆的纵振动的数学模型中位移函数 u(x, t )有何不同？
3. 举一个实例简述第二类边界条件的物理背景
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波动方程定解条件III
u(L,t) O L
细杆在 x = 0 点固定, 在 x = L 处受外力 F(t) 作用
utt F (t ) SYux ( L , t )
F(t) – SY ux( L , t ) = 0 ux
x L
F (t ) / SY
utt a 2 uxx , 0 x L, 0 t u | x 0 0, ux x L F ( t ) / SY , 0 t 0 x L u( x ,0) 0, ut ( x ,0) 0,
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波动方程定解条件IV
弦的一端固定在原点,另一端与 x 轴上 L 处的弹簧相 接.受到扰动,作上下微小横振动。 在右端点处(张力=弹性力) : Tux= -Ku
令 =T/K, 得[u + ux]x=L=0
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t u | x 0 0, [u x u] x L 0, 0 t u( x ,0) 0, u ( x ,0) 0, 0 x L t
u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或: u(0,t)=0, u(L,t)=0
初始条件: u(x,t)|t=0= (x), ut(x,t)|t=0=g(x)
或: u(x,0)= (x) , ut(x,0)=g(x)
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波动方程定解条件I
utt a 2 u xx , 0 x L, 0 t u(0, t ) 0, u( L, t ) 0, 0 t u( x ,0) ( x ), u ( x ,0) 0, 0 x L t
T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds utt
d s≈ dx utt= a2 uxx
T ux ( x dx, t ) ux ( x , t ) utt dx
其中 utt = a2 uxx
T
a2
一维波动方程:
考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维 波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t)
x
tan 2
x
x x
几何意义——曲线曲率近似
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弦的横向振动问题
一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端 沿 x 轴拉紧固定在 x 轴上的 L 处，受到扰动，开 始沿 x 轴(平衡位置)作微小横振动(细弦线上各 点运动方向垂直于x 轴).试建立细弦线上任意点位移 函数 u(x,t) 所满足的规律 .
牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 虎克定律: (1) f = –k x; f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长 (2) p = Y ux; Y—杨氏模量; ux—弹性u( x x , t ) u( x ) lim 一阶偏导数: ux ( x , t ) x 0 x
细杆的纵向振动问题
u(x,t) O x
u(x+dx,t) x+dx L
均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的 一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动 (沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t) 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y ux Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。 T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t)