电子科大数理方程期末试题
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电子科技大学2009年研究生试题
一、(10分)化下面方程为标准形并写出其通解。
31030xx xy yy u u u ++=
二、(10分) 求下面固有值问题：
(0)0,()0
X X X X l λ''+=⎧⎨
''==⎩
三、(15分) 已知一矩形薄板上下两面绝热，板的两边(x=0, x=a) 始终保持零度，另外两边(y=0,y=b)的温度分别为()
g x。求板内稳恒状态下的温度分布(用分离变量
f x与()
法求解)。
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四、(15分) 求下面定解问题：
2
,(,0)
(,0),(,0)sin tt xx t u a u x at x t u x x u x x ⎧-=+-∞<<+∞>⎪⎨
==⎪⎩
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五、(1)、（8分）求函数()f x 的傅立叶变换：
sin ,()0,t t f t t ππ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩
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(2)、(7分) 求证：
2
sin ,sin sin 210,t t t d t π
π
ϖπϖϖϖπ
+∞
⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩
⎰
六、(10分)、求证：()
1
()(())t
L f d L f s
τττ=⎰
，其中L 是拉普拉斯变换。
七、(10分)、写出上半空间的Dirichlets问题对应的Green函数及其积分表达式。Word 资料
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八、(10分)、用母函数证明整数阶Bessel 函数的加法公式：
()()()n k
n k k J x y J
x J y +∞
-=-∞
+=
∑
九、(5分)、计算[]1
3
1
5()I P x x dx +-=
+⎰。
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电子科技大学2010年研究生试卷
1．化方程230xx xy yy u u u +-=为标准形并写出其通解. (10分)
2. 求下面固有值问题：(10分)
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()()0
(0)0,()0
X x X x X X l λ''+=⎧⎨
'==⎩ .
3．求稳恒状态下由直线10,x x l ==与20,y y l ==围成的矩形板内各点的温度分布。已知10,x x l ==及0y =三边温度保持零度，而2y l =边上温度为()x ϕ，其中(0)0ϕ=，
1()0l ϕ=.(20分)
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4．求下面的定解问题：（15分）
0sin ,(,0)
0,sin tt xx t t t u u t x x R t u u x ==-=∈>⎧⎪⎨
==⎪⎩.
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5
．求证2
22214F e x a t a t ω---⎡⎤=⎣⎦，其中1F ()-∙表示Fourior 逆变换.（15分）
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6．求1225s L s s -⎛⎫ ⎪-+⎝⎭
，其中1L -为Laplace 逆变换.（10分）
7．写出平面的第一象限的Dirichlets问题对应的Green函数及其定解问题.（10分）Word 资料
8．计算4
1()
x J x dx
.（10分）
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电子科技大学2011年研究生试卷
1．化方程2220xx xy yy x y x u xyu y u xu yu ++++=为标准形. (10分)
2. 把定解问题：(10分)
212(0)(0,)(),(,)()
(,0)(),(,0)(),(0)tt xx x x t u a u x l u t h t u l t h t u x x u x x x l ϕψ⎧=<<⎪==⎨⎪==<<⎩
的非齐次边界条件化为齐次边界条件.
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3．有一带状的均匀薄板(0x a ≤≤,0y ≤<+∞), 边界0y =上的温度为0u ，其余边界上
的温度保持零度，并且当y →+∞时，温度极限为零. 求解板的稳定温度分布. (用分离
变量法求解).(20分)
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4．求下面的定解问题：（10分）
0090,(,0)0,sin tt xx t t t u u x R t u u x
==-=∈>⎧⎪⎨==⎪⎩.
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5．求()21,1(),()0,1
x x F f x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，其中()F ⋅表示Fourior 变换.（10分）
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6．求()2(),()sin(),03
L f t f t t t π=-
≥，其中()L ⋅为Laplace 变换.（10分）
7．写出球形域的Dirichlets问题对应的Green函数及其定解问题.（10分）Word 资料
.
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8．证明：
()10d ()()d xJ x xJ x x =.（10分）
9．（1）写出Legendre 方程和Legendre 多项式；
（2）将函数()23,1f x x x =+≤用Legendre 多项式展开.（10分）