天津大学研究生课程-数理方程试题

一． 判断题（每题2分）.

1. 2u u x y x y x

∂∂+=∂∂∂是非线性偏微分方程.( ) 2. 绝对可积函数一定可做Fourier 积分变化.( )

3. ()(1) 1.n n F x n Legendre F =是次正交多项式， 则 ( )

4. (,)0xy f x y =的解是调和函数.( )

5. **12u u 已知,是线性偏微分方程(,)xx yy u u f x y +=的解，则**12u u -是0u ∆= 的解.( )

二． 填空题（每题2分）.

1. ()sin t xx yy u u u xt -+= 是____________型偏微分方程.

2. 内部无热源的半径为R 的圆形薄板,内部稳态温度分布，当边界上温度为()t φ时，试建立方程的定解问题________________________.

3. 2x 的Legendre 正交多项式的分解形式为__________________.

4.某无界弦做自由振动,此弦的初始位移为()x φ,初始速度为()a x φ-,则弦振动规律为______________________________.

5. []()____________.at m L e t s =

三．求解定解问题（12分）

200sin ;

0,0;0.

t xx x

x x x l t u a u A t u u u ω===-====

四．用积分变换方法求解以下微分方程（每题12分，共24分）

（1） 001,0,0;

1,1.

xy x y u x y u y u ===>>=+= （2） 00230, 1.t

t t y y y e y y =='''+-='==

五．某半无界弦的端点是自由的，初始位移为零，初始速度为cos x ，求弦的自由振动规律。（12分）

六．设有长为a ，宽为b 的矩形薄板，两侧面绝热，有三边的温度为零，另一边的温度分布为x ，内部没有热源，求稳定状态时板内的温度分布。（12分）

七．判断下列方程所属类型并求其标准形式（8分） 0xx yy yu xu +=

八．叙述并证明Laplace变换的微分性质和卷积性质。（12分）