焦点弦的常用公式
焦点弦公式
焦点弦公式
焦点弦公式：
椭圆：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为椭圆的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=2a±2ex。
(2)设直线：与椭圆交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）。
双曲线：
(1)焦点弦：A(x1,y1),B(x2,y2),AB为双曲线的焦点弦，M(x,y)为AB中点，则L=-2a±2ex。
(2)设直线：与双曲线交于P1(x1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则|P1P2|=|x1-x2|√（1+K²）或|P1P2|=|y1-y2|√(1+1/K²）{K=(y2-y2)/(x2-x1)}。
注意：
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示(圆锥曲线第二
定义)。
因此，焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
这是一个很好的性质。
焦点弦长就是这两个焦半径长之和。
抛物线焦点弦
抛物线焦点弦
抛物线的焦点弦是：焦点弦长就是两个焦半径长之和。
焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
相关简介：
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。
若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。
y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。
x²=2py或x²=-2py 时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。
双曲线的焦点弦公式
双曲线的焦点弦公式双曲线是椭圆形的特殊情况，它的焦点弦公式是这样的：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$其中的$a$,$b$是双曲线的两个清楚的参数。
其中 $a$表示双曲线椭圆的长轴，而$b$表示双曲线椭圆的短轴，$a>b$时，双曲线会出现水平和垂直双离心率，也就是常说的长轴斜率和短轴斜率。
由此可以看出，双曲线焦点弦公式是一种反映可以得出带有椭圆轮廓线的方程，它被分成上半部分和下半部分两个弦段。
上半部分的弦段由如下点构成：$(x_1,y_1)$,$(-x_1,y_1)$,而下半部分的弦段由如下点构成：$(x_2,y_2)$,$(-x_2,y_2)$，其中$x_1$,$y_1$和$x_2$,$y_2$是两个焦点的坐标，被称作焦点弦段。
由于双曲线的两个焦点落在双曲线之上，因此上半部分的弦段与下半部分的弦段位于双曲线的两侧，而且它们共同构成了双曲线的完整轮廓线。
双曲线的焦点弦公式可以写成：$$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$通过上面的公式，可以看出，将双曲线焦点弦公式发挥出来，就是椭圆方程。
当$a>b$时，双曲线的长轴和短轴中心分别出现水平、垂直双离心率；当$a<b$时，双曲线的长轴和短轴中心分别出现水平双离心率；当$a=b$时，双曲线实际上不存在（可以看到公式右边是1，两边相等，总是不满足），即椭圆实际上是一条圆周。
另外，双曲线的焦点弦公式还可以用来计算双曲线的面积，只要把双曲线的两个焦点关联起来，就可以用面积公式来计算双曲线的面积：$$\iint_{D}\dfrac{1}{2}\mathrmdA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{b}\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \mathrm ds\cdot \mathrm d\alpha=\pi ab $$以上就是双曲线的焦点弦公式的相关内容，它既可用来指定双曲线的形状，又可用来计算双曲线的面积，是非常有用的。
抛物线焦点弦重要知识点
抛物线焦点弦重要知识点如图所示：抛物线 y2 = 2px 上一动点A （x , y ）,焦点F ），（02P，准线方程x=2P -。
（1）焦半径公式|PF|=2px +; 过焦点F 垂直于x 轴的直线与抛物线交于两点，AB =P x x 21++。
θ（2） 设，直线AB 的倾斜角为，斜率为k ，M 是AB 的中点。
C,D,N 分别是A ，B ，M 点在准线上的射影。
三角形PAB 为等边三角形，PM 垂直平分AB 。
M ,），（），，（2211y x B y x A 221221p ,4x -==y y p x ），（），，（2211y x B y x A θ），（00y x ⎪⎩⎪⎨⎧-==)2(y px 2y 2p x k px p px x 2)4(k 222=+-04)2(22222=++-p k x p p k x k,,（3）（∠xFA=θ）利用AF cos AF P AA 1=+=θ可得θcos -1PAF =同理可得BF（4）212y -y k11+= （公式中的a 为关于x 的一元二次方程二次项系数,∠xFA=θ）利用两点间距离公式221221y -y x -x AB ）（）（+==2212x -x k 1）（）（∙+θθθ2sin 2cos 1cos 1PP P BF AF AB =++-=+=，过焦点的弦长。
(5) ，（∠xFA=θ） θθsin BF OF 21sin 21S S S OBFOAF OAB +=+=∆∆∆AF OF =AB Psin 41∙θ=θsin 2P 2 (6) 以AB 为直径的园与准线相切。
AB 21BD AC 21MN =+=）（。
直角三角形ABN 中，还有AN.BN=AB.NF.(7) 。
过A 做准线的垂线，垂足为C 点，过B 做准线的垂线，垂足为D 点；连接CF 、DF 。
取AB 的中点为M ，过M 做准线的垂线，垂足为N 点，连接AN 、BN 。
双曲线离心率公式焦点弦
双曲线离心率公式焦点弦
双曲线的离心率公式为：e = √(a^2 + b^2) / a，其中，e是离心率，a是双曲线半轴长度中较大的值。
而双曲线的焦点坐标可以通过以下公式计算：c = √(a^2 + b^2)，其中c是焦距。
对于焦点弦，它是连接圆锥曲线上任意两点得到的线段，若这条弦经过焦点，则称为焦点弦。
由两个在同一条直线上的焦半径构成的，焦点弦长就是这两个焦半径长之和。
双曲线的焦点弦长公式是r=ep/(1-ecosθ)，其中e是离心率，p是焦点到准线的距离，θ是与极轴的夹角。
此公式可用于计算焦点弦的长度。
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质
抛物线焦点弦性质：焦点弦长就是两个焦半径长之和。
焦半径长可以用该点的横坐标来表示，与纵坐标无关。
由于焦点弦经过焦点，其方程式可以由其斜率唯一确定，很多问题可以转化为对其斜率范围或取值的讨论。
在抛物线y²=2px中，弦长公式为d=p+x1+x2。
若直线AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α。
y²=2px或y²=-2px时，x1x2=p²/4,y1y2=-p²。
x²=2py或x²=-2py时，y1y2=p²/4,x1x2=-p²。
焦点弦是指椭圆、双曲线或者抛物线上经过一个焦点的弦，是指同一条圆锥曲线或同一个圆上两点连接而成的线段。
焦点弦是由两个在同一条直线上的焦半径构成的。
焦半径是由一个焦点引出的射线与椭圆或双曲线相交形成的。
而由于椭圆或双曲线上的点与焦点之间的距离(即焦半径长)可以用椭圆或双曲线离心率和该点到对应的准线之间的距离来表示。
椭圆二级公式焦点弦
椭圆二级公式焦点弦椭圆二级公式焦点弦___________________________椭圆是一种广为人知的几何图形，它是由两个焦点和一条弦组成的，可以用椭圆二级公式来描述。
椭圆二级公式焦点弦定义了椭圆的特性，是理解椭圆的重要工具。
本文将对椭圆二级公式焦点弦的概念、特性和用途进行深入的介绍。
### 一、定义椭圆二级公式焦点弦是一条由两个焦点和一条弦组成的椭圆形，它可以用公式表示：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ 其中，$a$和$b$分别为椭圆的长轴和短轴长度，$x$和$y$分别为椭圆上任意一点的横坐标和纵坐标。
### 二、特性椭圆二级公式焦点弦有以下几个特性：1. 椭圆的两个焦点距离相等：椭圆的两个焦点距离相等，即$a=b$；2. 椭圆的长轴和短轴长度可以不同：即$a \neq b$；3. 椭圆上所有点到其两个焦点的距离之和相等：即$2a=2b$；4. 当$a=b$时，椭圆会变成圆形；5. 椭圆的长轴和短轴长度可以不同：即$a \neq b$；### 三、用途椭圆二级公式焦点弦用于计算几何图形，如天文学、航海学中的星图计算。
此外，它还可以用于数学函数、微分方程、波动方程和物理方程的计算。
椭圆二级公式焦点弦也可以用于工程设计中，如地形设计、建筑设计、图像处理和机器人学中的机器人运动。
### 四、应用实例例如：有一个需要制作半径为3厘米的圆形饰物，可以使用椭圆二级公式焦点弦来进行计算：$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{9}=1$$ 其中，$x$和$y$分别为椭圆上任意一点的横坐标和纵坐标，而$a=b=3$。
根据此公式可以得出：当$x=3,y=0$时，椭圆上任意一点都可以制作出半径为3厘米的圆形饰物。
### 五、总结椭圆二级公式焦点弦是一条由两个焦点和一条弦组成的椭圆形，它可以用公式表示。
它的特性是：椭圆的两个焦点距离相等、椭圆的长轴和短轴长度可以不同、当$a=b$时，椭圆会变成圆形、椭圆上所有点到其两个焦点的距离之和相等。
焦点弦长公式推导过程
焦点弦长公式推导过程
焦点弦长公式推导过程如下：
焦点弦公式2p/sina^2证明：
设抛物线为y^2=2px(p>0)，过焦点F(p/2，0)的弦直线方程为y=k(x-p/2)，直线与抛物线交于A（x1，y1)，B(x2，y2)
联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，
整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2 由抛物线定义，AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2， BF=x2+p/2 AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/s in^2a
扩展公式如下：
抛物线：y = ax1 + bx + c （a≠0）。
就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c。
a > 0时开口向上。
a < 0时开口向下。
c = 0时抛物线经过原点。
b = 0时抛物线对称轴为y轴。
还有顶点式y = a（x-h）1 + k。
h是顶点坐标的x。
k是顶点坐标的y。
一般用于求最大值与最小值。
抛物线标准方程：y1=2px。
它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为（p/2，0）准线方程为x=-p/2。
由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。
双曲线焦点弦长公式3个
双曲线焦点弦长公式3个首先给出一个求解问题。
已知抛物线的焦准距为p（焦准距即焦点到准线的距离），过其焦点F的弦AB与其对称轴的夹角为α，求弦长|AB|。
对这个问题，一般都是通过解析几何来解决，不过在解析几何建立之前，这个问题也是可以解决的，我们现在就来看看。
如上图所示，直线l为抛物线的准线，O为抛物线的顶点，F为为焦点，AB为过焦点F的弦，α为其与对称轴x的夹角，E为准线与对称轴的交点。
作AD⊥l于D点，作BC⊥l与C点，由抛物线的第二定义可知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，这里我们规定α为锐角，即|AF|>|BF|，过F点作l的平行线，交AD与G点，交BC的延长线于H点，过B点作BI⊥AD于I。
根据图上的几何关系，则有：2|EF|=|AD|+|BC|−(|AG|−|BH|)，由于∠DAF=∠FBH=α，EF=p，（已知条件）于是在直角△AGF与直角三角形△BHF中有：|AG|=|AF|cosα，|BH|=|BF|cosα，结合|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，于是有：2p=|AF|(1+cosα)+|BC|(1−cosα) ……（记为抛物线焦半径和式）在直角△BIA中，由勾股定理得：|AI|2=(|AD|−|BC|)2=(|AF|−|BF|)2，|AI|2+|BI|2=|AB|2，而|BI|=|AB|sinα，即：(|AF|−|BF|)2=|AB|2−(|AB|sinα)2=(|AB|cosα)2，于是可得：|AF|=|AB|2(1−cosα)，|BF|=|AB|2(1+cosα)，代入抛物线焦半径和式中，化简，可得：2p=|AB|sin2α，即：|AB|=2psin2α这就是抛物线焦点弦长公式。
我们可以看到，使用纯几何的办法来求解抛物线的弦长是十分麻烦的，所以解析几何的创立才有了它的必要性，下面就来看看解析几何的办法。
如上图所示，以抛物线顶点为O点，对称轴为x轴，建立直角坐标系xOy，于是抛物线的方程为y2=2px，其焦点坐标为F(p2,0)，由于AB与x轴的夹角为α，所以直线AB的斜率为tanα，其方程则由点斜式确定为y=tanα(x−p2)。
焦点弦公式推导过程
焦点弦公式推导过程1. 椭圆焦点弦公式推导。
- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)-b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
- 设直线与椭圆交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程y = k(x - c)代入椭圆方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，得到：- frac{x^2}{a^2}+frac{k^2(x - c)^2}{b^2} = 1。
- 展开并整理得(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2) = 0。
- 根据韦达定理，x_1+x_2=frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2}，x_1x_2=frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 弦长| AB|=√(1 + k^2)| x_1-x_2|。
- 先求(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2。
- 将x_1+x_2和x_1x_2的值代入可得：- (x_1-x_2)^2=(frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2})^2-4frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 化简得(x_1-x_2)^2=frac{4a^2b^4(1 + k^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}。
- 所以| AB|=√(1 + k^2)·frac{2ab^2}{a^2k^2+b^2}。
- 当直线斜率不存在时，直线方程为x = c，代入椭圆方程得y=±frac{b^2}{a}，此时弦长| AB|=frac{2b^2}{a}。
2. 双曲线焦点弦公式推导（以焦点在x轴为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)+b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-=当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 和04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒和421px x =结论2：p x x AB ++=21证：p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2pAB = 证: (1)假设2πθ=时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212py y k p y y θsin 24422221p p kp y y =+=-⇒θθ221sin 2sin 1p y y AB =-=⇒ 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆011sin sin 22OAB OBF AF S S S OF BF OF AF θϑ∆∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅()21112sin sin sin 2222sin p p OF AF BF OF AB θθθθ=⋅+=⋅⋅=⋅⋅⋅22sin p θ=238OABS P AB ∆∴=结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1， 过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F FA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1 11FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF FM ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y p pk =-=-=所以三点共线。
抛物线焦点在y轴上的焦点弦公式
抛物线焦点在y轴上的焦点弦公式
在数学中，抛物线是一种常见的二次曲线，其焦点和定点均是定义抛物线的重要元素之一。
当抛物线的焦点位于y轴上时，焦点弦公式可以用来描述焦点和定点之间的关系。
抛物线的标准方程
一般来说，抛物线的标准方程可以表示为:
\[ y = ax^2 + bx + c \]
其中，a,b,c为常数，a不等于0，且抛物线的开口方向由a的符号决定。
当a 大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。
抛物线焦点在y轴上的情况
当抛物线的焦点在y轴上时，可以得到以下特殊的抛物线方程：
\[ x^2 = 4ay \]
这是焦点在y轴上的抛物线标准方程，其中焦点坐标为(0,a)。
这样的抛物线开口向上或向下，具体取决于a的正负。
求焦点弦的公式
在抛物线焦点在y轴上的情况下，焦点弦是一个特殊的直线，可以用一般的直线方程\[y = mx + c\]来表示。
接下来，我们来推导焦点弦的具体公式。
由于焦点位于y轴上，因此焦点的横坐标为0，那么焦点弦的方程可以化简为\[y = c\]。
同时，焦点弦过抛物线的焦点(0,a)，我们可以将这个点代入焦点弦的公式，解得\[c = a\]。
最终焦点弦的公式为\[y = a\]。
这说明抛物线焦点在y轴上时，焦点弦的方程是\[y = a\]，即焦点弦与x轴平行且与y轴的交点为抛物线的焦点坐标。
总结
抛物线焦点在y轴上时，我们得到了焦点弦的公式\[y = a\]，这个公式描述了焦点弦与x轴平行且过抛物线焦点的特性。
抛物线是数学中重要的曲线之一，焦点弦公式帮助我们理解和描述焦点弦的几何性质。
高考数学抛物线焦点弦的性质
抛物线焦点弦的性质1、焦点弦定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
2、焦点弦公式：设两交点),(),(2211y x B y x A ，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x 轴上时，焦点弦只与两焦点的横坐标有关：(0)p >若抛物线22y px =，)(21x x p AB ++=抛物线22y px =-，)(21x x p AB +-= 当抛物线焦点在y 轴上时，焦点弦只与两焦点的纵坐标有关：(0)p >若抛物线22x py =，)(21y y p AB ++=抛物线22x py =-，)(21y y p AB +-=3、通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径：p d 2=4、焦点弦常用结论：结论1：韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y 与04)2(22222=++-p k x p p k x k 221p y y -=⇒与421p x x = 结论2：p x x AB ++=21证：p x x p x p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论3：假设直线L 的倾斜角为θ，那么弦长θ2sin 2p AB =证: (1)假设2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)假设2πθ≠时, 那么⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x k y 2)2(20222=--⇒p y k p y ⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒221212p y y k p y y 结论4： 过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆ 结论5：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切 证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1， 过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质与抛物线的定义知 222111ABBFAF BB AA MM =+=+= 故结论得证结论6：连接A 1F 、B 1 F 那么 A 1F ⊥B 1F 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F结论7：〔1〕AM 1⊥BM 1 〔2〕M 1F ⊥AB 〔3〕BF AF F M ⋅=21〔4〕设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 那么M 1，Q ，F ，H 四点共圆〔5〕2121214M M B M AM =+证：由结论〔6〕知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴ ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA ∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM ︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+ 结论8： 〔1〕、A O 、B 1 三点共线 〔2〕B ，O ，A 1 三点共线〔3〕设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，那么BB 1平行于X 轴〔4〕设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，那么AA 1平行于X 轴 证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oA k p y y pp k =-=-=所以三点共线。
焦点弦定理
焦点弦定理
焦点弦定理，是平面几何中一个重要的定理，它是指在一个圆内，连接两点的弦所构成的角度相等，如果这些弦是相交的，则相交点处所产生的四个角对应的弧所构成的角度也相等。
这个定理可以用来解决各种各样的几何问题，包括计算弦长、角度等等。
下面我们来看看焦点弦定理的一些具体应用。
我们可以用焦点弦定理来计算弦长。
假设一个圆的半径为r，它的两个弦的交点到圆心的距离分别为d1和d2，那么这两个弦的长度分别为2*sqrt(r^2-d1^2)和2*sqrt(r^2-d2^2)。
这个公式的证明可以使用焦点弦定理，由于两个弦的交点到圆心的距离相等，因此可以得出这个公式。
焦点弦定理还可以用来计算角度。
假设一个圆的半径为r，它的两个弦分别为AB和CD，它们的交点为E，那么可以证明角AEB=角CED。
这个定理的证明可以使用初中数学中学过的相关角、交角的定义和性质来证明。
在实际应用中，这个定理可以用来计算各种各样的角度，例如外切角、内切角等等。
焦点弦定理还可以用来解决一些几何问题。
例如，我们可以使用这个定理来证明圆的切线与半径所构成的角度为90度。
证明的过程比较简单，只需要使用焦点弦定理以及圆的切线与半径垂直的性质即可。
焦点弦定理是平面几何中非常重要的一个定理，它可以用来解决各种各样的几何问题。
在实际应用中，我们需要灵活运用这个定理，并结合其他几何知识来解决各种问题。
同时，我们也需要注意证明过程中的细节和思路，以免出现错误或者漏洞。
焦点弦问题(原卷版)
第一篇圆锥曲线专题03焦点弦问题焦点弦是经过椭圆，双曲线或者抛物线焦点的弦，这里我们以椭圆为例，如下图。
组成焦点弦的因素有3个：线段MN 的长度，直线MN 的倾斜角以及点F 分线段MN 的比例关系，所以在研究焦点弦问题当中我们重点从以上三个因素进行考虑。
一、焦点弦长的求法法一：利用弦长公式|AB |==若要使用弦长公式，我们需要设出AB 所在直线的方程，然后联立椭圆，利用韦达定理求出,A B 两点之间横坐标或纵坐标的和与积的关系即可，这也是我们在圆锥曲线中求弦长最常用的方法。
法二：利用直线的参数方程在参数方程中我们也学过求弦长的方法，此法和弦长公式差不多，但是在解决选做题参数方程的题目中经常用到，该发在参数方程专题中将重点讲解。
设A 点参数为1t ，B 点参数为2t ，则12|AB |||t t =-方法三：焦点弦长公式已知圆锥曲线C 的离心率为e，焦点为F，焦准距（焦点到准线的距离）为p，过点F 的弦MN 与曲线C 的焦点所在的轴的夹角为,(0,90]θθ︒∈，则有222|MN ||1e cos |ep θ=-，在抛物线内22|MN |sin p θ=证明过程如下：设11(x ,y )N ，根据第二定义可知211'()a NF eNN e x a ex c==-=-在RT DNF ∆中，1cos x OD OF DF c NF θ==-=-，代入上式得：(cos )NF a e c NF θ=--，解得cos 1ec aNF e θ-=-同理可得2222222||cos 1cos ab ep MF a c e θθ==--例1：已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F，经过F 且倾斜角为60︒的直线与椭圆相交于不同的两点A,B ，已知2AF FB = .（1）求离心率；（2）若15|AB |=4，求椭圆方程.例2：已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线12,l l ，直线1l 与C 交于,A B 两点，直线2l 与C 交于,D E 两点，则|AB ||DE |+的最小值为________.例3：过抛物线2:4C y x =的焦点的直线交C 于点M（M 在x 轴上方），l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则M 到直线NF 的距离为_________.二、在焦点弦中,,e θλ三要素之间的关系上面求得焦点弦长公式与离心率e 有关，因此下面我们探究一下求离心率，倾斜角以及点分线段的比例之间的关系。
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圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
湖北省阳新县高级中学邹生书
如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦。
圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识。
焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。
本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家交流。
定理1已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在的轴的夹角为，且。
（1）当焦点内分弦时，有；（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射影分别为，点在直线上的射影为。
由圆锥曲线的统一定义得，，又，所以。
（1）当焦点内分弦时。
如图1，，所以。
图1
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以。
图2
评注特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，这一点很容易不加区别而出错。
例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线的右焦点为，过且斜率为的直线交于两点。
若，则的离心率为（）
解这里，所以，又，代入公式得，所
以，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心
率为。
过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则（）
解这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以，所以，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为
的直线，与抛物线交于两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿
图3
解如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，设，又，代入公式得，解得，所以。
例4（2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为＿＿＿
解设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入公式得，所以。
例5（自编题）已知双曲线的离心率为，过左焦点
且斜率为的直线交的两支于两点。
若，则＿＿＿
解这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，代入公式得，所以所以，所以。
定理2已知点和直线是离心率为的圆锥曲线的焦点和对应准线，焦准距（焦点到对应准线的距离）为。
过点的弦与曲线的焦点所在的轴的夹角为，则有。
证明设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点。
由圆锥曲线的统一定义得，，所以。
图4
（1）当焦点内分弦时。
如图4，，。
，所以较长焦半径，较短焦半径。
所以。
（2）当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
图5
如图5，，。
所以，
所以较长焦半径，较短焦半径。
所以。
综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。
焦点弦的弦长公式为。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径，较短焦半径，焦点弦的弦长公式为。
当曲线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为。
注由上可得，当焦点内分弦时，有。
当焦点外分弦时，有。
例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则＿＿＿
解由抛物线焦点弦的弦长公式为得，，解得。
例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆的右焦点为，经过且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知。
（1）求椭圆的离心率；（2）若，求椭圆方程。
解（1）这里，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公式得，，解得，即，所以①，又，设，代入①得，所以，所以，故所求椭圆方程为。
例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点作倾斜角为的直
线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解易知均在右支上，因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。
由焦半径公式得，。
例9（由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线的右焦点作倾斜角为
的直线，交双曲线于两点，则的值为＿＿＿
解因为，离心率，点准距，因倾斜角为，所以。
注意到分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，。
例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，
过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。
求四边形面积的最小值。
图6
解由方程可知，，则。
设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴
的夹角为。
代入弦长公式得，
，。
故四边形的面积为，。
所以四边形面积的最小值为。
参考文献：
①郑丽兵。
一道解析几何调研题的解答、拓广与应用。
数学通讯。
2010（11、12）（上半月）。
②玉邴图。
两道高考题的统一推广。
数学通讯。
2010（11、12）（上半月）。
③万尔遐。
曲线何必与方程捆绑。
数学通讯。
2010（6）（下半月）。
2012-01-18 人教网
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