由2008年江西高考理科数学最后一题说起
2008年高考理科数学试题(江西卷)
设计推动架零件的机械加工工艺规则及工艺装备（点击可看详情）问题咨询QQ：951379183引言本次课程设计是我们在毕业设计前一次重要的实践设计，对所学的基础课、技术基础课和专业课能很好的进行系统的复习，也是我们在进行毕业之前对所学各课程的一次深入的综合性的总复习,也是一次理论联系实际的训练,因此,它在我们四年的大学生活中占有重要的地位。
就我个人而言，我希望能通过这次课程设计对自己未来将从事的工作进行一次适应性训练，从中锻炼自己分析问题、解决问题的能力，为今后参加祖国的“四化”建设打下一个良好的基础。
在些次设计中我们主要是设计推动架的加工工艺和工艺器具。
在此次课程设计过程中，我小组成员齐心协力、共同努力完成了此项设计。
在设计期间查阅了大量的资料，并且得到了有关老师的指点，尤其是教务处老师的亲切指导和老师的大力帮助，在此表示感谢！由于能力所限，设计尚有许多不足之处，恳请各位老师给予指导。
内容：1.零件图 1张2.毛坯图1张3.机械加工工艺过程卡片 1张4.机械加工工序卡片1张5. 工装设计装配图4张6. 工装设计零件图4张7. 课程设计说明书1份引言本次课程设计是我们在毕业设计前一次重要的实践设计，对所学的基础课、技术基础课和专业课能很好的进行系统的复习，也是我们在进行毕业之前对所学各课程的一次深入的综合性的总复习,也是一次理论联系实际的训练,因此,它在我们四年的大学生活中占有重要的地位。
就我个人而言，我希望能通过这次课程设计对自己未来将从事的工作进行一次适应性训练，从中锻炼自己分析问题、解决问题的能力，为今后参加祖国的“四化”建设打下一个良好的基础。
在些次设计中我们主要是设计推动架的加工工艺和工艺器具。
在此次课程设计过程中，我小组成员齐心协力、共同努力完成了此项设计。
在设计期间查阅了大量的资料，并且得到了有关老师的指点，尤其是教务处老师的亲切指导和老师的大力帮助，在此表示感谢！由于能力所限，设计尚有许多不足之处，恳请各位老师给予指导。
2008年普通高等学校招生全国统一考试江西数学理科试卷及答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。
第Ⅰ卷考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2. 第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。
若在试题卷上作答，答案无效。
3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式如果事件,A B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件,A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)kkn kn n P k C p p -=-一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23 D ．10[3,]34．1limx →=A ．12B ．0C ．12- D ．不存在5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C．(0,2D．28．6101(1(1++展开式中的常数项为A ．1B ．46C ．4245D ．42469若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是 A ．1122a b a b + B ．1212a a b b + C ．1221a b a b + D ．1210．连结球面上两点的线段称为球的弦。
08年高考数学江西卷(理)最后一题研究
ab 8
1 a 1 b (1 a)(1 b)
只要证
ab
ab ，即 ab 8 (1 a)(1 b) ，即 a b 7 ，据③，此为显然．
(1 a)(1 b) ab 8
因此⑦得证．故由⑥得 f ( x) 2 ．综上所述，对任何正数 a, x ，皆有 1 f x 2 ．
说句实在话， 该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。 问题只是这道好题在不恰当的时 间出现在不恰当的地方。
平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。
精心整理
精心整理 2008-07-1221:03scpajmb 的发言： 确实，陶平生教授是不等式高手，所命那道 2005 年全国联赛加试第二题，大家还记忆犹新。
当然，宋老师也是不等式高手。我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。
精心整理
1
ab 1 x
ab ， ab 8
因为 1 1 b 1b 1b
b2 4(1 b) 2
[1
b ]2 所以 1
2(1 b)
1b
1
b …④
2(1 b)
同理得 1 1
a
…⑤，于是 f x
1 2
a
b 2 ab …⑥
1a
2(1 a)
2 1 a 1 b ab 8
今证明 a
b 2 ab …⑦ , 因为 a
b2
ab
，
1a 1b
ax
求证 :
上式不等式 (1) 与 2004 年西部奥林匹克 最后一题：
设 a,b,c 是正数，求证： 1
a a2 b2
b b2 c2
c
32
c2 a2
2
类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。 而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证 出。
08年高考数学江西卷(理)最后一题研究
精心整理08年高考数学江西卷（理）最后一题有点难22．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝x +11＋a +11＋8+ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间；（2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2． 令axc x b 8,==,则第(2)等价于:若a,b,c>0,abc=8求证:上式不等式(1)与2004年西部奥林匹克设a,b,c 是正数，求证：12222+++<c b b b a a类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。
出。
另外，2003年中国数学奥林匹克第三题：给定正数n,求最小正数λ,)(22212πθ=n ,就有n θθθcos ...cos cos 21∙∙答案:当当n=33222tan ,tan θθ=c 即得(1)右边的等式。
2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。
由此可知，（2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。
所以第（2）小题不宜作高考题。
此题也引起了张景中院士的兴趣，在“张景中院士解江西高考压轴题”一贴中2003年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。
22．解：()1、当8a =时，()13f x =+，求得()f x '=， 于是当(0,1]x ∈时，()0f x '≥；而当[1,)x ∈+∞时，()0f x '≤．即()f x 在(0,1]中单调递增，而在[1,)+∞中单调递减．（2）.对任意给定的0a >，0x >，由()f x =， 若令8b ax =，则8abx =…①，而()f x =+…② （一）、先证()1f x >11x >+11a >+11b >+，又由28a b x +++≥≥=，得6a b x ++≥．所以2 只要证(1)(1)8ab ab a b ab >+++，即8(1)(1)ab a b +>++，即7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证．故由⑥得()2f x <．综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。
2008年高考江西卷压轴题的简解及推广
ax
卢
1
J
＋.
1
fr
＜
2
．不妨设
p�q�r，从而
p
�2 ． 由千 了 l ＜ lJ ,� l < r 1，由结论＠得
/T1+p.＋ /I1+q.＋ � 1 '＜ /T1+p ＋
1
+1=
l
+
✓ (l + q) （1+ r)
J
1
1
+ 1 ::::;;
J十
✓ qr + q+r + 1
1
+l= 1 十 1 + 1
(2)问，且标答在证 f(x) >1时用两个正数的
算术平均值不小于儿何平均值的性质来证，体
现了考试不超纲的知识要求，但在证f 釭）＜ 2
时，对 a + b 分 a+b<? 及 a + b?::7 两种情形
作分类讨论，技巧性极高，这是一般考生难以在
短时间想象得到的．本文以下第(2)问的证法分
析虽是新解，但高中生也能理解，现分析如下：
1
结论＠厂k 1
＋
✓
1
1 ＋互＋1
＜
✓ ＋ 1, 又只 要证 l+x卢Xk+1 +XkXk +1
1
了了工言石已
勹 三，即
1 - ak+I
（
ak + l
)x釭k +I �Xk +Xk+I,由结 论＠知
（
1
-
ak+ \
1
)x1互 ,- ＋1�(
-
2008年高考数学(理科)试卷及答案(江西卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z =sin 2＋i cos 2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6 3．若函数y ＝f (x )的值域是[21，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim1--+→x x x ＝A ．21 B ．0 C ．－21D ．不存在 5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C． D． 8．(1＋3x )6(1＋41x)10展开式中的常数项为ABCDA ．1B ．46C ．4245D ．42469．已知实数1a 、2a 和有理数1b 、2b ，若210a a <<，210b b <<，且12121=+=+b b a a ，则下列代数式中值最大的是 （ ）、A 2121b b a a + 、B 2211b a b a + 、C 1221b a b a + 、D 2110．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为l .其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1801 B ．2881 C ．3601 D ．4801 12．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，－2)、C(9，7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则²＝ ． 14．不等式132+-x x ≤21的解集为 ． 15．过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题： A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A．求A 、B 及b 、c ． 18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi (i ＝1，2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?19．（本小题满分12分）数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++< . 20．（本小题满分12分）正三棱锥O －ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于A 1、B 1、C 1，已知OA 1＝23． （1）证明：B 1C 1⊥平面OAH ；（2）求二面角O －A 1B 1－C 1的大小．21．（本小题满分12分）设点P (x 0，y 0) 在直线x ＝m ( y ≠±m ，0＜m ＜1)上，过点P 作双曲线搿x 2－y 2＝1的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M(m1，0)． （1）过点A 作直线x －y ＝0的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A 、M 、B 三点共线．1C 1A22．（本小题满分14分） 已知函数f (x )＝x+11＋a+11＋8+ax ax，x ∈(0，＋∞)．（1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案1．D .因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限， 2．D .因*{0,2,4}A B =3．B .令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t =+∈ 4．A.11x x →→=1 =1=2x →5. A . 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++- 1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+-6．D. 函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时7．C .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<又(0,1)e ∈,所以1(0,)2e ∈8．D . 常数项为346861061014246C C C C ++=9. A. 22121212121()()222a ab b a a b b +++≤+=112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--≥ 11221221()a b a b a b a b +≥+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++≤+112212a b a b +≥10．C . 解：①③④正确，②错误。
2008年高考理科数学试题(江西卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A·B)＝P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V＝πR3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径Pn(k)＝CP (1一P)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z=sin 2＋icos 2对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1，2}，B＝{0，2}，则集合A*B的所有元素之和为A．0 B．2 C．3 D．63．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F (x)＝f(x)＋的值域是A．[，3] B．[2，] C．[，] D．[3，]4．＝A．B．0 C．－D．不存在5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n6．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间(，)内的图象大致是A B C D7．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)8．(1＋)6(1＋)10展开式中的常数项为A．1 B．46 C．4245 D．42469．若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是A．albl＋a2b2 B．ala2＋b1b2 C．a1b2＋a2bl D．10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l其中真命题的个数为A．1个B．2个C．3个D．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为A．B．C．D．12．已知函数f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋l，g(x)＝mx，若对于任一实数x，f(x)与g(x)的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)。
2008年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析
2008年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•江西）在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由复数的几何意义作出相应判断．【解答】解：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D．【点评】本题考查的是复数的几何意义，属于基础题．2．（5分）（2008•江西）定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案．【解答】解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又有集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．【点评】解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍．3．（5分）（2008•江西）若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先换元，转化成积定和的值域，利用基本不等式．【解答】解：令t=f（x），则，则y=t+≥=2当且仅当t=即t=1时取“=”，所以y的最小值为2故选项为B【点评】做选择题时，求得最小值通过排除法得值域；考查用基本不等式求最值4．（5分）（2008•江西）=（）A．B．0 C． D．不存在【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】把原式进行分母有理化，得：，消除零因子简化为，由此可求出的值．【解答】解：==，故选A．【点评】本题考查池函数的极限，解题时要注意计算能力的培养．5．（5分）（2008•江西）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．【解答】解：∵，，…∴=故选：A．【点评】数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n 换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．6．（5分）（2008•江西）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A．B．C．D．【考点】正切函数的图象；分段函数的解析式求法及其图象的作法；三角函数值的符号；正弦函数的图象；余弦函数的图象．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】本题的解题关键是分析正弦函数与正切函数在区间上的符号，但因为已知区间即包含第II象限内的角，也包含第III象限内的角，因此要进行分类讨论．【解答】解：函数，分段画出函数图象如D图示，故选D．【点评】准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键，其口决是“第一象限全为正，第二象限负余弦，第三象限负正切，第四象限负正弦．”7．（5分）（2008•江西）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，]C．（0，）D．[，1）【考点】椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】由•=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．由此能够推导出椭圆离心率的取值范围．【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，∵•=0，∴M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆．又M点总在椭圆内部，∴该圆内含于椭圆，即c＜b，c2＜b2=a2﹣c2．∴e2=＜，∴0＜e＜．故选：C．【点评】本题考查椭圆的基本知识和基础内容，解题时要注意公式的选取，认真解答．8．（5分）（2008•江西）展开式中的常数项为（）A．1 B．46 C．4245 D．4246【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0得常数项．【解答】解：的展开式的通项为，其中r=0，1，2 (6)的展开式的通项为=，其中k=0，1，2， (10)的通项为=当时，展开式中的项为常数项∴，，时，展开式中的项为常数项∴展开式中的常数项为1+C63C104+C66C108=4246故选项为D【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决展开式的特定项问题的工具．9．（5分）（2008•江西）若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1+a2=b1+b2=1，则下列代数式中值最大的是（）A．a1b1+a2b2 B．a1a2+b1b2 C．a1b2+a2b1 D．【考点】基本不等式．【分析】本题为比较一些式子的大小问题，可利用做差法和基本不等式比较，较复杂；也可取特值比较．【解答】解：又∵a1b1+a2b2﹣（a1b2+a2b1）=（a1﹣a2）b1﹣（a1﹣a2）b2=（a2﹣a1）（b2﹣b1）＞0∴a1b1+a2b2＞（a1b2+a2b1）而1=（a1+a2）（b1+b2）=a1b1+a2b1+a1b2+a2b2＜2（a1b1+a2b2）∴解法二：取，，，即可．故选A【点评】本题主要考查比较大小问题，注意选择题的特殊做法，切勿“小题大做”10．（5分）（2008•江西）连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题；综合题．【分析】根据题意，由球的弦与直径的关系，判定选项的正误，然后回答该题．【解答】解：因为直径是8，则①③④正确；②错误．易求得M、N到球心O的距离分别为3、2，若两弦交于N，则OM⊥MN，Rt△OMN中，有OM＜ON，矛盾．当M、O、N共线时分别取最大值5最小值1．故选C．【点评】本题考查球面距离及其计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．11．（5分）（2008•江西）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．B．C．D．【考点】等可能事件的概率．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题是一个古典概型，解题时要看清试验发生时的总事件数和一天中任一时刻的四个数字之和为23事件数，前者可以根据生活经验推出，后者需要列举得到事件数．【解答】解：一天显示的时间总共有24×60=1440种，和为23有09：59，19：58，18：59，19：49总共有4种，故所求概率为P==．故选C【点评】本题考查的是古典概型，如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数是解题的关键．12．（5分）（2008•江西）已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，8）C．（2，8）D．（﹣∞，0）【考点】一元二次不等式的应用．【专题】压轴题．【分析】当m≤0时，显然不成立；当m＞0时，因为f（0）=1＞0，所以仅对对称轴进行讨论即可．【解答】解：当m≤0时，当x接近+∞时，函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1与g（x）=mx均为负值，显然不成立当x=0时，因f（0）=1＞0当m＞0时，若，即0＜m≤4时结论显然成立；若，时只要△=4（4﹣m）2﹣8m=4（m﹣8）（m﹣2）＜0即可，即4＜m＜8则0＜m＜8故选B．【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•江西）直角坐标平面上三点A（1，2）、B（3，﹣2）、C（9，7），若E、F为线段BC的三等分点，则=22．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】本题首先要用等比分点的公式计算出E和F两点的坐标，根据所求的坐标得到向量的坐标，把向量的坐标代入向量的数量积公式，求出结果．【解答】解：根据三等分点的坐标公式，得E（5，1），F（7，4）；=（4，﹣1），=（6，2）=4×6﹣2=22，故答案为：22【点评】看清问题的实质，认识向量的代数特性．向量的坐标表示，实现了“形”与“数”的互相转化．以向量为工具，几何问题可以代数化，代数问题可以几何化．14．（4分）（2008•江西）不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．【考点】指数函数的单调性与特殊点；其他不等式的解法．【专题】计算题．【分析】≤0⇒x ∈（﹣∞，﹣3]∪（0，1]【解答】解：∵，∴，∴，∴∴x∈（﹣∞，﹣3]∪（0，1]答案：（﹣∞，﹣3]∪（0，1]．【点评】本题考查指数函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．15．（4分）（2008•江西）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则=．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．2，整理后两边同除以xB【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x B2（x B2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＞﹣1，∴=﹣=﹣（﹣）=．故答案为：【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．16．（4分）（2008•江西）如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：BD（写出所有真命题的代号）．【考点】棱柱的结构特征．【专题】综合题；压轴题；探究型．【分析】设出图（1）的水高，和几何体的高，计算水的体积，容易判断A、D的正误；对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，根据体积判断它是正确的．根据当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，计算水的体积和实际不符，是错误的．【解答】解：设图（1）水的高度h2几何体的高为h1图（2）中水的体积为b2h1﹣b2h2=b2（h1﹣h2），所以b2h2=b2（h1﹣h2），所以h1=h2，故A错误，D正确．对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为b2h2＞b2h2，矛盾，故C不正确．故选BD【点评】本题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积，是难题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•江西）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c．【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题．【分析】由可求得得，把切转化成弦化简整理可求得sinC=，进而求得C，对2sinBcosC=sinA化简可得sin（B﹣C）=0，进而求得B，最后由正弦定理即可求得b，c．【解答】解：由得∴∴∴，又C∈（0，π）∴，或由2sinBcosC=sinA得2sinBcosC=sin（B+C）即sin（B﹣C）=0∴由正弦定理得【点评】本题主要考查三角形中的几何计算．常涉及正弦定理、余弦定理和面积公式及三角函数公式等常用公式．18．（12分）（2008•江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令ξi（i=1，2）表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）．写出ξ1、ξ2的分布列；（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；应用题．【分析】（1）根据题意得到两个变量的可能取值，根据条件中所给的方案一和方案二的两年柑桔产量的变化有关数据写出两个变量的分布列．（2）根据两种方案对应的数据，做出方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率，得到结论：方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．（3）根据两年后柑桔产量和灾前产量的比较，做出达不到灾前产量，达到灾前产量，超过灾前产量的概率，列出柑橘带来效益的分布列，做出期望．【解答】解：（1）ξ1的所有取值为0.8、0.9、1.0、1.125、1.25ξ2的所有取值为0.8、0.96、1.0、1.2、1.44，ξ1、ξ2的分布列分别为：（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，P（A）=0.15+0.15=0.3，P（B）=0.24+0.08=0.32∴方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大（3）令ηi表示方案i所带来的效益，则∴Eη1=14.75，Eη2=14.1∴方案一所带来的平均效益更大．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查解决实际问题的能力，考查对题干较长的应用题的理解，是一个综合题．19．（12分）（2008•江西）数列{a n}为等差数列，a n为正整数，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1=3，b1=1，数列是公比为64的等比数列，b2S2=64．（1）求a n，b n；（2）求证．【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．【专题】证明题；综合题．【分析】（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n ﹣1，依题意有，由此可导出a n与b n．（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2），所以，然后用裂项求和法进行求解．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则d为正整数，a n=3+（n﹣1）d，b n=q n﹣1依题意有①由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，解①得d=2，q=8故a n=3+2（n﹣1）=2n+1，b n=8n﹣1（2）S n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）∴==．【点评】本题考查数列和不等式的综合应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的应用．20．（12分）（2008•江西）如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知．（1）求证：B1C1⊥平面OAH；（2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；证明题；综合题．【分析】（1）要证B1C1⊥平面OAH，直线证明直线垂直平面OAH内的两条相交直线：AH、OA即可；（2）作出二面角O﹣A1B1﹣C1的平面角，然后求解即可；或者建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积求解．【解答】解：（1）证明：依题设，EF是△ABC的中位线，所以EF∥BC，则EF∥平面OBC，所以EF∥B1C1．又H是EF的中点，所以AH⊥EF，则AH⊥B1C1．因为OA⊥OB，OA⊥OC，所以OA⊥面OBC，则OA⊥B1C1，因此B1C1⊥面OAH．（2）作ON⊥A1B1于N，连C1N．因为OC1⊥平面OA1B1，根据三垂线定理知，C1N⊥A1B1，∠ONC1就是二面角O﹣A1B1﹣C1的平面角．作EM⊥OB1于M，则EM∥OA，则M是OB的中点，则EM=OM=1．设OB1=x，由得，，解得x=3，在Rt△OA1B1中，，则，．所以，故二面角O﹣A1B1﹣C1为．解法二：（1）以直线OA、OC、OB分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，O﹣xyz则所以所以所以BC⊥平面OAH，由EF∥BC得B1C1∥BC，故：B1C1⊥平面OAH（2）由已知，设B1（0，0，z）则由与共线得：存在λ∈R有得同理：C1（0，3，0），∴设是平面A1B1C1的一个法向量，则令x=2，得y=z=1，∴．又是平面OA1B1的一个法量∴所以二面角的大小为（3）由（2）知，，B（0，0，2），平面A1B1C1的一个法向量为．则．则点B到平面A1B1C1的距离为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．21．（12分）（2008•江西）设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2﹣y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点．（1）求证：三点A、M、B共线．（2）过点A作直线x﹣y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；综合题；压轴题；数形结合；转化思想．【分析】（1）先根据题意设A（x1，y1），B（x2，y2），将切线PA的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根的判别式等于0即可表示出切线的斜率，因此PA的方程和PB的方程都可以利用A，B两点的坐标表示，又P在PA、PB上，得到点A （x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y=mx﹣1上，从而证得三点A、M、B共线，从而解决问题．（2）设重心G（x，y），欲求△AMN的重心G所在曲线方程，即求出其坐标x，y的关系式，利用点A在双曲线上即可得重心G所在曲线方程．【解答】证明：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知得到y1y2≠0，且x12﹣y12=1，x22﹣y22=1，设切线PA的方程为：y﹣y1=k（x﹣x1）由得（1﹣k2）x2﹣2k（y1﹣kx1）x﹣（y1﹣kx1）2﹣1=0从而△=4k2（y1﹣kx1）2+4（1﹣k2）（y1﹣kx1）2+4（1﹣k2）=0，解得因此PA的方程为：y1y=x1x﹣1同理PB的方程为：y2y=x2x﹣1又P（m，y0）在PA、PB上，所以y1y0=mx1﹣1，y2y0=mx2﹣1即点A（x1，y1），B（x2，y2）都在直线y0y=mx﹣1上又也在直线y0y=mx﹣1上，所以三点A、M、B共线（2）垂线AN的方程为：y﹣y1=﹣x+x1，由得垂足，设重心G（x，y）所以解得由x12﹣y12=1可得即为重心G 所在曲线方程【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、三角形重心、双曲线的标准方程的问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．22．（14分）（2008•江西）已知函数f（x）=++，x∈（0，+∞）（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2．【考点】利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）把a=8代入函数解析式，求出函数的导数，并判断导数的符号，得到函数的单调区间．（2）令，则abx=8①，②，将f（x）解析式进行放缩，使用基本不等式，可证f（x）＞1，由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b．则0＜b≤2，当a+b≥7，将f（x）解析式进行放缩，可证f（x）＜2；当a+b＜7③，将f（x）解析式进行放缩，再使用基本不等式证明f（x）＜2，结论得证．【解答】解：（1）当a=8时，，求得，于是当x∈（0，1]时，f'（x）≥0；而当x∈[1，+∞）时，f'（x）≤0．即f（x）在（0，1]中单调递增，而在[1，+∞）中单调递减．（2）对任意给定的a＞0，x＞0，由，若令，则abx=8①，且②．（一）先证f（x）＞1：因为，，，又由，得a+b+x≥6．所以==．（二）再证f（x）＜2：由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0＜b≤2．（ⅰ）当a+b≥7，则a≥5，所以x≥a≥5，因为，，此时，．（ⅱ）当a+b＜7③，由①得，，，因为，所以④，同理得⑤．于是⑥．今证明⑦：因为，故只要证，即证ab+8＞（1+a）（1+b），即证a+b＜7．据③可得此式显然成立，因此⑦得证．再由⑥可得得f（x）＜2．综上所述，对任何正数a，x，皆有1＜f（x）＜2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，用放缩法、基本不等式法证明不等式，体现分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2008年高考理科数学试题(江西卷)
2008年江西省高考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（2008•江西）在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2008•江西）定义集合运算：A*B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．63．（2008•江西）若函数y=f（x）的值域是，则函数的值域是（）A．B．C．D．4．（2008•江西）=（）A．B．0 C． D．不存在5．（2008•江西）在数列{a n}中，a1=2，，则a n=（）．A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn6．（2008•江西）函数y=tanx+sinx﹣|tanx﹣sinx|在区间内的图象是（）A．B．C．D．7．（2008•江西）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足•=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，] C．（0，）D．[，1）8．（2008•江西）展开式中的常数项为（）A．1 B．46 C．4245 D．42469．（2008•江西）若0＜a1＜a2，0＜b1＜b2，且a1+a2=b1+b2=1，则下列代数式中值最大的是（）A．a1b1+a2b2B．a1a2+b1b2C．a1b2+a2b1D．10．（2008•江西）连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB、CD可能相交于点M；②弦AB、CD可能相交于点N；③MN的最大值为5；④MN的最小值为1其中真命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2008•江西）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．B．C．D．12．（2008•江西）已知函数f（x）=2mx2﹣2（4﹣m）x+1，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，8）C．（2，8）D．（﹣∞，0）二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（2008•江西）直角坐标平面上三点A（1，2）、B（3，﹣2）、C（9，7），若E、F为线段BC的三等分点，则= _________ ．14．（2008•江西）不等式的解集为_________ ．15．（2008•江西）过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点（点A在y轴左侧），则= _________ ．16．（2008•江西）如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．其中真命题的代号是：_________ （写出所有真命题的代号）．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（2008•江西）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，，2sinBcosC=sinA，求A，B及b，c18．（2008•江西）某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令ξi（i=1，2）表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）．写出ξ1、ξ2的分布列；（2）．实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）．不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？19．（2008•江西）数列{a n}为等差数列，a n为正整数，其前n项和为S n，数列{b n}为等比数列，且a1=3，b 1=1，数列是公比为64的等比数列，b2S2=64．（1）求a n，b n；（2）求证．20．（2008•江西）如图，正三棱锥O﹣ABC的三条侧棱OA、OB、OC两两垂直，且长度均为2．E、F分别是AB、AC的中点，H是EF的中点，过EF作平面与侧棱OA、OB、OC或其延长线分别相交于A1、B1、C1，已知．（1）求证：B1C1⊥平面OAH；（2）求二面角O﹣A1B1﹣C1的大小．21．（2008•江西）设点P（x0，y0）在直线x=m（y≠±m，0＜m＜1）上，过点P作双曲线x2﹣y2=1的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点．（1）求证：三点A、M、B共线．（2）过点A作直线x﹣y=0的垂线，垂足为N，试求△AMN的重心G所在曲线方程．22．（2008•江西）已知函数，x∈（0，+∞）．（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2．2008年江西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．考点：复数的代数表示法及其几何意义。
2008年高考数学试卷(北京卷)分析2
对一道高考试题解法的探究四川省蓬安中学 蒋明斌1．引言2008年江西高考数学理科最后一题为：已知函数()(0)f x x =+∈+∞，．①当8a =时，求()f x 的单调区间； ②对任意正数a ，证明：1()2f x <<． 第①题不难，下面讨论第②题．考试结束后，考生都认为第②题太难，根本无从下手，阅卷后回馈的信息也证实了这一点，第②题基本上没人做，属于废题．很多高中数学教师也认为此题很难，参考答案没出来之前，他们也不知道如何下手，看到参考答案后，觉得证明确实巧妙，但也只有竞赛高手或不等式高手才想得到．事实上，若令8,c x b ac==，则8abc =，问题化为：设0,0,0a b c >>>，8abc =，求证：11112<++< （1）（1）的背景应当是下面几道竞赛题：题1 （2004年西部数学奥林匹克最后一题）：求证：对任意正实数,,a b c 都有12<+≤（2）题2（2001年第42届IMO 第二题）：对任意正实数,,a b c ，证明1++≥ （3）题3 （2003年中国数学奥林匹克第三题[1]）：给定正整数(3)n n ≥，求最小的正数λ使得对于任何0,(1,2,,)2i i n πθ⎛⎫∈= ⎪⎝⎭，只要212tan tan tan 2nn θθθ= ，就有12cos cos cos n θθθλ+++≤ . 注：3n ≥时，题3的答案为1n λ=- ．特别地，当3n =时，令21tan a θ=，22tan b θ=，23tan c θ=即得：已知0,0,0a b c >>>，8abc =，则2< （4）所以有数学老师发出了“江西卷最后一题太难，比联赛加试题还难”的感叹．此题也引起了著名数学家张景中院士的注意，张院士认为此题难度较大，适宜竞赛而不适合高考．命题者提供的参考答案看似推理自然，但实际上做题者难以想到[2]．这促使我们思考，此题真的难么？难在哪里呢？下面对此题的解法作些探讨．2．解法探究2.1 减元，多元化为一元先看命题者的证题思路（其中对（1）右边不等式的证明基本取自于题3命题人黄玉民对题3的解答[1]）：先将所证问题②化为证明三元条件不等式（1），然后应用放缩法，通过111+>111111cab+++++12(1)a a <-+12(1)bb <-+来证明右边不等式的．按这种思路给出的证明确实有些难，正如前面提到的张景中院士所言“看似推理自然，但实际上做题者难以想到”．原题本来是一个二元问题，变成（1）则化成了三元问题（实质上是求三元函数的值域问题），这与学生熟悉的处理多元问题的减元策略正好背道而驰．一个很自然的思路是将a 看作常数（参数），化为求含参数的一元函数()f x 的值域问题，具体处理时须分两步：第一步，先对固定的a 求出()(0)F x x =∈+∞，的值域，即得到()F x 的最大值（或最小上界）、最小值（或最大下界）分别为()M a 、()m a ．第二步，证明1()m a <+()2M a +<对任意实数a 都成立，这样就把二元问题化为了一元问题，这种思路则是学生所熟悉的．按这种思路又有两种不同解法：证明1 （应用导数）：在求()F x 的值域之前，我们先对变量的范围作优化假设，记280aλ=>，则111111()f x =++=+，注意到 28x a xλ⋅⋅=，不妨设2x a xλ≤≤，那么2a ≥，2402x xλλ⋅≤⇔<≤．下面在02λ<≤的条件下，求11()(0)F x x =+∈+∞，的值域()323222211()11()22F x x x x λλ---⎛⎫'=-++-+- ⎪⎝⎭()()()()()()133222222311333222222221121221x x x x x x x x x λλλλλ+-+=-+=++++显然，()F x '与()()133222221x xx λλ+-+的符号相同，又由32t 在(0,)+∞内是增函数知，当12,0t t >时，332212t t -与12t t -符号相同．所以，()F x '与()()41233()1g x x x x λλ=+-+((0,))x ∈+∞的符号相同，而441422224123333333333()()()()g x x x x x x x λλλλλλ=---=-+-，注意到02λ<≤，22111141333333332x x x x λλλλλ+≥=≥=，当且仅x λ=时取等号．所以，当x λ=时，()0()0g x F x '=⇔=；当0x λ<<时，()0()0g x F x '>⇔>；当x λ>时，()0()0g x F x '<⇔<，由此可知，()F x 在(0,]λ上是增函数，在[,)λ+∞上是减函数，故当x λ=时，()F x 取最大值()F λ=，又0()l i m()1,()l i m ()1x x F x F x F x F x →→+∞>=>=，所以1()F x <≤，即对022,0a x <≤⇔≥>，有1<+≤（5）应用（5）左边不等式有，()f x =+>+1>．应用（5）右边不等式知，要证()2f x <，只需证，当2a ≥时，有2+< （6）令t =202a t ≥⇔<≤，2()(0,2])H t t =∈，则()()3322281()18H t t t'=-++它与22241(2)()((0,2])81(8)(1)t h t t t tt t --=-=∈++++的符号相同，而当02t <<时，()0()0h t H t '<⇔<，因此，()H t 在(0,2]上是减函数，所以()(0)2H t H <=，即（6）成立，故()2f x<．证明2 （不用导数）：求()F x的值域及证明（6）不用导数，而通过平方、换元、分解等变形手段加以解决．因为22()(1)(1/)F xa aλ⎛⎫=+=++,令u==，显然1uλ≥=+，所以2222221212()(1)1u uF xu u uλλ+-+==-++，又令11, 01t tuλ=<≤+，则222()()(1)21F tG t t tλ==-++，11tλ<≤+①当01λ<<时，222221()(1)()11G t tλλλλ=--+--，1(0,]1tλ∈+，因211λ<-，所以()G t在1(0,]1λ+上是增函数，则1(0)()()1G G t Gλ<≤+,即41()1()1G t F xλ<≤⇔<≤+；②当12λ<≤时，则21111λλ≥-+，()G t在1(0,]1λ+上是增函数，则(0)G()G t<1()1Gλ≤+即41()1()1G t F xλ<≤⇔<≤+．③当1λ=时，1()21,(0,]2G t t t=+∈，所以11()()22G t G<≤=，即此时()F x的值域为；综上所述：对02,0x<≤>，有1<≤．()1f x>按证法1；要证()2f x<，只需证(6)v=，由2a≥⇔1v<≤，则（6）等价于2222(1)2(1)vv vv v-+<⇔<⇔+<[]()222432222(1)4183291802(1)(3)(6)0v v v v v v v v v v⎡⎤⇔+<-+⇔--+>⇔-+-->⎢⎥⎣⎦，由1v<≤6）成立，故()2f x<．注记1．证法2中求()G t的值域，若用导数，可避免分类讨论．因为2()2[(1)1]G t tλ'=-+，由2λ≤，有1()201G λλ'=-≥+，又(0)10G '=>，因此，对101t λ<≤+，有()0G t '≥，所以()G t 在1(0,]1λ+上是增函数，因而，14(0)()(), 1()1()11G G t G G t F x λλ<≤<≤⇔<≤++即．注记2．应用第二种方法可以很容易求出11()F x =+，当2λ>时的值域．实际上作者在[3]给出的第725题：“设0x >，λ为正常数，求函数A =+得到的结论为：当02λ<≤时，A 的值域为；当23λ<<时，A 的值域为；当3λ≥时，A 的值域为．注记3：上面的证法虽然不是最最简单的，其证明思路却是最自然的．如果通过合情推理先猜出（5），然后直接证明（5）可以使问题得到简化．令8bax=，λ==202a λ≥⇔<≤=+，考虑极端的情形：当x b λ==+=，当0(0)x x →>1+→，注意到当02λ<≤1>，可以猜测：当,0,02x b λλ>=<≤时，有1<+≤（7）证： (7)左边2(1)(1)x b ⇔>++21x b x b xb ⇔+++>+++1xb ⇔+>，而 11λ≥=+=+．只需证 2212(1)230(1)(3)0λλλλλλ++>⇔--<⇔+-<， 由02λ<≤知，上式显然成立，所以（7）左边的不等式成立．令t =，则，11t λ=≥=+=+，则（7）右边(1)(24(1)(1)x b x b λ⇔++++≤++222(1)(12)4t t t λλ⇔++-+≤22(3)2(1)(1)(1)0t t λλλλ⇔-++-+-≤21(3)()[(1)]03t t λλλλ-⇔---+≤-，后一式显然成立（这是因为由 02λ<≤有30λ-<及2113λλλ-≤+-，由此及1t λ≥+有(1)0t λ-+≥及2103t λλ--≥-），所以（7）左边的不等式成立． 2.2 正难则反直接证明不容易时，我们可以考虑用反证法证明，这里我们用反证法证明与原题等价的(1)式． 证明3： 令u v w ===2221111,1,1a b a uvw⇔=-=-=-，则2221111118u v w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（8） 假设存在正数,,a b c 满足8abc =使（1）左边的不等式不成立，即存在正数,,u v w 满足（8）但1u v w ++≤．注意到 0,,1u v w <<，有110u u v w +>-≥+≥>，所以222221(1)(1)(1)41u u u vw uuuuu-+--=>≥=，同理，有222214141,1w u uv vvww->->，故22222211144411164vw w u uvu v w u v w ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，这与(8)矛盾，因此(1)左边的不等式成立． 假设存在正数,,a b c 满足8abc =使（1）右边的不等式不成立，即存在正数,,u v w 满足（8）但2u v w ++≥． 注意到0,,1u v w <<，有012u <+<，011(1)(1)u v w vw v w vw <-≤+-=---<，所以2221(1)(1)201u u vw uuu-+<-=<，同理，有2222121201,01w u uv vvww<-<<-<，故22222211181118vw w u uvu v w u v w ⋅⋅⎛⎫⎛⎫⎛⎫---<=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭这与（8）矛盾，因此（1）右边的不等式成立． 通过以上分析，我们认为此题有一定难度，但也并不是无从下手．考生不知道如何下手，并不是缺少相应的知识、方法，而是缺乏制定正确解题策略的能力．参考文献[1] 走向IMO－数学奥林匹克试题集锦（2003）（p24-p27），华东师范大学出版社，2003年8月.[2] /bbs/viewthread.php?tid=563&extra=page%3D1.[3]蒋明斌，“数学问题与解答”725题．数学教学，2007年第12期.。
【高考数学】2008年真题试卷及答案解析--江西理科
准考证号_____________姓名____________(在此卷上答题无效)绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2面。
第Ⅱ卷3至4页，共150分第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=4ΠR2如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径P(A+B)=P(A)+P(B) S=4ΠR2P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么 V=43ΠR3n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径P n(k)=C k n P k(1-p)n-k一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数z=sin2+i cos2对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.定义集合运算：A*B={z|z=xy,x∈B}.设A=｛1,2｝,B={0,2},则集合A*B的所有元素之和为A.0B.2C.3D.63.若函数y=(x)的值域是[12,3],则函数F(x)=f(x)+1()f x的值域是A. [12,3] B.[2,103] C.[510,23] D.[3,103]4.1x→=A.12B.0C.-12D.不存在5.在数列{}n a 中，1112,ln(1)n n a a a n +==++，则n a ＝A.2+ln nB. 2(1)ln n n +-C.2ln n n +D. 1ln n n ++6.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象大致是7.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A.（0，1）B.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 0,2⎛ ⎝⎦D. 2⎫⎪⎪⎣⎭8. 610(1(1++展开式中的常数项为 A. 1 B.46 C.4245 D.42469.若12120,0,a a b b 且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是A. 1122a b a b +B.a 1a 2+b 1b 2C.a 1+b 2+a 2b 1D. 1210.连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于M N 、分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题的个数为A.1个B.2个C.3个D.4个11.电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为A.1180B. 1288C. 1360D. 148012.已知函数f (x )= 2mx 2-2(4-m )x +1,g (x )=mx ,若对于任一实数x ,f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A.（0，2）B.（0，8）C.（2，8）D.（-∞，0）绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题卡上.13.直角坐标平面内三点A (1,2)、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F 为线段BC 的三等分点，则·AE AF =___________. 14.不等式31122x x -+≤的解集为_________. 15.过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点（点A 在y 轴左侧），则AFFB =__________.16.如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实习装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P .如果将容器倒置，水平也恰好过点P （图2）.有下列四个命题：A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD.若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：________（写出所有真命题的代号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝2A B ++tan 2C =4，sin B sin C ＝cos 22A .求A 、B 及b 、c. 18.（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施.若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξI (i=1,2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数.（1）写出ξ1、ξ2的分布列;（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大？19.（本小题满分12分）等差数列{a n }各项均为正整数，a 1=3，前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1=1,且b 2S 2=64，{b an }是公比为64的等比数列.(1)求a n 与b n;(2)证明：1211S S ++…+134n S <.20.（本小题满分12分）如图，正三棱锥O -ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于A 1、B 1、C 1，已知OA 1=32.(1)证明：B 1C 1⊥平面OAH ；(2)求二面角O -A 1B 1-C 1的大小.21.（本小题满分12分）设点P（x0,y0）在直线x=m(y≠±m,0<m<1)上，过点P作双曲线x2-y2=1的两条切线P A、PB，切点为A、B，定点M（1m，0）.（1）过点A作直线x-y=0的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在的曲线方程；（2）求证：A、M、B三点共线.22.（本小题满分14分）已知函数f(x=(1)当a=8时，求f(x)的单调区间；(2)对任意正数a,证明：1＜f(x)＜2.。
2008年高考数学试卷(江西.理)含详解
准考证号 姓名（在此卷上答题无效）绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C kn P k (1一P )kn -一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数sin 2cos2z i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设{}{}1,2,0,2A B ==，则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的值域是1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则函数()()1()F x f x f x =+的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim1--+→x x x ＝A ．21 B ．0 C ．－21D ．不存在 5．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +⎛⎫==++⎪⎝⎭，则n a ＝ A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间(2π，23π)内的图象大致是A B C D7．已知12F F 、是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1)8．(1＋3x )6(1＋41x)10展开式中的常数项为A ．1B ．46C ．4245D ．42469．若12120,0a a b b <<<<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．2110．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： ①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l 其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1801 B ．2881 C ．3601 D ．480112．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点()()()1,23,29,7A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE ·AF ＝ ．14．不等式132+-xx ≤21的解集为 ． 15．过抛物线()220x py p =>的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan 2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A．求A 、B 及b 、c ．18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令()1,2i i ξ=表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大? 19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ； （2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43．20．（本小题满分12分）正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA OB OC 、、两两垂直，且长度均为2．E F 、分别是AB AC 、的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA OB OC 、、或其延长线分别相交于111A B C 、、，已知132OA =． （1）证明：11B C ⊥平面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小．21．（本小题满分12分）设点()00,P x y 在直线(),01x m y m m =≠±<<上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB 、，切点为A B 、，定点M (m1，0)． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B 、、三点共线． 22．（本小题满分14分） 已知函数()f x ＝x+11＋a+11＋8+ax ax，x ∈(0，＋∞)．（1）当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)(理科)试题
高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）（理科） 试题 2019.091,若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ．2,若将复数11ii +-表示为(,,a bi a b R i +∈是虚数单位）的形式，则a b += ．3,若集合2{|(1)37,}A x x x x R =-<+∈，则A Z 中有 个元素 4,已知向量a 和b 的夹角为0120，||1,||3a b ==，则|5|a b -= ．5,在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是6,某地区为了解7080-岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h ），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S 的值为7,设直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b 的值是8,如图，在平面直角坐标系xoy 中，设三角形ABC 的顶点分别为)0,(),0,(),,0(c C b B a A ，点(0,)P p 在线段AO 上的一点（异于端点），这里pc b a ,,,均为非零实数，设直线CP BP ,分别与边AB AC ,交于点F E ,，某同学已正确求得直线OE 的方程为01111=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y a p x c b ，请你完成直线OF 的方程：( )011=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+y a p x 。
9,将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（3≥n ）从左向右的第3个数为10,设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2y xz 的最小值是11,在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为12,满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值13,设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为14,如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角αβ，，它们的终边分别交单位圆于A B ，两点．已知A B ，两点的横坐标分别是10，5．（1）求tan()αβ+的值； （2）求2αβ+的值．15,如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点． 求证：（1）直线//EF 面ACD ；（2）平面EFC ⊥面BCD ．16,如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的两个顶点A ，B 及CD 的中点P 处．AB ＝20km ，BC ＝10km ．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A ，B 等距的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO ，BO ，PO ．记铺设管道的总长度为ykm ． （1）按下列要求建立函数关系式：（Ⅰ）设BAO θ∠=（rad ），将y 表示成θ的函数； （Ⅱ）设OP x =（km ），将y 表示成x 的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。
2008年高考理科数学试题(江西卷)
2008年高考理科数学试题（江西卷)1．在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算:{},,.A B z z xy x A y B *==∈∈设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B *的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6 3．若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是A ．1[,3]2B ．10[2,]3C ．510[,]23D ．10[3,]34．1lim x →=A ．12B ．0C ．12- D ．不存在5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C ．(0,)2D．[28．610(1(1++展开式中的常数项为A ．1B ．46C ．4245D ．42469若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是AB-CD-A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．1/210．连结球面上两点的线段称为球的弦。
半径为4的球的两条弦AB 、CD的长度分别等于、M 、N分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，下列四命题：①弦AB 、CD 可能交于点M ②弦AB 、CD 可能交于点N ③MN 的最大值为5④MN 最小为1 其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为 A ．1180B ．1288C ．1360D ．148012．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A.(0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ． (,0)-∞13．直角坐标平面上三点A(1,2)B(3,-2)C(9,7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则AE AF⋅= ．14．不等式31122x x -+≤的解集为 ．15．过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾角为30 的直线，与抛物线分别交于A,B 两点（A 在y 轴左侧），则A F F B= ．16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数学 解析版
2008年普通高等学校招生全国统一考试江西卷数学试题（理科）全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径P n (k )＝C k n P k(1一P )kn一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z =sin2＋i cos 2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【标准答案】D【试题解析】易知sin2>0 ,cos 2<0。
根据复数的几何意义可知z 所对应的点位于第四象限。
【高考考点】三角函数的定义和复数的几何意义【易错提醒】实数值与三角函数角的大小的对应。
【备考提示】注意复数的几何意义。
2．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6 【标准答案】D【试题解析】A ，B 两个集合中的元素的乘积：1⨯0=0，1⨯2=2，2⨯0=0，2⨯2=4.故集合A *B 有三个元素0，2，4，它们的和为6。
2008年高考数学(理科)试卷及答案(江西卷)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z =sin 2＋i cos 2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6 3．若函数y ＝f (x )的值域是[21，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim1--+→x x x ＝A ．21 B ．0 C ．－21D ．不存在 5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C． D． 8．(1＋3x )6(1＋41x)10展开式中的常数项为ABCDA ．1B ．46C ．4245D ．42469．已知实数1a 、2a 和有理数1b 、2b ，若210a a <<，210b b <<，且12121=+=+b b a a ，则下列代数式中值最大的是 （ ）、A 2121b b a a + 、B 2211b a b a + 、C 1221b a b a + 、D 2110．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ；②弦AB 、CD 可能相交于点N ；③MN 的最大值为5；④MN 的最小值为l .其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 A ．1801 B ．2881 C ．3601 D ．4801 12．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，－2)、C(9，7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则²＝ ． 14．不等式132+-x x ≤21的解集为 ． 15．过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF＝ ． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题： A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A．求A 、B 及b 、c ． 18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi (i ＝1，2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?19．（本小题满分12分）数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++< . 20．（本小题满分12分）正三棱锥O －ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于A 1、B 1、C 1，已知OA 1＝23． （1）证明：B 1C 1⊥平面OAH ；（2）求二面角O －A 1B 1－C 1的大小．21．（本小题满分12分）设点P (x 0，y 0) 在直线x ＝m ( y ≠±m ，0＜m ＜1)上，过点P 作双曲线搿x 2－y 2＝1的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M(m1，0)． （1）过点A 作直线x －y ＝0的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A 、M 、B 三点共线．1C 1A22．（本小题满分14分） 已知函数f (x )＝x+11＋a+11＋8+ax ax，x ∈(0，＋∞)．（1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2．2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考答案1．D .因sin 20,cos 20><所以sin 2cos2z i =+对应的点在第四象限， 2．D .因*{0,2,4}A B =3．B .令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t =+∈ 4．A.11x x →→=1 =1=2x →5. A . 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++- 1234ln()()()()2ln 1231n na a n n ⇒=+=+-6．D. 函数2tan ,tan sin tan sin tan sin 2sin ,tan sin x x x y x x x x x x x <⎧=+--=⎨≥⎩当时当时7．C .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则2222212c b c b a c e <⇒<=-⇒<又(0,1)e ∈,所以1(0,)2e ∈8．D . 常数项为346861061014246C C C C ++=9. A. 22121212121()()222a ab b a a b b +++≤+=112212************()()()()()0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--≥ 11221221()a b a b a b a b +≥+12121122112112221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=+++≤+112212a b a b +≥10．C . 解：①③④正确，②错误。
08年江西高考试卷出题官
08年江西高考试卷出题官
xxx。
何许人也？非江西确的学生可能不一定知道他，但在江西，他可是名气在外。
xxx素师富业生南京大学教学系，毕业后到江西任教。
从2008年开始，他开始担任江西省平数学命题小组组长,一直到2011年。
xxx老师出题风格跟xxx差不多,以难著称,在他担任命题组长的4年里,江西高考数学平均分从来没有超过80分。
比如2008年,江西文科数学平均分63分,理科平均分69分。
xxx在2008年,第一次担任江西高考数学命题组长时,就创造了很多历史,被称为高考数学的神话。
这个神话是发生在2008年江西高考数学理科卷最后的压轴题。
这道题当年一出,江西省内当年高考无一人全部答对,14分的题目,得9分的有一1人,得8分的一人，第二小题无一人会答,后平均得分只有0.31分,史上最低纪录,直接秒杀了江西三十多万考生。
这题别说学生不会了,连老师都不会。
据说,省范围内,包括老师在内,也只有3人能够全部答对,甚至有人夸张地说,当年高考改卷的时候,老师只要改到倒数第二题就结束了,xxx让江西高考数学卷有了最后一题仅供欣赏的优良传统。
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由2008年江西高考理科数学最后一题说起
周湖平
年年岁岁卷相似，岁岁年年题不同。
2008年是江西省高考数学自主命题的第四年，今年全省理科平均分为69.37 比去年了降了19.87，特别是理科压轴题的难度系数为0.11，属于超难题。
2007年考生满面笑容，2008年考生叫苦连天。
2008年的理科压轴题是一道函数与不等式的综合题，一改前两年以数列与不等式的综合题为压轴题局面，避免了老师和学生猜题压宝，具有良好的导向作用。
压轴题基于公平的原则体现了试题选拔功能,其设计之新颖,立意之深隧,技巧之高难，把选拔功能体现得酣畅淋漓。
本文以08年江西省高考数学理科压轴题为例谈谈自己的看法。
1考查能力好载体
题目 函数()f x ＝x +11＋a +11＋8
+ax ax ，x ∈(0，＋∞)． （1）当8a =时，求()f x 的单调区间；
（2）对任意正数a ，证明：()12f x <<．
解 （1）略
（2）对任意给定的0>a ，0>x ，因为
ax a x x f 8
111111)(+++++=，若令ax
b 8=，则8=abx ① b
a x x f +++++=11
11
11
)( ② （一）先证1)(>x f ：因为x x +>+1111，a a +>+1111，b
b +>+1111 又由x b a +++2≥8244=abx ，∴x b a ++≥6
所以
（2）.再证2)(<x f ：由①、②中关于x ，a ，b 的对称性，不妨设x ≥a ≥b ，则0<b ≤2， （Ⅰ）.当a+b ≥7，则a ≥5，∴x ≥a ≥5
111
<+b ，162
61
61
11
11
<=+≤+++a x
1)1)(1)(1()()(1)1)(1)(1()()(9)1)(1)(1()(2311111111
1111)(=++++++++++=+++++++++≥+++++++++=+++++>+++++=b a x abx ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x ax bx ab x b a b a x b a x x f
∴211
11
11
)(<+++++=b a x x f
（Ⅱ）若a+b<7，由①得ab x 8=，∴8
11+=+ab ab x ③ 因为222))
1(21()(41111b b b a b b b b +-=+++-<+ ∴)1(2111
b b b +-
<+ ④ 同理得)1(2111a a a +-
<+ ⑤，于是 )8
211(212)(+-+++-<ab ab b b a a x f ⑥ 今证明8
211+>+++ab ab b b a a ⑦ 因为)1)(1(211b a ab b b a a ++>+++，则只要)
1)(1(2b a ab ++82+>ab ab 只要ab b a +<++8)1)(1(，即证ab ab b a +<+++81，即a+b<7，而这显然成立。
综上，对任意正数a ，()12f x <<．
此题虽然难，但其第（1）问的入口较宽，只要正确求出函数的导数，便可得到答案；这样变难题的整体把关为难题的分支把关，充分考查学生的个性品质。
数学压轴题已从“一题把关”转为“多题把关”，设置了层次分明的台阶，入口宽，上手易，但是深入难，解到底更难。
第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。
第（2）问的构造思想和放缩法等的应用要有很高的技巧，以下引用不等式研究专家宋庆老师的发言：说句实在话，该题命题人陶平生教授[1]所给出的证明是最好的。
问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。
平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。
2似曾相识燕归来
08年江西理科最后一题第（2）小题与2004年西部奥林匹克最后一题类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。
而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。
2004西部数学奥林匹克第八题求证：对任意正实数a、b、c都
有
22
1
2
<≤（王建伟供题）
提示：令
222
222
,,
b c a
x y z
a b c
===，则,,
x y z R
+
∈，1
xyz=，于是，只须证
明
1
2
<≤，不妨设x y z
≤≤。
《中学数学研究》(南昌)2006年第2期“一道西部数学奥林匹克赛题的溯源与推广”（四川省篷安中学蒋明斌老师著）；对那道西部奥林匹克题给出了推广。
福建龙岩学院吴善和老师2004年7月，在《中学数学研究》（南昌）“关于IMO42一个不等式的逆向”一文给出了右边不等式的一种证明。
从历届竞赛题中找借鉴已成为高考命题的一种趋势，2008年有几道高考试题具有竞赛背景，譬如，天津市数学高考理科第22题第（3）小题，需要按4的剩余类讨论，广东省数学高考理科第21题和重庆数学高考理科第22题均涉及求二阶线性递归数列的通项公式。
参加过数学竞赛训练的同学得益明显，试题背景有失公平，引发争议。
3华山不止一条道
著名数学家张景中院士认为此题难度较大，适宜竞赛而不适合高考。
命题者提供的参考答案看似推理自然，但实际上做题者难以想到。
下面提供另一种解法，以供叁考。
=
8
b=x,c=
ax
，问题转化为在三个正数a、b、c且8
abc=
的条件下求(,,)
F a b c=的上下界。
不妨设a b c
≤≤，记
8
,,
t a k ab c
k
===，把(,,)
F a b c看成t的函
数()(,,
f t F a b c
==+
，注意变量和参数范围为02
t
<≤≤，计算导数
33
233
22
2
1
'()((1)(1))((1)())(,)
2
k k
f t t k t t t k Q t k
t t
--
=-+++=+-+，这里(,)
Q t k是某个正值代数式，于是可根据233
()((1)())
g t k t t t k
=+-+
的正负来判断的增减。
注意到0
g=，容易作因式分解：22
()()((3))
g t k t t k k t k
=---+，由第二个因式形成的二次方程2(3)0
t k k t k
--+=的判别式22
(3)4
k k k
=--
，当4
k<时有0
<。
于是
2(3)
t k k t k --+
在上递增，从而()
f t
在t=处最大。
容易检验
有
2
f=<和()1
f t>。