含答案中考数学复习专题六规律探索题

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中考数学专题复习——规律探索(详细答案)

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标为（）．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是。

中考规律探索型问题及答案

规律探索型问题1. 如图,下面是按照一定规律画出的“数形图”,经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”, 图A 3比图A 2多出4个“树枝”, 图A 4比图A 3多出8个“树枝”,……,照此规律,图A 6比图A 2多出“树枝”D. 124答案C2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,第 n 个图形有个小圆. 用含 n 的代数式表示答案(1)4n n ++或24n n ++3. 观察下列算式：① 1 × 3 - 22= 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42= 15 - 16 = -1 ④ ……1请你按以上规律写出第4个算式； 2把这个规律用含字母的式子表示出来；3你认为2中所写出的式子一定成立吗并说明理由．答案解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+--- 1=-.第1个图形第 2 个图形第3个图形第 4 个图形4. 观察上面的图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第_____个图形共有120 个;答案155. 先找规律,再填数：1111111111111111,,,,122342125633078456............111+_______.2011201220112012+-=+-=+-=+-=-=⨯则答案110066. 观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；……解答下面的问题： 1若n 为正整数,请你猜想)1(1+n n ＝；2证明你猜想的结论； 3求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ .答案 1111n n -+ 2证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n nn n +-+＝)1(1+n n .3原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101 ＝12009120102010-=. 7. 设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+++,则S=_________ 用含n 的代数式表示,其中n 为正整数．答案122++n nn ．22111(1)n S n n =+++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+⨯++=2111[]2(1)(1)n n n n ++⨯++ =21[1](1)n n ++∴S=1(1)12+⨯+1(1)23+⨯+1(1)34+⨯+…+1(1)(1)n n ++122++=n n n .接下去利用拆项法111(1)1n n n n =-++即可求和．8. 如下数表是由从1 开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.1表中第8行的最后一个数是 ,它是自然数的平方,第8行共有个数；2用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ,最后一个数是 ,第n 行共有个数；3求第n 行各数之和．解164,8,15；22(1)1n -+,2n ,21n -；3第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的,第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.9.求1+2+22+23+…+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22012,则2S=2+22+23+24+…+22013,因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52012的值为A ．52012﹣1 B ．52013﹣1 C ． D ．解析设S=1+5+52+53+…+52012,则5S=5+52+53+54+…+52013,因此,5S ﹣S=52013﹣1,S=答案选C ．10.观察下列一组数：32,54,76,98,1110,…… ,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k 个数是．答案122+k k11. 观察下列面一列数：1,-2,3,-4,5,-6,…根据你发现的规律,第2012个数是___________ 答案-201212.在下图中,每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成,照此规律,第10个图案中共有个小正方形;答案100．13、如图,第1个图有2个相同的小正方形,第1个图有2个相同的小正方形,第2个图有6个相同的小正方形,第3个图有12个相同的小正方形,第4个图有20个相同的小正方形,……,按此规律,那么第n 个图有个相同的小正方形;（1） 2 3 4 解析：因为()()()()1445420,1334312,122326,111212+⨯=⨯=+⨯=⨯=+⨯=⨯=+⨯=⨯=,故第n 个图有n n +2个小正方形 .答案n n +2或nn+114．如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n 个图案中阴影小三角形的个数是．故答案为：4n ﹣2或2+4n ﹣1 答案4n ﹣2或2+4n ﹣115．在平面直角坐标系xOy 中,点1A ,2A ,3A ,…和1B ,2B ,3B ,…分别在直线y kx b =+和x 轴上．△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,…都是等腰直角三角形,如果A 11,1,A 223,27,那么点nA 的纵坐标是_ _____．答案123-⎪⎭⎫⎝⎛n 16．观察下列等式：第1个等式：a 1==21×1﹣31；第2个等式：a 2==21×31﹣51；第3个等式：a 3==21× 51﹣71；第4个等式：a 4==21×71﹣91； …请解答下列问题：1按以上规律列出第5个等式：a 5= = ；2用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n = = n 为正整数； 3求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值．解答：解：根据观察知答案分别为：1；；2；；3．y xy=kx+bOB 3B 2 B 1 A 3 A 2A 117.右图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式： ()127531-+⋅⋅⋅++++n = .()是正整数表示，用n n解答：当2=n 时：()224122131==-⨯+=+当3=n 时：()23913231531==-⨯++=++当4=n 时：()24161425317531==-⨯+++=+++猜想：()127531-+⋅⋅⋅++++n =2n18．一组数据为：234,2,4,8,x x x x --观察其规律,推断第n 个数据应为 .答案11(1)2n n n x +--19. 小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,···成为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是答案：D20.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,…,则第⑥个图形中五角星的个数为解析：都是轴对称图形,每一排的个数都是偶数,分别是2,4,6,…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.答案D21．根据排列规律,在横线上填上合适的代数式：x,-3x2,5x3, -7x4 ,9x5,… ,表示第n代数式．22．如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个图形中平行四边形的个数是解析图形①中1=1×1+0,图形②中5=2×2+1,图形③中11=3×3+2,……,依次类推,∴第⑩个图形中平行四边形的个数是10×10+9=109解答D.23．如图12,已知A1,A2,A3,…A n,…是x轴上的点,且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n-1A n…＝1,分别过点A1,A2,A3,…A n,…作x轴的垂线交反比例函数y＝1xx＞0的图象于点B1,B2,B3,…B n,…,过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……,记△B1P1B2的面积为S1,△B2P2B3的面积为S2……,△B n P n B n+1的面积为S n,则S1＋S2＋S3＋…＋S n＝.解析由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n-1A n…＝1,可得P1B2＝P2B3＝P3B4＝…＝P n B n+1＝1,以及B11,1,B22,12,B33,13,…,B n n,1n,B n+1n＋1,11n+,所以S1＋S2＋S3＋…＋S n＝12B1P1·P1B2＋1 2B2P2·P2B3＋…12B n P n·P n B n+1＝12B1P1＋B2P2＋…B n P n＝121－12＋12－13＋…＋1n－11n+＝1 2 1－11n+＝2(1)nn+．答案2(1)nn+yx O A1A2A3B1B2B3P1P2图1210题图24. 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：① 第5个图形有多少颗黑色棋子 ② 第几个图形有2013颗棋子说明理由;解析第一个图需棋子6,第二个图需棋子9,第三个图需棋子12,第四个图需棋子15,第五个图需棋子18,…第n 个图需棋子3n+1枚．答案118；2第670个图形25、如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上,则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳,则经过2012次后它停在哪个数对应的点上 A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案：D26、将1、错误!、错误!、错误!按右侧方式排列．若规定m ,n 表示第m 排从左向右第n 个数,则4,2与21,2表示的两数之积是． A ．1 B ．2 C ．2错误! D ．6答案：D27、下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成,其中,第①个图形中一共有1个正方形,第②个图形中一共有5个正方形,第③个图形中一共有14个正方形,……则第⑦个图形中正方形的个数为A 、49B 、 100C 、140D 、91 答案：C第1个第2个第3个第4个134111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排……28、如图,已知直线l ：y =x ,过点A 0,1作y 轴的垂线交直线l 于点B ,过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1,过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去,则点A 4的坐标为A 、0,64B 、0,128C 、0,256D 、0,512答案： C29、如图,直线x y 33=,点1A 坐标为1,0,过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ,以原点O 为圆心,1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ,以原点O 为圆心,2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ,…,按此做法进行下去,点n A 的横坐标为A ．1)332(-n B ．23()3n C ．32()3n D ．132()3n答案：A第29题图30.如图,△ABC 是边长为1的等边三角形．取BC 边中点E ,作ED ∥AB ,EF ∥AC ,得到四边形EDAF ,它的面积记作S 1；取BE 中点E 1,作E 1D 1∥FB ,E 1F 1∥EF ,得到四边形E 1D 1FF 1,它的面积记作S 2．照此规律作下去,S 2012=A ．201023 B ．201223 C ．402423 D.402523答案：D31.观察下列图形：若图形1中阴影部分的面积为1,图形2中阴影部分的面积为43,图形3中阴影部分的面积为169,图形4中阴影部分的面积为6427,…,则第n 个图形中阴影部分的面积用字母表示为⑷⑶⑵⑴A ．n 43B ．n)43(C ．1)43(-nD ．1)43(+n答案：CA1第7题图第31题32．下列图形都是由同样大小的等边三角形按一定的规律组成,其中,第①个图形中一共有3根小棒,第②个图形中一共有9根小棒,第③个图形中一共有18根小棒,……,则第⑥个图形中小棒的根数为① ② ③A ．60B ．63C ．69D ．72 答案B33.已知a ≠0,12S a =,212S S =,322S S =,…,201220112S S =, 则2012S = 用含a 的代数式表示．答案：1a34、如图,n +1个上底、两腰长皆为1,下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上,设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1,四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2,……,四边形P n M n N n N n +1的面积记为S n ,则S n = ▲答案：33121n n ++ 35、设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++,若12...n S S S S =则S =_________ 用含n 的代数式表示,其中n 为正整数．答案： )1()2(2++n n n……36、如图,对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C 1,使得A 1B =2AB ,B 1C =2BC ,C 1A =2CA ,顺次连接A 1、B 1、C 1,得到△A 1B 1C 1,记其面积为S 1；第二次操作,分别延长A 1B 1,B 1C 1,C 1A 1至A 2,B 2,C 2,使得A 2B 1=2A 1B 1,B 2C 1=2B 1C 1,C 2A 1=2C 1A 1,顺次连接A 2,B 2,C 2,得到△A 2B 2C 2,记其面积为S 2……,按此规律继续下去,可得到△A 5B 5C 5,则其面积为S 5=_________. 第n 次操作得到△A n B n C n ,则△A n B n C n 的面积S n = .答案：195 19n37、在∠A 0°＜∠A ＜90°的内部画线段,并使线段的两端点分别落在角的两边AB 、AC 上,如图所示,从点A 1开始,依次向右画线段,使线段与线段在两端点处互相垂直,A 1A 2为第1条线段．设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1,则∠A = ；若记线段A 2n-1A 2n 的长度为a n n 为正整数,如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,则此时a 2= ,a n = 用含n 的式子表示．答案：22．5；12+1(12)n -+38. 下图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,若按此规律继续下去,则第5个五角形数是．答案：35第38题 5 12 1 22第39题 D 2D 3E 2E 3E 1D 1A BC 39.如图,已知Rt △ABC ,D 1是斜边AB 的中点,过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1,连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2,连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3,…,如此继续,可以依次得到点E 4、E 5、…、E n ,分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3···△BCE n 的面积为S 1、S 2、S 3、…S n . 则S n ＝ S △ABC 用含n 的代数式表示．答案：40. 一组按规律排列的数：2,0,4,0,6,0,…,其中第7个数是 ,第n 个数是 .用含字母n 的代数式表示,n 为正整数．答案：8,())1(2111+-++n n41、人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为1的网格图1中,从左下角开始,相邻的黑折线围成的面积分别是1,3,5,7,9,11,13,15,17…,它们有下面的规律：1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；…第1题1请你按照上述规律,计算1+3+5+7+9+11+13的值,并在图1中画出能表示该算式的图形；2请你按照上述规律,计算第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积；3请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形1+8=32；1+8+16=52；1+8+16+24=72；1+8+16+24+32=92．解答：解：11+3+5+7+9+11+13=72．算式表示的意义如图1．2第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积为2n﹣1．3算式表示的意义如图2,3等．。

中考数学高频考点《规律探究题》专项测试卷-带答案

中考数学高频考点《规律探究题》专项测试卷-带答案（14道）一、单选题1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线” 其中12C C 23C C 34C C 45C C …的圆心依次按O A B 1C 循环．当1OA =时点2023C 的坐标是( )A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形第1幅图形中“●”的个数为1a 第2幅图形中“●”的个数为2a 第3幅图形中“●”的个数为3a … 以此类推那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2021B ．6184C ．589840D ．4317603．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想数学皆有可衡”数学创新设计活动中 “智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m n 按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（） A ．m n +B ．mC ．n m -D ．2n4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023二填空题6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形顶点1B 2B 3B 4B 5B …都在x 轴上顶点1C 2C 3C 4C …都在正比例函数14y x =（0x ≥）的图象上且21212B C A C = 32322B C A C = 43432B C A C = … 连接12A B 23A B 34A B 45A B … 分别交射线1OC 于点1O 2O 3O 4O … 连接12O A 23O A 34O A … 得到122O A B ∆ 233O A B ∆ 344O A B ∆ …．若()12,0B ()23,0B ()13,1A ，则202320242024O A B ∆的面积为．7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，ABC 是正三角形点A 在第一象限点()0,0B ()1,0C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至1CP 将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120︒至2BP 将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120︒至3AP 将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至4CP ……以此类推，则点99P 的坐标是．8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图根据图中各式的规律 7()a b +展开的多项式中各项系数之和为． 9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中点A 在y 轴上点B 在x 轴上4OA OB == 连接AB 过点O 作1OA AB ⊥于点1A 过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B 过点1B 作12B A AB ⊥于点2A 过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B 过点2B 作23B A AB ⊥于点3A 过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B … 按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为．12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是．13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．三解答题14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法可以探究23...n q q q q +++++的值其中01q <<．例求2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．方法1：借助面积为1的正方形观察图①可知2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于该正方形的面积即23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法2：借助函数1122y x =+和y x =的图象观察图①可知 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于1a 2a 3a … n a …等各条竖直线段的长度之和即两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x 轴的距为1所以 23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【实践应用】任务一完善2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的求值过程．方法1：借助面积为2的正方形观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象观察图①可知因为两个函数图象的交点的坐标为______所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．任务二参照上面的过程选择合适的方法求23233334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．任务三用方法2 求23n q q q q +++++的值（结果用q 表示）．【迁移拓展】 51+的矩形是黄金矩形将黄金矩形依次截去一个正方形后得到的新矩形仍是黄金矩形．观察图① 直接写出2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．参考答案一、单选题1．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，四边形1OABC 是正方形曲线12345C C C C C 叫作“正方形的渐开线” 其中12C C 23C C 34C C 45C C …的圆心依次按O A B 1C 循环．当1OA =时点2023C 的坐标是( )A ．)12(022--，B ．)20231(-，C ．)12(023--，D ．(2022)0，【答案】A【分析】由题得点的位置每4个一循环经计算得出2023C 在第三象限与3C 7C 11C …符合同一规律探究出3C 7C 11C ...的规律即可．【详解】解：由图得123450110()()()()(140)205C C C C C ---，，，，，，，，， 67(506)1()C C --，，， … 点C 的位置每4个一循环202350543=⨯+①2023C 在第三象限与3C 7C 11C … 符合规律()11n --+，①2023C 坐标为)12(022--，．故选：A ．【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究理解题意求出坐标是解题关键．2．（2023·四川绵阳·统考中考真题）如下图，将形状大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形第1幅图形中“●”的个数为1a 第2幅图形中“●”的个数为2a 第3幅图形中“●”的个数为3a … 以此类推那么123191111a a a a +++⋅⋅⋅+的值为（）A ．2021B ．6184C ．589840D ．431760【答案】C【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律进而求解即可．【详解】解：1313a2824a 31535a 42446a…()2n a n n =+ ①123191111a a a a +++⋅⋅⋅+ 11111132435461921=++++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯⨯11111111111232435461921⎛⎫=-+-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪⎝⎭ 11111222021⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭589840=故选①C ．【点睛】此题考查图形的变化规律找出图形之间的联系找出规律是解题的关键．3．（2023·四川德阳·统考中考真题）在“点燃我的梦想数学皆有可衡”数学创新设计活动中 “智多星”小强设计了一个数学探究活动：对依次排列的两个整式m n 按如下规律进行操作：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后…其操作规则为：每次操作增加的项都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差小强将这个活动命名为“回头差”游戏．则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式中各项之和是（） A ．m n + B ．mC ．n m -D ．2n【答案】D【分析】先逐步分析前面5次操作可得整式串每四次一循环再求解第四次操作后所有的整式之和为：0m n n m m n n m ++----+= 结合202345053÷=⋅⋅⋅ 从而可得答案．【详解】解：第1次操作后得到整式串m n n m - 第2次操作后得到整式串m n n m - m - 第3次操作后得到整式串m n n m - m - n - 第4次操作后得到整式串m n n m - m - n - n m -+ 第5次操作后得到整式串m n n m - m - n -n m -+m⋅⋅⋅⋅⋅⋅归纳可得：以上整式串每六次一循环 ①202363371÷=⋅⋅⋅①第2023次操作后得到的整式中各项之和与第1次操作后得到整式串之和相等 ①这个和为2m n n m n ++-= 故选D【点睛】本题考查的是整式的加减运算代数式的规律探究掌握探究的方法并总结概括规律并灵活运用是解本题的关键．4．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展被数学界誉为“数学王子” 据传他在计算1234100+++++时用到了一种方法将首尾两个数相加进而得到100(1100)12341002⨯++++++=．人们借助于这样的方法得到(1)12342n n n ++++++=（n 是正整数）．有下列问题如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y 其中1,2,3,,,i n = 且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+ 如1(0,0)A 即120,(1,0)a A = 即231,(1,1)a A =- 即30,a = 以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n --- 再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点即1(0,0)A 这时10a = 第2圈有8个点即2A 到()91,1A 第3圈有16个点即10A 到()252,2A 依次类推第n 圈 ()211,1n A n n ---由规律可知：2023A 是在第23圈上且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+= 故A 选项不正确 2024A 是在第23圈上且()202421,22A 即2024212243a =+= 故B 选项正确第n 圈 ()211,1n A n n --- 所以2122n a n -=- 故C D 选项不正确故选B ．【点睛】本题考查图形与规律利用所给的图形找到规律是解题的关键．5．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行竖排为列）按数表中的规律分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为( ) 11122113 22 31 1423 32 41…… A ．2003 B ．2004 C ．2022 D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现分数的分子是几，则必在第几列只有第一列的分数分母与其所在行数一致故202023在第20列即20b = 向前递推到第1列时分数为201912023192042-=+ 故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =． ①2042202022.a b -=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．二填空题6．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形顶点1B 2B 3B 4B 5B …都在x 轴上顶点1C 2C 3C 4C …都在正比例函数14y x =（0x ≥）的图象上且21212B C A C = 32322B C A C = 43432B C A C = … 连接12A B 23A B 34A B 45A B … 分别交射线1OC 于点1O 2O 3O 4O … 连接12O A 23O A 34O A … 得到122O A B ∆ 233O A B ∆ 344O A B ∆ …．若()12,0B ()23,0B ()13,1A ，则202320242024O A B ∆的面积为．【答案】2023202494【分析】根据题意和图形可先求得12312290A B B B B A ∠∠=︒= 34323290A B B B B A ∠∠=︒=45434390A B B B B A ∠∠=︒=11190n n n n n n B A B B A B +--∠∠=︒= 333,02B ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭2433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233,02n n B -⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 从而得2022202433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2023202533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2023202220232024202533333222B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2022202220232024143332342O n B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⨯⎝⎭⨯⨯⎭⎝ 利用三角形的面积公式即可得解．【详解】解：①()12,0B ()23,0B ()13,1A①点()13,1A 与点()23,0B 的横坐标相同 12OB = 12321B B =-= 121A B = 23OB = ①12A B x ⊥轴 ①1290A B O ∠=︒ ①21212B C A C = ①21212B C A C = ①四边形1121A B B C 2232A B B C 3343A B B C 4454A B B C …都是平行四边形 ①1122A B A B ∥ 222A C OB ∥ 233A B OB ∥ 2223A B C B = 1121A B B C = ①112223A B B A B B ∠=∠ 12212C A C C B O ∠=∠ 12212C C A C OB ∠=∠ 2222111232B A B A B A BC == ①12212C C A C OB ∠∽ ①21222212232OB C B OB C A C A B B === ①23211322B B OB ==⨯①1222123232B B B B B A B C == 3233322OB OB ==⨯ ①212312A A B B B B ∽ ①12312290A B B B B A ∠∠=︒= ①333,02B ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭同理可得34323290A B B B B A ∠∠=︒= 45434390A B B B B A ∠∠=︒=11190n n n n n n B A B B A B +--∠∠=︒=2433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭233,02n n B -⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2022202433,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2023202533,02B ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2023202220232024202533333222B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭①2022202333,2O n ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在14y x =上 ①2022202220232024143332342O n B ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⨯⎝⎭⨯⨯⎭⎝①202320242024202320232202302240464220242025404820240211333222223944O A B SB O A B ⎛⎫⎛⎫=⋅=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⨯⎭⎝⎭故答案为：2023202494．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质平行四边形的性质坐标与图形坐标规律熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键．7．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）如图，ABC 是正三角形点A 在第一象限点()0,0B ()1,0C ．将线段CA 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至1CP 将线段1BP 绕点B 按顺时针方向旋转120︒至2BP 将线段2AP 绕点A 按顺时针方向旋转120︒至3AP 将线段3CP 绕点C 按顺时针方向旋转120︒至4CP ……以此类推，则点99P 的坐标是．【答案】(49,503-【分析】首先画出图形然后得到旋转3次为一循环然后求出点99P 在射线CA 的延长线上点100P 在x 轴的正半轴上然后利用旋转的性质得到99100CP = 最后利用勾股定理和含30︒角直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示由图象可得点1P 4P 在x 轴的正半轴上 ①．旋转3次为一个循环 ①99333÷=①点99P 在射线CA 的延长线上 ①点100P 在x 轴的正半轴上 ①()1,0C ABC 是正三角形 ①由旋转的性质可得 11AC CP == ①112BP OC CP =+=①()12,0P ①212BP BP ==①3223AP AP OP AO ==+= ①433314CP CP CA AP ==+=+= ①445BP BC CP =+= ①()45,0P①同理可得 ()78,0P ()1011,0P ①()100101,0P ①100101BP = ①1001011100CP =-=①由旋转的性质可得 99100CP = ①如图所示过点99P 作99P E x ⊥轴于点E①60ACB ∠=︒ ①9930EP C ∠=︒ ①991502EC P C == ①49EO EC OC =-= 229999503P E P C EC -=①点99P 的坐标是(49,503-．故答案为：(49,503-．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转勾股定理等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．8．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图根据图中各式的规律 7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【答案】128【分析】仿照阅读材料中的方法将原式展开即可得出结果．【详解】根据题意得：()5a b +展开后系数为：1,5,10,10,5,1 系数和：515101051322+++++==()6a b +展开后系数为：1,6,15,20,15,6,1系数和：61615201561642++++++==()7a b +展开后系数为：1,7,21,35,35,21,7,1系数和：71721353521711282+++++++== 故答案为：128．【点睛】此题考查了多项式的乘法运算以及规律型：数字的变化类解题的关键是弄清系数中的规律． 9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知 12345678,,,OA A A A A A A A △△△都是边长为2的等边三角形按下图所示摆放．点235,,,A A A 都在x 轴正半轴上且2356891A A A A A A ====，则点2023A 的坐标是．【答案】(3【分析】先确定前几个点的坐标然后归纳规律按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()()()()()2356892,0,3,0,5,0,6,0,8,0,9,0,A A A A A A 如图：过1A 作1A B x ⊥轴①12,OA A①111cos601,sin603,OB OA A B OA =︒⨯==︒⨯= ①(13A ,同理：(((47104,3,3,10,3,A A A -①点1A 的横坐标为1 点2A 的横坐标为2 点3A 的横坐标为3 ……纵坐标三个一循环 ①2023A 的横坐标为2023 ①202336741÷= 674为偶数①点2023A 在第一象限 ①(20233A ．故答案为(3．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质解直角三角形坐标规律等知识点先求出几个点发现规律是解答本题的关键．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++的值时发现：1100101+= 299101+=从而得到123100++++=101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形记作11a =分别连接这个三角形三边中点得到图（2）有5个三角形记作25a = 再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3）有9个三角形记作39a = 按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=- 进而即可求解．【详解】解：依题意 ()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-， ①123n a a a a ++++=()21432122n n n n n n +-==-=- 故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律找到规律是解题的关键．11．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中点A 在y 轴上点B 在x 轴上4OA OB == 连接AB 过点O 作1OA AB ⊥于点1A 过点1A 作11A B x ⊥轴于点1B 过点1B 作12B A AB ⊥于点2A 过点2A 作22A B x ⊥轴于点2B 过点2B 作23B A AB ⊥于点3A 过点3A 作33A B x ⊥轴于点3B … 按照如此规律操作下去，则点2023A 的坐标为．【答案】20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】根据题意结合图形依次求出123,,A A A 的坐标再根据其规律写出2023A 的坐标即可．【详解】解：在平面直角坐标系中点A 在y 轴上点B 在x 轴上 4OA OB == OAB ∴是等腰直角三角形 45OBA ∠=︒1OA AB ⊥1OA B ∴是等腰直角三角形同理可得：1111,OA B A B B 均为等腰直角三角形 1(2,2)A ∴根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形依次可得：()2342211113,1,4,,4,,2222A A A ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可推出：点2023A 的坐标为20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．故答案为：20212021114,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征以及点的坐标变化规律问题等腰直角三角形的性质解题的关键是依次求出123,,A A A 的坐标找出其坐标的规律．12．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 ABC 的顶点A 在直线13:l y x =上顶点B 在x 轴上 AB 垂直x 轴且22OB = 顶点C 在直线2:3l y x 上 2BC l ⊥ 过点A 作直线2l 的垂线垂足为1C 交x 轴于1B 过点1B 作11A B 垂直x 轴交1l 于点1A 连接11A C 得到第一个111A B C △ 过点1A 作直线2l 的垂线垂足为2C 交x 轴于2B 过点2B 作22A B 垂直x 轴交1l 于点2A 连接22A C 得到第二个222A B C △ 如此下去 ……，则202320232023A B C 的面积是．【答案】23【分析】解直角三角形得出30AOB ∠=︒ 60BOC ∠=︒ 求出3ABC S 证明111ABC A B C ∽△△222ABC A B C ∽ 得出1114A B C ABCSS= ()22222242A B C ABCABCSSS=⋅=⋅ 总结得出()2222n n nn n A B C ABCABCSSS== 从而得出202320232023220232323A B C S⨯=【详解】解：①22OB =①()22,0B ①AB x ⊥轴①点A 的横坐标为2①13:l y =①点A 32622①2633tan 22AB AOB OB ∠==①30AOB ∠=︒ ①2:3l y x =①设(),C C C x y ，则3C C y x ①tan 3CCy BOC x ∠==①60BOC ∠=︒①1cos602222OC OB =⨯︒==3sin 60226BC OB =⨯︒==①130AOC BOC AOB ∠=∠-∠=︒ ①1AOB AOC ∠=∠ ①OA 平分BOC ∠ ①12AC l ⊥ AB OB ⊥ ①126AC AB ==①1AB AC = OA OA = ①1Rt Rt OAB OAC ≌ ①122OC OB ==①112222CC OC OC =-=①12ABCOABACC BOCSSSS=--126126122226222=⨯⨯--3①2BC l ⊥ ①90BCO ∠=︒①906030CBO ∠=︒-︒=︒ ①112B C l ⊥ 2BC l ⊥ 222B C l ⊥ ①2112B B C C B C ∥∥①112230C B O C B O CBO ∠=∠=∠=︒ ①1122C B O C B O CBO AOB ∠=∠=∠=∠ ①1AO AB = 112AO A B = ①AB x ⊥轴 11A B x ⊥轴①112OB OB = 1212OB OB =①AB x ⊥轴 11A B x ⊥轴 22A B x ⊥轴①1122AB A B A B ∥∥ ①11112AB OB A B OB ==22214AB OB A B OB == ①2112B B C C B C ∥∥ ①11112BC OB B C OB ==22214BC OB B C OB == ①1111AB BCA B B C = ①111903060ABC A B C ∠=∠=︒-︒=︒ ①111ABC A B C ∽△△ 同理222ABC A B C ∽ ①1114A B C ABCS S=()22222242A B C ABC ABCSSS=⋅=⋅ ①()2222n n nn n A B C ABCABCS SS==①202320232023220232323A B C S⨯=故答案为：23【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质解直角三角形三角形面积的计算平行线的判定和性质一次函数规律探究角平分线的性质三角形全等的判定和性质解题的关键是得出一般规律()2222n n nn n A B C ABCABCSSS==．13．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中四边形ABOC 是正方形点A 的坐标为(1,1) 1AA 是以点B 为圆心 BA 为半径的圆弧 12A A 是以点O 为圆心 1OA 为半径的圆弧 23A A 是以点C 为圆心 2CA 为半径的圆弧 34A A 是以点A 为圆心 3AA 为半径的圆弧继续以点B O C A 为圆心按上述作法得到的曲线12345AA A A A A 称为正方形的“渐开线”，则点2023A 的坐标是．【答案】()2023,1-【分析】将四分之一圆弧对应的A 点坐标看作顺时针旋转90︒ 再根据A 1A 2A 3A 4A 的坐标找到规律即可．【详解】①A 点坐标为()1,1 且1A 为A 点绕B 点顺时针旋转90︒所得 ①1A 点坐标为()2,0又①2A 为1A 点绕O 点顺时针旋转90︒所得 ①2A 点坐标为()0.2-又①3A 为2A 点绕C 点顺时针旋转90︒所得 ①3A 点坐标为()3,1-又①4A 为3A 点绕A 点顺时针旋转90︒所得 ①4A 点坐标为()1,5由此可得出规律：n A 为绕B O C A 四点作为圆心依次循环顺时针旋转90︒ 且半径为1 2 3 n每次增加1． ①202355053÷=故2023A 为以点C 为圆心半径为2022的2022A 顺时针旋转90︒所得故2023A 点坐标为()2023,1-．故答案为：()2023,1-．【点睛】本题考查了点坐标规律探索通过点的变化探索出坐标变化的规律是解题的关键．三解答题14．（2023·山东潍坊·统考中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法可以探究23...n q q q q +++++的值其中01q <<．例求2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．方法1：借助面积为1的正方形观察图①可知2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于该正方形的面积即23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．方法2：借助函数1122y x =+和y x =的图象观察图①可知 2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果等于1a 2a 3a … n a …等各条竖直线段的长度之和即两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x 轴的距为1所以 23111112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【实践应用】任务一完善2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的求值过程．方法1：借助面积为2的正方形观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象观察图①可知因为两个函数图象的交点的坐标为______所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．任务二参照上面的过程选择合适的方法求23233334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．任务三用方法2 求23n q q q q +++++的值（结果用q 表示）．【迁移拓展】 51+的矩形是黄金矩形将黄金矩形依次截去一个正方形后得到的新矩形仍是黄金矩形．观察图① 直接写出2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．【答案】任务一、方法1：2 方法2：()2,2 2 任务二 3 任务三 1qq- [迁移拓展] 51- 【分析】任务一、仿照例题分别根据方法1 2进行求解即可任务二借助函数3344y x =+和y x =得出交点坐标进而根据两个函数图象的交点到x 轴的距离．因为两个函数图象的交点()2,2到x 轴的距为2 即可得出结果任务三参照方法2 借助函数y qx q =+和y x =的图象得出交点坐标即可求解 [迁移拓展]观察图①第一个正方形的面积为051111-⨯==⎝⎭ 第二个正方形的面积为2251511⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ……进而得出则2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值等于长51+的矩形减去1个面积为1的正方形的面积即可求解．【详解】解：任务一、方法1：借助面积为2的正方形观察图①可知2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2故答案为：2．方法2：借助函数2233y x =+和y x =的图象观察图①可知因为两个函数图象的交点的坐标为()2,2所以 2322223333n⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．故答案为：()2,2 2．任务二：参照方法2 借助函数3344y x =+和y x =的图象 3344y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩ 解得：33x y =⎧⎨=⎩ ①两个函数图象的交点的坐标为()3,3232333334444⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．任务三参照方法2 借助函数y qx q =+和y x =的图象两个函数图象的交点的坐标为,11q q q q ⎛⎫⎪--⎝⎭①231n qq q q q q +++++=- [迁移拓展]根据图① 第一个正方形的面积为051111-⨯==⎝⎭ 第二个正方形的面积为2251511⎫+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ …… 则2462515151512n⎛⎫----+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭51+的矩形减去1个面积为1的正方形的面积即24625151515151511122n⎛⎫----+-+++++=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了一次函数交点问题正方形面积问题理解题意仿照例题求解是解题的关键．。

中考数学规律探索题(整理全,含答案).doc

A. M=mnD.M=m(n+1)规律探索7选择题1. 观察下列等式：31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 3—243, 36=729, 37=2187...解答下列问题：3 + 32 + 33 + 34...+32013的末位数字是( )A. 0B. 1C. 3D. 72. 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1), (3, 5, 7), (9, 11, 13, 15, 17), (19, 21, 23, 25, 27,29, 31),…，现用等式A M = (i, j)表示正奇数M 是第i 组第j 个数(从左往右数)，如A7= (2, 3),则A 20I 3=() A. (45, 77) B. (45, 39) C. (32, 46) D. (32, 23)3. 下表中的数字是按一定规律填写的，表中a 的值应是 ________ . 12 3 5 813a・2 358 13 21 34・4. 下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第(1)个图形的面积为2“？，第(2)个图形的面积为8 cm 2,5. 如图，动点P 从(0, 3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第2013次碰到矩形的边时，点P 的坐标为()A 、(1, 4)B 、(5, 0)C 、(6, 4)D 、(8, 3) 6.如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.根据此规律，图形中M 与m 、n 的关系是7. 我们知道，一元二次方程x 2 =-1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个新数“”，使其满足第(3)个图形的面积为18 cm 2,……，第(10)个图形的面积为(B.M=n(m+1) C.M=mn+1i + Z 2 + Z 3 + 广 + ..严12 + /2013 的值为A. 0B. 1C. -1 D .•• • •• • •• • • •• •• • •图①图②图③（第8题图）A. 51 C.76 D. 81厂= -1（即方程X 2 =-1有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有z 1 = z, i 2= -1 , z 3 = i 2-i = (-1).1 = -i, i 4 = (z 2)2 = (-1)2 = 1.从而对任意正整数n,我们可得到严”+1 = j4” j =(严)” j = i,同理可得严”+2 = _1,严”+3 = =1,那么,&下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③ 个图形一共有16颗棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）填空题1. ________________________________________________________________________________ 观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第"个图形中所有的个数为 _________________________________ （用含"的代数式表（第11题）2. 如图，在直角坐标系中，已知点A （-3, 0）、B （0, 4）,对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△】、△?、△?、A 4...,则△2013的直角顶点的坐标为 ___________________ .3. 如图，正方形ABCD 的边长为1,顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形AiBiCiD”由顺次连接正方形AjBiCiDi 四边的中点得到第二个正方形A2B2C2D2...,以此类推，则第六个正方形A6B 6C 6D6周长是 ________ •B. 70& 1 图2 图3 D4. _________________________________________________________________________________________________ 直线上有2013个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 ________________ 个点.5.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：称图中的数1, 5, 12, 22...为五边形数，则第6个五边形数是 __________将C1绕点山旋转180。

九年级数学中考规律探究题(附答案)

专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。

一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同位置的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…3.熟记常见的规律① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……(1)2n n+数列的变化规律③ 1、3、7、15……2n -1④ 1+2+3+4+…n=(1)2n n+⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 数列的和⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)数式规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：1.观察法例1.观察下列等式：①1×12=1-12②2×23=2-23③3×34=3-34④4×45=4-45……猜想第n个等式为（用含n的式子表示）分析：将等式竖排：1×12=1-12n=12×23=2-23n=23×34=3-34n=34×45=4-45n=4观察相应位置上变化的数字与序列号的对应关系（注意分清正整数的奇偶）易观察出结果为：n ×1n n +=n-1n n +例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么 32009的个位数字是。

中考数学复习专题《规律探究问题》练习题含答案

解：(1)观察图形，可得S＝3，N＝1，L＝6
(2)根据格点三角形ABC及格点四边形DEFG中的S，N，L的值可得，解得 ∴S＝N＋ L－1，将N＝82，L＝38代入可得S＝82＋ ×38－1＝100
二、填空题
4．下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的．如第2017个图形的周长为__6053__．
【解析】∵第1个图形的周长为2＋ 3＝5，第2个图形的周长为2＋3×2＝8，第3个图形的周长为2＋3×3＝11，…，第2017个图形的周长为2＋3×2017＝6053.
2．观察下列图形，它是把一个三角形分别连结这个三角形的中点，构成4个小三角形，挖去中间的小三角形(如图1)；对剩下的三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去(如图2，图3……)，则图6中挖去三角形的个数为(C)
A．121 B．362 C．364 D．729
【解析】①图1，0×3＋1＝1；②图2，1×3＋1＝4；③图3，4×3＋1＝13；④图4，13×3＋1＝40，⑤图5，40×3＋1＝121；⑥图6，121×3＋1＝364.故选C.
5．如图，将形状、大小完全相同的“ ”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“ ”的个数为a1，第2幅图形中“ ”的个数为a2，第3幅图形中“ ”的个数为a3，…，以此类推，则＋＋＋…＋的值为__ __．
【解析】a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n(n＋2)；∴ ＋＋＋…＋＝＋＋＋＋…＋＝ (1－＋－＋－＋－＋…＋－ )＝ (1＋－－ )＝ .
解：(1)∵50÷6＝8……2，∴第50个数是－1(2)∵2015÷6＝335……5，1＋(－1)＋＋(－ )＋＝，∴从第1个数开始的前2015个数的和是 (3)∵12＋(－1)2＋( )2＋(－ )2＋( )2＋(－ )2＝12，520÷12＝43……4且12＋(－1)2＋( ) 2＝4∴43×6＋3＝261，即共有261个数的平方相加

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题(含答案解析)

2024年中考数学复习重难点题型训练—规律探索题（含答案解析）类型一数式规律1．（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：2345,a ，第n 个单项式是（）AB1n -CnD1n -【答案】Ca ，指数为1开始的自然数，据此即可求解．【详解】解：按一定规律排列的单项式：2345,a ，第nn ，故选：C ．【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键．2．（2023·山东·统考中考真题）已知一列均不为1的数123n a a a a ，，，，满足如下关系：1223121111a a a a a a ++==--，34131111n n na a a a a a +++==-- ，，，若12a =，则2023a 的值是（）A ．12-B ．13C ．3-D ．2【答案】A【分析】根据题意可把12a =代入求解23a =-，则可得312a =-，413a =，52a =……；由此可得规律求解．【详解】解：∵12a =，∴212312a +==--，3131132a -==-+，411121312a -==+，51132113a +==-，…….；由此可得规律为按2、3-、12-、13四个数字一循环，∵20234505.....3÷=，∴2023312a a ==-；故选A ．【点睛】本题主要考查数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数202023若排在第a 行b 列，则a b -的值为()11122113223114233241……A ．2003B ．2004C ．2022D ．2023【答案】C【分析】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致．【详解】观察表中的规律发现，分数的分子是几，则必在第几列；只有第一列的分数，分母与其所在行数一致，故202023在第20列，即20b =；向前递推到第1列时，分数为201912023192042-=+，故分数202023与分数12042在同一行．即在第2042行，则2042a =．∴2042202022.a b -=-=故选：C ．【点睛】本题考查了数字类规律探索的知识点，解题的关键善于发现数字递变的周期性和趋向性．4．（2023·四川内江·统考中考真题）对于正数x ，规定2()1xf x x =+，例如：224(2)213f ⨯==+，1212212312f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，233(3)312f ⨯==+，1211313213f ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭+，计算：11111(1)1011009932f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)(3)(99)(100)(101)f f f f f +++++= （）A ．199B ．200C ．201D ．202【答案】C【分析】通过计算11(1)1,(2)2,(3)223f f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⋯可以推出11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结果．【详解】解：2(1)1,11f ==+ 12441212(2),,(2)2,112323212f f f f ⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+122331113(3),,(3)2,113232313f f f f ⨯⨯⎛⎫⎛⎫====+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+…2100200(100)1100101f ⨯==+，1212100()11001011100f ⨯==+，1(100)(2100f f +=，11111(1)(2)(3)(99)(100)(101)1011009932f f f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21001=⨯+201=故选：C ．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．5.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（）A．23-B．13C．12-D．23【答案】D 【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=⨯+ ，2021223a a ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．6.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p的值为（）A．100B．121C．144D．169【答案】B 【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．7.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（）A．23B．511C．59D．12【答案】D 【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．8.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019【答案】B 【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．解：观察数字的变化，发现规律：第n行，第n列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决问题．9.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．10．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）观察下列式子：21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…依此规律，则第n （n 为正整数）个等式是．【答案】()21n n n n -=-【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．【详解】解：∵21110-=⨯；22221-=⨯；23332-=⨯；24443-=⨯；25554-=⨯；…∴第n （n 为正整数）个等式是()21n n n n -=-，故答案为：()21n n n n -=-．【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．11．（2023·山东临沂·统考中考真题）观察下列式子21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……按照上述规律，2n =．【答案】()()111n n -++【分析】根据已有的式子，抽象出相应的数字规律，进行作答即可．【详解】解：∵21312⨯+=；22413⨯+=；23514⨯+=；……∴()()2211n n n ++=+，∴()()2111n n n -++=．故答案为：()()111n n -++【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是从已有的式子中抽象出相应的数字规律．12．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m ，n 的平方差，且1m n ->，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，221653=-，16就是一个智慧优数，可以利用22()()m n m n m n -=+-进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是；第23个智慧优数是．【答案】1545【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当3m =，1n =，则第1个一个智慧优数为22318-=当4m =，2n =，则第2个智慧优数为224214-=当4m =，1n =，则第3个智慧优数为224115-=，当5m =，3n =，则第5个智慧优数为225316-=当5m =，2n =，则第6个智慧优数为225221-=当5m =，1n =，则第7个智慧优数为225324-=……6m =时有4个智慧优数，同理7m =时有5个，8m =时有6个，12345621+++++=第22个智慧优数，当9m =时，7n =，第22个智慧优数为2297814932-=-=，第23个智慧优数为9,6m n ==时，2296813645-=-=，故答案为：15，45．【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键．13．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：()3,5；()7,10；()13,17；()21,26；()31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n 个数对：．【答案】()221,22n n n n ++++【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第n 个数对的第一个数为：()11n n ++，第n 个数对的第二个位：()211n ++，即可求解．【详解】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，…即：121⨯+，231⨯+，341⨯+，451⨯+，561⨯+，…则第n 个数对的第一个数为：()2111n n n n ++=++，每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，…即：221+；231+；241+；251+；261+…，则第n 个数对的第二个位：()221122n n n ++=++，∴第n 个数对为：()221,22n n n n ++++，故答案为：()221,22n n n n ++++．【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题．14．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）点Q 的横坐标为一元一次方程37322x x +=-的解，纵坐标为a b +的值，其中a ，b 满足二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，则点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为___________．【答案】()5,4--【分析】先分别解一元一次方程37322x x +=-和二元一次方程组2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩，求得点Q的坐标，再根据直角坐标系中点的坐标的规律即可求解．【详解】解：37322x x +=-，移项合并同类项得，525x =，系数化为1得，5x =，∴点Q 的横坐标为5，∵2428a b a b -=⎧⎨-+=-⎩①②，由2+⨯①②得，3=12b -，解得：4b =-，把4b =-代入①得，24=4a +，解得：0a =，∴=04=4a b +--，∴点Q 的纵坐标为4-，∴点Q 的坐标为()5,4-，又∴点Q 关于y 轴对称点Q '的坐标为()5,4--，故答案为：()5,4--．【点睛】本题考查解一元一次方程和解二元一次方程组、代数值求值、直角坐标系中点的坐标的规律，熟练掌握解一元一次方程和解二元一次方程组的方法求得点Q 的坐标是解题的关键．15．（2023·湖北恩施·统考中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024202422024-+【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.16.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m -【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++ 的和，即可计算1001011011992222++++ 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=- ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++== ，∵22991001012222222+++++=- ，∴10123991002222222=++++++ 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++ 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++ 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++ ．令012992222S ++++= ①12310022222S ++++= ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++ =100(21)m -故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．17.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，2468101214161820……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有(1)2n n+个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•••••••第n行有n个数．∴前n行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n+个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．18.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311 212x===+⨯；2711623x ===+⨯；313111234x ===+⨯；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-= ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 个等式的左边为1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016⨯化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+⨯12320202021x x x x ++++- ＝112+116+1112+…+1120202021⨯﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．19.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122⨯+=⨯+-⨯，第2个等式：()()()22222134134⨯+=⨯+-⨯，第3个等式：()()()22223146146⨯+=⨯+-⨯，第4个等式：()()()22224158158⨯+=⨯+-⨯，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯，故答案为：()()()2222516101610⨯+=⨯+-⨯；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +⋅+-+⋅[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+⋅+++⋅⋅+⋅+-+⋅[](1)411n n =+⋅+⨯2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+⋅+-+⋅成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．20.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12nn +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12nn +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设12a =，b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b=+++，则12100S S S +++= _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解： 12a =，b =11122ab =⨯=∴，1112211112a ba ba b b ba bS a a ++++=+==+++++++ ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++= 121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．22.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；⋅⋅⋅⋅⋅⋅由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．23.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1第2行的第一个数字：()22121=+-第3行的第一个数字：()25131=+-第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+-…..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+-设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y 当99y =时221(1)991n n +-≤<+∴22(1)98n n -≤<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．24.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律25．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A ．39B ．44C ．49D ．54【答案】B 【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．【详解】解：第①个图案用了459+=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424+⨯=根木棍，……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．25．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341…，⨯-=；所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为31n -是解题的关键.27．（2023·山东日照·统考中考真题）数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算1234100+++++ 时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到100(1100)12341002⨯++++++= ．人们借助于这样的方法，得到(1)12342n n n ++++++= （n 是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n = ，且,i i x y 是整数．记n n n a x y =+，如1(0,0)A ，即120,(1,0)a A =，即231,(1,1)a A =-，即30,a = ，以此类推．则下列结论正确的是（）A ．202340a =B ．202443a =C ．2(21)26n a n -=-D ．2(21)24n a n -=-【答案】B 【分析】利用图形寻找规律()211,1n A n n ---，再利用规律解题即可．【详解】解：第1圈有1个点，即1(0,0)A ，这时10a =；第2圈有8个点，即2A 到()91,1A ；第3圈有16个点，即10A 到()252,2A ，；依次类推，第n 圈，()211,1n A n n ---；由规律可知：2023A 是在第23圈上，且()202522,22A ，则()202320,22A 即2023202242a =+=，故A 选项不正确；2024A 是在第23圈上，且()202421,22A ，即2024212243a =+=，故B 选项正确；第n 圈，()211,1n A n n ---，所以2122n a n -=-，故C 、D 选项不正确；故选B ．【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．28.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．29.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．30.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答31.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n 条直线相交最多有的交点个数公式：1(1)2n n -．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有120191902⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n 条直线相交最多有1(1)2n n -．32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【答案】1226C H 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解．【详解】解：甲烷的化学式为4CH ，乙烷的化学式为26C H ，丙烷的化学式为38C H ……，碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个，十二烷的化学式为1226C H ，故答案为：1226C H ．【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键．33．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n 个图案中有个白色圆片（用含n 的代数式表示）【答案】()22n +【分析】由于第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，可得第(1)n n >个图案中有白色圆片的总数为22n +．【详解】解：第1个图案中有4个白色圆片4221=+⨯，第2个图案中有6个白色圆片6222=+⨯，第3个图案中有8个白色圆片8223=+⨯，第4个图案中有10个白色圆片10224=+⨯，⋯，∴第(1)n n >个图案中有()22n +个白色圆片．故答案为：()22n +．【点睛】此题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．解题关键是总结归纳出图形的变化规律．34．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）在求123100++++ 的值时，发现：1100101+=，299101+= ，从而得到123100++++= 101505050⨯=．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作11a =；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作25a =；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作39a =；按此方法继续下去，则123n a a a a ++++= ．（结果用含n 的代数式表示）【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，∴123n a a a a ++++= ()21432122n n n n n n +-==-=-，故答案为：22n n -．【点睛】本题考查了图形类规律，找到规律是解题的关键．35.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．36.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．37.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11⨯个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22⨯个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33⨯个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n ×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =⨯=⨯⨯第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =⨯=⨯⨯第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =⨯=⨯⨯第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =⨯=⨯⨯…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+ 故答案为：2n 2+2n．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．38.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．类型三与函数有关规律39．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）。

初三数学中考复习：规律探究(含答案)

探究数字或算式的变化规律1．(2018·云南)按一定规律排列的单项式：a ，－a 2，a 3，－a 4，a 5，－a 6…第n个单项式是 ( C ) A ．a n B ．－a n C ．(－1)n+1a n D ．(－1)n a n 2．(2018·武汉)D ) A ．2 019 B ．2 018 C ．2 016 D ．2 0133．(2018·德州)我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项式(a ＋b )n 的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算(a ＋b )8的展开式中从左起第四项的系数为 ( B ) A ．84 B ．56 C ．35 D ．284．(2018·临安)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，5＋524＝52×524…若10＋b a ＝102×ba 符合前面式子的规律，则a ＋b ＝ 109 ． 5．(2018·咸宁)按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：12，16，112，120…则这个数列的前2 018个数的和为2 0182 019． 6．(2018·毕节)观察下列运算过程：11＋2＝12＋1＝2－1()2＋1()2－1＝2－1()22－12＝2－1； 12＋3＝13＋2＝3－2()3＋2()3－2＝3－2()32－()22＝3－ 2…请运用上面的运算方法计算：11＋3＋13＋5＋15＋7＋…＋12 015＋ 2 017＋12 017＋ 2 019＝2 019－12． 7．(2018·广西北部湾)观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243…据其中规律可得30＋31＋32＋…＋32 018的结果的个位数字是 3 ．则c 的值为 270(或28＋14) ．9．(2018·娄底)设a 1，a 2，a 3…是一列正整数，其中a 1表示第一个数，a 2表示第二个数，依此类推，a n 表示第n 个数(n 是正整数)．已知a 1＝1，4a n ＝(a n ＋1 －1)2－(a n －1)2，则a 2 018＝ 4 035 ． 10．(2018·荆门)将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n(n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，n 1，n 1，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2 018＝63132．11．(2018·黔东南州)根据下列各式的规律，在横线处填空：11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，1 5＋16－13＝130，17＋18－14＝156…12 017＋12 018－11 009＝12 017×2 018.12．(2018·淄博)将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4 列的数是12，则位于第45行、第8列的数是 2 018 ．13．(2018·乐山)已知直线l1：y＝(k－1)x＋k＋1和直线l2：y＝kx＋k＋2，其中k为不小于2的自然数．(1)当k＝2时，直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积S2＝ 1 ；(2)当k＝2，3，4，…，2 018时，设直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积分别为S2，S3，S4，…，S2 018，则S2＋S3＋S4＋…＋S2 018＝2 0171 009．探究图形的变化规律1．(2018·济宁)如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是 ( C )2．(2018·烟台)如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为 (C)A．28 B．29 C．30 D．313．(2018·随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10…)和“正方形数”(如1，4，9，16…)，在小于200 的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数”为n，则m＋n的值为 ( C )A．33 B．301 C．386 D．5714．(2018·贺州)如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，依此下去，第n个正方形的面积为 ( B )A．(2)n－1 B．2n－1C．(2)n D．2n5．(2017·达州)如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转2 017次．若AB＝4，AD＝3，则顶点A在整个旋转过程中所经过的路径总长为 ( D )A．2 017π B．2 034πC．3 024π D．3 026π6．(2018·自贡)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 018个图形共有 6 055 个○.7．(2018·遵义)每一层三角形的个数与层数的关系如图所示，则第2 018层的三角形个数为 4 035 .8．(2017·威海)某广场用同一种如图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图1所示的图案，第二次拼成形如图2所示的图案，第三次拼成形如图3所示的图案，第四次拼成形如图4所示的图案……按照这样的规律进行下去，第n 次拼成的图案共用地砖 2n 2＋2n 块．9．(2018·宁夏)如图是各大小型号的纸张长宽关系裁剪对比图，可以看出纸张大小的变化规律：A0纸长度方向对折一半后变为A1纸；A1纸长度方向对折一半后变为A2纸；A2纸长度方向对折一半后变为A3纸；A3纸长度方向对折一半后变为A4纸……A4规格的纸是我们日常生活中最常见的，那么有一张A4的纸可以裁 16 张A8的纸．10. (2018·葫芦岛)如图，∠MON ＝30°，点B 1在边OM 上，且OB 1＝2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 2，A 2，以A 2B 2为边在A 2B 2的右侧作等边三角形A 2B 2C 2；过点C 2作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 3，A 3，以A 3B 3为边在A 3B 3的右侧作等边三角形A 3B 3C 3…按此规律进行下去，则△A n A n ＋1C n 的面积为33232-2⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛n ．(用含正整数n 的代数式表示)探究坐标的变化规律1．(2017·温州)我们把1，1，2，3，5，8，13，21…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P 1P 2︵，P 2P 3︵，P 3P 4︵…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为 ( B ) A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25) 2．(2018·广州)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令．从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1 m，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2……第n次移动到A n，则△OA2A2 018的面积是 ( A )A. 504 m2B. 1 00 92m2 C.1 0112m2 D. 1 009 m23．(2017·广西北部湾)如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2 017次后，点P的坐标为(6 053，2)．4．(2017·广安)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1，A2，A3…在直线y＝x＋1上，点C1，C2，C3…在x轴上，则A n的坐标是 (2n－1－1，2n－1) ．5．(2018·衡阳)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝－12x的图象分别为直线l1，l2，过点⎪⎭⎫⎝⎛21－,11A作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5……依次进行下去，则点A2 018的横坐标为21 008 ．6．(2017·赤峰)在平面直角坐标系中，点P(x，y)经过某种变换后得到点P′(－y＋1，x＋2)，我们把点P′(－y＋1，x＋2)叫做点P(x，y)的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1，P2，P3，P4，…，P n，…，若点P1的坐标为(2，0)，则点P2 017的坐标为 (2，0) ．7．(2018·威海)如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1，2)，以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线y＝12x于点B1.过B1点作B1A2∥y轴，交直线y＝2x于点A2，以点O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y＝12x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y＝12x于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y＝2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y＝12x于点B4……按照如此规律进行下去，点B2 018的坐标为 (22 018，22 017) ．8．(2018·内江)如图，直线y＝－x＋1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P 1，P2，P3…P n－1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3…T n－1，用S1，S2，S3…S n－1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2…Rt△T n－1P n－2P n－1的面积，则S1＋S2＋S3＋…＋S n－1＝14－14n．9．(2018·广东)如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y＝x3(x＞0)上，点B1的坐标为(2，0)．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；依此类推，则点B6的坐标为 (26，0) ．10．(2018·潍坊)如图，点A1的坐标为(2，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l：y＝3x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3……按此作法进行下去，则A2 019B2 018的长是22 0193π．11．(2018·东营)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…和B1，B2，B3…分别在直线y＝15x＋b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3…都是等腰直角三角形．如果点A1(1，1)，那么点A2 018的纵坐标是201723⎪⎭⎫⎝⎛．12.(2018·淮安)如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y＝x的图象，点A1的坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x轴的垂线，垂足为A3，交直线l于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3……按此规律操作下去，所得到的正方形A n B n C n D n的面积是－129n⎪⎭⎫⎝⎛．。

2024海南中考数学二轮专题训练题型六规律探索题 (含答案)

2024海南中考数学二轮专题训练题型六规律探索题类型一数式规律(热身小练)(1)若一列正整数：1，2，3，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(2)若一列数：1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(3)若一列数：2，4，6，8，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(4)若一列数：－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(5)若一列数：1，－1，1，－1，1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(6)若一列数：1，4，9，16，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(7)若一列数：2，5，10，17，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(8)若一列数：0，3，8，15，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________；(9)若一列数：4，7，10，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是________．(典例精讲)例观察下列一组数据，其中绝对值依次增加2，且每两个正数之间有两个负数：1，－3，－5，7，－9，－11，13，…，则第10个数是________，第3n个数是________．(n为正整数).(满分技法)解答数式递推规律的方法：一般通过题中前几项的数字或数式找出每项数字或数式间的关系求解，步骤为：第一步：标序数；第二步：对比序数(1，2，3，…，n)与所给数字或数式的关系，把每一部分与序数之间的关系用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律求出第n个式子，并检验；第四步：若求出的数字或式子前面的符号是正(＋)、负(－)交替出现时，根据正负号的变化规律，则第n个数字(或式子)的符号用(－1)n或(－1)n＋1表示．(针对训练)1.观察下列各等式：①223＝2＋23；②338＝3＋38；③4415＝4＋415；…根据以上规律，请写出第5个等式：______________；第n 个等式为________________．2.一组按规律排列的代数式：a ＋2b ，a 2－2b 3，a 3＋2b 5，a 4－2b 7，…，则第7个代数式为________，第个代数式为________．3.观察下列各组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请根据你发现的规律写出第⑦组勾股数：____________，第组勾股数为________________．4.按一定规律排列的一列数依次为－a 22，a 53，－a 84，a 115，…(a ≠0)，按此规律排列下去，这列数中的第9个数是________，第n 个数是________．5.按规律排列的一列数：－12，25，－38，411，－514，…，则第20个数是________，第n 个数是________．(用含n 的式子表示)6.把正整数1，2，3，4，…，排列成如图所示的一个表，从上到下分别称为第1行、第2行、…，从左到右分别称为第1列、第2列、…，按此规律，2020排在第______行、第________列；排在第m 行、第n 列的数为________，其中m ≥1，1≤n ≤8，且m ，n 都是正整数．第6题图类型二图形规律(典例精讲)例用形状大小完全相同的等边三角形和正方形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始每个图案比前一个图案多4个等边三角形和1个正方形，以此规律，回答下列问题：例题图(1)第5个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(2)第n个图案中正方形有________个，等边三角形有________个；(3)第2021个图案中等边三角形一共有______个；(4)第n个图案中等边三角形比正方形多______个；(5)若第n个图案中一共有62个等边三角形，则n的值为________．(满分技法)解答图形累加规律探索题具体步骤如下：第一步：写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形的个数；第三步：寻找图形数量与序数n的关系：针对寻找第n个图形数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察是否有恒定量的变化，一般分为两种情况：①相邻图形个数的差值相同，则第n个图形的个数m是最高次项为一次的整式m＝an＋b，然后代入2组数据即可求出a，b的值；②相邻图形个数的差值不同，则第n个图形的个数m是最高次项为二次的整式m＝an2＋bn ＋c，然后代入3组数据即可求出a，b，c的值；第四步：验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．(针对训练)1.如图是一组有规律的图案，它们是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的长为a，宽为b，则第⑪个图案的周长为________，第个图案的周长为________．第1题图2.如图，将图①的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图②，得到5个正方形；第2次将图②左上角正方形按上述方法再分割如图③，得到9个正方形，…，按此规律进行下去，则第8次操作后，得到正方形的个数为________，第次操作后，得到正方形的个数为________．第2题图3.如图，观察下列图形，它们是按一定规律排列的，其中第①个图形有2个太阳，第②个图形有4个太阳，第③个图形有7个太阳，第④个图形有12个太阳，…，按照此规律，则第⑤个图形有________个太阳，第个图形有________太阳．第3题图4.如图的三角形图案为谢宾斯基(Sierpinski)三角形，在下列四个三角形图案中，涂有阴影的三角形个数依次为：第1个图案中有1个，第2个图案中有3个，第3个图案中有9个，第4个图案中有27个，…，按此规律，第6个图案中有________个涂有阴影的三角形，第n 个图案中有________个涂有阴影的三角形．第4题图5.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有________个交点，n条直线两两相交最多有________个交点．第5题图6.如图是小强用铜币摆放的4个图案，其中第1个图案中铜币个数有3个，第2个图案中铜币个数有5个，第3个图案中铜币个数有8个，第4个图案中铜币个数有12个，…，按此摆放图案的规律，第19个图案中需要______个铜币，第n个图案中需要__________个铜币．第6题图7.如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的☆摆放而成，第(1)个图案有3个☆，第(2)个图案有7个☆，第(3)个图案有13个☆，第(4)个图案有21个☆，…按此规律摆下去，第(6)个图案有________个☆，第(n)个图案有________个☆(用含n的代数式表示).第7题图类型三周期规律(典例精讲)例如图，△A1A2A3，△A4A5A6，△A7A8A9，…，△A3n－2A3n－1A3n(n为正整数)均为等边三角形，它们的边长依次为2，4，6，…，2n，顶点A3，A6，A9，…，A3n均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，则点A2016的坐标为________．例题图【解题步骤】①确认周期：观察图形可知，三角形的顶点______个为一个循环；②确定A2016的位置：∵2016÷______＝______，∴点A2016在y轴上，且是第________个三角形的顶点；③求A2016的坐标：在△A1A2A3中，A1A2＝2，∴△A1A2A3的高为________．∵点O是△A1A2A3的中心，∴OA3＝________，同理得OA6＝________，OA9＝________，…，∴点A2016的坐标为________．(针对训练)1.在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1A2A3运动，设第n 秒运动到P n(n为正整数)，则第58个等边三角形在第________象限，点P2019的坐标是________．第1题图2.有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第1个数是0，第2个数是1，那么前6个数的和是________，这2021个数的和是________．3.如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为a n，则a n＝________，a3＋a100＝________．第3题图4.将一列有理数－1，2，－3，4，－5，6，…，按如图所示有序排列．第4题图根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C的位置)是有理数4，那么(1)“峰6”中D的位置是有理数________；(2)－2019应排在A，B，C，D，E中的________位置．参考答案类型一数式规律热身小练(1)n ；(2)2n －1；(3)2n ；(4)(－1)n ；(5)(－1)n ＋1或(－1)n －1；(6)n 2；(7)n 2＋1；(8)n 2－1；(9)3n ＋1.例19，－6n ＋1.针对训练1.6635＝6＋635；(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝n ＋1＋n ＋1n （n ＋2）【解析】第5个等式，等号左边根号外面是6，二次根式的分子也是6，分母是62－1，等号右边是这个整数与这个分数的和的算术平方根，∴第5个式子为6635＝6＋635；∴第n 个式子为(n ＋1)·n ＋1（n ＋1）2－1＝（n ＋1）＋n ＋1（n ＋1）2－1，化简得(n ＋1)·n ＋1n （n ＋2）＝（n ＋1）＋n ＋1n （n ＋2）.2.a 7＋2b 13，a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1【解析】∵第1个代数式为a 1＋(－1)1＋1×2b 1，第2个代数式为a 1×2＋(－1)1＋2×2b 2×2－1，第3个代数式为a 1×3＋(－1)1＋3×2b 2×3－1，第4个代数式为a 1×4＋(－1)1＋4×2b 2×4－1，…，则第7个代数式为a 1×7＋(－1)1＋7×2b 2×7－1＝a 7＋2b 13，∵当n 为奇数时，(－1)n ＋1＝1，当n 为偶数时，(－1)n ＋1＝－1，∴第n 个式子是：a n ＋(－1)n ＋1·2b 2n －1.3.16，63，65；2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1【解析】观察前4组数据的规律可知：第一个数是2(n ＋1)；第二个数是n (n ＋2)；第三个数是(n ＋1)2＋1.∴第⑦组勾股数为16，63，65.第n 组勾股数为2(n ＋1)，n (n ＋2)，(n ＋1)2＋1.4.－a 2610，(－1)n a 3n －11＋n 【解析】第1个数为－a 22＝(－1)1a 1×3－11＋1，第2个数为a 53＝(－1)2a 2×3－11＋2，第3个数为－a 84＝(－1)3a 3×3－11＋3，第4个数为a 115＝(－1)4a 4×3－11＋4，…，由此规律可知第9个数是(－1)9a 9×3－11＋9＝－a 2610.第n 个数是(－1)n a n ×3－11＋n ＝(－1)n a 3n －11＋n.5.2059，(－1)n n 3n －1【解析】∵－12＝(－1)1×13×1－1，25＝(－1)2×23×2－1，－38＝(－1)3×33×3－1，411＝(－1)4×43×4－1，－514＝(－1)5×53×5－1，…，∴第20个数是(－1)20·203×20－1＝2059，第n 个数是(－1)n ·n3n －16.253，4；8m ＋n －8【解析】∵2020＝8×252＋4，∴2020排在第253行第4列；根据数字排列规律：第m 行最后一列数字为8m ，∴排在第m 行第n 列的数为8m ＋n －8.类型二图形规律例(1)5，18；(2)n ，4n －2；【解析】第n 个图案有n 个正方形，当n ＝1时，等边三角形个数为2，当n ＝2时，等边三角形个数为2＋4×1＝6，当n ＝3时，等边三角形个数为2＋4×2＝10，当n ＝4时，等边三角形个数为2＋4×3＝14，∴第n 个图案中等边三角形的个数为2＋4(n －1)＝4n －2.(3)8082；(4)3n －2；(5)16.针对训练1.22a ＋2b ，2na ＋2b 【解析】观察图案的变化可知第①个图案的周长为2(a ＋b )，第②个图案的周长为2×2(a ＋b )－2×(2－1)b ，第③个图案的周长为3×2(a ＋b )－2×(3－1)b ，…，则第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2(n －1)b ，∴第⑪个图案的周长为11×2(a ＋b )－2×(11－1)b ＝22a ＋2b ，第个图案的周长为n ×2(a ＋b )－2×(n －1)b ＝2na ＋2b .2.33，4n ＋1【解析】逐部分分析如下：次数第一次第二次第三次…正方形个数5＝4×1＋19＝4×2＋113＝4×3＋1…由表可以看出，每个图案中正方形的个数＝4×(图形序数－1)＋1，，则第8次操作后，得到的正方形个数为4×8＋1＝33，第n 次操作后，得到的正方形个数为4n ＋1.3.21，n ＋2n －1【解析】如解图，将每个图形沿虚线分成上下两部分：第3题解图逐部分分析如下表：序数①②③④…太阳个数上部分1234…下部分1＝202＝214＝228＝23…总数24712…由表可以看出，上部分太阳的个数等于图形序数，下部分太阳的个数等于2的图形序数减1次方，故第⑤个图形中太阳的个数为5＋24＝21；第个图形中太阳的个数为n ＋2n －1.4.243，3n －1【解析】∵第1个图案中有1＝30个涂有阴影的三角形，第2个图案中有3＝31个涂有阴影的三角形，第3个图案中有9＝32个涂有阴影的三角形，第4个图案中有27＝33个涂有阴影的三角形，依次类推，第6个图案有243＝35个涂有阴影的三角形，∴第n 个图案中有3n －1个涂有阴影的三角形．5.190，12n (n －1)【解析】2条直线相交最多有1个交点；3条直线相交最多有1＋2＝3＝12×3×2个交点；4条直线相交最多有1＋2＋3＝6＝12×4×3个交点；5条直线相交最多有1＋2＋3＋4＝10＝12×5×4个交点；…；20条直线相交最多有12×20×19＝190个交点．n 条直线相交最多有12n (n －1)个交点．6.192，(12n 2＋12n ＋2)【解析】第1个图案中铜币个数为2＋1＝3；第2个图案中铜币个数为2＋1＋2＝5；第3个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＝8；第4个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＝12；…，第n 个图案中铜币个数为2＋1＋2＋3＋4＋…＋n ＝12n (n ＋1)＋2，当n ＝19时，12n (n ＋1)＋2＝12×19×20＋2＝192.7.43，(n 2＋n ＋1)【解析】∵第1个图案有(12＋1＋1)＝3个☆，第2个图案有(22＋2＋1)＝7个☆，第3个图案有(32＋3＋1)＝13个☆，第4个图案有(42＋4＋1)＝21个☆，第5个图案有(52＋5＋1)＝31个☆，∴第6个图案有(62＋6＋1)＝43个☆，第n 个图案有(n 2＋n ＋1)个☆.类型三周期规律例(0，4483)【解题步骤】①3；②3，672,672；③3，233，433，23，(0，4483)．针对训练1.一，(20192，32)【解析】由题图可知，3个等边三角形为一个周期，则58÷3＝19……1，∴第58个等边三角形和第一个等边三角形在同一个象限内，都在第一象限；如解图，作A 1H ⊥x 轴于点H ，∵△OA 1A 2是等边三角形，∴∠A 1OH ＝60°，OH ＝12OA 2＝12，∴A 1H ＝A 1O ·sin60°＝1×32＝32，∴A 1(12，32)，A 2(1，0)，同理可得A 3(32，32)，A 4(2，0)，A 5(52，－32)，A 6(3，0)，A 7(72，32)，由上可知，每一个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：32，0，32，0，－32，0这样循环，∴2019÷6＝336……3，∴A 2019(20192，32)．第1题解图2.0，1【解析】由题意知，第1个数是0，第2个数是1，且任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和，那么就有0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，0，－1，－1，0，…，按此规律，6个数一个周期，且前6个数的和为0，∵2021÷6＝336……5，而5个数的和为1，∴这2021个数的和为1.3.12n (n ＋1)，5056【解析】观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝(1＋2＋…＋n )＝12n (n ＋1)，则a 3＋a 100＝12×3×(3＋1)＋12×100×(100＋1)＝5056.4.(1)30；(2)C 【解析】(1)∵每个峰需要5个数，∴5×5＝25，25＋1＋3＝29，∴“峰6”中D 位置的有理数是30；(2)∵(2019－1)÷5＝403……3，∴－2019为“峰404”的第三个数，排在C 的位置．。

中考数学《规律探索》专题复习试题含解析

中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。

中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习含答案

中考数学必考题型《规律探索》分类专项练习类型一数式规律1. 我国战国时期提出了“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一命题，用所学知识来解释可理解为：设一尺长的木棍，第一天折断一半，其长为12尺，第二天再折断一半，其长为14尺，…，第n 天折断一半后得到的木棍长应为________尺． 12n2. 如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是________．第2题图41【解析】由图形可知，第n 行最后一个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∴第8行最后一个数为8×92＝36＝6，则第9行从左至右第5个数是36＋5＝41.3. 观察下列关于自然数的式子：第一个式子：4×12－12 ① 第二个式子：4×22－32 ② 第三个式子：4×32－52 ③ …根据上述规律，则第2019个式子的值是______．8075 【解析】∵4×12－12＝3①，4×22－32＝7②，4×32－52＝11③，…，4n 2－(2n －1)2＝4n －1，∴第2019个式子的值是4×2019－1＝8075. 4. 将数1个1，2个12，3个13，…，n 个1n (n 为正整数)顺次排成一列：1，12，12，13，13，13，…，1n ，1n ，…，记a 1＝1，a 2＝12，a 3＝12，…，S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2，S 3＝a 1＋a 2＋a 3，…，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则S 2019＝________．63364 【解析】根据题意，将该数列分组，1个1的和为1，2个12的和为1，3个13的和为1，…；∵1＋2＋3＋…＋63＝2016个数，则第2019个数为64个164的第3个数，则此数列中，S 2019＝1×63＋3×164＝63364. 类型二图形规律5. 如图，在平面直角坐标系中，第一次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第二次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第三次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3，…，已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．观察每次变换前后的三角形的变化，按照变换规律，则点A n 的坐标是________．第5题图(2n，3)【解析】∵A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，…，∴纵坐标不变，为3，横坐标都和2有关，为2n，即点An的坐标是(2n，3)．6. 如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为________．第6题图(6058，1)【解析】∵铁片OABC为正方形，A(3，0)，P(1，2)，∴正方形铁片OABC 的边长为3，如解图第一个循环周期内的点P1，P2，P3，P4的坐标分别为(5，2)，(8，1)，(10，1)，(13，2)，每增加一个循环，对应的点的横坐标就增加12.而2019÷4＝504……3，即504个循环周期后点P2016的横坐标为504×12＋1＝6049，纵坐标为2，所以点P2019的横坐标为6049＋9＝6058，纵坐标为1.故P2019(6058，1)．第6题解图7. 如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒π2个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是________．第7题图(2019，－1) 【解析】∵圆的半径都为1，∴半圆的周长＝π，以时间为点P 的下标．观察发现规律：P 0(0，0)，P 1(1，1)，P 2(2，0)，P 3(3，－1)，P 4(4，0)，P 5(5，1)，…，∴P 4n (4n ，0)，P 4n ＋1(4n ＋1，1)，P 4n ＋2(4n ＋2，0)，P 4n ＋3(4n ＋3，－1)．∵2019÷4＝504……3，∴第2019秒时，点P 的坐标为(2019，－1)．8. 如图，已知菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为________．第8题图(－1，－1) 【解析】∵菱形OABC 的顶点O (0，0)，B (2，2)，∴BO 与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1)，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O 逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D 的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．9. 如图，∠MON＝60°，作边长为1的正六边形A1B1C1D1E1F1，边A1B1、F1E1分别在射线OM、ON上，边C1D1所在的直线分别交OM、ON于点A2、F2，以A2F2为边作正六边形A2B2C2D2E2F2，边C2D2所在的直线分别交OM、ON于点A3、F3，再以A3F3为边作正六边形A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第n次作图后，点B n到ON的距离是________．第9题图3n－13【解析】由题可知，∠MON＝60°，设B n到ON的距离为h n，∵正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，∴A1B1＝1，易知△A1OF1为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则h1＝2×32＝3，又∵OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则h2＝6×32＝33，同理可得：OB3＝18，则h3＝18×32＝93，…，依此可得OB n＝2×3n－1，则h n＝2×3n －1×32＝3n －1 3.∴B n 到ON 的距离h n ＝ 3n －1 3.10. 如图，正方形AOBO 2的顶点A 的坐标为A (0，2)，O 1为正方形AOBO 2的中心；以正方形AOBO 2的对角线AB 为边，在AB 的右侧作正方形ABO 3A 1，O 2为正方形ABO 3A 1的中心；再以正方形ABO 3A 1的对角线A 1B 为边，在A 1B 的右侧作正方形A 1BB 1O 4，O 3为正方形A 1BB 1O 4的中心；再以正方形A 1BB 1O 4的对角线A 1B 1为边，在A 1B 1的右侧作正方形A 1B 1O 5A 2，O 4为正方形A 1B 1O 5A 2的中心；…；按照此规律继续下去，则点O 2018的坐标为________．第10题图(21010－2，21009) 【解析】由A (0，2)和A 1(2，4)可知直线AA 1的解析式为y ＝x ＋2，由图可知点A 1，A 2，…，A n 的纵坐标分别为22，23，…，2n ＋1，将y ＝2n ＋1代入y ＝x ＋2，得2n ＋1＝x ＋2，∴x ＝2n ＋1－2，∴点A n 的坐标为(2n ＋1－2，2n ＋1)，由图可知O 2n 横坐标与A n 的横坐标相同，O 2n 纵坐标是A n 的纵坐标的12，∴O 2n 的坐标为(2n ＋1－2，2n)，∴当n ＝1009时，O 2018的坐标为(21010－2，21009)．真题反馈：1. 观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是．2. 如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2017个白色纸片，则n的值为( )A．671 B．672 C．673 D．6743. 观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是( )A．43 B．45 C．51 D．534. 请你计算:(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2),…,猜想(1-x)(1+x+x2+…+x n)的结果是( ).A. 1-x n+1B. 1+x n+1C. 1-x nD. 1+x n5. 如图,已知正方形ABCD,顶点A(1,3),B(1,1),C(3,1).规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次变换,如此这样,连续经过2019次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为().A. (-2012,2)B. (-2012,-2)C. (-2013,-2)D. (-2013,2)6. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．7. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是．8. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝x＋1和x轴上，则点B6的坐标是．9. 如图,将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列,那么第2015个图形是.10. 如图,弹性小球从点P(0,3)出发,沿所示方向运动,每当小球碰到矩形OABC的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…,第n 次碰到矩形的边时的点为P n,则点P3的坐标是;点P2 019的坐标是.11.观察下列关于自然数的等式：32-4×12=5 ①52-4×22=9 ②72-4×32=13 ③…根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．12.(1)证明三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半;[要求根据图(1)写出已知、求证、证明;在证明过程中,至少有两处写出推理依据(“已知”除外)(2)如图(2),在▱ABCD中,对角线焦点为O,A1,B1,C1,D1分别是OA,OB,OC,OD的中点,A2,B2,C2,D2分别是OA1,OB1,OC1,OD1的中点,…,以此类推.若▱ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和l;(3)借助图形(3)反映的规律,猜猜l可能是多少?(1)(2) (3)。

《规律探索》中考专练附答案

规律探索1.〔2021•湖北省鄂州市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A1、A2、A3…A n在x轴上, B1、B2、B3…B n在直线y＝x上, 假设A1〔1, 0〕, 且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形, 从左到右的小三角形〔阴影局部〕的面积分别记为S1、S2、S3…S n．那么S n可表示为〔〕A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3【分析】直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, 可得∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°, ∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1, B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n, 再由面积公式即可求解；【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n, B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1, △A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, ∠OA1B1＝120°,∴∠OB1A1＝30°,∴OA1＝A1B1,∵A1〔1, 0〕,∴A1B1＝1,同理∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°,∴B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1,易得∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°,∴B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n,∴S1＝×1×＝, S2＝×2×2＝2, …, S n＝×2n﹣1×2n＝；应选：D．【点评】此题考查一次函数的图象及性质, 等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形, 并求出每边长是解题的关键．2.〔2021•四川省达州市•3分〕a是不为1的有理数, 我们把称为a的差倒数, 如2的差倒数为＝﹣1, ﹣1的差倒数＝, a1＝5, a2是a1的差倒数, a3是a2的差倒数, a4是a3的差倒数…, 依此类推, a2021的值是〔〕A．5 B．﹣C．D．【分析】根据差倒数的定义分别求出前几个数便不难发现, 每3个数为一个循环组依次循环, 用2021除以3, 根据余数的情况确定出与a2021相同的数即可得解．【解答】解：∵a1＝5,a2＝＝＝﹣,a3＝＝＝,a4＝＝＝5,…∴数列以5, ﹣, 三个数依次不断循环,∵2021÷3＝673,∴a2021＝a3＝,应选：D．【点评】此题是对数字变化规律的考查, 理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．3.〔2021湖南常德3分〕观察以下等式：70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …,根据其中的规律可得70+71+72+…+72021的结果的个位数字是〔〕A．0 B．1 C．7 D．8【分析】首先得出尾数变化规律, 进而得出70+71+72+…+72021的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, ∴个位数4个数一循环, ∴〔2021+1〕÷4＝505, ∴1+7+9+3＝20,∴70+71+72+…+72021的结果的个位数字是：0．应选：A ．【点评】此题主要考查了尾数特征, 正确得出尾数变化规律是解题关键．4.〔2021云南4分〕按一定规律排列的单项式：x 3, －x 5, x 7, －x 9, x 11, ……第n 个单项式是A.〔－1〕n －1x 2n －1B.〔－1〕n x 2n －1C.〔－1〕n －1x 2n ＋1D.〔－1〕n x 2n ＋1【解析】观察可知, 奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n , 〔n 为大于等于1的整数〕来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n , 应选C5 〔2021·广西贺州·3分〕计算++++…+的结果是〔〕 A ．B ．C ．D ．【分析】把每个分数写成两个分数之差的一半, 然后再进行简便运算．【解答】解：原式＝＝＝．应选：B ．【点评】此题是一个规律计算题, 主要考查了有理数的混合运算, 关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．6．(2021•湖南常德•3分)观察以下等式：70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, 根据其中的规律可得70+71+72+…+72021的结果的个位数字是( ) A ．0B ．1C ．7D ．8【考点】规律探究．【分析】首先得出尾数变化规律, 进而得出70+71+72+…+72021的结果的个位数字．【解答】解：∵70＝1, 71＝7, 72＝49, 73＝343, 74＝2401, 75＝16807, …, ∴个位数4个数一循环,∴(2021+1)÷4＝505, ∴1+7+9+3＝20,∴70+71+72+…+72021的结果的个位数字是0．应选A ．【点评】此题主要考查了尾数特征, 正确得出尾数变化规律是解题关键．7．(2021•云南•4分)按一定规律排列的单项式：x 3, －x 5, x 7, －x 9, x 11, ……第n 个单项式是( ) A ．121)1(---n n x B ．12)1(--n n x C ．121)1(+--n n x D ．12)1(+-n n x【考点】规律探究．【分析】观察各单项式, 发现奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n ．【解答】解：观察可知, 奇数项系数为正, 偶数项系数为负, ∴可以用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来控制正负, 指数为从第3开始的奇数, 所以指数局部规律为12+n , 应选C ．【点评】此题主要考查了数式规律探究．奇数项系数为正, 偶数项系数为负, 一般可用1)1(--n 或1)1(+-n (n 为大于等于1的整数)来调节正负．8．〔2021湖北省鄂州市〕〔3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A 1、A 2、A 3…A n 在x 轴上, B 1、B 2、B 3…B n 在直线y ＝x 上, 假设A 1〔1, 0〕, 且△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3…△A n B n A n +1都是等边三角形, 从左到右的小三角形〔阴影局部〕的面积分别记为S 1、S 2、S 3…S n ．那么S n 可表示为〔〕A ．22nB ．22n﹣1C ．22n﹣2D ．22n﹣3【分析】直线y ＝x 与x 轴的成角∠B 1OA 1＝30°, 可得∠OB 2A 2＝30°, …, ∠OB n A n ＝30°,∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°；根据等腰三角形的性质可知A1B1＝1, B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1；根据勾股定理可得B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n, 再由面积公式即可求解；【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n, B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1, △A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形,∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°, ∠OA1B1＝120°,∴∠OB1A1＝30°,∴OA1＝A1B1,∵A1〔1, 0〕,∴A1B1＝1,同理∠OB2A2＝30°, …, ∠OB n A n＝30°,∴B2A2＝OA2＝2, B3A3＝4, …, B n A n＝2n﹣1,易得∠OB1A2＝90°, …, ∠OB n A n+1＝90°,∴B1B2＝, B2B3＝2, …, B n B n+1＝2n,∴S1＝×1×＝, S2＝×2×2＝2, …, S n＝×2n﹣1×2n＝；应选：D．【点评】此题考查一次函数的图象及性质, 等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形, 并求出每边长是解题的关键．1．〔2021黑龙江省绥化3分〕在平面直角坐标系中, 假设干个边长为1个单位长度的等边三角形, 按如图中的规律摆放．点P从原点O出发, 以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…〞的路线运动, 设第n秒运动到点P n〔n 为正整数〕, 那么点P2021的坐标是．答案：2019322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，考点：找规律解析：2 〔2021•海南省•4分〕有2021个数排成一行, 对于任意相邻的三个数, 都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0, 第二个数是1, 那么前6个数的和是0, 这2021个数的和是2．【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数, 从而可以数字的变化规律, 此题得以解决．【解答】解：由题意可得,这列数为：0, 1, 1, 0, ﹣1, ﹣1, 0, 1, 1, …,∴前6个数的和是：0+1+1+0+〔﹣1〕+〔﹣1〕＝0,∵2021÷6＝336…3,∴这2021个数的和是：0×336+〔0+1+1〕＝2,故答案为：0, 2．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律, 每六个数重复出现．3 〔2021•黑龙江省绥化市•3分〕在平面直角坐标系中, 假设干个边长为1个单位长度的等边三角形, 按如图中的规律摆放．点P从原点O出发, 以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…〞的路线运动, 设第n秒运动到点P n 〔n为正整数〕, 那么点P2021的坐标是．答案：2019322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，考点：找规律解析：4. 〔2021•贵州省铜仁市•4分〕按一定规律排列的一列数依次为：﹣, , ﹣, , …〔a≠0〕, 按此规律排列下去, 这列数中的第n个数是．〔n为正整数〕〔﹣1〕n•．【解答】解：第1个数为〔﹣1〕1•,第2个数为〔﹣1〕2•,第3个数为〔﹣1〕3•,第4个数为〔﹣1〕4•,…,所以这列数中的第n个数是〔﹣1〕n•．5.〔2021•湖北省仙桃市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OA1B1C1, A1A2B2C2,A2A3B3C3, …都是菱形, 点A1, A2, A3, …都在x轴上, 点C1, C2, C3, …都在直线y＝x+上, 且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°, OA1＝1, 那么点C6的坐标是〔95, 32〕．【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．【解答】解：∵OA1＝1,∴OC1＝1,∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°,∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝, 横坐标为cos60°•OC1＝,∴C1〔, 〕,∵四边形OA1B1C1, A1A2B2C2, A2A3B3C3, …都是菱形,∴A1C2＝2, A2C3＝4, A3C4＝8, …,∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝, 代入y＝x+求得横坐标为2,∴C2〔, 2, 〕,C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4, 代入y＝x+求得横坐标为11,∴C3〔11, 4〕,∴C4〔23, 8〕,C5〔47, 16〕,∴C6〔95, 32〕；故答案为〔95, 32〕．【点评】此题是对点的坐标变化规律的考查, 主要利用了菱形的性质, 解直角三角形, 根据点的变化规律求出菱形的边长, 得出系列C点的坐标, 找出规律是解题的关键．6.〔2021•湖北省咸宁市•3分〕有一列数, 按一定规律排列成1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …, 其中某三个相邻数的积是412, 那么这三个数的和是﹣384．【分析】根据题目中的数字, 可以发现它们的变化规律, 再根据其中某三个相邻数的积是412, 可以求得这三个数, 从而可以求得这三个数的和．【解答】解：∵一列数为1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …,∴这列数的第n个数可以表示为〔﹣2〕n﹣1,∵其中某三个相邻数的积是412,∴设这三个相邻的数为〔﹣2〕n﹣1.〔﹣2〕n、〔﹣2〕n+1,那么〔﹣2〕n﹣1•〔﹣2〕n•〔﹣2〕n+1＝412,即〔﹣2〕3n＝〔22〕12,∴〔﹣2〕3n＝224,∴3n＝24,解得, n＝8,∴这三个数的和是：〔﹣2〕7+〔﹣2〕8+〔﹣2〕9＝〔﹣2〕7×〔1﹣2+4〕＝〔﹣128〕×3＝﹣384,故答案为：﹣384．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律．7.〔2021•四川省广安市•3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 点A1的坐标为〔1, 0〕, 以OA1为直角边作Rt△OA1A2, 并使∠A1OA2＝60°, 再以OA2为直角边作Rt△OA2A3, 并使∠A2OA3＝60°, 再以OA3为直角边作Rt△OA3A4, 并使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去, 那么点A2021的坐标为〔﹣22021, 22021〕．【分析】通过解直角三角形, 依次求A1, A2, A3, A4, …各点的坐标, 再从其中找出规律, 便可得结论．【解答】解：由题意得,A1的坐标为〔1, 0〕,A2的坐标为〔1, 〕,A3的坐标为〔﹣2, 2〕,A4的坐标为〔﹣8, 0〕,A5的坐标为〔﹣8, ﹣8〕,A6的坐标为〔16, ﹣16〕,A7的坐标为〔64, 0〕,…由上可知, A点的方位是每6个循环,与第一点方位相同的点在x正半轴上, 其横坐标为2n﹣1, 其纵坐标为0,与第二点方位相同的点在第一象限内, 其横坐标为2n﹣2, 纵坐标为2n﹣2,与第三点方位相同的点在第二象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2, 纵坐标为2n﹣2,与第四点方位相同的点在x负半轴上, 其横坐标为﹣2n﹣1, 纵坐标为0,与第五点方位相同的点在第三象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2, 纵坐标为﹣2n﹣2,与第六点方位相同的点在第四象限内, 其横坐标为2n﹣2, 纵坐标为﹣2n﹣2,∵2021÷6＝336…3,∴点A2021的方位与点A23的方位相同, 在第二象限内, 其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22021, 纵坐标为22021,故答案为：〔﹣22021, 22021〕．【点评】此题主点的坐标的规律题, 主要考查了解直角三角形的知识, 关键是求出前面7个点的坐标, 找出其存在的规律．8.〔2021湖南益阳4分〕观察以下等式：①3﹣2＝〔﹣1〕2,②5﹣2＝〔﹣〕2,③7﹣2＝〔﹣〕2,…请你根据以上规律, 写出第6个等式13﹣2＝〔﹣〕2．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1, 根号下的数为n〔n+1〕, 利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为〔﹣〕2〔n≥1的整数〕．【解答】解：写出第6个等式为13﹣2＝〔﹣〕2．故答案为13﹣2＝〔﹣〕2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算, 再合并即可．在二次根式的混合运算中, 如能结合题目特点, 灵活运用二次根式的性质, 选择恰当的解题途径, 往往能事半功倍．9. 〔2021•甘肃庆阳•4分〕一列数a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, ……, 按照这个规律写下去,第9个数是13a+21b．【分析】由题意得出从第3个数开始, 每个数均为前两个数的和, 从而得出答案．【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b, 第8个数是8a+13b, 第9个数是13a+21b, 故答案为：13a+21b．【点评】此题主要考查数字的变化规律, 解题的关键是得出从第3个数开始, 每个数均为前两个数的和的规律．10. 〔2021·贵州安顺·4分〕如图, 将从1开始的自然数按下规律排列, 例如位于第3行、第4列的数是12, 那么位于第45行、第7列的数是．【解答】解：观察图表可知：第n行第一个数是n2,∴第45行第一个数是2025,∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2021,故答案为202111. 〔2021•黑龙江省齐齐哈尔市•3分〕如图, 直线l：y＝x+1分别交x轴、y轴于点A和点A1, 过点A1作A1B1⊥l, 交x轴于点B1, 过点B1作B1A2⊥x轴, 交直线l于点A2；过点A2作A2B2⊥l, 交x轴于点B2, 过点B2作B2A3⊥x轴, 交直线l于点A3, 依此规律…, 假设图中阴影△A1OB1的面积为S1, 阴影△A2B1B2的面积为S2, 阴影△A3B2B3的面积为S3…, 那么S n＝．【分析】由直线l：y＝x+1可求出与x轴交点A的坐标, 与y轴交点A1的坐标, 进而得到OA, OA1的长, 也可求出Rt△OAA1的各个内角的度数, 是一个特殊的直角三角形, 以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形, 然后这个求出S1、S2、S3、S4、……根据规律得出Sn．【解答】解：直线l：y＝x+1, 当x＝0时, y＝1；当y＝0时, x＝﹣∴A〔﹣, 0〕A1〔0, 1〕∴∠OAA1＝30°又∵A1B1⊥l,∴∠OA1B1＝30°,在Rt△OA1B1中, OB1＝•OA1＝,∴S1＝；同理可求出：A2B1＝, B1B2＝,∴S2＝＝＝；依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……因此：S n＝故答案为：．12．〔2021•山东泰安•4分〕在平面直角坐标系中, 直线l：y＝x+1与y轴交于点A1, 如下图, 依次作正方形OA1B1C1, 正方形C1A2B2C2, 正方形C2A3B3C3, 正方形C3A4B4C4, ……, 点A1, A2, A3, A4, ……在直线l上, 点C1, C2, C3, C4, ……在x轴正半轴上, 那么前n个正方形对角线长的和是〔2n﹣1〕．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1, A2, A3, A4的坐标, 从而可以得到前n个正方形对角线长的和, 此题得以解决．【解答】解：由题意可得,点A1的坐标为〔0, 1〕, 点A2的坐标为〔1, 2〕, 点A3的坐标为〔3, 4〕, 点A4的坐标为〔7, 8〕, ……,∴OA1＝1, C1A2＝2, C2A3＝4, C3A4＝8, ……,∴前n个正方形对角线长的和是：〔OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n〕＝〔1+2+4+8+…+2n﹣1〕,设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1, 那么2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n,那么2S﹣S＝2n﹣1,∴S＝2n﹣1,∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1,∴前n个正方形对角线长的和是：×〔2n﹣1〕,故答案为：〔2n﹣1〕,【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标, 解答此题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．13．〔2021•山东潍坊•3分〕如下图, 在平面直角坐标系xoy中, 一组同心圆的圆心为坐标原点O, 它们的半径分别为1, 2, 3, …, 按照“加1”依次递增；一组平行线, l0, l1, l2, l3, …都与x轴垂直, 相邻两直线的间距为l, 其中l0与y轴重合假设半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1, 半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2, …, 半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n, 那么点P n的坐标为〔n, 〕．〔n为正整数〕【分析】连OP1, OP2, OP3, l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3, 在Rt△OA1P1中, OA1＝1, OP1＝2, 由勾股定理得出A1P1＝＝, 同理：A2P2＝, A3P3＝, ……, 得出P1的坐标为〔1, 〕, P2的坐标为〔2, 〕, P3的坐标为〔3, 〕, ……, 得出规律, 即可得出结果．【解答】解：连接OP1, OP2, OP3, l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3, 如下图：在Rt△OA1P1中, OA1＝1, OP1＝2,∴A1P1＝＝＝,同理：A2P2＝＝, A3P3＝＝, ……,∴P1的坐标为〔1, 〕, P2的坐标为〔2, 〕, P3的坐标为〔3, 〕, ……,…按照此规律可得点P n的坐标是〔n, 〕, 即〔n, 〕故答案为：〔n, 〕．【点评】此题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理；由题意得出规律是解题的关键．14．(2021•湖南益阳•4分)观察以下等式：2＝(2－1)2,①3－22＝(3－2)2,②5－62＝(4－3)2,③7－12…请你根据以上规律, 写出第6个等式．【考点】规律探究---二次根式化简．【分析】第n个等式左边的第1个数为2n+1, 根号下的数为n(n+1), 利用完全平方公式得到第n个等式右边的式子为(－)2(n≥1的整数)．【解答】解：写出第6个等式为13－2＝(－)2．故答案为13－2＝(－)2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式, 然后进行二次根式的乘除运算, 再合并即可．在二次根式的混合运算中, 如能结合题目特点, 灵活运用二次根式的性质, 选择恰当的解题途径, 往往能事半功倍．15(2021湖北仙桃)〔3分〕如图, 在平面直角坐标系中, 四边形OA1B1C1, A1A2B2C2,A2A3B3C3, …都是菱形, 点A1, A2, A3, …都在x轴上, 点C1, C2, C3, …都在直线y＝x+上, 且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°, OA1＝1, 那么点C6的坐标是〔95, 32〕．【分析】根据菱形的边长求得A1、A2、A3…的坐标然后分别表示出C1、C2、C3…的坐标找出规律进而求得C6的坐标．【解答】解：∵OA1＝1,∴OC1＝1,∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°,∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝, 横坐标为cos60°•OC1＝,∴C1〔, 〕,∵四边形OA1B1C1, A1A2B2C2, A2A3B3C3, …都是菱形,∴A1C2＝2, A2C3＝4, A3C4＝8, …,∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝, 代入y＝x+求得横坐标为2,∴C2〔, 2, 〕,C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝4, 代入y＝x+求得横坐标为11,∴C3〔11, 4〕,∴C4〔23, 8〕,C5〔47, 16〕,∴C6〔95, 32〕；故答案为〔95, 32〕．【点评】此题是对点的坐标变化规律的考查, 主要利用了菱形的性质, 解直角三角形, 根据点的变化规律求出菱形的边长, 得出系列C点的坐标, 找出规律是解题的关键．16. (2021湖北咸宁市3分)有一列数, 按一定规律排列成1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …, 其中某三个相邻数的积是412, 那么这三个数的和是﹣384．【分析】根据题目中的数字, 可以发现它们的变化规律, 再根据其中某三个相邻数的积是412, 可以求得这三个数, 从而可以求得这三个数的和．【解答】解：∵一列数为1, ﹣2, 4, ﹣8, 16, ﹣32, …,∴这列数的第n个数可以表示为〔﹣2〕n﹣1,∵其中某三个相邻数的积是412,∴设这三个相邻的数为〔﹣2〕n﹣1.〔﹣2〕n、〔﹣2〕n+1,那么〔﹣2〕n﹣1•〔﹣2〕n•〔﹣2〕n+1＝412,即〔﹣2〕3n＝〔22〕12,∴〔﹣2〕3n＝224,∴3n＝24,解得, n＝8,∴这三个数的和是：〔﹣2〕7+〔﹣2〕8+〔﹣2〕9＝〔﹣2〕7×〔1﹣2+4〕＝〔﹣128〕×3＝﹣384,故答案为：﹣384．【点评】此题考查数字的变化类, 解答此题的关键是明确题意, 发现题目中数字的变化规律．1.〔2021•四川省达州市•11分〕箭头四角形模型规律如图1, 延长CO交AB于点D, 那么∠BOC＝∠1+∠B＝∠A+∠C+∠B．因为凹四边形ABOC形似箭头, 其四角具有“∠BOC＝∠A+∠B+∠C〞这个规律, 所以我们把这个模型叫做“箭头四角形〞．模型应用〔1〕直接应用：①如图2, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α．②如图3, ∠ABE、∠ACE的2等分线〔即角平分线〕BF、CF交于点F, ∠BEC＝120°, ∠BAC＝50°, 那么∠BFC＝85°．③如图4, BO i、CO i分别为∠ABO、∠ACO的2021等分线〔i＝1, 2, 3, …, 2021, 2021〕．它们的交点从上到下依次为O1、O2、O3、…、O2021．∠BOC＝m°, ∠BAC＝n°, 那么∠BO1000C ＝〔m+n〕度．〔2〕拓展应用：如图5, 在四边形ABCD中, BC＝CD, ∠BCD＝2∠BA D．O是四边形ABCD 内一点, 且OA＝OB＝O D．求证：四边形OBCD是菱形．【分析】〔1〕①由∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α, ∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α可得答案；②由∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F, ∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A且∠EBF＝∠ABF, ∠ECF＝∠ACF知∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F, 从而得∠F＝, 代入计算可得；③由∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C, ∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BAC知∠ABO+∠ACO＝〔∠BO1000C﹣∠BAC〕, 代入∠BOC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C得∠BOC＝×〔∠BO1000C﹣∠BAC〕+∠BO1000C, 据此得出∠BO1000C＝〔∠BOC+∠BAC〕＝∠BOC+∠BAC, 代入可得答案；〔2〕由∠OAB＝∠OBA, ∠OAD＝∠ODA知∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD, 结合∠BCD＝2∠BAD得∠BCD＝∠BOD, 连接OC, 根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】解：〔1〕①如图2,在凹四边形ABOC中, ∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α,在凹四边形DOEF中, ∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；②如图3,∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F, ∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A, 且∠EBF＝∠ABF, ∠ECF＝∠ACF,∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F,∴∠F＝,∵∠BEC＝120°, ∠BAC＝50°,∴∠F＝85°；③如图3,由题意知∠ABO1000＝∠ABO, ∠OBO1000＝∠ABO,∠ACO1000＝∠ACO, ∠OCO1000＝∠ACO,∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C,∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BAC,那么∠ABO+∠ACO＝〔∠BO1000C﹣∠BAC〕,代入∠BOC＝〔∠ABO+∠ACO〕+∠BO1000C得∠BOC＝×〔∠BO1000C ﹣∠BAC〕+∠BO1000C,解得：∠BO1000C＝〔∠BOC+∠BAC〕＝∠BOC+∠BAC,∵∠BOC＝m°, ∠BAC＝n°,∴∠BO1000C＝m°+n°；故答案为：①2α；②85°；③〔m+n〕；〔2〕如图5, 连接OC,∵OA＝OB＝OD,∴∠OAB＝∠OBA, ∠OAD＝∠ODA,∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD,∵∠BCD＝2∠BAD,∴∠BCD＝∠BOD,∵BC＝CD, OA＝OB＝OD, OC是公共边,∴△OBC≌△ODC〔SSS〕,∴∠BOC＝∠DOC, ∠BCO＝∠DCO,∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC, ∠BCD＝∠BCO+∠DCO,∴∠BOC＝∠BOD, ∠BCO＝∠BCD,又∠BOD＝∠BCD,∴∠BOC＝∠BCO,∴BO＝BC,又OB＝OD, BC＝CD,∴OB＝BC＝CD＝DO,∴四边形OBCD是菱形．【点评】此题主要考查四边形的综合问题, 解题的关键是掌握“箭头四角形〞的性质∠BOC＝∠A+∠B+∠C及其运用, 全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识点．2．〔2021•山东青岛•10分〕问题提出：如图, 图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L〞形纸片, 图②是一张a×b的方格纸〔a×b的方格纸指边长分别为a, b的矩形, 被分成a×b个边长为1的小正方形, 其中a≥2, b≥2, 且a, b为正整数〕．把图①放置在图②中, 使它恰好盖住图②中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律, 我们采用一般问题特殊化的策略, 先从最简单的情形入手, 再逐次递进, 最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图③, 对于2×2的方格纸, 要用图①盖住其中的三个小正方形, 显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图④, 在3×2的方格纸中, 共可以找到2个位置不同的 2 2×方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在3×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图⑤, 在a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕个位置不同的2×2方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在a×2的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔4a﹣4〕种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？如图⑥, 在a×3的方格纸中, 共可以找到〔2a﹣2〕个位置不同的2×2方格, 依据探究一的结论可知, 把图①放置在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔8a﹣8〕种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有多少种不同的放置方法？〔仿照前面的探究方法, 写出解答过程, 不需画图．〕问题拓展：如图, 图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体, 图⑧是一个长、宽、高分别为a, b, c〔a≥2, b≥2, c≥2, 且a, b, c是正整数〕的长方体, 被分成了a×b×c个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕个图⑦这样的几何体．【分析】对于图形的变化类的规律题, 首先应找出图形哪些局部发生了变化, 是按照什么规律变化的, 通过分析找到各局部的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考, 善用联想来解决这类问题．【解答】解：探究三：根据探究二, a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕个位置不同的2×2方格,根据探究一结论可知, 每个2×2方格中有4种放置方法, 所以在a×2的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕×4＝〔4a﹣4〕种不同的放置方法；故答案为a﹣1, 4a﹣4；探究四：与探究三相比, 此题矩形的宽改变了, 可以沿用上一问的思路：边长为a, 有〔a﹣1〕条边长为2的线段,同理, 边长为3, 那么有3﹣1＝2条边长为2的线段,所以在a×3的方格中, 可以找到2〔a﹣1〕＝〔2a﹣2〕个位置不同的2×2方格,根据探究一, 在在a×3的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有〔2a﹣2〕×4＝〔8a﹣8〕种不同的放置方法．故答案为2a﹣2, 8a﹣8；问题解决：在a×b的方格纸中, 共可以找到〔a﹣1〕〔b﹣1〕个位置不同的2×2方格,依照探究一的结论可知, 把图①放置在a×b的方格纸中, 使它恰好盖住其中的三个小正方形, 共有4〔a﹣1〕〔b﹣1〕种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一局部, 利用前面的思路,这个长方体的长宽高分别为a、b、c, 那么分别可以找到〔a﹣1〕、〔b﹣1〕、〔c﹣1〕条边长为2的线段,所以在a×b×c的长方体共可以找到〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕位置不同的2×2×2的正方体, 再根据探究一类比发现, 每个2×2×2的正方体有8种放置方法,所以在a×b×c的长方体中共可以找到8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕个图⑦这样的几何体；故答案为8〔a﹣1〕〔b﹣1〕〔c﹣1〕．【点评】此题考查了平面图形的有规律变化, 要求学生通过观察图形, 分析、归纳并发现其中的规律, 并应用规律解决问题是解题的关键．。

中招数学规律探索型问题 (附答案)

类型一数字规律探索1.(2016.济宁)按一定规律排列的一列数：，1，1，□，，，，…请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为.2.观察下列等式：71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649，...则71+72+73+ (72017)末位数是——————。

3.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，32017的个位数字是4.（2015•孝感）观察下列等式：1 2 =1，1+3=2 2 ，1+3+5=3 2 ，1+3+5+7=4 2 ，…，则1+3+5+7+…+2015=____________．5.（2016.南宁）观察下列等式：在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第层．类型二数式规律探索．6.古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，······叫做三角数，它有一定的规律性，则第30个三角数减去第28个三角数的值为______7.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21……叫做三角形数，它有一定的规律性.若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，……，第个三角形数记为，计算……，由此推算，____________，__________.8.（2015•武威）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是，2016是第个三角形数．类型三图形规律探索9. （2016.重庆）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（）A ．43B ．45C ．51D ．5310. 如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为S 1，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S 2，…，按照此规律继续下去，则S 9的值为（）A ．（）6B ．（）7C ．（）6 D ．（）711. 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律，依此规律，那么第4个图形中的x= ，一般地，用含有m ，n 的代数式表示y ，即y=12．（2015.河南）在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1,O 2,O 3…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则2015秒时，点P 的坐标是（）A.（2014，0）B.（2015，-1）C.（2015，1）D.（2015，0）13.（2015•宜宾）如图，以点O 为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）A．231πB．210πC．190πD．171π类型四坐标中的规律探索14. （2016•聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是14题图15题图15. 如图，在平面直角坐标系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等边三角形，且点A1，A3，A5，A7，A9的坐标分别为A1（3，0），A3（1，0），A5（4，0），A7（0，0），A9（5，0），依据图形所反映的规律，则A100的坐标为．16.（2015•丹东，）如图，直线OD与x轴所夹的锐角为30°，OA1的长为1，△A1A2B1、△A2A3B2、△A3A4B3…△AnAn+1Bn均为等边三角形，点A1、A2、A3…An+1在x轴的正半轴上依次排列，点B1、B2、B3…Bn在直线OD上依次排列，那么点Bn的坐标为.答案1.【解答】解：把整数1化为，得，，，（），，，…可以发现后一个数的分子恰是前面数的分母，所以，第4个数的分子是2，分母是3，故答案为：．2.答案73.观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，试猜想，32017的个位数字是3.【解答】解：设n为自然数，∵34n+1的个位数字是3，与31的个位数字相同，34n+2的个位数字是9，与32的个位数字相同，34n+3的个位数字是7，与33的个位数字相同，34n的个位数字是1，与34的个位数字相同，∴32016=3504×4的个位数字与34的个位数字相同，应为1，故答案为：34.（2015•孝感）观察下列等式：1 2 =1，1+3=2 2 ，1+3+5=3 2 ，1+3+5+7=4 2 ，…，则1+3+5+7+…+2015= ——————————．4.解答：解：因为 1=1 2 ；1+3=2 2 ；1+3+5=3 2 ；1+3+5+7=4 2 ；…，所以 1+3+5+…+2015=1+3+5+…+（2×1008﹣1）=1008 2=1016064故答案为：1016064．【解答】解：第一层：第一个数为12=1，最后一个数为22﹣1=3，第二层：第一个数为22=4，最后一个数为23﹣1=8，第三层：第一个数为32=9，最后一个数为24﹣1=15，∵442=1936，452=2025，又∵1936＜2016＜2025，∴在上述数字宝塔中，从上往下数，2016在第44层，故答案为：44类型二数式规律探索．由三角数规律可知，可知三角数的每一项中后一项比前一项多的点数为后一项最底层的点数，因而可知第30项比第29个项点数多30个，而第29项比第28项多29个，故可求出第30个三角数比第28个三角数多的点数59个7.解答：解：a 2-a1=3-1=2；a 3-a2=6-3=3；a 4-a3=10-6=4；…；a n -an-1=n．所以a100-a99=100．∵（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）=2+3+4+…+n=-1=an -a1，∴a100==5050．类型三图形规律探索9.【解答】解：设图形n中星星的颗数是a n（n为自然是），观察，发现规律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，…，∴a n=2+．令n=8，则a8=2+=51．10.【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．∵正方形ABCD 的边长为2，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE=CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=22=4，S 2=S 1=2，S 3=S 2=1，S 4=S 3=，…，∴S n =（）n ﹣3．当n=9时，S 9=（）9﹣3=（）6，故选：A ．11.【解答】解：观察，发现规律：3=1×（2+1），15=3×（4+1），35=5×（6+1）， ∴x=7×（8+1）=63，y=m （n +1）．故答案为：63；m （n +1）． 12.【解析】：一个半圆的周长是πr=π，速度×时间=2π×2015，设点P 走了n 个半圆，则有2π×2015=n π，所以n=20152个2，即100712个2，1007个2时正好是上半圆弧，还有12半圆弧，正好在下半圆弧的中点，因此的P 在（2015，-1）处。

2024中考数学复习专题规律探索题 (含答案)

2024中考数学复习专题规律探索题类型一数式规律1. (2023鄂州)生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n 来表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，请你推算22023的个位数字是()A. 8B. 6C. 4D. 22. (2023泰安)将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6，则表示99的有序数对是________．3. (2022怀化)观察等式：2＋22＝23－2，2＋22＋23＝24－2，2＋22＋23＋24＝25－2，…，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代数式表示这组数的和是________．4. (2023张家界)有一组数据：a1＝31×2×3，a2＝52×3×4，a3＝73×4×5，…，a n＝2n＋1n（n＋1）（n＋2）.记S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，则S12＝________．5. (2023达州)人们把5－12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a＝5－12，b＝5＋12，记S1＝11＋a＋11＋b，S2＝21＋a2＋2 1＋b2，…，S100＝1001＋a100＋1001＋b100，则S1＋S2＋…＋S100＝________．6. (2023安徽)观察以下等式：第1个等式：(2×1＋1)2＝(2×2＋1)2－(2×2)2，第2个等式：(2×2＋1)2＝(3×4＋1)2－(3×4)2，第3个等式：(2×3＋1)2＝(4×6＋1)2－(4×6)2，第4个等式：(2×4＋1)2＝(5×8＋1)2－(5×8)2，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第5个等式：____________________；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并证明．类型二图形规律考向1累加型7. (2023重庆B卷)把菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第①个图案中有3个菱形，第①个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中菱形的个数为()第7题图A. 15B. 13C. 11D. 98. (2023济宁)如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点…按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是()第8题图A. 297B. 301C. 303D. 4009. (2023青海省卷)木材加工厂将一批木料按如图所示的规律依次摆放，则第n个图中共有木料________根．第9题图源自人教七上P70第10题10. (2022常德)如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有1×1个小正方形，所有线段的和为4，第二个图形有2×2个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有3×3个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n个网格中所有线段的和为________．(用含n的代数式表示)第10题图11. (2023遂宁)“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为________．第11题图12. (2023德阳)古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：第12题图其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是1＋2＝3，第三个三角形数是1＋2＋3＝6，…图①的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是1＋3＝4，第三个正方形数是1＋3＋5＝9，……由此类推，图①中第五个正六边形数是________．考向2成倍递变型13. (2023威海)由12个有公共顶点O 的直角三角形拼成如图所示的图形，①AOB ＝①BOC ＝①COD ＝…＝①LOM ＝30°.若S ①AOB ＝1，则图中与①AOB 位似的三角形的面积为( )第13题图A. (43 )3B. (43 )7C. (43 )6D. (34)6 14. (2023荆州)如图，已知矩形ABCD 的边长分别为a ，b ，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD 各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1；第二次，顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2；…如此反复操作下去，则第n 次操作后，得到四边形A n B n C n D n 的面积是( )A. ab 2nB. ab 2n －1C. ab 2n ＋1 D. ab22n第14题图15. (2023烟台)如图，正方形ABCD 边长为1，以AC 为边作第2个正方形ACEF ，再以CF 为边作第3个正方形FCGH ，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为( ) A. (22 )5 B. (22 )6 C. (2 )5 D. (2 )6第15题图16. (2023广安)如图，四边形ABCD 是边长为12的正方形，曲线DA 1B 1C 1D 1A 2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA 1的圆心为A ，半径为AD ；弧A 1B 1的圆心为B ，半径为BA1；弧B1C1的圆心为C，半径为CB1；弧C1D1的圆心为D，半径为DC1….弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A、B、C、D循环，则弧C2023D2023的长是________(结果保留π).第16题图17. (2023绥化)如图，①AOB＝60°，点P1在射线OA上，且OP1＝1，过点P1作P1K1①OA 交射线OB于K1，在射线OA上截取P1P2，使P1P2＝P1K1；过点P2作P2K2①OA交射线OB 于K2，在射线OA上截取P2P3，使P2P3＝P2K2；…；按照此规律，线段P2023K2023的长为________.第17题图考向3周期变化型18. (2023玉林)如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF 的顶点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2023秒钟后，两枚跳棋之间的距离是()A. 4B. 23C. 2D. 0第18题图19. (2023河南)如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O 重合，AB①x轴，交y轴于点P.将①OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点A的坐标为()A. (3，－1)B. (－1，－3)C. (－3，－1)D. (1，3)第19题图20. (2023毕节)如图，在平面直角坐标系中，把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点A1(1，1)；把点A1向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点A2(－1，3)；把点A2向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点A3(－4，0)；把点A3向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点A4(0，－4)；…；按此做法进行下去，则点A10的坐标为________．第20题图类型三与函数图象结合21. (2023龙东地区)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，A4…在x轴上且OA1＝1，OA2＝2OA1，OA3＝2OA2，OA4＝2OA3…按此规律，过点A1，A2，A3，A4…作x轴的垂线分别与直线y＝3x交于点B1，B2，B3，B4…记①OA1B1，①OA2B2，①OA3B3，①OA4B4…的面积分别为S1，S2，S3，S4…则S2023＝________．第21题图22. (2022菏泽)如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x(x ＞0)的图象交于点A ，过点A 作AB ①OA ，交x 轴于点B ；作BA 1①OA ，交反比例函数图象于点A 1；过点A 1作A 1B 1①A 1B 交x 轴于点B 1；再作B 1A 2①BA 1，交反比例函数图象于点A 2，依次进行下去…，则点A 2022的横坐标为________．第22题图23. (2023盐城)《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线l 1：y ＝12x ＋1与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交直线l 2：y ＝x 于点O 1，过点O 1作y 轴的平行线交直线l 1于点A 1，以此类推，令OA ＝a 1，O 1A 1＝a 2，…，O n －1A n －1＝a n ，若a 1＋a 2＋…＋a n ≤S 对任意大于1的整数n 恒成立，则S 的最小值为________．第23题图类型四与实际问题结合24. (2022安徽)某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块(如图①)；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块(如图①)；以此类推．第24题图【规律总结】(1)若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加________块；(2)若一条这样的人行道一共有n(n为正整数)块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为______(用含n的代数式表示)；【问题解决】(3)现有2022块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？参考答案与解析1. C 【解析】21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，则2的1，2，3，4次方的个位上的数分别为2，4，8，6，每4个一次循环，而22022中2022÷4＝550……2，∴个位上的数为4.2. (10，18) 【解析】按照规律可得每一行的最后一个数为行数的平方，第n 行有(2n －1)个数．∵92＝81，102＝100，∴99是第10行，第18个数，∴表示99的有序数对是(10，18).3. m 2－m4.201182 【解析】∵a n ＝2n ＋1n （n ＋1）（n ＋2）＝n ＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2）＝n n （n ＋1）（n ＋2）＋n ＋1n （n ＋1）（n ＋2）＝1（n ＋1）（n ＋2）＋1n （n ＋2）＝1n ＋1 －1n ＋2 ＋12 (1n －1n ＋2)，∴S 12＝12 －13 ＋13 －14 ＋…＋113 －114 ＋12 ×(1－13 ＋12 －14 ＋…＋112 －114 )＝12 －114 ＋12 ×(1＋12 －113 －114 )＝12 ＋12 ＋14 －126 －114 －128 ＝201182. 5. 5050 【解析】∵a ＝5－12 ，b ＝5＋12 ，∴ab ＝1，∵S 1＝11＋a ＋11＋b ＝2＋a ＋b 1＋a ＋b ＋ab ＝2＋a ＋b 2＋a ＋b ＝1，S 2＝21＋a 2 ＋21＋b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）1＋a 2＋b 2＋a 2b 2 ＝2（2＋a 2＋b 2）2＋a 2＋b 2＝2，…，S 100＝1001＋a 100 ＋1001＋b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）1＋a 100＋b 100＋a 100b 100 ＝100（2＋a 100＋b 100）2＋a 100＋b 100＝100，∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝1＋2＋…＋100＝100×（100＋1）2＝5050. 6. 解：(1)(2×5＋1)2＝(6×10＋1)2－(6×10)2；(2)(2n ＋1)2＝[2n (n ＋1)＋1]2－[2n (n ＋1)]2.证明：等式左边＝4n 2＋4n ＋1，等式右边＝4n 2(n ＋1)2＋1＋4n (n ＋1)－4n 2(n ＋1)2＝4n (n ＋1)＋1＝4n 2＋4n ＋1，∴左边＝右边，∴等式成立．7. C 【解析】经分析可得，第个图案的菱形个数为2n －1，∴第⑥个图案中菱形个数为2×6－1＝11(个).8. B 【解析】第一幅图中圆点的个数是4＝1×3＋1；第二幅图中圆点的个数是7＝2×3＋1；第三幅图中圆点的个数是10＝3×3＋1；第四幅图中圆点的个数是13＝4×3＋1；…；按照此规律，第n 幅图中圆点的个数是3n ＋1，∴第一百幅图中圆点的个数是3×100＋1＝301.9. n （n ＋1）2【解析】∵第1个图中有木料1根，第2个图中有木料1＋2＝3根，第3个图中有木料1＋2＋3＝6根，第4个图中有木料1＋2＋3＋4＝10根，…，∴第n 个图中有木料1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2根． 10. 2n 2＋2n 【解析】观察图形可知：第一个图形由1个小正方形组成，所有线段的和为4×1＝2×2×1, 第二个图形由4个小正方形组成，所有线段的和为6×2＝2×3×2, 第三个图形由9个小正方形组成，所有线段的和为8×3＝2×4×3, 第4个图形由16个小正方形组成，所有线段的和为10×4＝2×5×4，…由此发现规律是：第n 个图形由n 2个小正方形组成，所有线段的和为2(n ＋1)·n ＝2n 2＋2n .11. 127 【解析】第一代勾股树中正方形个数＝20＋21；第二代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22；第三代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23；第四代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24，…，∴第六代勾股树中正方形个数＝20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＝127.12. 45 【解析】由题图可知，题图④前三层点数分别是：1＝4×1－3，5＝4×2－3，9＝4×3－3，…，∴第n 层的点数是4n －3，∴第n 个正六边形数是1＋5＋9＋…＋4n －3＝4×1－3＋4×2－3＋4×3－3＋…＋4n －3＝2n 2－n ，∴题图④中第五个正六边形数是2×52－5＝45.13. C 【解析】在Rt △AOB 中，∠AOB ＝30°，∵cos ∠AOB ＝OA OB ，∴OB ＝23OA .同理可得OC ＝23 OB ，∴OC ＝(23 )2OA ，…，∴OG ＝(23)6OA ，由题图可知△GOH 与△AOB 位似且位似比为(23 )6.∵S △AOB ＝1，∴S △GOH ＝[(23 )6]2＝(43 )6. 14. A 【解析】第一次操作后S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 S 矩形ABCD ＝12ab ，第二次操作后S 四边形A 2B 2C 2D 2＝12 S 四边形A 1B 1C 1D 1＝12 ×12 ab ＝ab 22 ，第三次操作后S 四边形A 3B 3C 3D 3＝12S 四边形A 2B 2C 2D 2＝ab 23 ，…，第n 次操作后S 四边形A n B n C n D n ＝ab 2n . 15. C 【解析】∵正方形ABCD 边长为1，∴AB ＝BC ＝1，∴AC ＝2 ，∴以AC 为边作第2个正方形ACEF 的边长为2 ；∵CF 是正方形ACEF 的对角线，∴CF ＝2 ×2 ＝(2 )2＝2，∴以CF 为边作第3个正方形FCGH 的边长为2；又∵GF 是正方形FCGH 的对角线，∴GF ＝2 ×2 ×2 ＝(2 )3＝22 ，以GF 为边作第4个正方形FGMN 的边长为22 ，…∴依此规律可知下一个正方形的边长是原来正方形边长的2 倍，即第n 个正方形的边长为(2 )n －1，∴第6个正方形的边长为(2 )5.16. 2022π 【解析】由题图可知，题图中由一段90°的弧组成的，弧所在圆的半径每次增加12 ，则弧C 1D 1的半径＝12 ×4＝12 ×4×1，弧C 2D 2的半径＝12 ×8＝12×4×2，弧C 3D 3的半径＝12 ×12＝12 ×4×3…，弧C 2022D 2022的半径＝12×4×2022＝4044，∴弧C 2022D 2022的长＝90π180×4044＝2022π. 17. 3 (1＋3 )2022 【解析】∵∠AOB ＝60°，OP 1＝1，∴P 1K 1＝3 OP 1＝3 ，∴P 1P 2＝P 1K 1＝3 ，∴OP 2＝1＋3 .∵P 2K 2＝3 OP 2，∴P 2K 2＝3 (1＋3 )，∴OP 3＝(1＋3 )2，∴P 3K 3＝3 OP 3＝3 (1＋3 )2，…，∴依此规律可得P 2023K 2023＝3 (1＋3 )2022.18. B 【解析】根据两枚跳棋跳动规则可知，红跳棋每过6秒钟跳动回顶点A ，黑跳棋每过18秒钟跳动回顶点A ，∵2022÷6＝337，∴经过2022秒后，红跳棋在顶点A 处；∵2022÷18＝112……6，6÷3＝2，∴经过2022秒钟后，黑跳棋在顶点E 处．如解图，连接AE ，过点F 作FG ⊥AE 于点G ，∵六边形ABCDEF 是边长为2的正六边形，∴∠AFE ＝120°，FE ＝AF ，∴∠F AE ＝30°，∴AG ＝EG ＝AF ·cos 30°＝2×32 ＝3 ，∴AE ＝23 ，即两枚跳棋之间的距离是23 .第18题解图19. B 【解析】如解图，连接OB ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵六边形ABCDEF 是正六边形，点O 是中心，∴OB ＝OA ，∠AOB ＝60°，∴∠AOP ＝30°，AP ＝12AB ＝1，∴OP ＝3 ，∴点A (1，3 )，将△AOP 绕点O 顺时针每次旋转90°，则第1次结束点A 的坐标为(3 ，－1)，第2次结束点A 的坐标为(－1，－3 )，第3次结束点A 的坐标为(－3 ，1)，第4次结束点A 的坐标为(1，3 )，…，∴每4次一个循环，∵2022＝4×505＋2，∴第2022次旋转结束时，相当于第2次结束，∴点A 的坐标为(－1，－3 ).第19题解图20. (－1，11) 【解析】由图象可知，A 5(5，1)，将点A 5向左平移6个单位，再向上平移6个单位，可得A 6(－1，7)，将点A 6向左平移7个单位，再向下平移7个单位，可得A 7(－8，0)，将点A 7向右平移8个单位，再向下平移8个单位，可得A 8(0，－8)，将点A 8向右平移9个单位，再向上平移9个单位，可得A 9(9，1)，将点A 9向左平移10个单位，再向上平移10个单位，可得A 10(－1，11).21. 240433 【解析】∵S 1＝1×32 ＝ 20×32 ，S 2＝2×232 ＝ 22×32，… ，依此规律可得S n ＝ 22(n －1)×32 ，∴S 2023＝ 22×(2023－1)×32＝ 240433 . 22. 2021 ＋2022 【解析】∵点A 是函数y ＝x 与y ＝1x的图象在第一象限的交点，∴点A 的坐标为(1，1)，又∵AB 垂直于直线y ＝x ，∴点B 坐标为(2，0)，又∵BA 1∥OA ，∴BA 1的解析式为y ＝x －2，与y ＝1x 联立，解得x ＝1＋2 (负值已舍)，即点A 1的横坐标为1＋2 ；同理可得B 1的横坐标为22 ，∵B 1A 2∥BA 1，∴B 1A 2的解析式为y ＝x －22 ，与y ＝1x 联立，解得A 2的横坐标为2 ＋3 (负值已舍)；…；依此按规律可得A 2021的横坐标为2021 ＋2022 .23. 2 【解析】由题可得a 1＝OA ＝1，而y ＝x 与y 轴的正方向的夹角是45°，O 1A ⊥y 轴，∴O 1A ＝OA ＝1，∴ 点O 1的横坐标是1，对于y ＝12 x ＋1，当x ＝1时，y ＝32，∴a 2＝O 1A 1＝12 ，∴tan ∠A 1AO 1＝O 1A 1O 1A ＝12 ，依次得出A 1O 2＝A 1O 1＝12 ，a 3＝A 2O 2＝12 A 1O 2＝(12)2，…，可以得出A n －1O n －1＝(12 )n －1，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝1＋12 ＋…＋(12 )n －2＋(12)n －1①，①×2得2×(a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n )＝2＋1＋12 ＋…＋(12 )n －3＋(12)n －2②，②－①得a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝2－(12 )n －1，∴S ≥2－(12)n －1，∴S 的最小值是2. 24. 解：(1)2；【解法提示】观察题图②与题图③，每增加1块正方形地砖，则增加2块等腰直角三角形地砖．(2)2n ＋4；【解法提示】在题图②中，正方形地砖1块，等腰直角三角形地砖(4＋2)块；在题图③中，正方形地砖2块，等腰直角三角形地砖(4＋2×2)块；正方形地砖若有3块，则等腰直角三角形地砖(4＋2×3)块；…；依此按规律可得正方形地砖若有n 块，则等腰直角三角形地砖有(4＋2n )块．(3)设需要正方形地砖n块，∴2n＋4≤2021，解得n≤1008.5，∵n为正整数，∴n最大取1008，答：需要正方形地砖1008块．。

中考数学备考专题复习探索规律问题(含解析)

研究规律问题一、（共 7；共14分）1、（2016?重）以下形都是由同大小的小圈按必定律所成的，此中第①个形中一共有4个小圈，第②个形中一共有10个小圈，第③个形中一共有19个小圈，⋯，按此律摆列，第⑦个形中小圈的个数（）A、64B、77C、80D、852、（2016?重）察以下一形，此中形①中共有2星，形②中共有6星，形③中共有11星，形④中共有17星，⋯，按此律，形⑧中星星的数是（）A、43B、45C、51D、533、（2016?邵阳）如所示，以下各三角形中的三个数之均拥有同样的律，依据此律，最后一个三角形中y与n之的关系是（）A、y=2n+1B、y=2n+nC、y=2n+1+nD、y=2n+n+14、（2016?沂）用大小相等的小正方形按必定律拼成以下形，第n个形中小正方形的个数是（）A、2n+1B、n21C、n2+2nD、5n25、（2016?州）如，用黑白两种色的菱形片，按黑色片数逐增添1的律拼成以下案，若第n个案中有2017个白色片，n的（）A、671B、672C、673D、6746、（2016?永州）我依据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算关系的一例：指数运算21=222=423=8⋯31=332=933=27⋯新运算log22=1 log24=2log28=3⋯log33=1log39=2 log327=3⋯依据上表律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5，③log2=1．此中正确的选项是（）A、①②B、①③C、②③D、①②③7、（2016?青海）如，正方形ABCD的2，其面S1，以CD斜作等腰直角三角形，以等腰直角三角形的一条直角向外作正方形，其面S2，⋯，依据此律下去，S9的（）A、（）6B、（）7C、（）6D、（）7二、填空（共14；共15分）8、（2016?宁波）以下案是用度同样的火柴棒按必定律拼搭而成，案①需8根火柴棒，案②需15根火柴棒，⋯，按此律，案⑦需________根火柴棒．9、（2016?宁）按必定律摆列的一列数：，1，1，□，，，，⋯你仔察，依据此律方框内的数字________．10、（2016?岳阳）如，在平面直角坐系中，每个最小方格的均1个位，P1，P2，P3，⋯，均在格点上，其序按中“→”方向摆列，如：P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，1），P5（1，1），P6（1，2）⋯依据个律，点P2016的坐________．11、（2016?内江）将一些半径同样的小按如所示的律放，仔察，第n个形有________个小?（用含n的代数式表示）12、（2016?新疆）如，下边每个形中的四个数都是按同样的律填写的，依据此律确立x的________．13、（2016?百色）察以下各式的律：ab）（a+b）=a2b2ab）（a2+ab+b2）=a3b3ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4⋯可获得（a b）（a2016+a2015b+⋯+ab2015+b2016）=________14、（2016?丹）察以下数据：2，，，，，⋯，它是按必定律排列的，依据此律，第11个数据是________．15、（2016?泉州）找出以下各形中数的律，依此，a的________．16、（2016?仁市）如是小用放的4个案，依据放案的律，猜想第n个案需要________个．17、（2016?益阳）小李用棋子排成以下一有律的案，此中第1个案有1枚棋子，第2个案有3枚棋子，第3个案有4枚棋子，第4个案有6枚棋子，⋯，那么第9个案的棋子数是________枚．218、（2016?徐州）如，每个案都由大小同样的正方形成，依据此律，第n个案中三、合（共4；共46分）的正方形的个数可用含n的代数式表示________．22、（2016?云港）保局某企排状况行，果示：所排水中硫化物的度超，即硫化物的度超最高允的．保局要求企立刻整顿，在15天之内（含15天）排达．整顿程中，所排水中硫化物的度y（mg/L）与x（天）的化律如所示，此中段AB表示前3天的化律，从第3天起，所排水中硫化物的度y与x成反比率关系．19、（2016?青海）如，以下各形中的三个数之均拥有同样的律，依此律，那么第4个形中的x=________，一般地，用含有m，n的代数式表示y，即y=________．20、（2016?曲靖）等腰三角形ABC在平面直角坐系中的地点如所示，已知点A（6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x正半作无滑翻，第一次翻到地点①，第二次翻到地点②⋯依此律，第15次翻后点C的横坐是________．21、（2016?葫芦）如，点A1（2，2）在直y=x上，点 A1作A1B1∥y交直y=x于点B1，以点A1直角点，A1B1直角在A1B1的右作等腰直角△A1B1C1，再点C1作A2B2∥y ，分交直y=x和y=x于A2，B2两点，以点A2直角点，A2B2直角在A2B2的右作等腰直角△A2B2C2⋯，按此律行下去，等腰直角△A n B n C n的面________（用含正整数n 的代数式表示）(1)求整顿程中硫化物的度y与x的函数表达式；(2)企所排水中硫化物的度，可否在15天之内不超最高允的？什么？23、（2016?台州）【操作】在算器上入一个正数，不停地按“”求算平方根，运算果愈来愈靠近1或都等于1．【提出】入一个数，不停地行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么律？【剖析】我可用框表示种运算程（如a）．也可用象描绘：如1，在x上表示出x1，先在直y=kx+b上确立点（x1，y1），再在直y=x上确立坐y1的点（x2，y1），而后再x上确立的数x2，⋯，以此推．【解决】研究入数x1，跟着运算次数n的不停增添，运算果x，怎化．(1)若k=2，b= 4，获得什么？能够入特别的数如3，4，5行察研究；若k＞1，又获得什么？明原因；3(3)①若k=，b=2，已在x上表示出x1（如2所示），在x上表示x2，x3，x4，并写出研究；②若入数x1，运算果x n互不相等，且愈来愈靠近常数m，直接写出k的取范及m的（用含k，b的代数式表示）24、（2016?云南）有一列按必定序和律摆列的数：第一个数是；第二个数是；第三个数是；⋯任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于．研究，我：列数的第5个数a，那么，，，哪个正确？你直接写出正确的；(2)你察第1个数、第2个数、第3个数，猜想列数的第 n个数（即用正整数n表示第n数），而且明你的猜想足“第n个数与第（n+1）个数的和等于”；(3)M表示，，，⋯，，2016个数的和，即，求：．25、（2016?北京）已知y是x的函数，自量x的取范x＞0，下表是y与x的几：x⋯123579⋯y⋯⋯小依据学函数的，利用上述表格所反应出的y与x之的化律，函数的象与性行了研究．下边是小的研究程，充完好：如，在平面直角坐系xOy中，描出了以上表格中各坐的点，依据描出的点，画出函数的象；依据画出的函数象，写出：x=4的函数y________②函数的一条性：________4答案分析部分一、2、【答案】D【考点】研究形律【分析】【解答】解：通察，获得小圈的个数分是：第一个形：+12=4，第二个形：+22=6，第三个形：+32=10，第四个形：+42=15，⋯，因此第n个形：+n2，当n=7，+72=85，故D．剖析：此主要考了学生剖析、察律的能力．关是通察剖析得出律．2、【答案】C【考点】研究形律【分析】【解答】解：形n中星星的数是a n（n自然是），察，律：a1=2，a2=6=a1+3+1，a3=11=a2+4+1，a4=17=a3+5+1，⋯，∴a n=2+．令n=8，a8=2+=51．故C．【剖析】形n中星星的数是a n（n自然是），列出部分形中星星的个数，依据数据的化找出化律“a n=2+”，合律即可得出．本考了律型中的形的化，解的关是找出化律“a n=2+”．本属于中档，度不大，解决型目，依据定条件列出部分数据，依据数据的化找出化律是关．2、【答案】B【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：∵察可知：左三角形的数字律：1，2，⋯，n，右三角形的数字律：2，22，⋯，2n，下三角形的数字律：1+2，2+22，⋯，n+2n，∴y=2n+n．故B．【剖析】由意可得下三角形的数字律：n+2n，而求得答案．此考了数字律性．注意依据意找到律y=2n+n是关．2、【答案】C【考点】研究形律【分析】【解答】解：∵第1个形中，小正方形的个数是：221=3；第2个形中，小正方形的个数是：321=8；第3个形中，小正方形的个数是：421=15；⋯∴第n个形中，小正方形的个数是：（n+1）21=n2+2n+11=n2+2n；故：C．【剖析】由第1个形中小正方形的个数是221、第2个形中小正方形的个数是321、第3个形中小正方形的个数是421，可知第n个形中小正方形的个数是（n+1）21，化可得答案．本主要考形的化律，解决此目的方法是：从化的形中不的部分和化的部分及化部分的特色是解的关．2、【答案】B【考点】研究形律【分析】【解答】解：∵第1个案中白色片有4=1+1×3；第2个案中白色片有7=1+2×3；第3个案中白色片有10=1+3×3；⋯∴第n个案中白色片有1+n×3=3n+1（），依据意得：3n+1=2017，解得：n=672，故：B．【剖析】将已知三个案中白色片数拆分，得出律：每增添一个黑色片，相增添3个白色片；据此可得第n个案中白色片数，进而可得对于n的方程，解方程可得．本考了形的化，察出后一个形比前一个形的白色片的数多3，进而出第n个形的白色片的数是解的关．2、【答案】B【考点】数的运算，定新运算【分析】【解答】解：①因24=16，因此此正确；②因55=3125≠25，因此此；③因2﹣1=，因此此正确；故B．【剖析】依据指数运算和新的运算法得出律，依据律运算可得．此考了指数运算和新定运算，运算律是解答此的关．2、【答案】A【考点】勾股定理【分析】【解答】解：在中上字母E，如所示．5∵正方形ABCD的2，△CDE等腰直角三角形，222∴DE+CE=CD，DE=CE，∴S+S=S．221察，律：S1=22=4，S2=S1=2，S3=S2=1，S4=S3=，⋯，∴S=（）n﹣3．n当n=9，S=（9﹣3）6）=（，9故：A．【剖析】依据等腰直角三角形的性可得出S2+S2=S1，写出部分S n的，依据数的化找出化律“S n=（）n﹣3”，依此律即可得出．本考了等腰直角三角形的性、勾股定理以及律型中数的化律，解的关是找出律“S n=（）n﹣3”．本属于中档，度不大，解决型目，写出部分S n的，依据数的化找出化律是关．二、填空2、【答案】50【考点】坐与形化-平移【分析】【解答】解：∵案①需火柴棒：8根；案②需火柴棒：8+7=15根；案③需火柴棒：8+7+7=22根；⋯∴案n需火柴棒：8+7（n 1）=7n+1根；当n=7，7n+1=7×7+1=50，∴案⑦需50根火柴棒；故答案：50．【剖析】依据案①、②、③中火柴棒的数目可知，第1个形中火柴棒有8根，每多一个多形就多7根火柴棒，由此可知第n个案需火柴棒8+7（n 1）=7n+1根，令n=7可得答案．此主要考了形的化，解决此目的关在于形在化程中正确抓住不的部分和化的部分，化部分是以何种律化．2、【答案】【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：把整数1化，得，，，（），，，⋯能够后一个数的分子正是前方数的分母，因此，第4个数的分子是2，分母是3，故答案：．【剖析】把整数1化，能够后一个数的分子正是前方数的分母，剖析即可求解．此主要考数列的律研究，把整数一分数，察找出存在的律是解的关．2、【答案】（504，504）【考点】研究形律【分析】【解答】解：由律可得，2016÷4=504，∴点P2016的在第四象限的角均分上，∵点P4（1，1），点P8（2，2），点P12（3，3），∴点P2016（504，504），故答案（504，504）．【剖析】依据各个点的地点关系，可得出下4的倍数的点在第四象限的角均分上，被4除余1的点在第三象限的角均分上，被4除余2的点在第二象限的角均分上，被4除余3的点在第一象限的角均分上，点P2016的在第四象限的角均分上，且横坐的=2016÷4，再依据第四象限内点的符号得出答案即可．本考了律型：点的坐，是一个理解，猜想律的目，解答此的关是第一确立点所在的大概地点，所在正方形，而后就能够一步推得点的坐．2、【答案】4+n（n+1）【考点】研究形律【分析】【解答】解：依据第1个形有6个小，第 2个形有10个小，第3个形有16个小，第4个形有24个小，6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5⋯，∴第n个形有：4+n（n+1）．故答案：4+n（n+1），【剖析】本是一道对于数字猜想的，关是通与，获得此中的律．此主要考了形的律以及数字律，通与合形得出数字之的律是解决的关，注意公式必切合所有的形．2、【答案】370【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：∵左下角数字偶数，右上角数字奇数，2n=20，m=2n1，解得：n=10，m=19，∵右下角数字：第一个：1=1×21，第二个：10=3×42，第三个：27=5×63，6∴第n个：2n（2n 1）n，∴x=19×2010=370．故答案：370．【剖析】第一察律，求得n与m的，再由右下角数字第n个的律：2n（2n1）n，求得答案．此考了数字律性．注意第一求得n与m的是关．2、【答案】a2017b2017【考点】多式乘多式，平方差公式【分析】【解答】解：（ a b）（a+b）=a2b2；ab）（a2+ab+b2）=a3b3；ab）（a3+a2b+ab2+b3）=a4b4；⋯可获得（ab）（a2016+a2015b+⋯+ab2015+b2016）=a2017b2017，故答案：a2017b2017【剖析】依据已知等式，获得一般性律，写出所求式子果即可．此考了平方差公式，以及多式乘以多式，弄清中的律是解本的关．2、【答案】-【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：∵2=，，，，，⋯，∴第11个数据是：=．故答案：．【剖析】此主要考了数字化，正确得出分子与分母的化律是解关．依据意可得：所有数据分母正整数，第奇数个是数，且分子是正整数的平方加1，而得出答案．2、【答案】226【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：依据意得出律：14+a=15×16，解得：a=226；故答案：226．【剖析】由0+2=1×2，2+10=3×4，4+26=5×6，6+50=7×8，得出律，即可得出a的．本考了数字的化美；依据意得出律是解决的关．2、【答案】n（n+1）【考点】数据剖析【分析】【解答】解：n=1，个数=1+1=2；当n=2，个数=1+2+2=4；当n=3，个数=1+2+2+3=7；当n=4，个数=1+2+2+3+4=11；⋯第n个案，个数=1+2+3+4+⋯+n=n（n+1）．故答案：n（n+1）．【剖析】找出相两个形的数目的差，进而可此中的律，于是可求得的答案．本主要考的是形的化律，找出此中的律是解的关．2、【答案】13【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：第n个形有a n个旗帜，察，律：a1=1，a2=1+2=3，a3=3+1=4，a4=4+2=6，a5=6+1=7，⋯，a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n自然数）．当n=4，a9=3×4+1=13．故答案：13．【剖析】第n个形有a n个旗帜，列出部分a n的，依据数的化找出化律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n自然数）”，挨次律即可解决．本考了律型中得形的化，解的关是找出化律“a2n+1=3n+1，a2n+2=3（n+1）（n自然数）”．本属于基，度不大，解决型目，找出部分形的棋子数目，依据数的化找出化律是关．2、【答案】n（n+1）【考点】研究形律【分析】【解答】解：第n个案中正方形的个数a n，察，律：a1=2，a2=2+4=6，a3=2+4+6=12，⋯，n=n（n+1）．∴a=2+4+⋯+2n=故答案：n（n+1）．【剖析】第n个案中正方形的个数a n，依据定案写出部分a n的，依据数据的化找出律“a n=n（n+1）”，由此即可得出．本考了律型中的形的化，解的关是找出律“a n=n（n+1）”．本属于基，度不大，依据定案写出部分案中正方形的个数，依据数据的化找出化律是关．2、【答案】63；m（n+1）【考点】研究数与式的律【分析】【解答】解：察，律：3=1×（2+1），15=3×（4+1），35=5×（6+1），x=7×（8+1）=63，y=m（n+1）．故答案：63；m（n+1）．【剖析】察定形，右下的数字=右上数字×（左下数字+1），依此律即可得出．本考了律型中的形的化以及数字的化，解的关是找出律“右下的数字=右上数字×（左下数字+1）”．本属于基，度不大，解决型目，依据形中数字的化找出化律是关．72、【答案】77【考点】等腰三角形的性，坐与形化-旋【分析】【解答】解：由意可得，每翻三次与初始地点的形状同样，15÷3=5，故第15次翻后点C的横坐是：（5+5+6）×5 3=77，故答案：77．【剖析】依据意可知每翻折三次与初始地点的形状同样，第15次于开始形状同样，故以点B参照点，第15次的坐减去3即可的此点C的横坐．本考坐与形化旋，等腰三角形的性，解的关是此中的律，每旋三次一个循．2、【答案】【考点】等腰直角三角形【分析】【解答】解：∵点A1（2，2），A1B1∥y交直y=x于点B1，∴B（2，1）1∴A1B1=21=1，即△A1B1C1面=2；×1=1111∵A C=AB=1，∴A2（3，3），又∵A2B2∥y，交直y=x于点B2，∴B2（3，），∴A B=3=，即△A2B2C2面=×（2=；）22以此推，A3B3=，即△A3B3C3面=×（）2=；A4B4=，即△A4B4C4面=×（）2=；⋯∴A n B n=（）n﹣1，即△A n B n C n的面=×[（）n﹣1]2=．故答案：【剖析】先依据点A1的坐以及A1B1∥y，求得B1的坐，而获得A1B1的以及△A1B1C1面，再依据A2的坐以及A2B2∥y，求得B2的坐，而获得A2B2的以及△A2B2C2面，最后依据依据律，求得A n B n的，而得出△A n B n C n的面即可．本主要考了一次函数象上点的坐特色以及等腰直角三角形的性，解决的关是通算找出律，依据A n B n的，求得△A n B n C n的面．解注意：直上随意一点的坐都足函数关系式y=kx+b．三、合2、【答案】（1）解：分状况：①当0≤x≤3，段AB的函数表达式y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得，解得：，y=2x+10；②当x＞3，y=，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=；上所述：当0≤x≤3，y=2x+10；当x＞3，y=（2）解：能；原因以下：令y==1，x=12＜15，故能在15天之内不超最高允的【考点】一次函数的用【分析】【剖析】（1）分状况：①当0≤x≤3，段AB的函数表达式y=kx+b；把A（0，0），B（3，4）代入得出方程，解方程即可；②当x＞3，y=，把（3，4）代入求出m的即可；（2）令y==1，得出x=12＜15，即可得出．本考了方程式的用、反比率函数的用；依据意得出函数关系式是解决的关．2、【答案】（1）解：若k=2，b=4，y=2x4，取x1=3，x2=2，x3=0，x4=4，⋯8取x1=4，x2x3=x4=4，⋯取x1=5，x2=6，x3=8，x4=12，⋯由此：当x1＜4，跟着运算次数n的增添，运算果x n愈来愈小．当x1=4，跟着运算次数n的增添，运算果x n的保持不，都等于4．当x＞4，跟着运算次数n的增添，运算果x愈来愈大1n（2）解：当x1＞，跟着运算次数n的增添，x n愈来愈大．当x＜，跟着运算次数n的增添，x愈来愈小．1n当x1=，跟着运算次数n的增添，x n保持不．原因：如1中，直y=kx+b与直y=x的交点坐（，），当x＞，于同一个x的，kx+b＞x，1∴y＞x11∵y=x2，1∴x1＜x2，同理x2＜x3＜⋯＜x n，∴当x1＞，跟着运算次数n的增添，x n愈来愈大．同理，当x1＜，跟着运算次数n的增添，x n愈来愈小．当x1=，跟着运算次数n的增添，x n保持不（3）解：①在数上表示的x1，x2，x3如2所示．x1=三种情况解答即可．（3）①如2中，画出形，依据象即可解决，x n的愈来愈靠近两直交点的横坐．②依据前方的研究即可解决．本考一次函数合以及性，解的关是学会从一般到特别研究律，学会利用律解决，属于中考常考型．2、【答案】（1）解：由意知第5个数a==（2）解：∵第n个数，第（n+1）个数，∴+=（+）××=，即第n个数与第（n+1）个数的和等于（3）解：∵1=＜=1，=＜＜=1，=＜＜=，⋯=＜＜=，=＜＜=，∴1＜+++⋯++＜2，即＜+++⋯++＜，跟着运算次数的增添，运算果愈来愈靠近．∴②由（2）可知：1＜k＜1且k≠0，【考点】分式的混淆运算，研究数与式的律由消去y获得x=【分析】【剖析】（1）由已知律可得；（2）先依据已知律写出第n、n+1个数，再依据分式的运算化可得；（3）将每个分式依据=＜＜=，睁开∴由①研究可知：m=．【考点】一次函数的性后再所有相加可得．本主要考分式的混淆运算及数字的化律，依据已知律=【分析】【剖析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情况解答即可．（2）分x1＞，x1＜，获得=＜＜=是解的关．9中考数学备考专题复习探索规律问题(含解析)（2、【答案】（1）解：如图，2）2；该函数有最大值【考点】函数的观点【分析】【解答】解：①x=4对应的函数值y约为2；②该函数有最大值．故答案为2，该函数有最大值．【剖析】此题考察了函数的定义：对于函数观点的理解：①有两个变量；②一个变量的数值跟着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确立的值，函数值有且只有一个值与之对应．1）依据自变量由小到大，利用光滑的曲线连接各点即可；2）①在所画的函数图象上找出自变量为4所对应的函数值即可；②利用函数图象有最高点求解．1011 / 1111。

九年级数学中考规律探究题(附答案)

专题6 数学规律探究问题根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。

解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。

一、数式规律探究通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法。

数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《探索规律问题》经典题型及测试题（含答案）阅读与理解探索规律问题是中考数学中的常考问题，往往以选择题或填空题中的压轴题形式出现，主要命题方向有数式规律、图形变化规律、点的坐标规律等．基本解题思路为：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，最后验证结论的正确性．即“从特殊情形入手→探索发现规律→猜想结论→验证”．类型一数式规律这类问题通常是先给出一组数或式子，通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．例1 (2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，…，第n个三角数记为an ，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…，由此推算a399＋a400＝．【分析】首先计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4的值，然后总结规律根据规律得出结论，进而求出a399＋a400的值．【自主解答】∵a1＋a2＝1＋3＝4＝22，a2＋a3＝3＋6＝9＝32，a3＋a4＝6＋10＝16＝42，…，∴an ＋an＋1＝(n＋1)2.∴a399＋a400＝4002＝160 000.故答案为160 000.变式训练：1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为：，1，，，，，…，按此规律，这列数中的第100个数是．2．(2017年黄石)观察下列格式：=1﹣=+=1﹣+﹣=++=1﹣+﹣+﹣=…请按上述规律，写出第n个式子的计算结果（n为正整数）．（写出最简计算结果即可）类型二图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．例2 (2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A．64 B．77 C．80 D．85【分析】观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．【自主解答】解：通过观察，得到小圆圈的个数分别是：第一个图形为：+12=4，第二个图形为：+22=6，第三个图形为：+32=10，第四个图形为：+42=15 …，所以第n个图形为：+n2，当n=7时，+72=85，故选D．变式训练：3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n＝11时，芍药的数量为( )A．84株 B．88株 C．92株 D．121株4．(2015·德州)如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠A＝60°.取AB的中点A1，连接A1C，再分别取A1C，BC的中点D1，C1，连接D1C1，得到四边形A1BC1D1.如图2，同样方法操作得到四边形A2BC2D2，如图3，…，如此进行下去，则四边形An BCnDn的面积为_______类型三点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．例3 (2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017的横坐标是．21433an【分析】先根据直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），OB1=1，∠OB1D=30°，再，过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，A2的横坐标为，A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A2017的横坐标．【自主解答】解：由直线l：y=x﹣与x轴交于点B1，可得B1（1，0），D（﹣，0），∴OB1=1，∠OB1D=30°，如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=OB1=，即A1的横坐标为=，由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，∴∠A1B1B2=90°，∴A1B2=2A1B1=2，过A2作A2B⊥A1B2于B，则A1B=A1B2=1，即A2的横坐标为+1==，过A3作A3C⊥A2B3于C，同理可得，A2B3=2A2B2=4，A2C=A2B3=2，即A3的横坐标为+1+2==，同理可得，A4的横坐标为+1+2+4==，由此可得，An的横坐标为，∴点A2017的横坐标是，故答案为：．变式训练5．(2016·德州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝2x和y＝－x的图象分别为直线l1，l2，过点(1，0)作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l1于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…，依次进行下去，则点A2 017的坐标为__6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形An Bn－1Bn顶点Bn的横坐标为___。

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专题六规律探索题类型一数式规律1. 设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，…，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2020＋a 2021＝________．2. 如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着－5，－2，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．则第5个台阶上的数x ＝________，从下到上前35个台阶上数的和＝________．第2题图3. 将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如：位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是________．第3题图4. 如图，下列各正方形中的四个数具有相同的规律，根据规律，x 的值为________．第4题图5. 已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2018＝________(用含a 的代数式表示)．6. 观察下列等式：(x －1)(x ＋1)＝x 2－1；(x －1)(x 2＋x ＋1)＝x 3－1；(x －1)(x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 4－1；(x －1)(x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1)＝x 5－1；…根据以上规律，计算22020＋22019＋22018＋…＋23＋22＋2＋1的结果是________，个位数字是________．7. 人们把5－12这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a ＝5－12，b ＝5＋12，得ab ＝1，记S 1＝11＋a ＋11＋b ，S 2＝11＋a 2＋11＋b 2，…，S 10＝11＋a 10＋11＋b 10.则S 1＋S 2＋…＋S 10＝________． 8.如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是________．第8题图9.观察下列等式：x 1＝1＋112＋122＝32＝1＋11×2； x 2＝1＋122＋132＝76＝1＋12×3； x 3＝1＋132＋142＝1312＝1＋13×4； …根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝________.10.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”；“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；…共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2050年是“干支纪年法”中的________．类型二图形变化规律1. 如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝3x 和y ＝－x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行下去，则点A 6的坐标为________，点A2022的坐标为________．第1题图2. 如图，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延长CD至A1，使DA1＝CD，以A1C为一边，在BC的延长线上作菱形A1CC1D1，连接AA1，得到△ADA1；再延长C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1为一边，在CC1的延长线上作菱形A2C1C2D2，连接A1A2，得到△A1D1A2，…，按此规律，得到△A2020D2020A2021，记△ADA1的面积为S1，△A1D1A2的面积为S2，…，△A2020D2020A2021的面积为S2021，则S2021＝________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，且AC在直线l上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3＝3＋3，…，按此规律继续旋转，直到点P2020为止，则AP2020等于________．第3题图4. 已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O 为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，A n，则点A n的坐标为________．第4题图5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，连接AC ，过点D 作DC 1⊥AC 于C 1；以C 1A 、C 1D 为邻边作矩形AA 1DC 1，连接A 1C 1，交AD 于O 1，过点D 作DC 2⊥A 1C 1于C 2，交AC 于M 1，以C 2A 1，C 2D 为邻边作矩形A 1A 2DC 2，连接A 2C 2，交A 1D 于O 2，过点D 作DC 3⊥A 2C 2于C 3，交A 1C 1于M 2；以C 3A 2，C 3D 为邻边作矩形A 2A 3DC 3，连接A 3C 3，交A 2D 于O 3，过点D 作DC 4⊥A 3C 3于C 4，交A 2C 2于M 3；…若四边形AO 1C 2M 1的面积为S 1，四边形A 1O 2C 3M 2的面积为S 2，四边形A 2O 3C 4M 3的面积为S 3，…，四边形A n －1O n C n ＋1M n 的面积为S n ，则S n ＝________．(结果用含正整数n 的式子表示)第5题图6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OC 在x 轴的正半轴上，且点C 的坐标为(2，0)，∠OCB ＝45°，将菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，…，依此方式，绕点O 连续旋转2021次后得到菱形OA 2021B 2021C 2021，则点A 2021的坐标为________．第6题图7. 如图，在平面直角坐标系中，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－34x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2也落在直线y ＝－34x 上，以此进行下去…，若点B 的坐标为(0，3)，则点B 21的纵坐标．．．为________．第7题图专题六规律探索题类型一数式规律1. 6667 【解析】∵a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1，a 4＝6，a 5＝5，a 6＝6，a 7＝1，a 8＝6，a 9＝1，a 10＝0，…，即每10个数一循环，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝1＋6＋1＋6＋5＋6＋1＋6＋1＋0＝33，2021÷10＝202……1，∴33×202＋1＝6667.2. －5；18 【解析】第1个至第4个台阶上数的和为－5＋(－2)＋1＋9＝3，∵任意相邻四个台阶上数的和都相等，∴－2＋1＋9＋x ＝3，解得x ＝－5，则第5个台阶上的数x 是－5.由题意知，台阶上的数字每4个一循环，∵35÷4＝8……3，∴从下到上前35个台阶上数的和为8×3－5－2＋1＝18.3. 2023 【解析】观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数为2n (n －1)＋1，∴第32行，第32列的数为2×32×(32－1)＋1＝1985，根据排列规律，偶数行的数从右往左依次增加2，∴第32行，第13列的数为1985＋2×(32－13)＝2023.4. 170 【解析】分析题目可得4＝2×2，6＝3×2，8＝4×2；2＝1＋1，3＝2＋1，4＝3＋1；∴18＝2b ，b ＝a ＋1.∴a ＝8，b ＝9.∵9＝2×4＋1，20＝3×6＋2，35＝4×8＋3，∴x ＝18b ＋a ＝18×9＋8＝170.5. －a ＋1a 【解析】S 1＝1a ，S 2＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝－a a ＋1，S 4＝－1a ＋1，S 5＝－(a ＋1)，S 6＝a ，S 7＝1a ，…，∴每6个数是一个循环，∵2018÷6＝336……2，∴S 2018＝S 2＝－a ＋1a .6. 22021－1 ；1 【解析】根据题意得：(x －1)(x n ＋x n －1＋…＋x ＋1)＝x n ＋1－1，∵(2－1)×(22020＋22019＋…＋2＋1)＝22020＋1－1，∴22020＋22019＋…＋2＋1＝22021－1，∵21＝2，个位数字是2，22＝4，个位数字是4，23＝8，个位数字是8，24＝16，个位数字是6，25＝32，个位数字是2，…，∵2021÷4＝505……1，∴22021的个位数字是2，∴22021－1的个位数字是1. 7. 10 【解析】∵a ＝5－12，b ＝5＋12，∴ab ＝5－12×5＋12＝1，∵S n ＝11＋a n ＋11＋b n ＝2＋a n ＋b n （1＋a n ）（1＋b n ）＝2＋a n ＋b n 1＋（ab ）n ＋a n ＋b n ＝2＋a n ＋b n2＋a n ＋b n ＝1，∴S 1＝S 2＝S 3＝…＝S n ＝1，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 10＝10.8. 556个【解析】∵前区一共有8排，其中第1排共有20个座位(含左、右区域)，往后每排增加两个座位，∴前区最后一排座位数为20＋2×(8－1)＝34，∴前区座位数为(20＋34)×8÷2＝216，∵前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，∴后区的座位数为10×34＝340，∴该礼堂的座位总数是216＋340＝556个．9. －12021 【解析】x 1＝1＋11×2＝1＋1－12，x 2＝1＋12×3＝1＋12－13，x 3＝1＋13×4＝1＋13－14，…，x n ＝1＋1n （n ＋1）＝1＋1n －1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n ＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n －1n ＋1＝n ＋1－1n ＋1，∴x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2020－2021＝2020＋1－12021－2021＝－12021.10. 庚午年【解析】公元纪年换算成干支纪年方法如下：天干算法：用公元纪年数减3，除以10(不管商数)所得余数，就是天干所对应的位数，地支算法：用公元纪年数减3，除以12(不管商数)所得余数，就是地支所对应的位数，2050－3＝2047，2047÷10余数为7，∴天干为“庚”，2047÷12余数为7，∴地支为“午”，∴2050年为“庚午”年．类型二图形变化规律1. (－27，27)，(－31011，31011) 【解析】当x ＝1时，y ＝3x ＝3，∴点A 1的坐标为(1，3)；当y ＝－x ＝3时，x ＝－3，∴点A 2的坐标为(－3，3)；同理可得A 3(－3，－9)，A 4(9，－9)，A 5(9，27)，A 6(－27，27)，A 7(－27，－81)，…，∴A 4n ＋1(32n ，32n ＋1)，A 4n ＋2(－32n ＋1，32n ＋1)，A 4n ＋3(－32n ＋1，－32n ＋2)，A 4n ＋4(32n ＋2，－32n ＋2)(n 为自然数)．∵2022＝505×4＋2，∴点A 2022的坐标为(－31011，31011)．2. 24038· 3 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝BC ＝CD ＝1，AD ∥BC ，AB ∥CD ，∵∠ABC ＝120°，∴∠BCD ＝60°，∴∠ADA 1＝∠BCD ＝60°，∵DA 1＝CD ，∴DA 1＝AD ，∴△ADA 1为等边三角形，同理可得△A 1D 1A 2，…，△A 2020D 2020A 2021都为等边三角形，如解图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∴BE ＝BC ·sin ∠BCD ＝32＝A 1D ，∴S 1＝12A 1D ·BE ＝34A 1D 2＝34，同理可得，S 2＝34A 2D 12＝34×22＝3，S 3＝34A 3D 22＝34×42＝43，…，∴由此规律可得，S n ＝3·22n －4，∴S 2021＝3×22×2021－4＝24038· 3.第2题解图3. 2021＋673 3 【解析】∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1，∴AB ＝2，BC ＝3，∴将△ABC 绕点A 顺时针旋转到①，可得到点P 1，此时AP 1＝2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2＝2＋3；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3＝3＋3，…，∵2020÷3＝673……1，∴AP 2020＝673×(3＋3)＋2＝2021＋673 3.4. (3n －1，0) 【解析】根据题意得△A 1B 1C 1是等边三角形，∴A 1C 1＝2，则点A 1的坐标是(1，0)，B 1O ＝3，在Rt △A 2OB 1中，tan30°＝B 1O A 2O ，得A 2O ＝3，则点A 2的坐标为(3，0)，同理求出点A 3的坐标是(9，0)，A 4的坐标是(27，0)，…，即点A 3(32，0)，A 4(33，0)，…，∴点A n 的坐标为(3n －1，0)5. 9×4n －15n ＋1 【解析】∵在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝2，∴AC ＝5，∵DC 1⊥AC ，∴DC 1＝AD ·CD AC ＝255，∴CC 1＝CD 2－DC 21＝12－（255）2＝55，∴AC 1＝455，∵四边形AA 1DC 1是矩形，∴AA 1＝DC 1＝255，∵DC 2⊥A 1C 1，∴∠AC 1A 1＝∠C 1DM 1，∴tan ∠AC 1A 1＝tan ∠C 1DM 1＝AA 1AC 1＝C 1C 2DC 2＝12，∴由勾股定理可得C 1C 2＝25，∴M 1C 2＝15，∵点O 1是矩形AA 1DC 1对角线的交点，∴点O 1到AC 1的距离＝12DC 1＝55，∴S 1＝S △AO 1C 1－S △C 1C 2M 1＝12×455×55－12×15×25＝925＝9×152；同理可得A 1C 2＝85，DC 2＝45，C 2C 3＝4525，M 2C 3＝2525，点O 2到A 1C 1的距离＝12DC 2＝25，∴S 2＝S △A 1O 2C 2－S △C 2C 3M 3＝12×85×25－12×4525×2525＝36125＝9×453；同理可得S 3＝9×4254，S 4＝9×4355，…，以此类推可得S n ＝9×4n －15n ＋1.6. (0，－2) 【解析】如解图，∵四边形OABC 是菱形，且OC ＝2，∴OA ＝2，又∵∠OCB ＝45°，∴∠OAB ＝45°，∴A (－1，1)，由旋转的性质得OA ＝OA 1＝OA 2＝…＝OA 7＝ 2.∵菱形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到菱形OA 1B 1C 1，相当于将线段OA 绕点O 顺时针旋转45°得到线段OA 1，易知点A 与A 2关于y 轴对称，点A 2与A 4关于x 轴对称，点A 与点A 6关于x 轴对称，其余点均在x 轴、y 轴上，∴A (－1，1)，A 1(0，2)，A 2(1，1)，A 3(2，0)，A 4(1，－1)，A 5(0，－2)，A 6(－1，－1)，A 7(－2，0)，….∵360°÷45°＝8，∴图形在旋转过程中每8次为一个循环，∵2021÷8＝252……5，∴点A 2021的坐标与点A 5的坐标相同，∴点A 2021的坐标为(0，－2)．第6题解图7. 3875 【解析】∵AB ⊥y 轴，点B (0，3)，∴OB ＝3，则点A 的纵坐标为3，将y ＝3代入y ＝－34x ，解得x ＝－4，即A (－4，3)，∴OB ＝3，AB ＝4，OA ＝32＋42＝5，由旋转可知：OB ＝O 1B 1＝O 2B 1＝O 2B 2＝...＝3，OA ＝O 1A ＝O 2A 1＝...＝5，AB ＝AB 1＝A 1B 1＝A 2B 2＝ (4)∴OB 1＝OA ＋AB 1＝5＋4＝9，B 1B 3＝3＋4＋5＝12，∴OB 21＝OB 1＋B 1B 21＝9＋(21－1)÷2×12＝129，设B 21(a ，－34a )，则OB 21＝a 2＋（－34a ）2＝129, 解得a ＝－5165或5165(舍)，则－34a ＝－34×(－5165)＝3875，即点B 21的纵坐标为3875.。

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