高等数学理论及解题方法的-归纳与总结3-8

2 2
y2 b2
z2 c2
1的第一卦限内求一点M 0 (x0,
y0, z0 ),
使曲面上过点M
的切平面与三个坐标面所围成的四面体的
0
体积为最小.
第八章 多元函数微分及其应用
1、z arctan x y ,求dz .
1 xy
(1, 3 )
2、 xf (u, v), u ln cos x, v xsin y ,
其中f可微,求 z . x
3、Z f (3x y, x ),求 2Z ， y xy
其中f具有二阶连续偏导数.
4、设u f (z), z是由z x y(z)所确定的x、 y的隐函数,且f (z)、(z)均可微，求证
x
y
对任意实数t有f (tx,ty) tf (x, y).试证曲面z f (x, y)上任意
一点(
x0
,Biblioteka Baidu
y0
,
z0
)处的法线与直线 x x0
y y0
z z0
相垂直.
7、求原点到曲面 (x y)2 z2 1上的点的最短距离 .
8、(1)求曲线x 2cos4t, y t3 4, z et 2在点(2,4,1) 处的切线及法平面方程.
(2)求曲线x t, y t2, z t3上的点,使在该点处的切线平行
于平面 x y z 1.
(3)求曲面x2 2y2 3z2 20在点(3,2,1)处的切平面
和法线方程.
x
y
9、设z z(x, y)由方程e z e z 2e所确定,试求zx , zy.
10、在椭球面
x a
u (z) u .
y
x
5、已知点A(1,1,1)及点B(3,2,1),求函数u ln(3xy 2z3) 在点A处沿AB方向的方向导数.
6、证明：曲面f (2x 3z,2y 2z) 0上任意点 的切平面与平面3x 2y 2z 1 0垂直.
若改为：设f (x, y)具有一阶连续偏导数，且 f 2 f 2 0,