[初二数学 第4讲 三角形综合复习]讲义教师版

三角形综合复习

类型一：三角形中线的相关计算

☞考点说明：三角形中与线相关的计算问题，主要包括三角形的三边关系、高线的认识、中线对三角形的面积和周长的影响等.参考课课练套卷中的第1、5、7、14、20题.

例1.以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】解：首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个．故选：C．

例2.一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是，它的最长边b的取值范围是．

【答案】2＜a≤8，10≤b＜18

【解析】解：∵三角形的三边长分别为8，10，a，且a是最短边，∵10﹣8＜a≤8，即2＜a≤8；∵三角形的三边长分别为8，10，b，且b是最长边，∵10≤b＜8+10，即10≤b＜18．

故答案为：2＜a≤8，10≤b＜18．

例3.不一定在三角形内部的线段是（）

A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线

【答案】C

【解析】解：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，

而钝角三角形的高在三角形的外部．故选C．

例4.一块三角形的实验田，平均分成四份，由甲、乙、丙、丁四人种植，你有几种方法？（至少要用三种方法）．

【答案】解：作图如下：

【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，先分成两个面积相等的三角形，进而继续即可．剩下方法可根据此基本图形进行变形.

例5.下列说法错误的是（）

A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点

B．钝角三角形有两条高线在三角形外部

C．直角三角形只有一条高线

D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线

【答案】C

【解析】解：A、解：A、锐角三角形的三条高线、三条角平分线分别交于一点，故本选项说法正确；

B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部，故本选项说法正确；

C、直角三角形也有三条高线，故本选项说法错误；

D、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，故本选项说法正确；

故选：C．

例6．给出下列命题：

∵三条线段组成的图形叫三角形；

∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；

∵三角形的角平分线是射线；

∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；

∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；

∵三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．

正确的命题有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【解析】解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故∵错误；

三角形的角平分线是线段，故∵错误；

三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故∵错误；

所以正确的命题是∵、∵、∵，共3个．

故选C．

例7．如图，在∵ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（）对．

A．4B．5C．6D．7

【答案】A

【解析】解：等底同高的三角形的面积相等，所以∵ABD，∵ADE，∵AEC三个三角形的面积相等，有3对，又∵ABE与∵ACD的面积也相等，有1对，所以共有4对三角形面积相等．故选A．

☞考点说明：在三角形章节，对于角度的计算是非常重要的一个考点，倒角过程中主要用到的知识有：角平分线平分角（非常重要）、三角形的内角和、三角形的外角的性质、直角三角形中角的特点（一个角为90°，两锐角之和为90°）、高的特点（得到90°的角和直角三角形）、两直线平行的性质、对顶角、折叠特征等.其中对直角三角形的判定也是很重要的一个内容.在复习过程中要帮助学生梳理相关知识，这也为倒角的计算提供了思考角度.参考课课练套卷中的第4、8、9、10、12、15、17、19、23、24、26、27、28、30题.

例1.已知∵ABC中，∵A，∵B，∵C三个角的比例如下，其中能说明∵ABC是直角三角形的是（）

A．2：3：4B．1：2：3C．4：3：5 D．1：2：2

【答案】B

【解析】解：A、设三个角分别为2x，3x，4x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：40°，60°，80°，所以不是直角三角形；

B、设三个角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：30°，60°，90°，所以是直角三角形；

C、设三个角分别为3x，4x，5x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：45°，60°，75°，所以不是直角三角形；

D、设三个角分别为x，2x，2x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：36°，72°，72°，所以不是直角三角形．

故选B．

例2.如图：AB∵CD，∵ABD，∵BDC的平分线交于E，试猜想∵BED的形状并说明理由．

【答案】解：∵BED为直角三角形．理由如下：

∵AB∵CD，∵∵ABD+∵CDB=180°（两直线平行，同旁内角互补），

又∵∵ABD，∵BDC的平分线交于E，∵∵EBD=∵ABD，∵EDB=∵BDC，

∵∵EBD+∵EDB=（∵ABD+∵BDC）=×180°=90°，∵∵BED为直角三角形．类型二：三角形中角的计算

【解析】根据平行线的性质，求出∵ABD+∵CDB=180°，然后根据角平分线的性质，求∵EBD+∵EDB的度数，然后根据三角形内角和定理解答．

例3.如图，∵ABC中，BD是∵ABC的角平分线，DE∵BC，交AB于E，∵A=60°，∵BDC=95°，则∵BED的度数是（）

A．35°B．70°C．110°D．130°

【答案】C

【解析】解：∵∵BDC=∵A+∵ABD，∵∵ABD=95°﹣60°=35°，

∵BD是∵ABC的角平分线，∵∵ABC=2∵ABD=70°，

∵DE∵BC，∵∵BED+∵ABC=180°，∵∵BED=180°﹣70°=110°．故选C．

例4.已知：如图，已知∵ABC为直角三角形，∵B=90°，若沿图中虚线剪去∵B，则∵1+∵2等于度．

【答案】270

【解析】解：∵∵ABC为直角三角形，∵B=90，

∵∵1=90°+∵BNM，∵2=90°+∵BMN，∵∵1+∵2=270°．故答案为：270．

例5.如图，Rt∵ABC中，∵ACB=90°，∵A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∵A′DB=（）