[初二数学 第4讲 三角形综合复习]讲义教师版

三角形综合复习类型一：三角形中线的相关计算☞考点说明：三角形中与线相关的计算问题，主要包括三角形的三边关系、高线的认识、中线对三角形的面积和周长的影响等.参考课课练套卷中的第1、5、7、14、20题.例1.以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：首先可以组合为13，10，5；13，10，7；13，5，7；10，5，7．再根据三角形的三边关系，发现其中的13，5，7不符合，则可以画出的三角形有3个．故选：C．例2.一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是，它的最长边b的取值范围是．【答案】2＜a≤8，10≤b＜18【解析】解：∵三角形的三边长分别为8，10，a，且a是最短边，∵10﹣8＜a≤8，即2＜a≤8；∵三角形的三边长分别为8，10，b，且b是最长边，∵10≤b＜8+10，即10≤b＜18．故答案为：2＜a≤8，10≤b＜18．例3.不一定在三角形内部的线段是（）A．三角形的角平分线B．三角形的中线C．三角形的高D．三角形的中位线【答案】C【解析】解：因为在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部．故选C．例4.一块三角形的实验田，平均分成四份，由甲、乙、丙、丁四人种植，你有几种方法？（至少要用三种方法）．【答案】解：作图如下：【解析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，先分成两个面积相等的三角形，进而继续即可．剩下方法可根据此基本图形进行变形.例5.下列说法错误的是（）A．锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B．钝角三角形有两条高线在三角形外部C．直角三角形只有一条高线D．任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线【答案】C【解析】解：A、解：A、锐角三角形的三条高线、三条角平分线分别交于一点，故本选项说法正确；B、钝角三角形有两条高线在三角形的外部，故本选项说法正确；C、直角三角形也有三条高线，故本选项说法错误；D、任意三角形都有三条高线、中线、角平分线，故本选项说法正确；故选：C．例6．给出下列命题：∵三条线段组成的图形叫三角形；∵三角形相邻两边组成的角叫三角形的内角；∵三角形的角平分线是射线；∵三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外；∵任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线；∵三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内．正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】解：三条线段首尾顺次相接组成的图形叫三角形，故∵错误；三角形的角平分线是线段，故∵错误；三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故∵错误；所以正确的命题是∵、∵、∵，共3个．故选C．例7．如图，在∵ABC中，D，E分别为BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（）对．A．4B．5C．6D．7【答案】A【解析】解：等底同高的三角形的面积相等，所以∵ABD，∵ADE，∵AEC三个三角形的面积相等，有3对，又∵ABE与∵ACD的面积也相等，有1对，所以共有4对三角形面积相等．故选A．☞考点说明：在三角形章节，对于角度的计算是非常重要的一个考点，倒角过程中主要用到的知识有：角平分线平分角（非常重要）、三角形的内角和、三角形的外角的性质、直角三角形中角的特点（一个角为90°，两锐角之和为90°）、高的特点（得到90°的角和直角三角形）、两直线平行的性质、对顶角、折叠特征等.其中对直角三角形的判定也是很重要的一个内容.在复习过程中要帮助学生梳理相关知识，这也为倒角的计算提供了思考角度.参考课课练套卷中的第4、8、9、10、12、15、17、19、23、24、26、27、28、30题.例1.已知∵ABC中，∵A，∵B，∵C三个角的比例如下，其中能说明∵ABC是直角三角形的是（）A．2：3：4B．1：2：3C．4：3：5 D．1：2：2【答案】B【解析】解：A、设三个角分别为2x，3x，4x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：40°，60°，80°，所以不是直角三角形；B、设三个角分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：30°，60°，90°，所以是直角三角形；C、设三个角分别为3x，4x，5x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：45°，60°，75°，所以不是直角三角形；D、设三个角分别为x，2x，2x，根据三角形内角和定理得三个角分别为：36°，72°，72°，所以不是直角三角形．故选B．例2.如图：AB∵CD，∵ABD，∵BDC的平分线交于E，试猜想∵BED的形状并说明理由．【答案】解：∵BED为直角三角形．理由如下：∵AB∵CD，∵∵ABD+∵CDB=180°（两直线平行，同旁内角互补），又∵∵ABD，∵BDC的平分线交于E，∵∵EBD=∵ABD，∵EDB=∵BDC，∵∵EBD+∵EDB=（∵ABD+∵BDC）=×180°=90°，∵∵BED为直角三角形．类型二：三角形中角的计算【解析】根据平行线的性质，求出∵ABD+∵CDB=180°，然后根据角平分线的性质，求∵EBD+∵EDB的度数，然后根据三角形内角和定理解答．例3.如图，∵ABC中，BD是∵ABC的角平分线，DE∵BC，交AB于E，∵A=60°，∵BDC=95°，则∵BED的度数是（）A．35°B．70°C．110°D．130°【答案】C【解析】解：∵∵BDC=∵A+∵ABD，∵∵ABD=95°﹣60°=35°，∵BD是∵ABC的角平分线，∵∵ABC=2∵ABD=70°，∵DE∵BC，∵∵BED+∵ABC=180°，∵∵BED=180°﹣70°=110°．故选C．例4.已知：如图，已知∵ABC为直角三角形，∵B=90°，若沿图中虚线剪去∵B，则∵1+∵2等于度．【答案】270【解析】解：∵∵ABC为直角三角形，∵B=90，∵∵1=90°+∵BNM，∵2=90°+∵BMN，∵∵1+∵2=270°．故答案为：270．例5.如图，Rt∵ABC中，∵ACB=90°，∵A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∵A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【答案】C【解析】解：在Rt∵ABC中，∵ACB=90°，∵A=55°，∵∵B=180°﹣90°﹣55°=35°，由折叠可得：∵CA′D=∵A=55°，又∵∵CA′D为∵A′BD的外角，∵∵CA′D=∵B+∵A′DB，则∵A′DB=55°﹣35°=20°．故选：C．例6.如图，AD是∵ABC的角平分线，BE是∵ABC的高，∵BAC=40°，则∵AFE的度数为70°．【答案】70°【解析】解：∵AD平分∵BAC，∵BAC=40°，∵∵EAF=20°．∵BE∵AC，∵∵AEF=90°，∵∵AFE=90°﹣20°=70°．故答案为：70°．例7.如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE∵AC，DF∵AB，垂足分别为E、F，则图中与∵C（∵C除外）相等的角的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【解析】解：∵AD是斜边BC上的高，DE∵AC，DF∵AB，∵∵C+∵B=90°，∵BDF+∵B=90°，∵BAD+∵B=90°，∵∵C=∵BDF=∵BAD，∵∵DAC+∵C=90°，∵DAC+∵ADE=90°，∵∵C=∵ADE，∵图中与∵C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A．例8.如图，∵ABC中，∵A=40°，∵B=72°，CE平分∵ACB，CD∵AB于D，DF∵CE，则∵CDF= 74度．【答案】74【解析】解：∵∵A=40°，∵B=72°，∵∵ACB=68°，∵CE平分∵ACB，CD∵AB于D，∵∵BCE=34°，∵BCD=90﹣72=18°，∵DF∵CE，∵∵CDF=90°﹣（34°﹣18°）=74°．故答案为：74．例9.如图，把∵ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∵A与∵1+∵2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是什么？试说明你找出的规律的正确性．【答案】解：2∵A=∵1+∵2，理由是：延长BD和CE交于A′，∵把∵ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部，∵∵ADE=∵A′DE，∵AED=∵A′ED，∵2∵ADE=180°﹣∵1，2∵AED=180°﹣∵2，∵∵ADE=90°﹣∵1，∵AED=90°﹣∵2，∵在∵ADE中，∵A=180°﹣（∵AED+∵ADE），∵∵A=∵1+∵2，即2∵A=∵1+∵2．【解析】根据折叠得出∵ADE=∵A′DE，∵AED=∵A′ED，求出2∵ADE=180°﹣∵1，2∵AED=180°﹣∵2，推出∵ADE=90°﹣∵1，∵AED=90°﹣∵2，在∵ADE中，∵A=180°﹣（∵AED+∵ADE），代入求出即可．例10.（1）如图1，点P为∵ABC的内角平分线BP与CP的交点，求证：∵BPC=90°+∵A；（2）如图2，点P为∵ABC内角平分线BP与外角平分线CP的交点，请直接写出∵BPC与∵A的关系；（3）如图3，点P是∵ABC的外角平分线BP与CP的交点，请直接∵BPC与∵A的关系．【答案】证明：（1）∵∵PBC+∵BCP+∵BPC=180°，∵∵BPC=120°，∵∵ABC+∵ACB=60°，∵BP、CP是角平分线，∵∵ABC=2∵PBC，∵ACB=2∵BCP，∵∵ABC+∵ACB+∵A=180°，∵∵BPC=90°+∵A；（2）∵P=∵A，理由如下：∵∵ABC的内角平分线BP与外角平分线CP交于P，∵∵PBC=∵ABC，∵PCD=∵ACD，∵∵ACD=∵A+∵ABC，∵PCD=∵PBC+∵P，∵（∵A+∵ABC）=∵PBC+∵P=∵ABC+∵P，∵∵P=∵A；（3）∵P=90°﹣∵A，理由如下：∵BP、CP是∵ABC的外角平分线，∵∵PBC=（∵A+∵ACB），∵PCB=（∵A+∵ABC），又∵∵PBC+∵PCB+∵P=180°，∵∵P=180°﹣（∵PBC+∵PCB）=180°﹣（∵A+∵ACB+∵A+∵ABC）=180°﹣（180+∵A）=90°﹣∵A．【解析】（1）先根据三角形内角和定理求出∵PBC+∵PCB的度数，再根据角平分线的性质求出∵ABC+∵ACB的度数，由三角形内角和定理即可求出答案．（2）根据角平分线的定义得∵PBC=∵ABC，∵PCD=∵ACD，再根据三角形外角性质得∵ACD=∵A+∵ABC，∵PCD=∵PBC+∵P，所以（∵A+∵ABC）=∵PBC+∵P=∵ABC+∵P，然后整理可得∵P=∵A；（3）根据题意得∵PBC=（∵A+∵ACB），∵PCB=（∵A+∵ABC），由三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，求得∵P与∵A的关系，从而计算出∵P的度数．类型三：多边形相关的边、角计算☞考点说明：多边形相关的计算问题主要的考查点在于相关公式的理解，包括：多边形内角和公式、多边形外角和公式、多边形的对角线公式及推导.相关的典型题除了对基本的应用公式进行计算外，还包括截角问题、少（多）计算角问题、凹多边形的内角和计算等.老师可以提前帮助学生归纳相关题型的典型处理方法.参考课课练套卷中的第2、3、16、18、21、22题.例1.从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（）A．n B．（n﹣1）C．（n﹣2）D．（n﹣3）【答案】C【解析】解：从n边形的一个顶点作对角线，把这个n边形分成三角形的个数是（n﹣2）．故选C．例2.正多边形的一个内角等于135°，则该多边形是正（）边形．A．8B．9C．10D．11【答案】A【解析】解：外角是180﹣135=45度，360÷45=8，则这个多边形是八边形．故选A．例3.六边形的对角线的条数是（）A．7B．8C．9D．10【答案】C【解析】解：六边形的对角线的条数==9．故选C．例4.如图，在五边形ABCDE中，∵A+∵B+∵E=α，DP、CP分别平分∵EDC、∵BCD，则∵P 的度数是（）A．α﹣90°B．90°C．D．540°【答案】A【解析】解：∵五边形的内角和等于540°，∵A+∵B+∵E=α，∵∵BCD+∵CDE=540°﹣α，∵∵BCD、∵CDE的平分线在五边形内相交于点O，∵∵PDC+∵PCD=（∵BCD+∵CDE）=270°﹣α，∵∵P=180°﹣（270°﹣α）=α﹣90°．故选：A．例5.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9【答案】D【解析】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选：D．例6.小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为2260°．∵求这个多加的外角的度数．∵求这个多边形对角线的总条数．【答案】解：∵解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则（n﹣2）•180°=2260°﹣α，∵2260°=12×180°+100°，内角和应是180°的倍数，∵同学多加的一个外角为100°，∵这是12+2=14边形的内角和．∵多边形的对角线的条数是=77（条）．即共有77条对角线．【解析】∵根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知，多边形的内角和是180°的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解；∵根据n边形的对角线的条数是．例7.小贝在进行多边形内角和的计算时，求得一多边形的内角和为1500°，当她发现错了之后，重新检查，发现少加一个内角，你知道她少加的这个内角是多少度吗？她求的这个多边形是几边形？【答案】解：则1500÷180=8，则边数n=8+2+1=11；即少加的内角是：（11﹣2）×180﹣1500=120°．【解析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大的且最接近的整数就是多边形的边数．例8.如图所示五角星，试求∵A+∵B+∵C+∵D+∵E．【答案】解：由三角形的外角性质，∵1=∵B+∵D，∵2=∵A+∵C，∵∵1+∵2+∵E=180°，∵∵A+∵B+∵C+∵D+∵E=180°．【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∵1=∵B+∵D，∵2=∵A+∵C，然后根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．类型四：镶嵌问题☞考点说明：镶嵌问题的本质是对多边形内角和的考查，由于跟实际生活相关，一般会涉及到镶嵌方案的选择问题，同时对于单一图形的镶嵌和多图形的镶嵌思考的难度是不同的，其分类讨论思想的应用也是非常典型的.参考课课练套卷中的第6、24题.例1.下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（）A．三角形B．四边形C．正五边形D．正六边形【答案】C【解析】解：A、三角形内角和为180°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；B、角形内角和为360°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；C、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺，故此选项合题意；D、正六边形每个内角为180°﹣360°÷6=120°，能整除360°，能密铺，故此选项不合题意；故选：C．例2.某人到瓷砖商店去买一种多边形形状的瓷砖用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（）A．正三角形B．长方形C．正八边形D．正六边形【答案】C【解析】解；A、正三角形的内角是60°，6个正三角形可以密铺，故A可以；B、长方形的内角是90°，4个长方形可以密铺，故B可以；C、正八边形的内角是135°，2个正八边形有缝隙，3个正八边形重叠，故C不可以；D、正六边形的内角是120°，3个正六边形可以密铺，故D可以；故选：C．例3.如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料，用这种四边形的木板可以进行镶嵌吗？请说明理由．【答案】解：能进行镶嵌；理由：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为360°时，就能镶嵌．而任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，故能进行镶嵌．【解析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为360°时，就能镶嵌．根据任意四边形的内角和是360°，只要放在同一顶点的4个内角和为360°，即可得出答案．例4.一幅图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是．【答案】12【解析】解：∵正方形和正六边形内角分别为90°、120°，根据平面镶嵌的条件可知第三个正多边形的度数=360°﹣90°﹣120°=150°，∵第三个正多边形的边数是12．例5.（1）一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则它是几边形？（2）某学校想用地砖铺地，学校已准备了一批完全相同的正n边形[n为（1）中的所求值]，如果单独用这种地砖能密铺吗？（3）如果不能，请你自己只选用一种同（2）边长相同的正方形地砖搭配能密铺吗？如果能，请你画出一片密铺的示意图．【答案】解：（1）设为n边形，由题意得：（n﹣2）180°=3×360°，∵n=8；（2）正八边形的每个内角为：180°﹣360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺；（3）所画图形如下：【解析】（1）根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．（2）几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．（3）可选择正四边形进行画图．例6.在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…n正多边形每个内角的度数60°90°108°120°…（180﹣）°（2）如果只限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？【答案】解：（1）正三角形每个内角的度数是60°，正四边形每个内角的度数是90°，正五边形每个内角的度数是108°，正六边形每个内角的度数是120°，正n边形每个内角的度数是（180﹣）°．故答案为：60°，90°，108°，120°，（180﹣）°；（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形．【解析】（1）利用正多边形一个内角=180°﹣求解即可；（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．本节内容是对三角形章节的综合复习，需要掌握的知识板块有与边相关的计算、与角相关的计算及多边形相关的计算，其中倒角问题是所有问题的重中之重，是贯穿初中整个几何内容的基石.。