轴对称、等腰三角形经典练习题

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《等腰三角形的轴对称性》同步练习

《等腰三角形的轴对称性》同步练习

等腰三角形的轴对称性(1)知识与基础1、一个等腰三角形的一个内角为90,那么这个等腰三角形的一个底角等于()A、90°B、45°C、50°D、°2、若等腰三角形的一个内角等于88°,则另外两个角的度数分别为()A、88°、4°B、46°、46°或88°、4°C、46°、46°D、88°、24°3、若等腰三角形的一个内角等于92°,则另两个角的度数分别是()A、92°、16°B、44°、44°C、92°、16°或44°、44°D、46°、46°4、等腰三角形的一边长是10,另一连长是7,则它的周长是()A、27B、24C、17D、27或245、已知等腰三角形的一边等于3,一边等于6,则它的周长是()A、12B、12或15C、15D、15或186、在△ABC中,①若AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形;②一个底角为60°的等腰三角形是等边三角形;③顶角为60°的等腰三角形是等边三角形;④有两个角都是60°的三角形是等边三角形。

上述结论中正确的有()A、1个B、2个C、3个D、4个7、有下列说法:①等腰三角形的底角一定是锐角;②等腰三角形的内角平分线与此角所对边上的高重合;③顶角相等的两个等腰三角形的面积相等;④等腰三角形的一边不可能是另一边的两倍。

其中正确的有()A、1个B、2个C、3个D、4个8、下列图形中,不一定是轴对称图形的是()A、正方形B、有一个角为45°的直角三角形;C、两个内角分别为33°、114°的三角形;D、有一个内角为60°的三角形;9、如图,∠B=∠C,∠1=∠3,则∠1与∠2之间的关系是()B C A 、∠1=2∠2 B 、3∠1-∠2=180° C 、∠1+3∠2=180° D 、2∠1+∠2=180°应用与拓展10、有一个内角为60°的等腰三角形,腰长为6cm ,那么这个三角形的周长为___________cm .11、若等腰三角形的腰长为8,那么底边长的范围是__________________;若等腰三角形的底边长为8,那么腰长的范围是____________________。

精品经典 轴对称与等腰三角形 重难点题型汇总140题

精品经典 轴对称与等腰三角形 重难点题型汇总140题

轴对称与等腰三角形重难点题型汇总最短路程问题在直线上找一点P,使PA+PB最小在直线上找一P,使PBPA-最小在直线上找一P,使PBPA-最大在OA、OB上分别找一点C、D,使△PCD周长最小并求出∠CPD的度数.在平面内找一点P,使P到OA、OB距离相等,同时到C、D两点距离相等。

分别在OA、OB上找出一点D、C,当PD+CD最小时,若∠AOB=480,∠PCD的度数为BD平分∠ABC,△ABC面积为12,AB=5,在BC、BD上分别找一点M、N,求CN+MN最小值.△ABC中AB=AC,D为BC中点,△ABC面积为24,BC=6,直线l垂直平分AC,P为l上动点,求△PCD周长最小值.正方形ABCD,面积为16,以AB为边在内部作等边三角形ABE,连接对角线AC.P为AC上一动点,求PD+PE最小值.等腰三角形等腰三角形性质与判定性质: 判定: 等边三角形300角问题:在坐标系中找等腰三角形问题1.已知点A坐标为(2a+3,3a+9)在第二象限,且a为整数.根据要求完成下列各题:(1)a= ;A点坐标为;(2)A点关于x轴对称的点坐标为;A点关于y轴对称的点坐标为; A点关于原点对称的点坐标为;(3)A点关于直线x=2对称的点坐标为;A点关于直线x=-2对称的点坐标为;A点关于直线y=-3对称的点坐标为;(4)连接OA,将OA绕点O旋转900,则旋转后A点对应坐标为;2.如图,∠ABC 内有一点P,(1)在BA、BC 边上各取一点P1、P2,使△PP1P2 的周长最小;(尺规作图)(2)若∠ABC=300,连接BP1,BP2,P1P2,判断△BP1P1形状并说明理由.3.如图所,MP和 NQ 分别垂直平分 AB和 AC.(1)若∠BAC=105°,求∠PAQ的度数;(2)若∠PAQ=250,求∠BAC的度数。

4.如图,已知Rt △ABC,∠ACB=900,AD 平分∠BAC 与BC 交于D 点,M 、N 分别在线段AD 、AC 上的动点,连接MN 、MC,当MN+MC 最小时,画出M 、N 的位置.5.如图,点P 在∠AOB 的内部,点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点,线段MN 交OA 、OB 于点E 、F ,若△PEF 的周长是20cm ,则线段MN 的长是________;若∠AOB=320,则∠EPF=6.如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥BC 于点F ,S △ABC =48cm 2,AB=18cm ,BC=12cm ,求DE 的长。

初中数学《轴对称图形与等腰三角形》经典测试卷(详细答案)

初中数学《轴对称图形与等腰三角形》经典测试卷(详细答案)

初 中 数 学轴对称图形与等腰三角形测试卷考试时间:100分钟 满分:120分 试卷得分: 一、选择题(每小题3分,共27分)1.若等腰三角形中有两边长分别为3和7,则这个三角形的周长为( )A.10B.13C.17D.13或17 2.下列说法正确的是( )①角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等。

②角是轴对称图形。

③线段不是轴对称图形。

④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.②④ 3.如图,在ABC ∆中,BC 边的垂直平分线DE 交边BC于点D ,交边AB 于点E 。

若E D C ∆的周长为24,ABC ∆与四边形AEDC 的周长之差为12,则线段DE 的长为( )A.18B.12C.6D.44.如图,若︒=∠45AOB ,P 是AOB ∠内一点,分别作点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P ,2P ,连接1OP ,2OP ,则下列结论正确的是( ) A.21OP OP ⊥ B.21OP OP =C.21OP OP ≠D.21OP OP ⊥且21OP OP =5.如图,在ABC Rt ∆中,︒=∠90C ,AD 平分BAC ∠,交BC 于D ,若BD CD 21=,点D 到边AB 的距离为6,则BC 的长是( )A.6B.12C.18D.24 6.如图,在ABC ∆中,︒=∠90C ,点E 是AC 上的点,且21∠=∠,DE 垂直平分AB ,垂足是D ,如果cm EC 3=,则AE 等于( )A.3cmB.4cmC.6cmD.9cm7.如图,等边三角形ABC 中,AD 是BC 上的高,︒=∠=∠60CDF BDE ,图中与BD 相等的线段有( ) A.5条 B.6条 C.7条 D.8条 8.如图,BC AD ∥,ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ,作AB PE ⊥,垂足为E 。

若3=PE ,则两平分线AD 与BC 间的距离为( )A.3B.5C.6D.不能确定9.如图,已知12=∆ABC S ,AD 平分BAC ∠,且BD AD ⊥于点D ,则ADC S ∆的值是( )A.10B.8C.6D.4 二、填空题(每小题3分,共21分)10.如图,AOB ∠内一点P ,1P 、2P 分别是P 关于OA 、OB 的对称点,21P P 交OA 于点M ,交OB 于点N 。

等腰三角形的轴对称性(解析版)

等腰三角形的轴对称性(解析版)

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1.如图,l∥m ,等边∥ABC 的顶点A 在直线m 上,则∥α=( )A .10°B .20°C .30°D .40°【答案】B【解析】过B 点作BF∥l ,如图,∥BF∥l ,∥∥CBF=40°,∥l∥m ,∥BF∥m ,∥∥ABF=α,∥∥ABC 是等边三角形∥∥ABC=60°=∥CBF+∥ABF ,∥α=20°,故选:B .2.如图,在ABC 中,AB AC =,AD 为BC 边上的中线,25B ∠=︒,则BAD ∠的度数为().A .55°B .65°C .75°D .45°【答案】B【解析】∥AB=AC ,AD 是BC 边上的中线,∥AD∥BC ,∥BAD=∥CAD ,∥∥B+∥BAD=90°,∥∥B=25°,∥∥BAD=65°,故选:B .3.如图,∥ABC 中,AB 的垂直平分线交BC 边于点E ,AC 的垂直平分线交BC 边于点N ,若∥BAC =70°,则∥EAN 的度数为( )A .35°B .40°C .50°D .55° 【答案】B【解析】70BAC ∠=︒,18070110B C ∴∠+∠=︒-︒=︒, AB 的垂直平分线交BC 于点E ,AC 的垂直平分线交BC 于点N ,EA EB NA NC ∴==,,EAB B NAC C ∴∠=∠∠=∠,,BAC BAE NAC EAN B C EAN ∴∠=∠+∠-∠=∠+∠-∠,1107040EAN B C BAC ∴∠=∠+∠-∠=︒-︒=︒,故选:B .4.如图,在∥ABC 中,AD∥BC ,垂足为D ,EF 垂直平分AC ,交AC 于点F ,交BC 于点E ,BD =DE ,若∥ABC 的周长为26cm ,AF =5cm ,则DC 的长为( )A .8cmB .7cmC .10cmD .9cm【答案】A 【解析】解:∥AD∥BC ,BD =DE ,EF 垂直平分AC ,∥AB =AE =EC ,∥∥ABC 周长26cm ,AF =5cm ,∥AC=10(cm),∥AB+BC=16(cm),∥AB+BE+EC=16(cm),即2DE+2EC=16(cm),∥DE+EC=8(cm),∥DC=DE+EC=8(cm),故选:A.5.如图,∥ABC是等边三角形,D为AB的中点,DE∥AC于点E,EF//AB交BC于点F,已知AE=5,则∥EFC的周长为()A.60B.45C.30D.15【答案】B【解析】解:∥∥ABC是等边三角形,∥∥A=60°,∥DE∥AC,∥∥ADE=30°,∥AD=2AE=2×5=10,∥D为AB的中点,∥AB=2AD=20,∥AC=AB=20,∥EC=AC﹣AE=15,∥EF∥AB,∥∥EFC=∥B=60°,∥FEC=∥A=60°,∥∥EFC是等边三角形,∥∥EFC的周长=3EC=3×15=45.故选:B.6.如图,是四张形状不同的纸片,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开(只允许剪一次),不能够得到两个等腰三角形纸片的是()A.B.C.D.【答案】B【解析】如图所示,∥ACD和∥BCD都是等腰三角形;如图所示,∥ABC不能够分成两个等腰三角形;如图所示,∥ACD和∥BCD都是等腰三角形;如图所示,∥ACD和∥BCD都是等腰三角形;故选B.7.如图,将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成如下图形,其中两条长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是( )A .4B .3C .2D .1【答案】B【解析】如图,∥将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼在一起,其中两条较长直角边在同一条直线上. ∥EF∥DG ,∥E=∥D=60°,∥∥ENM=∥D=60°,∥MGD=∥E=60°,∥EM=NM=EN ,DM=GM=DG ,∥∥MEN ,∥MDG 是等边三角形.∥∥A=∥B=30°,∥MA=MB ,∥∥ABM 是等腰三角形.∥图中等腰三角形有3个.故选:B .8.如图,∥ABC 中,AB AC =,D 是BC 中点,下列结论,不一定正确的是( )A .AD BC ⊥B .AD 平分BAC ∠ C .2AB BD = D .B C ∠=∠【答案】C 【解析】解:∥AB=AC ,∥∥B=∥C ,∥AB=AC ,D 是BC 中点,∥AD 平分∥BAC ,AD∥BC ,所以,结论不一定正确的是AB=2BD .故选:C .二、填空题9.如图,在∥ABC 中,AB=AC ,BD∥AC ,CE∥AB ,D 、E 为垂足,BD 与CE 交于点O ,则图中全等三角形共有_________对.【答案】3【解析】解:有3对:理由是∥AB=AC ,∥∥ABC=∥ACB ,∥BD∥AC ,CE∥AB ,∥∥BDC=∥BEC=90°,∥BC=BC ,∥∥BEC∥∥BDC ,∥∥ADB=∥AEC ,∥A=∥A ,AB=AC ,∥∥ADB∥∥AEC ,∥AD=AE ,∥BE=DC ,∥∥EOB=∥DOC ,∥BEC=∥BDC ,∥∥BEO∥∥CDO ,故答案为3.10.如图,线段AB BC ,的垂直平分线12,l l 交于点O .若35B ︒∠=,则AOC ∠=__________︒【答案】70【解析】解:连接BO 并延长,如图:线段AB BC ,的垂直平分线12,l l 交于点O∥AO=OB=OC∥A=∥ABO ,∥C=∥CBO∥∥A+∥C=∥ABC=35°∥70AOC AOD COD A ABO C CBO A C ABC ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=故答案为:7011.如图,在ABC 中,AB AC =,50A ∠=︒,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D 点,连接BD ,则DBC ∠的度数是________.【答案】15°【解析】∥AB=AC ,∥A=50∥,∥ ∥ABC=12(180∥−∥A)=12(180∥−50∥)=65∥, ∥MN 垂直平分线AB ,∥AD=BD ,∥ ∥ABD=∥A=50∥,∥ ∥DBC=∥ABC−∥ABD=65∥−50∥=15∥.故答案为:15∥.12.如图,∥ABD ,∥ACE 都是等边三角形,BE 和CD 交于O 点,则∥BOC=__________度.【答案】120【解析】∥∥ABD 、∥ACE 都是正三角形,∥AD=AB ,AC=AE ,∥DAB=∥CAE=60°,∥∥DAC=∥BAE ,∥∥ADC∥∥ABE(SAS),∥∥ADC=∥ABE ,∥∥DAB=∥BOD=60°,∥BOC=180-∥BOD=120°,故答案为:12013.已知:如图所示,点D 在BC 的延长线上,120ACD AB AC ︒∠==,,则ABC ∆的形状为___________【答案】等边三角形【解析】解:∥点D 在BC 的延长线上,120ACD ︒∠=,∥60ACB ︒∠=,∥AB AC =,∥∥ABC 的形状为等边三角形.故答案为:等边三角形.14.如图,在ABC 中,BO ,CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线,过O 点的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ,且//DE BC .若68==,AB cm AC cm ,则ADE 的周长为________.【答案】14cm【解析】DE BC ∥,DOB OBC ∴∠=∠,又BO 是ABC ∠的平分线,DBO OBC ∴∠=∠,DBO DOB ∴∠=∠,BD OD ∴=,同理:OE EC =,ADE ∴的周长14 AD OD OE AE AD BD AE EC AB AC cm ====+++++++.15.在Rt∥ABC 中,∥B=90°,AC=16,BC=8,那么∥C=______度.【答案】60°【解析】∥Rt∥ABC 中,∥B=90°,AC=16,BC=8, ∥BC=12AC , ∥Rt∥ABC 中,∥B=90°,∥∥A=30°,∥∥C=90°-∥A=60°.故答案为:6016.如图,在ABC ∆中,AB AC =,D 是BC 的中点,DE AC ⊥,垂足为E ,50BAC ∠=︒,则ADE ∠的度数是______.【答案】65【解析】∥AB =AC ,D 为BC 的中点,∥∥BAD =∥CAD ,∥∥BAC =50°,∥∥DAC =25°,∥DE∥AC ,∥∥ADE =90°−25°=65°,故答案为65°.17.等腰直角ABC 中,90ACB ∠=︒,AH HG ⊥,BG HG ⊥,12HG =,4AH =,则BG =________.【答案】8【解析】ABC 是等腰直角三角形,且90ACB ∠=︒,BC CA ∴=,90BCG ACH ∠+∠=︒,,A BG HG H HG ⊥⊥,90G H ∴∠=∠=︒,90BCG CBG ∠∴∠+=︒,CBG ACH ∴∠=∠,在BCG 和CAH 中,G H CBG ACH BC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,()BCG CAH AAS ∴≅,,CG AH BG CH ∴==,12,4H HG A ==,1248BG CH HG CG HG AH ∴==-=-=-=,故答案为:8.18.如图,在等边三角形ABC 中,BD=CE,AD,BE 交于点F,则AFE ∠=_________;【答案】60°【解析】解:在等边∥ABC 中,AB=BC ,∥ABC=∥C=60°,在∥ABD 和∥BCE 中,∥60AB BC ABC C BD CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩,∥∥ABD∥∥BCE (SAS ),∥∥BAD=∥CBE ,在∥ABF 中,∥AFE=∥BAD+∥ABF=∥CBE+∥ABF=∥ABC=60°,即∥AFE=60°.故答案为:60°.三、解答题19.如图,已知ABC 中,AB AC =.M 是BC 的中点,D 、E 分别是AB 、AC 边上的且AD AE =. 求证:MD ME =.【答案】见详解【解析】∥AB AC =,∥∥B=∥C ,∥M 是BC 的中点,∥BM=CM ,又∥AD AE =,∥AB -AD=AC -AE ,即BD=CE ,∥∆BDM∥∆CEM ,∥MD ME =.20.如图,点D ,E 在ABC 的边AB 上,,,8CA CB CD CE AE ===,求BD 的长.【答案】8BD =【解析】解:如图,过C 作CM AB ⊥,垂足为M .∥AC BC =,CD CE =,且CM AB ⊥,∥,==AM BM DM EM ,∥+=+AM EM BM DM ,∥AE BD =.∥8AE =,∥8BD =.21.如图,在Rt ABC △和Rt BAD △中,AB 为斜边,AC BD =,BC 、AD 相交于点E .(1)请说明AE BE =的理由;(2)若45=︒∠AEC ,1AC =,求CE 的长.【答案】(1)见解析;(2)CE=1.【解析】(1)证明:在Rt ACE 和Rt BDE △中,∥AEC ∠与BED ∠是对顶角,∥AEC BED ∠=∠.∥90C D ∠=∠=︒,AC BD =,∥Rt ACE ∥Rt BDE △(AAS ).∥AE BE =.(2)∥45=︒∠AEC ,90C ∠=︒,∥45CAE ∠=︒,∥AEC CAE ∠=∠ ,∥1CE AC ==.22.如图,ABC ∆为等边三角形,BD 平分ABC ∠交AC 于点D ,//DE BC 交AB 于点E . (1)求证:ADE ∆是等边三角形.(2)求证:12AE AB =.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)∥∥ABC 为等边三角形,∥∥A=∥ABC=∥C=60°.∥DE∥BC ,∥∥AED=∥ABC=60°,∥ADE=∥C=60°.∥∥ADE 是等边三角形(2)∥∥ABC 为等边三角形,∥AB=BC=AC .∥BD 平分∥ABC , ∥AD=12AC ∥∥ADE 是等边三角形,∥AE=AD . ∥AE=12AB . 23.已知ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,E 为BC 边上一点,过E 点的直线交AB 及AC 延长线于D 、F 两点,DE AE =.(1)求证DE EF =;(2)求证BD CF =;(3)若5BE =,3CE =,请直接写出CEF △的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)1.5.【解析】证明:(1),ED EA =,EDA EAD ∴∠=∠90BAC ∠=︒,90,EAD EAC EDA F ∴∠+∠=︒=∠+∠,EAC F ∴∠=∠,EA EF ∴=.ED EF ∴=(2)如图,过D 作//DM AC 交BC 于M ,DMB ACB ∴∠=∠,EDM F ∠=∠,AB AC =,B ACB ∴∠=∠,B DMB ∴∠=∠,DB DM ∴=,在EDM △与EFC 中,EDM F DE FEDEM FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EDM EFC ASA ∴≌,DM FC ∴=.BD CF ∴=(3)过D 作DP BC ⊥于P ,,90AB AC BAC =∠=︒,DB DM =,45B DMB ∴∠=∠=︒,45BDP MDP ∴∠=∠=︒,=BP MP DP ∴=,EDM EFC ≌,3EM EC ∴==,5BE =,2BM ∴=,1DP ,1131 1.522DME S ME DP ∴==⨯⨯=,1.5.CEF S ∴=24.如图,ABC ∆是等边三角形,BP 平分ABC ∠交AC 于点P ,延长BC 到点Q ,使得CP CQ =.(1)请用尺规作图的方法,过点P 作PM BQ ⊥,垂足为M ;(不写作法,保留作图痕迹)(2)求证:BM QM =.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析.【解析】(1)解:如图,(2)证明:∥∥ABC是等边三角形,BP平分∥ABC,∥P是AC的中点(三线合一)∥∥ABC=2∥PBC,∥CP=CQ,∥∥Q=∥CPQ.又∥∥ACB=∥Q+∥CPQ,∥∥ACB=2∥Q,又∥∥ABC=∥ACB,∥2∥PBC=2∥Q,∥∥PBC=∥Q,∥PB=PQ.∆是等腰三角形,∥PBQ又∥PM∥BQ,∥BM=QM.25.如图,∥ACB和∥DCE均为等腰三角形,∥ACB=∥DCE=90°,点A,D,E在同一条直线上,连接BE.(1)求证:AD=BE;(2)若∥CAE=15°,AD=4,求AB的长.【答案】(1)见解析;(2)8【解析】(1)∥ACB和∥DCE均为等腰三角形,∥ACB=∥DCE=90°,∴∠=∠,ADC BCE在ACD △与BCE 中,AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ACD BCE SAS ∴≌,AD BE ∴=;(2)ABC 是等腰直角三角形,45ABC ∴∠=︒,由(1)可知,15CAE CBE ∠=∠=︒,4BE AD ==,451560ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒,90ABE ACB ∴∠=∠=︒,则在Rt AEB 中,30EAB ∠=︒,28AB BE ∴==.26.如图,已知∥ABC 是等边三角形,D 、E 分别是BC 、AC 边上的点,且BD CE =,AD 、BE 相交于点P .(1)求证:AD BE =;(2)求出APE ∠ 的度数.【答案】(1)见解析;(2)60°.【解析】(1)∥∥ABC 是等边三角形,∥AB=BC=AC ,∥ABC=∥BAC=∥C=60°,在∥ABD 和∥BCE ,AB BC ABD C BD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩=== ,∥∥ABD∥∥BCE (SAS ),∥AD=BE.(2)∥∥ABD∥∥CBE,∥∥BAD=∥CBE,∥∥ABP+∥CBE=∥ABD=60°,∥∥ABP+∥BAD=60°,∥∥APB=180°-60°=120°.=180°-120°=60°.∥APE27.如图,∥ABC中,AB=AC,∥A=36°,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足,连接EC.(1)求∥ECD的度数;(2)若CE=5,求BC长.【答案】(1)∥ECD=36°;(2)BC长是5.【解析】解:(1)∥DE垂直平分AC,∥CE=AE,∥∥ECD=∥A=36°;(2)∥AB=AC,∥A=36°,∥∥B=∥ACB=72°,∥∥BEC=∥A+∥ECD=72°,∥∥BEC=∥B,∥BC=EC=5.。

等腰三角形的轴对称性练习题

等腰三角形的轴对称性练习题

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1.已知等腰三角形的周长为17,一边长为7,则此等腰三角形的底边长为()A.3B.7C.3或7D.3或52.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,∠B=36°,点D、E在AB上,如果BC=BD,∠CED=∠CDE,那么图中的等腰三角形共有()个.A.3个B.4个C.5个D.6个3.已知一个等腰三角形的两边长分别是4和8,则该等腰三角形的周长为()A.16或20B.16C.20D.12或244.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,DE⊥AC于点E,下列结论中不一定成立的是()A.AE=CE B.BD=BC C.BC=2DE D.CD=AD5.如图,在△ABC中,ED∥BC,∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F,若FG=2,ED=6,则EB+DC的值为()A.6B.7C.8D.96.如图,线段AE⊥BD于C,AB=DE,∠A=30°,∠E=50°,F是DE的中点,则∠DBF的度数为()A.10°B.30°C.20°D.40°7.已知等腰三角形的两边长分别为x、y,且满足|2x﹣y+1|+(x+y﹣13)2=0,则该等腰三角形的周长为()A.22或26B.17C.17或22D.228.等腰三角形的一个内角为70°,则另外两个内角的度数分别是()A.55°,55°B.70°,40°或70°,55°C.70°,40°D.55°,55°或70°,40°9.一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶100海里到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶100海里到达C地,则A,C两地相距()A.100海里B.80海里C.60海里D.40海里10.以下说法中,正确的命题是()(1)等腰三角形的一边长为4 cm,一边长为9 cm,则它的周长为17 cm或22 cm;(2)三角形的一个外角等于两个内角的和;(3)有两边和一角对应相等的两个三角形全等;(4)等边三角形是轴对称图形;(5)如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形一边,那么这个三角形是等腰三角形.A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(5) C.(2)(4)(5) D.(4)(5)二、填空题。

轴对称、等腰三角形经典练习题

轴对称、等腰三角形经典练习题

【知识点回顾】轴对称:一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称。

这条直线叫作对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。

轴对称的性质:1、关于轴对称的图形全等。

2、如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线的判定:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形的性质定理:等腰三角形有两边相等;定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”。

)推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【典型例题】例1. 如图,ABC ∆中, 100=∠=A AC AB ,,BD 平分ABC ∠。

求证:BC BD AD =+。

AD1 B 2E FC分析:从要证明的结论出发,在BC 上截取BD BF =,只需证明AD CF =,考虑到21∠=∠,想到在BC 上截取BA BE =,连结DE ,易得,则有FD AD =,只需证明CF DE =,这就要从条件出发,通过角度计算可以得出DE DF CF ==。

证明:在BC 上截取BD BF BA BE ==,,连结DE 、DF 在ABD ∆和EBD ∆中,BD BD 21BE BA =∠=∠=,,80DEF 100A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴∆≅∆∴,又 100A AC AB =∠=, 40)100180(21C ABC =-=∠=∠∴ 20402121=⨯=∠=∠∴ 而BF BD = 80)20180(21)2180(21BDF BFD =-=∠-=∠=∠∴ AD BD FC BF BC FCDF DE AD FCDF CFDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DFDE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴,即BC BD AD =+【随堂作业】1、下列图形中,不是轴对称图形的是 ( )A .有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45°直角三角形C. 有一个内角是30°的直角三角形D. 有两个角分别是30°和120°的三角形 2、下列说法中正确的是 ( )① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 ② 角是轴对称图形 ③线段不是轴对称图形④ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④ 3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示 实际时间是 ( ) A .21:10 B. 10:21 C. 10:51 D. 12:014、下列推理中,错误的是 ( )A .∵∠A =∠B =∠C , ∴△ABC 是等边三角形 B .∵AB =AC ,且∠B =∠C , ∴△ABC 是等边三角形 C .∵∠A =60°,∠B =60°,∴△ABC 是等边三角形D .∵AB =AC ,∠B =60°,∴△ABC 是等边三角形5、等腰三角形两边的长分别为2cm 和5cm ,则这个三角形的周长是 ( ) A .9cm B .12cm C .9cm 和12cm D .在9cm 与12cm 之间6、若等腰三角形的一个外角为130°,则它的底角为________ .7、如图,ABC ∆是等边三角形,BC BD 90CBD ==∠, ,则1∠的度数是________。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

一、选择题1.已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角度数为( ) A .75°B .90°C .105°D .120°或20°D 解析:D【分析】设两内角的度数为x 、4x ,分两种情况,列出方程,即可求解.【详解】解:设两内角的度数为x 、4x ,当等腰三角形的顶角为x 时,x +4x +4x =180°,x =20°;当等腰三角形的顶角为4x 时,4x +x +x =180°,x =30°,4x =120°;因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.故选:D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,掌握分类讨论思想方法是解题的关键.2.如图所示,已知ABC 和DCE 均是等边三角形,点B 、C 、E 在同一条直线上,连接AE 、BD 、FG ,AE 与BD 交于点O ,AE 与CD 交于点G ,AC 与BD 交于点F ,则下列结论中:①AE BD =; ②AG BF =; ③FG//BE ; ④CF CG =,以上结论正确的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个D解析:D【分析】 首先根据等边三角形性质得出BC=AC ,CD=CE ,∠ACB=∠ECD=60°,即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等,最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可.【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形,∴BC=AC ,CD=CE ,∠ACB=∠ECD=60°,∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ,∠ACD=60°,即:∠ACE=∠BCD ,在△BCD 与△ACE 中,∵BC=AC ,∠ACE=∠BCD ,CD=CE ,∴△BCD ≌△ACE(SAS),∴AE=BD ,即①正确;在△BCF 与△ACG 中,由①可知∠CBF=∠CAG ,又∵AC=BC ,∠BCF=∠ACG=60°,∴△BCF ≌△ACG(ASA),∴AG=BF ,即②正确;在△DFC 与△EGC 中,∵△BCF ≌△ACG ,∴CF=CG .即④正确;∵∠GCF =60°,∴△CFG 为等边三角形,∴∠CFG=∠FCB=60°,∴FG ∥BE ,即③正确;综上,①②③④都正确.故选:D .【点睛】本题考查了等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质以及平行线的判定,解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题,.3.已知点A 的坐标为()1,3,点B 的坐标为()2,1,将线段AB 沿坐标轴翻折180°后,若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-,则点B 的对应点B '的坐标为( )A .()2,2B .(2,1)-C .()2,1-D .(2,1)-- C解析:C【分析】根据点A ,点A'坐标可得点A ,点A'关于y 轴对称,即可求点B'坐标.【详解】解:∵将线段AB 沿坐标轴翻折后,点A (1,3)的对应点A′的坐标为(-1,3), ∴线段AB 沿y 轴翻折,∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为(-2,1)故选:C .【点睛】本题考查了翻折变换,坐标与图形变化,熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等,横坐标互为相反数是关键.4.等腰三角形的一个内角是50度,它的一腰上的高与底边的夹角是( )度A .25或60B .40或60C .25或40D .40C解析:C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解.【详解】当顶角为50°时,底角为:(180°−50°)÷2=65°.此时它的一条腰上的高与底边的夹角为:90°−65°=25°.当底角为50°时,此时它的一条腰上的高与底边的夹角为:90°−50°=40°.故选:C .【点睛】本题考查等腰三角形的性质,等腰三角形中两个底角相等.同时考查了分类讨论的思想. 5.如图所示,D 为 BC 上一点,且 AB =AC =BD ,则图中∠1 与∠2 的关系是( )A .∠1=2∠2B .∠1+∠2=180°C .∠1+3∠2=180°D .3∠2﹣∠1=180°D 解析:D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠,再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠,2BAD ∠=∠,由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系.【详解】解:∵2∠是ACD △的外角,∴12C ∠+∠=∠,∴∠C=∠2-∠1,∵AB AC =,∴B C ∠=∠,∵AB BD =,∴2BAD ∠=∠,∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠,∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒,∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒,即321180∠-∠=︒.故选:D .【点睛】本题考查等腰三角形的性质,解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角. 6.如图,C 是线段AB 上的一点,ACD △和BCE 都是等边三角形,AE 交CD 于M ,BD 交CE 于N ,交AE 于O ,则①DB AE =;②AMC DNC ∠=∠;③60AOB ∠=︒;④DN AM =;⑤CMN △是等边三角形.其中,正确的有( )A .2个B .3个C .4个D .5个C解析:C【分析】 易证△ACE ≌△DCB ,可得①正确;即可求得∠AOB =120°,可得③错误;再证明△ACM ≌△DCN ,可得②④正确和CM =CN ,即可证明⑤正确;即可解题.【详解】解:∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD =∠BCE =60°,∴∠DCE =60°,在△ACE 和△DCB 中,AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACE ≌△DCB (SAS ),∴∠BDC =∠EAC ,DB =AE ,①正确;∠CBD =∠AEC ,∵∠AOB =180°−∠OAB−∠DBC ,∴∠AOB =180°−∠AEC−∠OAB =120°,③错误;在△ACM 和△DCN 中,60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩, ∴△ACM ≌△DCN (ASA ),∴AM =DN ,④正确;∠AMC =∠DNC ,②正确;CM =CN ,∵∠ACD =∠BCE =60°,∴∠MCN =180°-∠ACD-∠BCE =60°,∴△CMN 是等边三角形,⑤正确;故有①②④⑤正确.故选:C .【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键.7.北京有许多高校,下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个B解析:B【分析】 根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案.【详解】第一个图案是轴对称图形,第二个图案不是轴对称图形,第三个图案是轴对称图形,第四个图案不是轴对称图形,综上所述:是轴对称图形的图案有2个,故选:B .【点睛】本题考查轴对称图形,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形沿对称轴折叠,对称轴两边的图形能够完全重合;熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键.8.如图,已知等腰三角形ABC 中,AB AC =,15DBC ∠=︒,分别以A 、B 两点为圆心,以大于12AB 的长为半径画圆弧,两弧分别交于点E 、F ,直线EF 与AC 相交于点D ,则A ∠的度数是( )A .50°B .60°C .75°D .45°A解析:A【分析】 根据中垂线的性质可得DA=DB ,设∠A=x ,则∠ABD=x ,结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理,列出方程,即可求解.【详解】又作图可知:EF 是AB 的垂直平分线,∴DA=DB ,∴∠A=∠ABD ,设∠A=x ,则∠ABD=x ,∵15DBC ∠=︒,∴∠ABC=x+15°,∵AB=AC ,∴∠C=∠ABC=x+15°,∴2(x+15°)+x=180°,∴x=50°,故选A .【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质,中垂线的性质以及三角形内角和定理,掌握中垂线的性质定理以及方程思想,是解题的关键.9.如图,在锐角ABC 中,AB AC =,D ,E 是ABC 内的两点,AD 平分BAC ∠,60EBC E ∠=∠=,若6BE cm =,2DE cm =,则BC 的长度是( )A .6cmB .6.5cmC .7cmD .8cm D解析:D【分析】延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N ,过点D 作//DF BC 交BE 于点F ,根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥,BN CN =,根据60EBC E ∠=∠=,得出EBM △是等边三角形,进而得到6EB EM BM cm ===,通过//DF BC ,证明EFD △是等边三角形,进而得到2EF FD ED cm ===,所以求出4DM cm =,根据直角三角形的性质得到MN 的长度,从而得出BN 的长度,最后求出BC 的长度.【详解】延长ED 交BC 于点M ,延长AD 交BC 于点N ,过点D 作//DF BC 交BE 于点F ,如图,AB AC =,AD 平分BAC ∠,∴AN BC ⊥,BN CN =,∴90ANB ANC ∠=∠=,60EBC E ∠=∠=,∴EBM △是等边三角形,6BE cm =,∴6EB EM BM cm ===,//DF BC ,∴60EFD EBM ∠=∠=,∴EFD △是等边三角形,2DE cm =,∴2EF FD ED cm ===,∴4DM cm =,EBM △是等边三角形,∴60EMB ∠=,∴30NDM ∠=,∴2NM cm =,∴4BN BM NM cm =-=,∴28BC BN cm ==.故选:D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质,直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半,求出MN 的长度是解决问题的关键.10.等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30,则底角度数是( )A .30B .60︒C .40︒或50︒D .30或60︒D解析:D【分析】由三角形的高可在三角形的内部,也可在三角形的外部,所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形,再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可.【详解】解:如图,分两种情况:①如图,当三角形的高在三角形的内部时,AB=AC ,BD ⊥AC ,∠ABD=30°,∴∠A=60°,∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°; ②如图,当三角形的高在三角形的外部时,AB=AC ,BD ⊥AC ,∠ABD=30°, ∴∠DAB=60°,∠BAC=120°,∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒. 故选:D .【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余,三角形的内角和定理的应用,三角形的高的含义,分类讨论的数学思想,掌握分类讨论解决问题是解题的关键. 二、填空题11.如图,在平面直角坐标系中,直线l 与x 轴交于点1B ,与y 轴交点于D ,且111,60OB ODB =∠=︒,以1OB 为边长作等边三角形11AOB ,过点1A 作12A B 平行于x 轴,交直线l 于点2B ,以12A B 为边长作等边三角形212A A B ,过点2A 作23A B 平行于x 轴,交直线l 于点3B ,以23A B 为边长作等边三角形323A A B ,…,按此规律进行下去,则点6A 的横坐标是______.5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析:5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A,过A2作A2B⊥A1B2于B,过A3作A3C⊥A2B3于C,根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质,分别求得A1的横坐标为1212-,,A2的横坐标为2212-,A3的横坐标为3212-,进而得到A n的横坐标为212n-,据此可得点A6的横坐标.【详解】解:如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12,即A1的横坐标为12=1212-,∵160ODB∠=°,∴∠OB1D=30°,∵A 1B 2//x 轴,∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°,∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°,∴∠A 1B 1B 2=90°,∴A 1B 2=2A 1B 1=2,过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1, 即A 2的横坐标为12+1=2212-, 过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ,同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2, 即A 3的横坐标为12+1+2=3212-, 同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-, 由此可得,A n 的横坐标为212n -, ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-, 故答案为31.5.【点睛】本题是一道找规律问题,涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形,解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律.12.如图,在ABC ∆中,CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点.若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________.【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE +EF 的值最小AE +EF 的最小值=HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析:4【分析】作A 关于CD 的对称点H ,由CD 是△ABC 的角平分线,得到点H 一定在BC 上,过H 作HF ⊥AC 于F ,交CD 于E ,连接AE ,则此时,AE +EF 的值最小,AE +EF 的最小值=HF ,过A 作AG ⊥BC 于G ,根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论.【详解】作A 关于CD 的对称点H ,∵CD 是△ABC 的角平分线,∴点H 一定在BC 上,过H 作HF ⊥AC 于F ,交CD 于E ,连接AE ,则此时,AE +EF 的值最小,AE +EF 的最小值=HF ,过A 作AG ⊥BC 于G ,∵△ABC 的面积为12,BC 长为6,∴AG =4,∵CD 垂直平分AH ,∴AC =CH ,∴S △ACH =12AC•HF =12CH•AG , ∴HF =AG =4,∴AE +EF 的最小值是4,故答案是:4.【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题,解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE +EF 的最小值为三角形某一边上的高线.13.如图,在ABC ∆中,31C ∠=︒,ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ,如果DE 垂直平分BC ,那么A ∠的度数为_______.【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可;【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析:87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可;【详解】∵DE 垂直平分BC ,∴DB DC =,∴∠=∠DBC C ,∵31C ∠=︒,∴31DBC ∠=︒,∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒,∵BD 平分ABC ∠,∴31ABD DBC ∠=∠=︒,∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒.故答案是87︒.【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质,结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键.14.如图,在ABC 中,D 是BC 上一点,,105AC AD DB BAC ==∠=︒,则B ∠=________°.25【分析】设∠ADC =α然后根据AC =AD =DB ∠BAC =105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解:∵AC =AD =DB ∴∠B = 解析:25【分析】设∠ADC =α,然后根据AC =AD =DB ,∠BAC =105°,表示出∠B 和∠BAD 的度数,最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数,进而求得∠B 的度数即可.【详解】解:∵AC =AD =DB ,∴∠B =∠BAD ,∠ADC =∠C ,设∠ADC =α,∴∠B =∠BAD =2α , ∵∠BAC =105°,∴∠DAC =105°﹣2α, 在△ADC 中, ∵∠ADC +∠C +∠DAC =180°,∴2α+105°﹣2α=180°, 解得:α=50°,∴∠B =∠BAD =2α=25°, 故答案为:25.【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质:①等腰三角形的两腰相等;②等腰三角形的两个底角相等,熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键.15.若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形,则该等腰三角形的腰长为__________cm .【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况:当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12(cm )∵6+6=12故不能构成三角形;当6cm 的边为底边时腰长=(cm )解析:9【分析】分两种情况,根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答.【详解】分两种情况:当6cm 的边为腰时,底边长=24-6-6=12(cm ),∵6+6=12,故不能构成三角形; 当6cm 的边为底边时,腰长=1(246)92⨯-=(cm ),由于6+9>9,故能构成三角形, 故答案为:9.【点睛】此题考查等腰三角形的性质:两腰相等,依据三角形三边关系,解题中运用分类思想解答.16.若点P(x-y ,y)与点Q(-1,-5)关于x 轴对称,则x+y=______.9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P (x-yy )与点Q (-1-5)关于x 轴对称得x-y =-1y =5解得x =4y =5x+y=4+5=9故答案为:9【点睛】本题解析:9【分析】根据关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数,可得答案.【详解】由点P (x-y ,y )与点Q (-1,-5)关于x 轴对称,得x-y =-1,y =5.解得x =4,y =5,x+y=4+5=9,故答案为:9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标,解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:关于x 轴对称的点,横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于y 轴对称的点,纵坐标相同,横坐标互为相反数;关于原点对称的点,横坐标与纵坐标都互为相反数.17.如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C,D,O是网格线交点,那么∠___________CODAOB∠(填“>”,“<”或“=”).>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析:>【分析】如图,过点B作BE⊥AC于E,证明△BOE是等腰直角三角形,得到∠BOE=45︒,过点C 作CF⊥OC,使FC=OC,证明△OCF是等腰直角三角形,得到∠FOC=45︒,由图知∠FOC>∠COD,即可得到∠AOB>∠COD.【详解】如图,过点B作BE⊥AC于E,∵OB=OE=2,∠BEO=90︒,∴△BOE是等腰直角三角形,∴∠BOE=45︒,过点C作CF⊥OC,使FC=OC,∴∠FCO=90︒,∴△OCF是等腰直角三角形,∴∠FOC=45︒,由图知∠FOC>∠COD,∴∠AOB>∠COD,故答案为:>..【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较,根据图形确定角的位置关系是解题的关键.18.如图,∠AOB=45°,OC平分∠AOB,点M为OB上一定点,P为OC上的一动点,N 为OB上一动点,当PM+PN最小时,则∠PMO的度数为___________.45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解:如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析:45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′,过点M′作M′N ⊥OB 于点N ,交OC 于点P ,则此时PM+PN 的值最小,再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案.【详解】解:如图,找到点M 关于OC 对称点M′,过点M′作M′N ⊥OB 于点N ,交OC 于点P ,则此时PM+PN 的值最小.∵PM=PM′,∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′,∵点M 与点M′关于OC 对称,OC 平分∠AOB ,∴OM=OM′,∵∠AOB=45°,∴∠PM'O=∠AOB=45°,∴∠PMO=∠PM'O=45°,故答案为:45°.【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识,涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识,有一定难度,正确确定点P 及点N 的位置是关键.19.如图,25AOB ∠=︒,点M ,N 分别是边OA ,OB 上的定点,点P ,Q 分别是边OB ,OA 上的动点,记MPQ α∠=,PQN β∠=,当MP PQ QN ++的值最小时,βα-的大小=__________(度).50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析:50【分析】作M 关于OB 的对称点M ',N 关于OA 的对称点N ',连接M N '',交OB 于点P ,交OA 于点Q ,连接MP ,QN ,可知此时MP PQ QN ++最小,此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠,,再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论.【详解】作M 关于OB 的对称点M ',N 关于OA 的对称点N ',连接M N '',交OB 于点P ,交OA 于点Q ,连接MP ,QN ,如图所示.根据两点之间,线段最短,可知此时MP PQ QN++最小,即MP PQ QN M N ''++=, ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠,,∵MPQ PQN αβ∠=∠=,, ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-,, ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠,25AOB ∠=︒, ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- , ∴50βα-=︒ . 故答案为:50.【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和,三角形外角的性质等知识,灵活运用所学知识解决问题是解题的关键,综合性较强.20.如图,ABC ∆中,ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ,过点F 作//DE BC 交AB 于点D ,交AC 于点E ,那么下列结论:①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形;②DE BD CE =+;③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和;④BF CF =;⑤若80A ∠=︒,则130BFC ∠=︒.其中正确的有_______.(填正确的序号).①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形;②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ;③由②得:△ADE 的解析:①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ,EF=EC ,从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形;②同①有DB=DF ,EF=EC ,所以DE=DF+EF=BD+CE ;③由②得:△ADE 的周长为:AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ;④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ,所以∠FBC 不一定等于∠FCB ,所以BF 与CF 不一定相等;⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解.【详解】解:∵DE ∥BC ,∴∠DFB=∠FBC ,∠EFC=∠FCB ,∵△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ,∴∠DBF=∠FBC ,∠ECF=∠FCB ,∴∠DBF=∠DFB ,∠ECF=∠EFC ,∴DB=DF ,EF=EC ,即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形;故①正确;∴DE=DF+EF=BD+CE ,故②正确;∴△ADE 的周长为:AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ;故③正确;∵∠ABC 不一定等于∠ACB ,∴∠FBC 不一定等于∠FCB ,∴BF 与CF 不一定相等,故④错误; 由题意知,1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠,, ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确,故答案为①②③⑤.【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理;题目利用了两直线平行,内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形;等量代换的利用是解答本题的关键.三、解答题21.如图,点E 在ABC 的边AB 上,90ABC EAD ∠=∠=︒,30BAC ADE ∠=∠=︒,DE 的延长线交AC 于点G ,交BC 延长线于点F .AB=AD ,BH ⊥DF ,垂足为H .(1)求HAE ∠的度数;(2)求证:DH FB FH =+.解析:(1)=15∠HAE ;(2)见解析【分析】(1)连接BG ,先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ,再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ,从而得出=∠∠HAE HAG ,继而得出HAE ∠的度数;(2)在DH 上取HM=HF ,连接BM ,根据垂直平分线的性质得出BF=BM ,再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ,从而得出结论【详解】解:(1)连接BG∵90EAD ∠=︒,30BAC ∠=︒,∴∠DAG=120°,∵30ADE ∠=︒,∴30∠=∠=︒ADE AGD ,∴AG=AD ,∵AB=AD ,∴AG=AB ,∵30BAC ∠=︒,∴75∠=∠=︒AGB ABG ,∵BH ⊥DF ,90EAD ∠=︒,∴=90∠∠=︒BHE EAD ,∵=∠∠BEH AED ,∴30∠=∠=︒ADE EBH ,∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ,∵90FHB ∠=︒,∴∠=∠HBG HGB ,∴GH=BH ,∵AG=AB ,AH=AH ,∴△AGH ≌△ABH ,∴=∠∠HAE HAG ,∵30BAC ∠=︒,∴=15∠HAE ;(2)在DH 上取HM=HF ,连接BM ;∵90ABC EAD ∠=∠=︒,∴AD//BF ,∴30∠=∠=︒F ADE ,∵BH ⊥DF ,HM=HF ,∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ,90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒,∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ,∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ,∴==15∠∠MBD MDB ,∴BM=DM=BF ,∵DH=DM+HM ,∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型. 22.如图,ABC 是边长为10的等边三角形,现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发,沿ABC 的边运动,已知点P 的速度为每秒1个单位长度,点Q 的运度为每秒2个单位长度,当点P 第一次到达B 点时,P 、Q 同时停止运动. (1)点P 、Q 运动几秒后,可得到等边三角形APQ ?(2)点P 、Q 运动几秒后,P 、Q 两点重合?(3)当点P 、Q 在BC 边上运动时,能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ?如存在,请求出此时P 、Q 运动的时间.解析:(1)点P 、Q 运动103秒后,可得到等边三角形APQ ;(2)点P 、Q 运动10秒后,P 、Q 两点重合;(3)当点P 、Q 在BC 边上运动时,能得到以PQ 为底边的等腰三角形,此时P 、Q 运动的时间为403秒. 【分析】(1)设点P 、Q 运动t 秒后,可得到等边三角形APQ ,利用,AP AQ = 列方程,解方程可得答案;(2)设点P 、Q 运动x 秒后,P 、Q 两点重合,由追及问题中的相等关系:Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程,列方程,解方程即可得到答案;(3)当点P 、Q 在BC 边上运动时,可以得到以PQ 为底边的等腰三角形.先证明:ACP △≌ABQ △,可得CP BQ =,再列方程,解方程并检验即可得到答案.【详解】解:(1)设点P 、Q 运动t 秒后,可得到等边三角形APQ ,如图①,AP t =,102AQ AB BQ t =-=-,∵三角形APQ 是等边三角形,,AP AQ ∴=∴102t t =-,解得103t =, ∴点P 、Q 运动103秒后,可得到等边三角形APQ .(2)设点P 、Q 运动x 秒后,P 、Q 两点重合,102x x +=,解得:10x =.∴点P 、Q 运动10秒后,P 、Q 两点重合.(3)当点P 、Q 在BC 边上运动时,可以得到以PQ 为底边的等腰三角形.理由如下: 由(2)知10秒时P 、Q 两点重合,恰好在C 处,如图②,假设APQ 是等腰三角形,∴AP AQ =,∴APQ AQP ∠=∠,∴APC AQB ∠=∠,∵ACB △是等边三角形,∴C B ∠=∠,在ACP △和ABQ △中,,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩, ∴ACP △≌ABQ △,∴CP BQ =,设当点P 、Q 在BC 边上运动时,P 、Q 运动的时间y 秒时,APQ 是等腰三角形, 由题意得:10CP y =-,302QB y =-,∴ 10302y y -=-, 解得:403y =, P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s , 由403<15, ∴ 403y =符合题意, ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时,能得到以PQ 为底边的等腰三角形,此时P 、Q 运动的时间为403秒. 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,动点问题,掌握以上知识是解题的关键.23.已知AOB ∠及一点P ,利用直尺和圆规,根据下列要求作图(保留作图痕迹,不要求写作法)(1)过点P 作OA 、OB 的垂线,垂足分别为点M 、N ;(2)猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系,并说明理由.解析:(1)见解析;(2)∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB,理由见解析【分析】(1)根据垂线的定义画出图形即可解决问题;(2)根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题;【详解】(1)过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示;(2)猜想:∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB.理由:左图中,在四边形PMON中,∵∠PMO=∠PNO=90°,∴∠MPN+∠AOB=180°.右图中,∵∠PJM=∠OJN,∠PMJ=∠JNO=90°,∴∠MPN=∠AOB.【点睛】本题考查了作图-基本作图,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.24.在等边三角形ABC中,点E为线段AB上一动点,点E与A,B不重合,点D在CB的延长线上,且ED=EC.(1)当E为边AB的中点时,如图1所示,确定线段AE与BD的大小关系,并证明你的结论;(2)如图2,当E不是边AB的中点时,(1)中的结论是否成立?若不成立,请直接写出EF BC交AC于点F)BD与AE的数量关系;若成立,请给予证明;(提示:过E作//(3)在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC,ABC 的边长为1,AE=2,请直接写出CD的长.解析:(1)AE=BD;见解析;(2)成立;AE=BD;见解析;(3)CD的长为3或1.【分析】(1)根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB=30°,由DE=CE,求出∠D=∠ECB=30°得到∠DEB=30°,推出BD=BE,根据AE=BE证得结论;(2)过E作EF∥BC交AC于点F,得到△AEF是等边三角形,推出BE=CF,利用∠DBE=∠EFC=120°,∠BED=∠ECF,证得△DEB≌△ECF(AAS),得到BD=EF=AE;(3)作EF∥BC交CA的延长线于点F,则△AEF为等边三角形,利用∠CEF=∠EDB,EB=CF=3,∠F=∠B=60°,证得△CEF≌△EDB(AAS),得到BD=EF=2,求出CD=BD-BC =1,同理可得CD=3【详解】解:(1)AE=BD;证明:∵△ABC为等边三角形,AE=BE,∴CE平分∠ACB,∴∠ECB=30°.∵DE=CE,∴∠D=∠ECB=30°.∵∠ABC=∠D+∠DEB=60°,∴∠DEB=30°,∴∠D=∠DEB,∴BD=BE.∵AE=BE,∴AE=BD;(2)当E为边AB上任意一点时,AE=BD仍成立;证明:如图1,过E作EF∥BC交AC于点F.∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF.∵∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°.∵DE =EC ,∴∠D =∠ECD ,∴∠BED =∠ECF ,∴△DEB ≌△ECF (AAS ),∴BD =EF ,∴AE =BD ;(3)CD 的长为3或1如图2,作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ,则△AEF 为等边三角形,∴AF =AE =EF =2,∠BEF =60°,∴∠CEF =60°+∠BEC .∵∠EDC =∠ECD =∠B +∠BEC =60°+∠BEC ,∴∠CEF =∠EDB .又∵EB =CF =3,∠F =∠B =60°,∴△CEF ≌△EDB (AAS ),∴BD =EF =2,∴CD =BD -BC =1,如图3,同理可得CD =3,综上所述,CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质,全等三角形的判定及性质,平行线的性质,等腰三角形等边对等角的性质,熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键.25.如图,在Rt ABC △中,90ACB ∠=︒,CA CB =,M 是AB 的中点,点D 在BM 上,AE CD ⊥,BF CD ⊥,垂足分别为E ,F ,连接EM .(1)求证:CE BF =;(2)求证:AEM DEM ∠=∠.解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析【分析】(1)先证明CAE BCF ∠=∠,再证明CAE BCF ≌△△,从而可得结论;(2)连接CM ,FM ,先证明ECM FBM ∠=∠,再证明CME BMF ≌△△,可得EM FM =,EMC FMB ∠=∠,再证明FME 是等腰直角三角形,可得45MED ∠=︒,从而可得结论.【详解】证明:(1)AE CD ⊥,BF CD ⊥,90AEC CFB ∴∠=∠=︒.90ACB ∠=︒,90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠.CA BC =. ()CAE BCF AAS ∴≌△△.CE BF ∴=.(2)连接CM ,FM在Rt ABC △中,CA CB =,点M 是AB 的中点,90,ACB ∠=︒BM AM ∴=,CM AB ⊥,CM 平分ACB ∠,45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒,CM BM AM ==,由CAE BCF ≌△△可得:ACE CBF ∠=∠.,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠.又CE BF =,()CME BMF SAS ∴≌△△.EM FM ∴=,EMC FMB ∠=∠.90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒.FME ∴△是等腰直角三角形.45MED ∴∠=︒,90AED ∠=︒,45AEM DEM ∴∠=∠=︒.【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,掌握以上知识是解题的关键.26.如图,在所给平面直角坐标系(每小格均为边长是1个单位长度的正方形)中完成下列各题.(1)已知()6,0A -,()2,0B -,()4,2C -,画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △,并写出1B 的坐标;(2)在y 轴上画出点P ,使PA PC +最小;(3)在(1)的条件下,在y 轴上画出点M ,使11MB MC -最大.解析:(1)见解析;B 1(2,0);(2)见解析;(3)见解析【分析】(1)先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1,顺次连结,则△111A B C △为所求,点()2,0B -,关于y 轴对称,横坐标符号改变B 1(2,0); (2)连结AC 1,交y 轴于点P ,两用两点之交线段最短知AC 1最短即可;(3)延长C 1B 1交y 轴于M ,利用两边之差小于第三边即可.【详解】解:(1)先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1,顺次连结,则△111A B C △为所求,点()2,0B -,关于y 轴对称,横坐标符号改变B 1(2,0),如图;B 1(2,0);(2)连结AC 1,交y 轴于点P ,两用两点之交线段最短知AC 1最短,则PA+PC=PA+PC 1=AC 1,则点P 为所求,如图;(3)延长C 1B 1交y 轴于M ,利用两边之差小于第三边,11MB MC -最大=C 1B 1,如图.【点睛】 本题考查轴对称作图,线段公里,三角形三边关系,掌握轴对称作图,线段公里,三角形三边关系是解题关键.27.如图,点A ,C ,D ,B 四点共线,且AC BD =,A B ∠=∠,ADE BCF ∠=∠.(1)求证:ADE BCF ≌;(2)若9DE =,CG 4=,求线段EG 的长.解析:(1)证明见解析;(2)5EG =.【分析】(1)根据AC=BD 可得AD=BC ,然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等;(2)根据(1)中的全等可得∠ADE=∠BCF ,再结合等角对等边可得4DG CG ==,最后利用线段的和差即可求得EG 的长度.【详解】解:(1)证明:∵AC=BD ,∴AC+CD=BD+CD ,∴AD=BC ,在△ADE 和△BCF 中,A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF (ASA );(2)∵△ADE ≌△BCF ,∴∠ADE=∠BCF ,∴4DG CG ==,∵9DE =,∴5EG DE DG =-=.【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定,等腰三角形等角对等边.熟练掌握全等三角形的几种判定定理,并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键.28.已知ABC 是等边三角形,点D 是AC 的中点,点P 在射线BC 上,点Q 在线段AB 上,120PDQ ∠=︒.(1)如图1,若点Q 与点B 重合,求证:DB DP =;(2)如图2,若点P 在线段BC 上,8AC =,求AQ PC +的值.解析:(1)证明见解析;(2)4.【分析】(1)由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒,再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒,从而可得结论; (2)过点D 作//DE BC 交AB 于点E ,先证明ADE 为等边三角形,再证明QDE PDC ≌,可得QE PC =, 从而可得答案.【详解】证明:(1)∵ABC 为等边三角形,∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点,∴DB 平分ABC ∠,∴30DBC ∠=︒. ∵120PDB ∠=︒,∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒,∴DBC DPB ∠=∠,∴DB DP =.(2)过点D 作//DE BC 交AB 于点E .∵ABC 为等边三角形,8AC =,点D 是AC 的中点,∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒.∵//DE BC ,∴60AED B ∠=∠=︒.60ADE C ∠=∠=︒,∴ADE 为等边三角形,120EDC ∠=︒,∴4AD ED AE ===,。

八年级轴对称典型例题

八年级轴对称典型例题

八年级轴对称典型例题一、等腰三角形与轴对称性质相关例题例题1:已知等腰三角形ABC中,AB = AC,∠A = 36°,请找出这个等腰三角形的所有对称轴。

解析:1. 因为等腰三角形ABC中,AB = AC,等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边上的高(或顶角平分线或底边的中线)所在的直线。

作AD⊥BC于D点,由于AB = AC,根据等腰三角形三线合一的性质,AD所在直线就是等腰三角形ABC的对称轴。

因为∠A=36°,AB = AC,所以∠B=∠C=(180° 36°)/2 = 72°。

这条对称轴将等腰三角形ABC分成两个全等的直角三角形ABD和ACD。

2. 总结:等腰三角形ABC有1条对称轴,即底边上的高AD所在的直线。

二、线段垂直平分线与轴对称例题例题2:如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE = 3cm,△ABD的周长为13cm,求△ABC的周长。

[此处可自行画一个简单的三角形ABC,其中DE是AC的垂直平分线,D在AC上,E在BC上]解析:1. 因为DE是AC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质,可得AD = CD。

2. 已知△ABD的周长为AB+BD + AD = 13cm,由于AD = CD,所以AB+BD+CD = 13cm,即AB + BC = 13cm。

3. 又因为AE = 3cm,且DE垂直平分AC,所以AC = 2AE = 6cm。

4. 那么△ABC的周长为AB+BC + AC=13 + 6 = 19cm。

三、角平分线与轴对称例题例题3:如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,连接CD,求证:OP垂直平分CD。

[画一个∠AOB,OP为角平分线,PC垂直OA于C,PD垂直OB于D,连接CD]解析:1. 因为OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,根据角平分线的性质,可得PC = PD。

2. 在Rt△OPC和Rt△OPD中,OP = OP(公共边),PC = PD,所以Rt△OPC≌Rt △OPD(HL)。

等腰三角形的轴对称性测试题题目

等腰三角形的轴对称性测试题题目

等腰三角形的轴对称性测试题题目1、(1)等腰三角形的一个底角是70度,则它的顶角是;(2)等腰三角形的一个角是30度,则它的另外两个角分别为;(3)等腰三角形的一个角是100度,则它的另外两个角分别为;(4)等腰三角形的周长是10cm,腰长是4cm,则底边为;(5)等腰三角形的周长是20cm,一边长是8cm,则其它两边长为。

2、如果△ABC是轴对称图形,则它的对称轴一定是( )A.某一条边上的高 B.某一条边上的中线C.平分一角和这个角的对边的直线 D.某一个角的平分线3、如图,在△ABC中, AB = AC,点D在BC上,且AD = BD。

(1)找出相等的角并说明理由;(2)若∠ADC=70° ,求∠BAC的度数。

4、如图,已知∠A=150°,AB=BC=CD=DE=EF,求∠FEN的度数。

八. 【课后作业】及时巩固、查漏补缺1、如果等腰三角形的`一个外角为1350,那么底角为()A、450B、720C、67.50D、450或67.502、等腰三角形一腰上的中线分此三角形为两个三角形,若这两个三角形的周长相差2,且等腰三角形底边长是8,则它的腰长是()A、3或5B、 5或6C、5或10D、6或103、RtΔABC中,∠C=90°,∠A=30°,若要在直线BC或者直线AC上取一点P,使ΔPAB是等腰三角形,则符合条件的点P有()A.2个 B.4个 C.6个 D.8个4、已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长是()A.12 B.17 C.17或19 D.195、如图,在△ABC中,∠A=100 °,BD=BE,CD=CF,求∠EDF的度数。

6、已知 ABC中∠BAC=140°,AB、AC的垂直平分线分别交BC于E 、F ,你能求出∠EA F的度数吗?7、如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,试说明DE=DF的道理。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习(含答案解析)

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典练习(含答案解析)

一、选择题1.如图,在等腰三角形ABC 中,,36,AB AC A D =∠=是AC 的中点,ED AC ⊥交AB 于点E ,已知6,2AC DE ==,则BC 的长为( )A .13B .32C .40D .20 2.已知锐角AOB ∠,如图(1)在射线OA 上取一点C ,以点O 为圆心,OC 长为半径作弧MN ,交射线OB 于点D ,连接CD ;(2)分别以点,C D 为圆心,CD 长为半径作弧,两弧交于点P ,连接,CP DP ; (3)作射线OP 交CD 于点Q .根据以上作图过程及所作图形,有如下结论:①//CP OB ;②2CP QC =;③AOP BOP ∠=∠;④CD OP ⊥.其中正确的有( )A .①②③④B .②③④C .③④D .③ 3.已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角度数为( ) A .75° B .90° C .105° D .120°或20° 4.如图,在ABC 中,6AB =,8AC =,10BC =,EF 是BC 的垂直平分线,P 是直线EF 上的一动点,则PA PB +的最小值是( ).A .6B .8C .10D .115.下列命题中,假命题是( ) A .两条直角边对应相等的两个直角三角形全等B .等腰三角形顶角平分线把它分成两个全等的三角形C .相等的两个角是对顶角D .有一个角是60的等腰三角形是等边三角形6.下列命题正确的是( )A .全等三角形的对应边相等B .面积相等的两个三角形全等C .两个全等三角形一定成轴对称D .所有等腰三角形都只有一条对称轴 7.如图,在ABC 中,90C ∠=︒,30B ∠=︒,以点A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB ,AC 于点M 和N ,再分别以点M ,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连接AP 并延长交BC 于点D .则下列说法中正确的个数是( ) ①AD 是BAC ∠的平分线;②60ADC ∠=︒;③点D 在AB 的中垂线上;④:2:5DAC ABC S S =△△A .1B .2C .3D .48.如图,在ABC ∆中,90,30C B ︒︒∠=∠= ,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ,再分别以M N 、为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,连接AP ,并延长交BC 于点D ,则下列说法中正确的个数是( )①AD 是BAC ∠的平分线;②60ADC ︒∠=;③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =,则点D 到AB 的距离是1,:1:2DAC ABC S S ∆∆=A .2B .3C .4D .59.如图,ABC 是等边三角形,D 是线段BC 上一点(不与点,B C 重合),连接AD ,点,E F 分别在线段,AB AC 的延长线上,且DE DF AD ==,点D 从B 运动到C 的过程中,BED 周长的变化规律是( )A .不变B .一直变小C .先变大后变小D .先变小后变大 10.如图,长方形纸片ABCD (长方形的对边平行且相等,每个角都为直角),将纸片沿EF 折叠,使点C 与点A 重合,下列结论:①AF AE =,②ABE AGF ≌,③AF CE =,④60AEF ∠=︒,其中正确的( )A .①②B .②③C .①②③D .①②③④ 11.如图,在ABC 与A B C ''△中,,90AB AC A B A C B B ==''='∠+∠'=︒,ABC ,A B C '''的面积分别为1S 、2S ,则( )A .12S S >B .12S SC .12S S <D .无法比较1S 、2S 的大小关系 12.若a b c 、、是ABC 的边,且222()()()0,a b a c b c -+-+-=则ABC 是( ). A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等边三角形 13.下列图案中,是轴对称图形的是( )A .B .C .D .14.如图,在等腰ABC 中,118ABC ︒∠=,AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ,交AC 于点E ,BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ,交AC 于点Q ,连接BE ,BQ ,则EBQ ∠=( )A .65︒B .60︒C .56︒D .50︒15.如图,在Rt ABC 中,∠BAC =90°,以点A 为圆心,以AB 长为半径作弧交BC 于点D ,再分别以点B ,D 为圆心,以大于12BD 的长为半径作弧,两弧交于点P ,作射线AP 交BC 于点E ,如果AB =3,AC =4,那么线段AE 的长度是( )A .125B .95C .85D .75二、填空题16.如图,在平面直角坐标系中,直线l 与x 轴交于点1B ,与y 轴交点于D ,且111,60OB ODB =∠=︒,以1OB 为边长作等边三角形11AOB ,过点1A 作12A B 平行于x 轴,交直线l 于点2B ,以12A B 为边长作等边三角形212A A B ,过点2A 作23A B 平行于x 轴,交直线l 于点3B ,以23A B 为边长作等边三角形323A A B ,…,按此规律进行下去,则点6A 的横坐标是______.17.如图,在ABC 中,AB 的垂直平分线DE 分别与,AB BC 交于点,D E ,AC 的垂直平分线FG 分别与,BC AC 交于点,F G ,10,3BC EF ==,则AEF 的周长是________.18.如图,在ABC 和ADE 中,90BAC DAE ∠=∠=︒,AB AC =,AD AE =,其中点C ,D ,E 在同一条直线上,连接BD ,BE .以下四个结论:①ACE DBC ∠=∠;②45ACE DBC ∠+∠=︒;③BD CE ⊥;④BD CE =.一定正确的是______.19.如图,∠MON=30°,点123A A A 、、…在射线ON 上,点123B B B 、、…在射线OM 上,△112A B A 、△223A B A 、△334A B A …均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记为1a ,第2个等边三角形的边长记为2a ,以此类推.若11OA =,则2021a =____.20.如图30AOB ∠=︒,OC 平分AOB ∠,P 为OC 上一点,//PD OA 交OB 于点D ,PE OA ⊥于E ,6cm OD =,则PE =________.21.如图,E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点,且BE BC P =,为CE 上任意一点,PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥,于点R ,则PQ PR +的值是___________.22.如图,已知 O 为△ABC 三边垂直平分线的交点,且∠A =50°,则∠BOC 的度数为_____度.23.如图,在ABC 中,30EFD ∠=︒,且AEF AFE ∠=∠,CFD CDF ∠=∠,则B 的度数为______.24.如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC=36°,AD 、CE 是△ABC 的两条角平分线,BD=5,P 是AD 上的一个动点,则线段BP +EP 最小值的是____________.25.已知,点()1,3A a -与点()2,21B b --关于x 轴对称,则2a b +___________. 26.如图,在ABC 中,12 cm AB AC ==, 6 cm BC =,D 为AC 的中点,动点P 从点A 出发,以每秒1 cm 的速度沿A B C --的方向运动,设运动时间为t ,当过D ,P 两点的直线将ABC 的周长分成两部分,当其中一部分是另一部分的2倍时,t =_________.三、解答题27.如图,ABC 是边长为10的等边三角形,现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发,沿ABC 的边运动,已知点P 的速度为每秒1个单位长度,点Q 的运度为每秒2个单位长度,当点P 第一次到达B 点时,P 、Q 同时停止运动. (1)点P 、Q 运动几秒后,可得到等边三角形APQ ?(2)点P 、Q 运动几秒后,P 、Q 两点重合?(3)当点P 、Q 在BC 边上运动时,能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ?如存在,请求出此时P 、Q 运动的时间.28.已知,在四边形ABCD 中,AB AD =,CB CD =,连接,AC BD ,判断,AC BD 的位置关系,并加以证明.29.如图,等边三角形ABC 中,AD BC ⊥,垂足为D ,点E 在线段AD 上,45EBC ∠=︒,求ACE ∠的度数.30.如图:已知ABC 中AB AC =:(1)尺规作图:过A 点作//AE BC (不写作法,保留作图痕迹);(2)求证:AE 是ABC 的一个外角角平分线.。

等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案

等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案

练习一一、选择题1.等腰三角形的周长为26㎝,一边长为6㎝,那么腰长为()A.6㎝B.10㎝C.6㎝或10㎝D.14㎝2.已知△ABC,AB =AC,∠B=65°,∠C度数是( )A.50° B.65° C.70° D. 75°3.等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是()A.过顶点的直线B.底边的垂线C.顶角的平分线所在的直线D.腰上的高所在的直线/二、填空题4.等腰三角形的两个_______相等(简写成“____________”).5.已知△ABC,AB =AC,∠A=80°,∠B度数是_________.6.等腰三角形的两个内角的比是1:2,则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________.7.等腰三角形的腰长是6,则底边长5,周长为__________.三、解答题8.如图AB=AD,AD∥BC,求证:BD平分∠ABC.(写出每步证明的重要依据)[9.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E分别在AC、AB边上,且BC=BD,AD=DE=EB,求∠A的度数.一、选择题1.B2.B3.C二、填空题4.底角,等边对等角~5.50°6.36°或90°7.16或17三、解答题8.如图AB=AD,AD∥BC,求证:BD平分∠ABC.证明:∵AB=AD(已知)∴∠ABD=∠ADB(等边对等角)∵AD∥BC(已知)∴∠ADB=∠CBD(两直线平行,内错角相等)∴∠ABD=∠CBD(等量代换)|∴BD平分∠ABC.(角平分线定义)9.45练习2一、选择题1.△ABC是等边三角形,D、E、F为各@边中点,则图中共.有正三角形( )A.2个 B.3个C.4个 D.5个2.△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则BC:AB等于 ( )A. 2:1 B.1:2 C.1:3 D.2 :3二、填空题3.等边三角形的周长为6㎝,则它的边长为 ________.4.等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________.5.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则△ABC是_____三角形.6.△ABC中,∠AC B=90°∠B=60°,BC=3㎝,则AB=_______.—三、解答题7.△ABC是等边三角形,点D在边BC上,DE∥AC,△BDE是等边三角形吗试说明理由.8.已知:如图,P,Q是△ABC边上BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.《9.已知:△ABC中,∠ACB=90°,AD=BD,∠A=30°,求证:△BDC是等边三角形.一、选择题[AQ CPB1.D 2.B二、填空题 3.2㎝ 4.120° 5.等边 6.6㎝ 三、解答题7.△ABC 是等边三角形.理由是 ∵△ABC 是等边三角形;∴∠A =∠B =∠C=60° ∵DE ∥AC ,∴∠BED =∠A=60°,∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8.∠BAC=120°9.证明:∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°(已知)∴∠A +∠B=90°(直角三角形两锐角互余)》∴∠B= 90°-∠A= 90°-30°=60°∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°(已知) ∴BC=(在直角三角形中,一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半)∴△BDC 是等边三角形(有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形)。

等腰三角形的轴对称性练习题

等腰三角形的轴对称性练习题

2.5等腰三角形的轴对称性一、单选题1.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形的顶角为()A.50°B.80°C.50°或80°D.40°或65°2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AB=5,则AC的长为()A.2 B.3 C.4 D.53.已知:如图,经过线段AB一端点A有一直线l,直线上l存在点C,使ABC为等腰三角形,这样的点C有()个.A.2 B.3 C.4 D.54.下列判断正确的是()(1)有两个角是60度的三角形是等边三角形(2)有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形(3)三个内角都相等的三角形是等边三角形(4)三边都相等的三角形是等边三角形(5)腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形.A.(1)(2)(3)(4)(5)B.(2)(3)(4)(5) C.(2)(3)(4)D.(2)(3)5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=30°,AD⊥AB交BC于点D,AD=2,则BC的长是()A.4B.5C.6D.76.△ABC中,AB=AC,顶角是100°,则一个底角等于()A.40°B.50°C.80°D.100°7.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=36°.BD平分∠ABC,则∠BDC是()A.36°B.60°C.72°D.80°8.如图,在等边△ABC中,延长AB到点D,使得BD=AB,延长BC到点E,使得CE=2BC,连接DE、AE,若S△ADE=18,则S△ABC为()A.1.8B.2C.3D.4.59.如图的网格中,点A、B在格点上,在网格上找到点C,使△ABC为等腰三角形,这样的点C共有()A.8个B.9个C.10个D.11个10.如图,△ABC中,AB=AC,∠B=40°,D为线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE 交线段AC于E,以下四个结论:①∠CDE=∠BAD;②当D为BC中点时,DE⊥AC;③当△ADE为等腰三角形时,∠BAD =20°;④当∠BAD=30°时,BD=CE.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题。

等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案

等腰三角形经典练习题(5套)附带详细答案

练习一一、选择题一、选择题1.等腰三角形的周长为26㎝,一边长为6㎝,那么腰长为(㎝,那么腰长为( ) A.6㎝B.10㎝C.6㎝或10㎝ D.D.14㎝2.已知△ABC ,AB =AC ,∠,∠B=65°,∠C 度数是( ) A .50° B .65° C .70° D . 75° 3.等腰三角形是.等腰三角形是轴对称图形轴对称图形,它的对称轴是(,它的对称轴是( ) A .过顶点的.过顶点的直线直线B .底边的.底边的垂线垂线C .顶角的.顶角的平分线平分线所在的直线所在的直线D .腰上的高所在的直线.腰上的高所在的直线二、填空题二、填空题4.等腰三角形的两个_______相等(简写成“____________”). 5.已知△ABC ,AB =AC ,∠,∠A=80°,∠B 度数是_________. 6.等腰三角形的两个等腰三角形的两个内角内角的比是1:2,则这个等腰三角形的顶角的度数是_______________. 7.等腰三角形的腰长是6,则底边长5,周长为__________.三、解答题三、解答题8.如图AB=AD ,AD ∥BC ,求证:BD 平分∠ABC . (写出每步证明的重要依据)(写出每步证明的重要依据)9. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别在AC 、AB 边上,边上,且BC=BD ,AD=DE=EB ,求∠A 的度数的度数) 一、选择题 1.B 2.B 3.C 二、填空题4.底角,等边对等角 5.50°6.36°或90° 7.16或17 三、解答题8.如图AB=AD ,AD ∥BC ,求证:BD 平分∠ABC . 证明:∵AB=AD (已知)∴∠ABD=∠ADB (等边对等角) ∵AD ∥BC (已知)∴∠ADB=∠CBD (两直线平行,内错角相等) ∴∠ABD=∠CBD (等量代换) ∴BD 平分∠ABC .(角平分线定义)9.45 练习2一、选择题一、选择题1.△ABC 是等边三角形,D 、E 、F 为各为各 边中点,则图中共.有正三角形( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个2.△ABC 中,∠A :∠B :∠C =1:2:3,则BC :AB 等于等于 ( AQ CP B A . 2:1 B .1:2 C .1:3 D .2 :3 二、填空题二、填空题3.等边三角形的周长为6㎝,则它的边长为㎝,则它的边长为 ________. 4.等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是__________. 5.在△ABC 中,中, ∠A =∠B =∠C ,则△ABC 是_____三角形.三角形. 6.△ABC 中,∠AC B=90°∠B=60°,BC=3㎝,则AB=_______. 三、解答题三、解答题7.△ABC 是等边三角形,点D 在边BC 上,DE ∥AC ,△BDE 是等边三角形吗?试说明理由.是等边三角形吗?试说明理由.8.已知:如图,P ,Q 是△ABC 边上BC 上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ ,求∠BAC 的度数.的度数.9.已知:△ABC 中,∠ACB=90°,AD=BD ,∠A=30°,°, 求证:△BDC 是等边三角形.是等边三角形.一、选择题 1.D 2.B 二、填空题 3.2㎝ 4.120° 5.等边 6.6㎝ 三、解答题7.△ABC 是等边三角形.理由是 ∵△ABC 是等边三角形BD AB =2160 ABC △AB AC =30A Ð= DE AC BCD ÐAFCDH BME G AB DEC∴∠A =∠B =∠C=60°∵DE ∥AC ,∴∠BED =∠A=60°,∠BDE =∠C =60° ∴∠B =∠BED =∠BDE ∴△ABC 是等边三角形 8.∠BAC=120°9.证明:∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°(已知)∴∠A +∠B=90°(直角三角形两锐角互余) ∴∠B= 90°-∠A= 90°-30°=60° ∵△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°(已知) ∴BC=(在直角三角形中,一个锐角等于30,那么它所对的直角边等于斜边的一半)∴△BDC 是等边三角形(有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形)。

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【知识点回顾】轴对称:一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就 说这两个图形关于这条直线对称。

这条直线叫作对称轴,两个图形中的对应 点叫做对称点。

轴对称的性质:1、关于轴对称的图形全等。

2、如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线的判定:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形的性质定理:等腰三角形有两边相等;定理:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)。

推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说,等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2:等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°。

等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形;等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写 成“等角对等边”。

)推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2:有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等 于斜边的一半 【典型例题】例1. 如图,ABC ∆中,ο100=∠=A AC AB ,,BD 平分ABC ∠。

求证:B C B D AD =+。

分析:从要证明的结论出发,在BC 上截取B D B F =,只需证明AD CF =,考虑到21∠=∠,想到在BC 上截取B A B E =,连结DE ,易得,则有FD A D =,只需证明CF DE =,这就要从条件出发,通过角度计算可以得出DE DF CF ==。

证明:在BC 上截取B D B F B A B E ==,,连结DE 、DF 在AB D ∆和EB D ∆中,B D B D 21B E B A =∠=∠=,,οο80DEF 100A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴∆≅∆∴,又οΘ100A AC AB =∠=, οοο40)100180(21C ABC =-=∠=∠∴ οο20402121=⨯=∠=∠∴ 而B F B D = οοοο80)20180(21)2180(21BDF BFD =-=∠-=∠=∠∴ AD BD FC BF BC FC DF DE AD FC DF C FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DFDE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴οοοοοο,即B C B D AD =+ 【随堂作业】1、下列图形中,不是轴对称图形的是 ( )A .有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45°直角三角形C. 有一个内角是30°的直角三角形D. 有两个角分别是30°和120°的三角形 2、下列说法中正确的是 ( )① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 ② 角是轴对称图形 ③线段不是轴对称图形 ④ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等A.①②③④B.①②③C.②④D.②③④ 3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示 实际时间是 ( ) A .21:10 B. 10:21 C. 10:51 D. 12:014、下列推理中,错误的是 ( )A .∵∠A =∠B =∠C , ∴△ABC 是等边三角形 B .∵AB =AC ,且∠B =∠C , ∴△ABC 是等边三角形 C .∵∠A =60°,∠B =60°,∴△ABC 是等边三角形D .∵AB =AC ,∠B =60°,∴△ABC 是等边三角形5、等腰三角形两边的长分别为2cm 和5cm ,则这个三角形的周长是 ( ) A .9cm B .12cm C .9cm 和12cm D .在9cm 与12cm 之间6、若等腰三角形的一个外角为130°,则它的底角为________ .7、如图,ABC ∆是等边三角形,BC BD 90CBD ==∠,ο,则1∠的度数是________CA 1DB2 38、如图,在等腰三角形中,,点是底边上一个动点,分别是的中点,若的最小值为2,则的周长是()A.B.C.D .9、在等边三角形ABC 中,CD 是∠ACB 的平分线,过D 作DE ∥BC 交AC 于E ,若 △ABC 的边长为a ,则△ADE 的周长为 ( )A .2aB .a 34C .1.5aD .a10、如图,在中,,,点为的中点,于点,则等于( C ) A.B.C.D.11、如图7—111,在Rt△ABC中,B为直角,DE是AC的垂直平分线,E在BC上,∠BAE:∠BAC=1:5,则∠C=_________.12、如图7—112,∠BAC =30°,AM 是∠BAC 的平分线,过M 作ME ∥BA 交AC 于 E ,作MD ⊥BA ,垂足为D ,ME =10cm ,则MD =_________.13、已知:如图7—120,等腰直角三角形ABC 中,∠A =90°,D 为BC 中点,E 、 F 分别为AB 、AC 上的点,且满足EA =CF .求证:DE =DF .14、已知:如图△ABC 中,AB=AC ,AD 和BE 是高,它们交于点H ,且AE=BE ,求证:AH=2BD .【课后作业】1、如图:等边三角形ABC 中,BD =CE ,AD 与BE 相交于点P ,则 ∠APE 的度数是 ( ) A .45° B .55° C .60° D .75°2、等腰三角形底边长为5cm ,一腰上的中线把其周长分为两 部分的差为3cm ,则腰长为( ) A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或8cm D. 以上都不对3、如图,△ABC 中,AB =AC ,∠A =36°,BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线,且相交于点F ,则图中的等腰三角形有( ) A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个P A ECBD H EDC B AA 36° E DFBC4、如图, ∠MPN =25°, 又PA =AB =BC =CD, 则∠DCM =_______度。

5、 已知:在△ABC 中,∠A=20°,D 为AB 上一点,AD=DC,且 ∠ACD ∶∠BCD=2∶3,则 ∠ABC=_______.6、等边△ABC 中,点P 在△ABC 内,点Q 在△ABC 外,且∠ABP=∠ACQ ,BP=CQ ,问△APQ 是什么形状的三角形?试说明你的结论.7、已知:如图,AD 平分∠BAC ,EF 垂直平分AD 交BC 延长线于F ,连结AF . 求证: ∠B=∠CAF.8、 如图,△ABC 中,∠ABC=2∠C ,AD 是BC 边上的高,B 到点E ,使BE=BD 求证:AF=FCA CBPQAB DFC一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列图案中是轴对称图形的是( )2.以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是( )3.到三角形的三个顶点距离相等的点是()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点4.已知点P在线段AB的中垂线上,点Q在线段AB的中垂线外,则()A.PA+PB>QA+QB B.PA+PB<QA+QB C.PA+PB=QA+QB D.不能确定5.等腰三角形的一个外角等于100°,则与它不相邻的两个内角的度数分别为()A.40°,40°B.80°,20°C.50°,50°D.50°,50°或80°,20°6.下列说法:①等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;②等腰三角形的两腰上的中线长相等;③等腰三角形的腰一定大于其腰上的高;④等腰三角形的一边长为8,一边长为16,那么它的周长是32或40.其中不正确的个数是() A.1B.2C.3D.47.在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,若∠BDC=75°,则∠A的度数为()A.30°B.40°C.45°D.60°8.在等腰三角形ABC中,AB=AC,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为()A.7B.11C.7或11D.7或109.如图,在△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°,则∠B的度数是( )A.40°B.35°C.25°D.20°10.如图,直线l是一条河,P,Q两地相距8km,P,Q两地到l的距离分别为2km,5km,欲在l上的某点M处修建一个水泵站,向P,Q两地供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则铺设的管道最短的是( )二、填空题(每小题3分,共24分)11.粗圆体的汉字“口”“天”等都是轴对称图形,请再写出至少三个以上这样的汉字_______.12.如图,△ABC中,DE垂直平分AC,与AC交于点E,与BC交于点D,∠C=15°,∠BAD =60°,则△ABC是_______三角形.13.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20°,则其顶角的大小为_______.14.如图,已知△ABC中,AB=AC,AB边上的垂直平分线DE交AC于点E,D为垂足,若∠ABE:∠EBC=2:1,则∠A=_______.15.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,角平分线BE与CD相交于点F,如果不添加其他线和字母,那么图中等腰三角形有_______个.16.如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=60°,BC=4,把△ADC沿直线AD折叠后,点C落在C'的位置上,那么BC'的长为_______.17.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,点E是AD的任一点,若△ABC的面积为12cm,则图中阴影部分的面积是_______cm.18.△ABC是等边三角形,点D是BC边上的任意一点,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,BN ⊥AC于点N,则DE,DF,BN三者的数量关系为_______.三、解答题(共46分)19.(6分)(2013.盐城)如图①是3x3正方形方格,将其中两个方格涂黑,并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形,约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案,例如图②中的四幅图就视为同一种图案,则得到的不同图案共有几种?20.(6分)已知:如图,△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形,且BE=AD,△CDE是等边三角形.求证:△ABC是等边三角形.答案:考点精练1.82.5 2.30a 3.220 4.105°5.368 6.7秒或25秒 7.(2,38.10° 9.D 10.B 11.B 12.B13.7cm或11cm14.关系:DE=DB,∵CD=CE,∴∠E=∠EDC,又∵∠ACB=60°,∴∠E=30°,又∵∠DBC=30°,∴∠E=∠DBC,•∴DB=DE15.(1)①③或②③(2)已知①②求证△ABC是等腰三角形.证:先证△EBO≌△DCO.得OB=OC,得∠DBC=∠ECB.∴∠ABC=∠ACB.即△ABC是等腰三角形16.(1)△DEF是等边三角形,提示证△ADF≌△BED≌△CFE.即得△DEF是等边三角形(2)AD=BE=CF成立.证略.【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB,BD 与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?若∠1=13∠ABC,∠2=13∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?若∠1=1n∠ABC,∠2=1n∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中,根据等腰三角形的性质,∠1=∠2,∠ABD=∠ACE,即可得到∠1=12∠ABC,∠2=12∠ACB时,∠BOC=90°+12∠A;∠1=13∠ABC,∠2=13∠ACB时,∠BOC=120°+13∠A;∠1=1n∠ABC,∠2=1n∠ACB时,∠BOC=1nn·180°+∠A.【点评】在例1图中,若AE=1nAB,AD=1nAC.类似上题方法同样可证得BD=CE.•上述规律仍然存在.会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.【分析】要分AB+AD=15,CD+BC=6和AB+AD=6,CD+BC=15两种情况讨论.利用等腰三角形的性质证线段相等例3.(2006年常德市)如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,•以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.(2)若PA:PB:PC=3:4:5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.【分析】(1)把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△CBQ.•利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ,得到AP=CQ.(2)连接PQ,则△PBQ是等边三角形.PQ=PB,AP=CQ故CQ:PQ:PC=PA:PB:PC=3:4:5,∴△PQC是直角三角形.【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明.【考点精练】一、基础训练1.如图1,在△ABC中,AB=AC,∠A=50°,BD为∠ABC的平分线,则∠BDC=_____°.(1)(2)(3)2.如图2,是由9个等边三角形拼成的六边形,•若已知中间的小等边三角形的边长是a,则六边形的周长是_______.3.如图3,一个顶角为40°的等腰三角形纸片,剪去顶角后,得到一个四边形,则∠1+∠2=________度.4.(2006年烟台市)如图4,在等腰直角△ABC中,∠B=90°,将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′,则∠BAC′等于________.(4)(5)(6)5.(2006年包头市)如图5,沿AC方向开山修渠,为了加快施工进度,•要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=135°,BD=520米,∠D=45°,如果要使A、C、E成一直线,那么开挖点E离D的距离约为_______米(精确到1米).6.(2006年诸暨市)等腰△ABC的底边BC=8cm,腰长AB=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动,当点P运动到PA与腰垂直的位置时,点P•运动的时间应为________.7.如图6,等边△ABC,B点在坐标原点,C点的坐标为(4,0),点A关于x轴对称点A•′的坐标为_______.(2006年江阴市)如图7,在△ABC中,AB=AC,∠BAD=20•°,且AE=•AD,则∠CDE=________.8.(7)(8)(9)9.(2005年常州市)如图8,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=44°,CD⊥AB于D,则∠DCB等于()A.44° B.68° C.46° D.22°10.(2006年海南省)如图9,要在离地面5m处引拉线固定电线杆,•使拉线和地面成60°角,若考虑既要符合设计要求,又要节省材料,则在库存的L1=5.2m,L2=6.2m,L3=7.8m,L4=10m的四种备用拉线材料中,拉线AC最好选用()A.L1 B.L2 C.L3 D.L411.(2006年日照市)如图10,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD.•则∠A等于()A.30° B.36° C.45° D.72°(10)(11)12.(2006年怀化市)同学们都玩过跷跷板的游戏.如图11所示,•是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠OAC=25°,•则当跷跷板的另一头B着地时,∠AOA′等于()A.25° B.50° C.60° D.130°二、能力提升13.如图,已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分,求它的底边长.14.已知如图△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长BC到E使CE=CD.• 试判断DB与DE之间的大小关系,并说明理由.15.(2006年扬州市)如图,△ABC中,D、E分别是AC、AB上的点,BD与CE交于点O,•给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD.(1)上述三个条件中,哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形(用序号写出所有情形);(2)选择第(1)小题中的一种情况,证明△ABC是等腰三角形.三、应用与探究16.(2005年江西省)如图,△ABC是等边三角形,点D、E、F分别是线段AB、BC、•CA 上的点.(1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论.(2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论.实用文档。

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