河南省中考数学专题复习 专题五 解直角三角形的实际应用训练
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专题五解直角三角形的实际应用
类型一母子型
(2015·河南)如图所示,某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度,他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°,朝大树方向下坡走6米到达坡底A处,在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE=30°,求大树的高度.(结果保留整数.参考数据:sin 48°≈0.74,cos 48°≈0.67,tan 48°≈1.11,3≈1.73)
例1题图
【分析】根据所求构造直角三角形,在直角三角形中,利用锐角三角函数的性质求解问题即可.
【自主解答】如解图,延长BD交AE于点G,过点D作DH⊥AE于点H.
例1题解图
∵由题意,得∠DAE=∠BGH=30°,DA=6,
∴GD=DA=6,
∴GH=AH=DA·cos 30°=33,∴GA=6 3.
设BC=x米,在Rt△GBC中,GC=
BC
tan∠BGC
=3x.
在Rt△ABC中,AC=
BC
tan∠BAC
=
x
tan 48°
.
∵GC-AC=GA,∴3x-x
tan 48°
=63,
解得x≈13.即大树的高度约为13米.
1.(2018·泰州)日照间距系数反映了房屋日照情况.如图①,当前后房屋都朝向正南时,日照间距系数=L∶(H-H1),其中L为楼间水平距离,H为南侧楼房高度,H1为北侧楼房底层窗台至地面高度.
如图②,山坡EF朝北,EF长为15 m,坡度为i=1∶0.75,山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB,底部A到E点的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH;
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD,已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m,要使该楼的日照间距系数不低于1.25,底部C距F处至少多远?
图①
图②
2.(2018·商丘模拟)如图,兰兰站在河岸上的G点,看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来,此时,测得小船C的俯角是∠FDC=30°,若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米,BG=1米,BG平行于AC所在的直线,迎水坡的坡度i=4∶3,坡高BE=8米,求小船C到岸边的距离CA的长?(参考数据:3≈1.7,结果保留一位小数)
3.如图,某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明,启智求真”的宣传牌CD、小明在山坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D的仰角为60°,沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°.已知山坡AB 的坡度i=1∶3,AB=10米,AE=15米,求这块宣传牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计,结果精确到0.1米.参考数据:2≈1.414,3≈1.732)
4.(2018·新乡一模)如图,为探测某座山的高度AB,某飞机在空中C处测得山顶A处的俯角为31°,此时飞机的飞行高度为CH=4千米;保持飞行高度与方向不变,继续向前飞行2千米到达D处,测得山顶A 处的俯角为50°.求此山的高度AB.(参考数据:tan 30°≈0.6,tan 50°≈1.2)
5.(2018·烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速,如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时,数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l 外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin 35°≈0.57,cos 35°≈0.82,tan 35°≈0.70,sin 71°≈0.95,cos 71°≈0.33,tan 71°≈2.90)
6.(2018·河南说明与检测)如图,在电线杆CD上的C处引拉线CE,CF固定电线杆,拉线CE和地面所成的角∠CED=60°,在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,求拉线CE的长.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73.结果保留一位小数.)
7.(2018·河南说明与检测)某数学兴趣小组在学习《锐角三角函数》以后,开展测量物体高度的实践活动,他们在河边的一点A处测得河对岸小山顶上一座铁塔的塔顶C的仰角为66°、塔底B的仰角为60°,已知铁塔的高度BC为20 m(如图),你能根据以上数据求出小山的高BD吗?
8.(2018·河南说明与检测)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电
底座地基台面接触点分别为D、F,CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.两个底座地基高度相同(即点D、F到地面的垂直距离相同),均为30 cm,点A到地面的垂直距离为50 cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米.(结果保留根号)
9.(2018·遵义)如图,吊车在水平地面上吊起货物时,吊绳BC与地面保持垂直,吊臂AB与水平线的夹角为64°,吊臂底部A距地面1.5 m.(计算结果精确到0.1 m,参考数据sin 64°≈0.90,cos 64°≈0.44,tan 64°≈2.05)
(1)当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5 m时,吊臂AB的长为____________m;
(2)如果该吊车吊臂的最大长度AD为20 m,那么从地面上吊起货物的最大高度是多少?(吊钩的长度与货物的高度忽略不计)
类型二背靠背型
(2018·河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.
如图所示,底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角∠CAE为82.4°,高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1 cm,参考数据sin 82.4°≈0.991,cos 82.4°≈0.132,tan 82.4°≈7.500,sin 80.3°≈0.983,cos 80.3°≈0.168,tan 80.3°≈5.850)
例2题图