2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高二上学期数学期中试卷带解析(理科)

2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数学试卷

（理科）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则（）

A．￢p：存在x0∈R，使cosx0≥1 B．￢p：存在x∈R，使cosx≥1

C．￢p：存在x0∈R，使cosx0＞1 D．￢p：存在x∈R，使cosx＞1

2．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2﹣垂直，则k 的值为（）

A．B．1 C．D．

3．（5分）下列命题为真命题的是（）

A．椭圆的离心率大于1

B．双曲线﹣=﹣1的焦点在x轴上

C．∃x∈R，sinx+cosx=

D．∀a，b∈R，≥

4．（5分）满足线性约束条件的目标函数x+3y的最大值是（）A．B．C．4 D．3

5．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（）

A．10海里B．10海里C．20海里D．20海里

6．（5分）设x、y是满足2x+y=20的正数，则lgx+lgy的最大值是（）A．50 B．2 C．1+lg5 D．1

7．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7=（）A．21 B．42 C．63 D．84

8．（5分）棱长均为3三棱锥S﹣ABC，若空间一点P满足

（x+y+z=1）则的最小值为（）

A．B．C．D．1

9．（5分）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（）

A．3 B．6 C．9 D．12

10．（5分）设等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n，T n，若对于任意的正整数n都有=，则+=（）

A．B．C．D．

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上）

11．（5分）若过点P（5，﹣2）的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为．

12．（5分）如图，已知B、C是二面角α﹣l﹣β棱上两点AB⊂α，AB⊥l，CD⊂β，

CD⊥l，AB=BC=1，CD=，AD=2，则二面角α﹣l﹣β的大小是．

13．（5分）已知公差不为零的等差数列{a n}的第2项、第5项、第14项构成一个等比数列，则这个等比数列的公比是．

14．（5分）命题“∃k∈R，使直线y=kx+1与椭圆+=1（b＞0）无公共点”为

假命题，则实数b的取值范围是．

15．（5分）已知实数x，y满足x2+y2≤1，则

（1）（x+2）2+（y﹣2）2的最小值是；

（2）|2x+y﹣4|+|6﹣x﹣3y|的最大值是．

三．解答题（本大题共六个小题，共75分）

16．（12分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

（2）若a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且asinA+bsinB ﹣csinC=asinB

（1）确定∠C的大小；

（2）若c=，△ABC的面积为，求a+b的值．

18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；

（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．

19．（13分）已知数列{a n}和{b n}满足a1=2，b1=1，a n+1=2a n（n∈N*），b1+b2+b3+…+b n=b n+1﹣1（n∈N*）

（Ⅰ）求a n与b n；

（Ⅱ）记数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．

20．（13分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与CA长度的平方成反比，比例系数为4，对城B的影响度与CB长度的平方成反比，比例系数为K．设CA=xkm，垃圾处理厂对城A和城B的影响度之和记为总影响度y；当C为弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．

（1）将y表示成x的函数；

（2）当x为多少时，垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？

21．（13分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且点（，）在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆E：=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m 交椭圆E与A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求△ABQ面积的最大值．

2015-2016学年湖南省益阳市桃江一中高二（上）期中数

学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，则（）

A．￢p：存在x0∈R，使cosx0≥1 B．￢p：存在x∈R，使cosx≥1

C．￢p：存在x0∈R，使cosx0＞1 D．￢p：存在x∈R，使cosx＞1

【解答】解：∵已知命题p：对任意x∈R，有cosx≤1，

∴￢p：存在x0∈R，使cosx0＞1，

故选：C．

2．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且k+与2﹣垂直，则k 的值为（）

A．B．1 C．D．

【解答】解：∵已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴k+=（k﹣1，k，2），2﹣=（3，2，﹣2），

∵k+与2﹣垂直，∴（k+）•（2﹣）=3（k﹣1）+2k+2×（﹣2）=0，

解得k=，

故选：D．

3．（5分）下列命题为真命题的是（）

A．椭圆的离心率大于1

B．双曲线﹣=﹣1的焦点在x轴上