圆中图形变化(圆与正方形的关系)
圆 解决问题(外方内圆、外圆内方)
解决问题——例3教学内容人教版小学数学教材六年级上册第69-70页内容及相关练习教学目标1. 在解决问题的过程中会叙说并归纳求阴影部分面积的多种方法及能巧妙的选择合适的方法解决问题。
2.在解决问题的过程中渗透转化的数学思想,培养数学的应用意识,提高运用所学知识解决生活中实际问题的能力。
3.在运用数学知识解决问题的过程中认识数学的价值,养成乐于思考勇于质疑的习惯。
教学重点掌握求阴影部分面积的计算方法。
教学难点理解计算求阴影部分面积的多种方法及选择合适方法的技巧。
教学过程：一、情境引入师：在我们的生活中处处都有方与圆，亲爱的同学们你留意过吗？让我们一起通过一段小视频来看一看吧！用小微课为学生介绍方与圆的历史——天圆地方。
（在古代，人们的活动范围狭小，往往凭自己的直觉认识世界，认为大地是“方”的，天空是“圆”的，认为大地承载天空，虽然这种说法现在来看是错误的，但其本意是天圆地方，天地合一，再加上人，就是“泰”，美好的意思，这种思想对中国建筑产生了深远的影响，所以很多建筑上都有方与圆。
比如，天坛，北圆南方的坛墙寓意着传统的“天圆”。
赣南客家大观园整体设计外方内圆，现代的鸟巢和水立方——方圆辉映。
以及常见的精美的雕窗。
这些都是方与圆的结合，寓意着“天地合一”）师：视频我们看完了，画面定格在了这扇具有中国特色的雕窗上，请同学们欣赏这扇雕窗，你能找那些基本几何图形？生：正方形、圆师：方与圆是数学中最常见的几何图形，很多数学问题都涉及方与圆。
今天我们就一起来学习常见的方圆问题。
（板书：解决问题）二、新知探索1.认识外方内圆师：这个组合图形中，正方形和圆的位置关系是什么？生：外面是正方形，里面是圆，圆是正方形内的最大圆师：你说的清楚流畅。
我们把像这样的组合图形叫外方内圆。
师：你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？要解决这个问题，你需要什么条件？生：正方形边长或者圆的半径（适时发问：有不同意见吗？直到有学生说有正方形边长或者已知圆的半径即可）师：只知道半径就行了，为什么？生：圆的正方形内的最大圆。
六年级下册：圆与正方形的关系(方中圆)题型分类(教师版带答案)
无规矩不成方圆——圆与正方形的关系一、方与圆经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？①正方形面积：4r²②圆的面积：πr²③比：4：π练习：1、如上图，正方形面积为40平方米，那么圆的面积为多少平方米？（用π表示）①r=20②圆的面积：400π2、如上图，圆的面积为16π平方米，那么正方形面积为多少？①R=4②正方形面积：64二、圆中方经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？比：2：π练习：1、已知正方形的面积36平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（用π表示）18π2、已知圆的面积16π平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？32平方厘米往年真题11、在一张面积是100平方厘米的正方形纸上，画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？①R=5 ②25π2、已知右图中正方形的面积是6平方厘米，图中圆的面积是多少平方厘米？①r²=6②圆的面积：6π3、已知正方形的面积20平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？10π或者31.44、从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积是多少平方厘米？①r=4②16π5、已知正方形的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？2.5π或者7.85圆的直径=边长6、图中等腰直角三角形的面积是25平方厘米，圆面积是多少平方厘米？①r²=25②25π7、用周长4分米的正方形纸片，剪成一个面积最大的圆，这个圆的周长是多少分米？①d=1 ②3.14分米三、方中圆中方经典例题已知：圆的半径是r ，求大方、圆与小方的面积比？大方边长：2r 面积：4r ²圆：πr ²小方：2r ²比：4：π：2练习：1、如上图，已知大正方形的面积为12，那么小正方形的面积为多少？（用π表示）62、如上图，已知小正方形的面积为12，那么大正方形的面积为多少？24四、圆中方中圆经典例题已知：大圆的半径是r ，求大圆、方与小圆的面积比？大圆：πr ²方：2r ²小圆：2r 2π 面积比：2π：4: π1、如上图，已知小圆的面积为8，那么大圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？16π322、如上图，已知大圆的面积为8，那么小圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？ 4π16往年真题21、如图，已知小圆的面积为30，那么大圆的面积为多少？602、如图，若圆中方面积为30平方厘米，则大圆与小圆的面积之和是多少平方厘米？大圆：15π小圆：7.5π面积之和：22.5π3、如图，最大圆的面积是16平方米，那最小圆的面积是多少平方米？（π取近似值3）44、下图中，正方形是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是200平方米，草坪的面积是多少平方米？150π奥数拔高1、求下列各图中阴影部分的面积。
20.六、圆3、圆的面积
图中正方形的边长与圆的半径相等，要求用数方格的 方法算出圆的面积。 2.明确圆的面积的意义
圆所占平面的大小叫作圆的面积。
下图是以正方形的边长为半径画出的一个圆，你能用数 方格（每小格表示1平方厘米）的方法算出圆的面积吗？
分析： 3.用数方格的方法算归纳总结：圆面积是它半径平方的3倍多一些。
知识点二 圆的面积公式
把一个圆按16等份剪开，再拼一拼，看看能拼成什么图形。如 果把圆平均分成32份、64份……拼成的图形会有什么变化？拼 成的长方形与原来的圆有什么关系？
分析： 1.操作演示
先把圆平均分成16份、32份、64份……再拼成学过的 图形。如下图所示：
平均分成16份：
近似平行四边形
把一个圆按16等份剪开，再拼一拼，看看能拼成什么图形。如果 把圆平均分成32份、64份……拼成的图形会有什么变化？拼成的 长方形与原来的圆有什么关系？ 平均分成32份：
近似长方形
把一个圆按16等份剪开，再拼一拼，看看能拼成什么图形。如果 把圆平均分成32份、64份……拼成的图形会有什么变化？拼成的 长方形与原来的圆有什么关系？ 平均分成64份：
更接近长方形
发现：平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。
… … …
把一个圆按16等份剪开，再拼一拼，看看能拼成什么图形。如果 把圆平均分成32份、64份……拼成的图形会有什么变化？拼成的 长方形与原来的圆有什么关系？
2.推导圆的面积公式 （1）比较圆与拼成的图形的面积。
把圆拼成近似的长方形，只是形状改变了，图形的大小并没有 发生变化，因此圆的面积=拼成的近似长方形的面积。 （2）拼成的近似长方形的长和宽与圆的周长和半径之间的关系。
= C 4 4r 2 16
小学数学六年级《圆的面积—外方内圆外圆内方》教学设计8
九年义务教育人教版六年级数学上册第五单元生活中的圆——外方内圆教学设计单元教材简析一、单元教材内容说明:本单元主要内容有：圆的认识、圆的周长、圆的面积和扇形。
教材是在学生掌握了直线图形的周长和面积计算，并且对圆已有初步认识的基础上进行教学的。
从学习直线图形到学习曲线图形，不论是内容本身，还是研究问题的方法，都有所变化，教材通过对圆的研究，使学生初步认识研究曲线图形的基本方法，同时，也渗透了曲线图形与直线图形的内在联系。
教材先安排了圆的认识，通过认识圆心、半径和直径以及半径、直径长度间的关系等，使学生认识圆的基本特征。
在此基础上，使学生掌握用圆规画圆的方法，进一步加深对圆的认识。
教材还联系以前学过的轴对称图形和对称轴，说明圆是轴对称图形，且有无数条对称轴。
直径即对称轴。
圆的周长和面积计算公式的教学，教材在编排上加强了启发性和探索性，注重让学生动手操作，使学生在实践活动中通过交流、思考来探究圆的周长和面积计算方法，逐步导出和掌握计算公式。
对于圆的周长，教材是先让学生通过用线绕一绕，把圆放在直尺上滚一滚等方法来测量，然后再引导学生通过填表格，运用不完全归纳法来探寻周长与直径的比值的规律，从而引出圆周率的概念，利用圆周率知识的学习，知道祖冲之，渗透爱国主义教育。
编排圆的面积时，教材启发学生寻找解决问题的思路和方法，回忆以前用过的转化方法，从而把圆的面积转化为熟悉的直线图形的面积来计算。
二、三、学情分析:在之前的学习中，学生已经学习过长方形、正方形等平面图形以及它们的周长、面积计算，也直观的认识过圆。
在此基础上，本单元开始正式学习圆的有关知识，这也是小学阶段的最后一个认识平面图形的单元。
长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等都是直线图形，而圆是曲线图形。
从研究直线图形到研究曲线图形，对学生而言是一种跨越。
因为研究曲线图形的思想、方法与直线图形相比，是有变化和提升的。
因此，通过对圆的研究，学生不仅需要掌握圆的一些基础知识，还不要通过学习，感受“化曲为直”“等积变形”“极限”等数学思想方法，进一步发展数学思维能力和问题解决的能力。
六年级下册：圆与正方形的关系(方中圆)题型分类(教师版带答案)
无规矩不成方圆——圆与正方形的关系一、方与圆经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？①正方形面积：4r²②圆的面积：πr²③比：4：π练习：1、如上图，正方形面积为40平方米，那么圆的面积为多少平方米？（用π表示）①r=20②圆的面积：400π2、如上图，圆的面积为16π平方米，那么正方形面积为多少？①R=4②正方形面积：64二、圆中方经典例题已知：圆的半径是r，求正方形与圆的面积比？比：2：π练习：1、已知正方形的面积36平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？（用π表示）18π2、已知圆的面积16π平方厘米，正方形的面积是多少平方厘米？32平方厘米往年真题11、在一张面积是100平方厘米的正方形纸上，画一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方厘米？①R=5 ②25π2、已知右图中正方形的面积是6平方厘米，图中圆的面积是多少平方厘米？①r²=6②圆的面积：6π3、已知正方形的面积20平方厘米，圆的面积是多少平方厘米？10π或者31.44、从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸，剪出一个最大的圆形，圆形的面积是多少平方厘米？①r=4②16π5、已知正方形的面积是20平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？2.5π或者7.85圆的直径=边长6、图中等腰直角三角形的面积是25平方厘米，圆面积是多少平方厘米？①r²=25②25π7、用周长4分米的正方形纸片，剪成一个面积最大的圆，这个圆的周长是多少分米？①d=1 ②3.14分米三、方中圆中方经典例题已知：圆的半径是r ，求大方、圆与小方的面积比？大方边长：2r 面积：4r ²圆：πr ²小方：2r ²比：4：π：2练习：1、如上图，已知大正方形的面积为12，那么小正方形的面积为多少？（用π表示）62、如上图，已知小正方形的面积为12，那么大正方形的面积为多少？24四、圆中方中圆经典例题已知：大圆的半径是r ，求大圆、方与小圆的面积比？大圆：πr ²方：2r ² 小圆：2r 2π 面积比：2π：4: π1、如上图，已知小圆的面积为8，那么大圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？16π322、如上图，已知大圆的面积为8，那么小圆的面积为多少？正方形的面积是多少（用π表示）？ 4π16往年真题21、如图，已知小圆的面积为30，那么大圆的面积为多少？602、如图，若圆中方面积为30平方厘米，则大圆与小圆的面积之和是多少平方厘米？大圆：15π小圆：7.5π面积之和：22.5π3、如图，最大圆的面积是16平方米，那最小圆的面积是多少平方米？（π取近似值3）44、下图中，正方形是一个水池，其余部分是草坪，已知正方形水池的面积是200平方米，草坪的面积是多少平方米？150π奥数拔高1、求下列各图中阴影部分的面积。
圆形和正方形的关系
圆形和正方形的关系《园林中的圆与方》圆形和正方形是几何学中两个重要的基本形状，它们在自然界和人类活动中无处不在。
圆形和正方形具有各自独特的特点和功能，同时它们之间也存在着一些共同之处和相互关系。
圆形是一种完美的形状，它有一个中心点，到中心点距离相等的各个点形成圆周。
圆形有无限多个直径，而直径的两个端点又是圆周上的两个点。
正方形则是一个有四条相等边和四个直角的四边形。
正方形的四条边相等且相互垂直，对角线相等且相互垂直。
圆形和正方形都有一定的自对称性，即它们可以绕自身中心点旋转180度而不改变形状。
尽管圆形和正方形在形状上有所不同，但它们在许多方面具有相似的特点。
首先，它们都是规则图形，易于构造和绘制。
其次，圆形和正方形都可以用来进行面积和周长的计算，是计算几何中重要的基本形状。
第三，圆形和正方形在设计领域中被广泛应用。
圆形常常被用于设计艺术品或建筑物的外形，给人一种柔和、中庸的感觉。
而正方形则常常被用于建筑物的构造或家具的设计，给人一种稳定、坚固的感觉。
此外，圆形和正方形还可以相互衍生、共同出现，形成更为丰富的几何结构和装饰效果。
在园林设计中，圆形和正方形常常结合在一起，相互交错。
圆形的花坛、喷泉常常被安置在方形的园子或广场之间，形成了一种既有对比又有和谐的景观效果。
圆形和正方形的结合，既展示了自然与人文的和谐之美，又凸显了园林设计的独特韵味。
总之，圆形和正方形是几何学中重要的基本形状。
它们有各自独特的特点和功能，同时又具有一些相似之处。
在自然界和园林设计中，圆形和正方形经常相互出现，共同构建了美丽而富有韵味的景观。
以圆与方的关系为灵感，我们可以在日常生活中更加关注和欣赏这两种形状所呈现出的美妙之处。
青岛版六年级数学上册第五单元 完美的图形——圆 知识点
五完美的图形——圆一、圆的定义感知圆的特征:以前学过长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形等,都是由线段围成的平面图形,而圆是由曲线围成的一种平面图形。
二、圆的各部分名称1.圆心:用圆规画出圆以后,针尖固定的一点就是圆心,通常用字母O表示。
2.半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫作半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开,两脚之间的距离就是圆的半径。
3.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
三、圆的主要特征1.在同圆或等圆内,有无数条半径,有无数条直径。
所有的半径都相等,所有的直径都相等。
2.在同圆或等圆内,直径的长度是半径圆与其他平面图形不同的,圆是曲线图形,其他图形是线段图形。
直径和半径的关系只能在同圆和等圆中。
用字母表示:d=2r不能说直径是圆的对称轴。
因为对称轴是一条直线。
3.14×49=153.863.14×64=200.96 3.14×81=254.34六、圆的面积公式把圆拼成近似的长方形,只是形状改变了,图形的大小并没有发生变化,因此圆的面积=拼成的近似长方形的面积。
圆的面积推导:圆可以切拼成近似的长方形,长方形的面积与圆的面积相等(即S长方形=S圆);长方形的宽是圆的半径(即b=r);长方形的长是圆周长的一半(即a=C÷2=πr)。
S长方形=a×bS圆=πr×r=πr2所以,S圆=πr2。
七、圆环的意义及面积的计算1.圆环的意义:以同一点为圆心,半径不相等的两个圆组成的图形,两圆之间的部分就是圆环。
2.圆环中半径较大的圆叫作外圆,半径较小的圆叫作内圆。
外圆半径与内圆半径的差叫作环宽,两圆中间的部分的大小叫作圆环的面积。
3.外圆的半径=内圆半径+1个环宽;外圆的直径=内圆直径+2个环宽。
4.求圆环的面积一般是用外圆的面积减去内圆的面积,还可以利用乘法分配律进行简便计算。
S圆环=S外圆-S内圆=πR2-πr2=π(R2-r2)。
有趣的圆与长正方形的关系(课堂PPT)
=48 ( dm2 )
=37.68（dm2） 12
这节课你有什么收获？
• 1、知道了： • 圆与它转换的长方形有：
• 圆与它外接的正方形有： • 圆与它内接的正方形有：
13
① 3、红线 与蓝线谁 长？
A2 4
②
6B
① 1 π×(2+4+6) = 6π 乘法分配律
2
②
1 π×2
2
+
1 2
π×4
+
1 2
4 8cm
正方形面积=对角线×对角线÷2
6
1、一个圆的周长是12.56cm，在这个圆里画一
个最大的正方形，正方形的面积是（ 8 平方厘米 ） 圆的直径就是正方形的（对角线）
d= C ÷
≈12.56÷3.14 =4（cm）
4×4÷2=8（cm2）
解决问题的方法：
利用圆的直径与正方形对角线相等的 关系。
11
3、正方形面积是12dm2，求圆的面积。
想一想：正方形的边长就是圆的（半径）
正方形的面积就是（ r2 ）
方法一：
r2 r2 or
r2 r r2
r2 = a×a=12平方分米
So= r 2
≈3.14×12
方法二：
S大正=4
=r327.68（dm2）So=S正×
4
=4×12
=≈34.81×4×14 2
7
2、 圆的外接
圆的内接
正方形ABCD的面积= 4 r 2
圆的面积= r 2
正方形EFGH的面积= 2 r 2
A EB
r2 r2
H
F
r2 r2
DGC
（1）推一推：圆的面积是内接正方形面积的 2
圆的面积 (3)
【本讲教育信息】一. 教学内容：圆的面积环形面积的计算二. 教学重点和教学难点：圆的面积教学重点：1、利用分割、拼摆将图形转化成已学过的图形的思路，推导出圆面积公式，并且会用面积公式解题。
2、渗透极限思想，并培养学生动手操作的能力和逻辑判断推理的能力。
3、进行初步的辨证唯物主义观点的启蒙教育。
教学难点：1、利用转化思想推导公式。
2、推导后公式的化简。
环形面积教学重点：1、运用教具的演示和学生的操作，使学生了解圆环的形成，掌握环形面积的计算方法。
2、理解环的意义以及环宽与内外半径的关系。
3、培养学生思维的灵活性和深刻性。
教学难点：环形的认识和面积计算。
根据不同的条件解决环形面积。
三. 知识简要介绍：圆面积的研究方法同我们以前学习过的图形的面积研究方法相同，都是把新的图形通过割补拼接成原有的图形，在通过找新旧图形之间的关系时，找到计算的方法，这种方法是数学研究中经常用到的一种方法。
圆的面积＝半径×半径×圆周率（S＝πr2）圆环的面积＝外圆面积－小圆面积S＝π（R2 －r2）圆环面积的计算要注意的是条件的变换，可以用图形的形式把题目中的条件标出，帮助进行理解。
研究了圆的面积与周长的计算之后，要注意对这两个概念进行区分，可以从以下的几点区分：（1）圆的面积是指圆所围平面部分的大小，而圆的周长是指圆一周的长度。
（2）求圆面积的公式是S＝πr2，求圆周长的公式是C＝πd或C＝2πr。
（3）计算圆的面积用面积单位，计算圆的周长用长度单位。
［知识教学］一、圆的面积（一）复习引入1、思考：以前我们研究过哪些平面图形的面积？长方形的面积＝长×宽 平行四边形的面积＝底×高三角形的面积＝底×高÷2 梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2 2、以前研究用到的方法 通过分割、拼摆可以把一个新的图形转化成以前学过的图形，然后根据两个图形条件之间的联系，推导出新图形的面积。
新人教版(新插图)六年级上册数学 第6 课时 用百分数知识解决有关变化幅度的问题 教案(教学设计)
第6 课时用百分数知识解决有关变化幅度的问题（教案）教学内容教材第88～89 页例5。
教学目标 1. 掌握用假设法解决“已知一个数量的两次增减变化情况，求最终变化幅度”的百分数问题。
2. 经历解决问题的全过程，培养学生的问题意识和探究意识。
教学重点掌握用假设法解决“已知一个数量的两次增减变化情况，求最终变化幅度”的百分数问题。
教学难点能够准确找到对应分率的单位“1”。
教学方法自主、合作、探究。
教学准备多媒体课件。
教学过程一、谈话导入课件出示：小惠跟妈妈逛商场，妈妈想买一双之前看好的鞋子。
恰逢商场搞促销活动，附近有两个商场，A 商场和 B 商场都卖这种鞋子。
她们发现A 商场的促销活动是“比原价降低了20%”，B 商场的促销活动是“昨天降低10%，今天在昨天的基础上再次降低10%”。
小惠认为这两家商场降低的一样多，都是20%，所以去哪家都可以。
可妈妈对小惠说，我们去 A 商场买吧。
师：你知道为什么吗？今天我们就来研究这个内容。
（板书课题：用百分数知识解决有关变化幅度的问题）设计意图由A、B 两个商场搞促销活动引入新课，激发了学生的求知欲，学生会迫不及待地想学习新课。
二、探究新知探究点用假设法解决百分数问题1. 阅读与理解。
课件出示例5 ：某种商品4 月份的价格比3 月份降了20%，5 月份的价格比4 月份又涨了 20%。
5 月份的价格和3 月份相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？师：读一读题，你都得到了哪些信息？预设 1 ：得到的信息：某种商品 4 月份的价格比 3 月份降了20%，5 月份的价格比 4 月份又涨了20%。
所求的问题：5 月份的价格和3 月份相比是涨了还是降了？变化幅度是多少？预设 2 ：我发现有两个单位“1”，第一个是 3 月份的价格是单位“1”，第二个是4 月份的价格是单位“1”。
预设 3 ：根据“某种商品4 月份的价格比3 月份降了20%”可知3 月份的价格是单位“1”，4 月份价格=3 月份价格×（1-20%）。
二年级上册数学教案-整理与复习图形的变化-北师大版
二年级上册数学教案整理与复习图形的变化北师大版教案：整理与复习图形的变化一、教学内容本节课主要复习二年级上册数学教材中关于图形的变化的相关内容。
具体包括：1. 图形的认识：正方形、长方形、圆形、三角形等基本图形的特征和性质。
2. 图形的变换：平移、旋转、轴对称等图形的变换方法及其性质。
二、教学目标1. 让学生掌握基本图形的特征和性质，能够识别和描述各种图形。
2. 让学生理解图形变换的性质和方法，能够运用图形变换解决实际问题。
3. 培养学生的空间观念和逻辑思维能力，提高学生的解决问题的能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：图形变换的方法和性质，如何运用图形变换解决实际问题。
2. 教学重点：图形变换的性质和方法，基本图形的特征和性质。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、几何图形卡片、课件等。
2. 学具：学生用书、练习本、几何图形卡片等。
五、教学过程1. 情景引入：通过展示一些生活中的实际问题，引出本节课的主题——整理与复习图形的变化。
2. 知识回顾：引导学生回顾教材中关于图形的变化的相关内容，包括图形的认识和图形的变换。
3. 知识讲解：通过讲解和示范，让学生掌握基本图形的特征和性质，以及图形变换的性质和方法。
4. 例题讲解：通过讲解一些典型的例题，让学生学会如何运用图形变换解决实际问题。
5. 随堂练习：让学生运用所学知识解决一些实际问题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 图形的认识：正方形、长方形、圆形、三角形等基本图形的特征和性质。
2. 图形的变换：平移、旋转、轴对称等图形的变换方法及其性质。
七、作业设计1. 请列举生活中你见过的图形变换的例子，并描述其变换方法。
答案：略(1) 一个正方形，如果每条边都扩大2倍，那么它的面积扩大了多少倍？答案：扩大了4倍。
(2) 一个圆形，如果半径扩大3倍，那么它的面积扩大了多少倍？答案：扩大了9倍。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过整理与复习图形的变化，使学生对基本图形的特征和性质有了更深入的理解，对图形变换的性质和方法有了更全面的掌握。
案例：圆的面积
案例一：《圆的面积》教学目标：1、在数学探究活动中，使学生经历猜想、计算、讨论、归纳等数学活动的过程，自觉运用等积变形、转化等数学思想和方法探究圆面积的计算公式，发展空间观念。
2、在推导公式的活动中，培养学生的观察、比较能力和初步的推理能力；充分体验数学图形的美妙变化，培养学生兴趣，培养学习信心。
3、在具体生活情境中，能应用圆面积计算公式解决生活中的实际问题。
教学重点：学生在数方格、动手操作的过程中感悟并推导出圆的面积计算公式。
教学难点：学生将圆转化为长方形并发现转化前后两个图形之间的关系。
教学过程：一、导入新课：师：同学们过生日都要吃生日蛋糕（出示两个蛋糕图片），根据你们的经验，放这两个蛋糕的圆形托盘的大小一样吗？（课件出示托盘）生：不一样。
师：什么不一样？生：大小不一样。
师：圆形托盘的大小指的是什么？生：圆的面积。
师：圆的面积就是圆所占平面的大小。
（课件闪烁）今天我们就一起来研究圆的面积。
（板书课题）二、初步感悟：1、课件出示：书103 例7图。
让学生观察图中的圆与正方形有什么关系？2、猜倍数：师：现在请你猜一猜，圆的面积是这个正方形面积的几倍？为什么？教师出示课件演示3、验证猜测：师：到底是不是3倍多一些呢？我们现在用数方格的方法来验证一下。
（课件出示字正方形的面积、圆的面积）师：图中每一小格表示1平方厘米。
你知道正方形的面积是多少么？原来我们数方格的时候，不满一格算半格，这里有两格特别接近满格，（课件闪烁）我们数的时候安满格计算。
通过数圆的面积，得到整圆的面积，然后把表格填完整。
学生填表、计算，汇报小结：通过数方格的方法我们得到了圆的面积是它半径平方的3倍多一些，想知道圆的面积到底是多少，看来还需要知道圆的面积的计算公式。
三、推导公式：1、复习原来推导平面图形面积公式的过程。
案例：在教学《圆的面积》时，让学生动手操作，推导出圆的计算公式。
①学生小组合作剪拼圆，汇报交流8等分的 16等分的师：每份的弯曲度？底呢？（生：越来越直了）想像一下，如果把圆平均分成100份，200份，随着平均分成的分数越来越多，拼成的图形越来越接近（长方形）（简直就是一个长方形）仔细观察，拼成的方形与原来的圆有什么关系？生答，师板书。
圆中图形变化(圆与正方形的关系)
正方形具有高度的对称性和稳定性， 是几何学中最完美的四边形之一。
02 圆与正方形的关系
圆内接正方形
01
02
03
定义
圆内接正方形是指正方形 的一个顶点位于圆心，其 余三个顶点位于圆周上的 正方形。
性质
由于正方形的对角线相等 且垂直平分，因此圆心是 正方形的中心，对角线等 于圆的直径。
应用
在几何学中，圆内接正方 形常用于研究圆的性质和 定理，如圆的面积和周长 的计算。
03
通过以上两个性质，可以证明圆与正方形的关系为圆内切于正
方形，且圆心位于正方形的中心。
06 总结
圆与正方形关系的重要性
基础几何学研究
圆和正方形是基础几何学中的基本图形，研究它们之间的关系有 助于深入理解几何学的基本概念和原理。
数学建模应用
通过圆和正方形的关系，可以建立数学模型，解决实际问题，如 建筑设计、机械制造等领域的问题。
建筑设计中的圆形和正 方形元素可以增加建筑 的美观性和功能性。
02
圆形可以用于建筑物的 窗户、门洞和装饰线条， 给人以流畅、和谐的感 觉。
03
正方形则常常用于建筑 物的框架结构和支撑结 构，提供稳定性和安全 性。
04
圆与正方形的结合可以 使建筑设计更加丰富多 样，创造出独特的视觉 效果。
图案设计
01
正方形具有轴对称性和中心对称性； 其对角线相等且互相平分；其内角和 为360度。
圆与正方形关系的证明
圆的直径等于正方形的对角线
01
利用勾股定理，可以证明正方形的对角线等于圆的直径。
圆的半径等于正方形边长的一半
02
由于正方形的对角线等于直径，因此半径等于对角线的一半，
5.4外圆内方和外方内圆问题及扇形(导学案)人教版六年级上册数学
5.4 外圆内方与外方内圆问题及扇形（导学案）引言在六年级上册数学的教学中，圆和扇形的相关概念及计算是基础几何知识的重要组成部分。
学生在掌握了圆的基本属性之后，将面临更为复杂的问题，如外圆内方和外方内圆问题。
本导学案旨在通过引导学习，帮助学生深化对圆和扇形知识的理解，培养其几何思维和解决实际问题的能力。
一、外圆内方问题1.1 概念引入外圆内方问题指的是一个正方形完全位于一个圆内部，圆的直径等于正方形的对角线。
这种情况下，圆的半径（r）与正方形的边长（a）之间存在特定的关系。
1.2 解题步骤步骤一：理解正方形的对角线首先，学生需要理解正方形对角线的性质，即对角线将正方形分为两个等腰直角三角形。
在等腰直角三角形中，边长与对角线的关系为 $ a\sqrt{2} $。
步骤二：建立圆和正方形的关系由于圆的直径等于正方形的对角线，可以得出圆的直径 $ d = a\sqrt{2} $。
因此，圆的半径 $ r = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} $。
步骤三：计算圆的面积和正方形的面积圆的面积 $ A_{\text{圆}} = \pi r^2 $，正方形的面积 $ A_{\text{正方形}} = a^2 $。
代入半径的表达式，可以得到圆的面积 $ A_{\text{圆}} = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 $。
1.3 实际应用外圆内方问题在工程制图、设计等领域有着广泛的应用。
例如，在设计圆形广场时，如果需要在广场中心布置一个正方形的花园，了解外圆内方的关系对于计算所需的空间大小至关重要。
二、外方内圆问题2.1 概念引入外方内圆问题则是指一个圆完全位于一个正方形内部，圆的直径等于正方形的边长。
在这种情况下，圆的半径（r）与正方形的边长（a）之间的关系与外圆内方问题不同。
2.2 解题步骤步骤一：理解圆的直径与正方形边长的关系在外方内圆问题中，圆的直径 $ d = a $，因此圆的半径 $ r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2} $。
人教版六年级数学上册《外方内圆和外圆内方》教学设计
圆与方一、教学目标：1.学生学会画圆的外切正方形和内接正方形，培养学生的作图能力。
2.在解决有关“外圆内方”和“外方内圆”的实际问题的过程中，发现正方形和圆面积之间的关系。
积累关于面积计算的数学活动经验。
培养学生的探究意识。
3.感受数学之美，了解数学文化，体会数学与生活的密切联系。
二、教学重点：会解决“外方内圆”和“外圆内方”的问题。
三、教学难点：理解图形中正方形与圆的关系。
二、教学过程：（一）复习旧知，引入课题。
前面我们研究过平面图形圆和正方形？谁还记得这两个图形有哪些特征？怎样求这两个图形的面积呢？今天我们继续来研究有关圆和正方形的知识。
(板书)今天既然研究圆和正方形，肯定这两个图形是今天的主角。
（二）动手画图，感悟图形之间的关系。
1.画圆的内接正方形。
老师先给个圆，如果想画一个和它有联系的正方形，你觉得可以怎么画？（里面画个最大的正方形、紧贴着圆在外面画一个正方形、角上画一个正方形……）你们的想法还挺多，下面我们先选择一个同学说的画一画，刚才有个同学说想在圆里画一个最大的正方形，你们能画吗？你们每个人手里都有两个圆，下面就请你在左面那个圆里画一画。
（每个学生手里有两个画好圆心的圆，圆的半径有2厘米，3厘米，5厘米，10厘米四种不同的大小）（1）学生独立画图。
（3-4分钟）（2）全班交流。
（注意是生生之间的交流）A.找画图有困难的说说你为什么还没有画出来。
B.找画的不准确的说说画法？（指出画图中的问题）C.谁觉得我画的最准确，展示一下，并说说你的画法。
小结：要想画出圆内最大的正方形，一定要找到两条相互垂直直径的四个端点，连线后就能画出圆内最大的正方形。
（课件演示画法）想一想这时的圆与长方形有什么关系？（圆的直径是正方形的对角线）出示另一种画法，追问：这样画行吗？为什么可以这样画？没画对的同学修改一下你的图。
2.画圆的外切正方形。
紧贴着圆在外面画一个正方形，这话怎么理解？（就是让你画出的正方形里有一个最大的圆），请你在右边的圆上试着画一画。
最新人教版六年级数学上册《“圆”》教材介绍
“圆”教材介绍一、教学内容1．圆的认识；2．圆的周长；3．圆的面积；4．扇形的认识。
二、教学目标1．使学生认识圆，学会用圆规画圆，掌握圆的基本特征。
2．使学生会利用直尺和圆规，在教师指导下设计一些与圆有关的图案。
3．使学生通过实践操作，理解圆周率的意义，理解和掌握圆的周长计算公式，并解决一些相应的实际问题。
4．引导学生探索并掌握圆的面积计算公式，并解决一些简单的实际问题。
5．使学生认识扇形，掌握扇形的一些基本特征。
6．使学生经历尝试、探究、分析、反思等过程，培养数学活动经验，在解决一些与圆有关的数学问题的过程中，提高问题解决的能力。
7．使学生在推导圆的周长与面积的计算公式过程中体会和掌握转化、极限等数学思想。
8．通过生活实例、数学史料，感受数学之美，了解数学文化，提高学习兴趣。
三、主要变化与具体编排（一）主要变化1．改变圆的各部分名称的引入方式。
实验教材在引入圆时，先让学生利用圆形杯盖、圆柱体物体、三角板上的圆孔描出圆，再把圆剪下来，通过多次对折等方式引出圆心、半径、直径等概念；在认识了圆的半径和直径的特点之后，再专门教学用圆规画圆的方法。
考虑到学生在生活中已经具备初步的用圆规画圆的知识，本次修订时，对于“你能想办法在纸上画一个圆吗”这一问题，教材同时给出了用杯盖、三角尺上的圆孔、圆规画圆的方法，符合真实的学情。
接下来，利用圆规画圆的方法引出圆心、半径、直径等概念，水到渠成，这样的引入方式也能更好地体现圆“一中同长”的本质特征。
接下来，通过让学生用圆规画几个大小不同的圆，探讨直径、半径的特点，在这一过程中，使学生进一步熟练掌握用圆规画圆的方法。
2．增加圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小的内容。
“圆，一中同长也”，这是《墨子》中对圆的定义。
只要确定了“中”和“长”，圆的位置与大小就确定下来了。
解析几何中圆的解析式（x-a）2+(y-b)2=r2中也很好地体现了这一点。
圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小这一事实，过去虽然没在教材中明确指出，但实际上学生已经在自觉应用了。
六年级数学上册第五单元圆第7课时圆与正方形之间的关系课件新人教版
一、复习导入
1. 一个圆的周长是12.56cm，求它的半径？
12.56÷3.14÷2 ＝2（cm）
答：它的半径是2cm。
2. 一个圆形茶几面的半径是3dm ，它的面积是多 少平方分米？
3.14×3² ＝28.26（dm²）
答：它的面积是28.26dm²。
二、问题引入
3、古时候，由于人们的活动范围狭小，往往凭自 己的直觉认识世界，看到眼前的地面是平的，以为整 个大地是平的，并且把天空看作是倒扣着的一口巨大 的锅。我国古代有“天圆如张盖，地方如棋局”的说法 。（结合课件出示）虽然这种说法是错误的，却产生 了深远的影响，尤其体现在建筑设计上。 4、课件展示：鸟巢和水立方等建筑，精美的雕窗。
圆的面积： 3.14×1²＝3.14（m²）
阴影部分面积： 3.14－2＝1.14（m²）
二、新知探究
那么我如们果解两答个得圆对的不半对径呢都？是r， 有什么结方果法又验是证怎吗样？的？
左图： （2r)²－3.14×r²＝0.86r ²
1 右图：3.14×r²－（ 2 ×2r×r）×2＝1.14r²
题目中都告诉了 我们什么？ 上图中两个圆的半径都 是1m，怎样求正方形和圆之 间部分的面积呢？
左图求的是正方 形比圆多的面积，右 图求的是……
二、新知探究
形，它的底和高分别是……
图（2）
从图（2）可以看出：
正方形面积：（
1 2
×2×1）×2＝2（m²）
当r＝1 m时，和前面的结果 完全一致。
答：左图中正方形与圆之间的面积是0.86 m²， 右图中圆与正方形之间的面积是1.14 m²。
三、学以致用 解决问题。
1、右图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。 铜镜的直径是24 cm。外面的圆与内部的正方 形之间的面积是多少？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如果圆的面积是12.56平方米，那么圆中最大 正方形的面积是多少平方米？
如果正方形面积是40平方米，那么这个正方 形中最大的圆的的面积是多少平方米？
O
如果正方形中最大的圆的面积是18.84平方米， 那么这个正方形的面积是多少平方米？
Байду номын сангаас
把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长 方形的长是15.7米，长方形的周长是（ ）分米，圆的 面积是（ ）平方分米
圆与正方形的关系
如果正方形的面积是20平方米，那 么这个圆的面积是多少？
r o r
如果圆中最大的正方形的面积是20平方 米，那么这个圆的面积是多少？ r r
如果圆的面积是15.7平方米，那么圆中最大 正方形的面积是多少平方米？
如果正方形面积是20平方米，那么这个正方 形中最大的圆的的面积是多少平方米？
把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形， 长方形的周长比圆的周长多8分米，圆的面积是 （ ）平方分米
把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方 形，长方形的周长是6.28分米，圆的周长是（ ） 分米。圆的面积是（ ）平方分米。
把一个圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形，长 方形的周长是8.28米，圆的面积是（ ）平方米。
O
如果正方形中最大的圆的面积是15.7平方米， 那么这个正方形的面积是多少平方米？
如图，大正方形、圆、小正方形三者之间有什么关系呢？ 如果圆的半径为1请计算出大正方形、圆、小正方形的面 积并找出三者之间关系。
S大正 S圆
O
S小正
4份
3.14份 2份
如果圆中最大的正方形的面积是10平方 米，那么这个圆的面积是多少？ r r