A6-高一数学-角度制与弧度制

课程名称学生姓名___________学科_________年级_____________教师姓名___________平台_________上课时间_____________1.通过角度制和弧度制的对比，加强直观教学，理解弧度制的（概念、公式、定理、原理、规律）2.通过对学生的动觉刺激，促进学生对弧度制的有效记忆3.通过动觉对比法，引导学生建构学科知识体系，提高学生观察对比、求异创新的能力，为深入分析问题、解决问题做基础铺垫25分钟）1.对数函数学生在老师的引导下标注出关键词，包括：数字字母、公式等，可以用彩色、特殊符号等。

2.知识对比15分钟）至少有一道涉及知识间对比的题目例1：(1)把67°30′化成弧度；(2)把－7π12化成角度.（3）把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.考点：（学生写出本题涉及到对比的知识点） ____________________________________例2：已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？考点：（学生写出本题涉及到对比的知识点） ____________________________________至少2个例题15分钟）练习题与例题知识点内容、难度、题型匹配1. 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π5＝________度.札记：2.一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数.札记：至少2个习题5分钟）（20分钟）1.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12rad D.－π12rad2.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A.1 B.1或2 C.1或4D.2或43.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________.4.把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________.一、基础过关1.－300°化为弧度是( ) A.－43πB.－53πC.－54πD.－76π2.集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A.A ＝BB.A ⊆BC.B ⊆AD.以上都不对3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin 2 C.2sin 1D.2sin 14.下列表示中不正确的是( )A.终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B.终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C.终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D.终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }5.设角α、β满足－180°<α<β<180°，则α－β的范围是________.6.如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________.7.用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).二、能力提升8.扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A.1∶3B.2∶3C.4∶3D.4∶99.圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2 cm 2 B.3π2 cm 2 C.π cm 2D.3π cm 210.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝______________. 11.用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.三、探究与拓展13.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？Part 2：（收集资料、动手做实验、整理笔记等）答案 答案例1 (1)把67°30′化成弧度； (2)把－7π12化成角度.解 (1)∵67°30′＝⎝⎛⎭⎫67 12°， ∴67°30′＝π180rad ×67 12＝38π rad.(2)－7π12＝－7π12×⎝⎛⎭⎫180π°＝－105°.（3）把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角.(2)∵23π6＝2π＋11π6，∴23π6与11π6终边相同，是第四象限角. (3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π2<2π－4<π.∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角.例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2. 1. 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝________rad ； (2)8π5＝________度. 答案 (1)－π8(2)2882. 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.1.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B.－π6 radC.π12 rad D.－π12rad答案 B解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π6rad ，故选B.2.已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是( ) A.1 B.1或2 C.1或4 D.2或4答案 C解析 设扇形半径为r ，中心角弧度数为α， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1. 3.已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________. 答案 12＋π360，12－π360解析 设这两个角为α，β弧度，不妨设α>β， 则⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝1，α－β＝π180，解得α＝12＋π360，β＝12－π360.4.把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是________.答案 －34π解析 －114π＝－2π＋⎝⎛⎭⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝⎛⎭⎫－34π.∴θ＝－34π. [呈重点、现规律]1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad ”这一关系式. 角的度数与弧度数换算关系：度数×π180rad ＝弧度数，弧度数×⎝⎛⎭⎫180π°＝度数. 3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.一、基础过关1.－300°化为弧度是( )A.－43πB.－53πC.－54πD.－76π答案 B2.集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝{α|α＝2k π±π2，k ∈Z }的关系是( )A.A ＝BB.A ⊆BC.B ⊆AD.以上都不对 答案 A3.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A.2 B.sin 2 C.2sin 1 D.2sin 1 答案 C解析 r ＝1sin 1，∴l ＝|α|r ＝2sin 1.4.下列表示中不正确的是( )A.终边在x 轴上的角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B.终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝π2＋k π，k ∈Z }C.终边在坐标轴上的角的集合是{α|α＝k ·π2，k ∈Z }D.终边在直线y ＝x 上的角的集合是{α|α＝π4＋2k π，k ∈Z }答案 D解析 终边在直线y ＝x 上的角的集合应是{α|α＝π4＋k π，k ∈Z }.5.设角α、β满足－180°<α<β<180°，则α－β的范围是________. 答案 (－360°，0°) 解析 ∵α<β，∴α－β<0°，又－180°<α<180°，－180°<－β<180°， ∴－360°<α－β<360°，综上可知α－β的范围是－360°<α－β<0°.6.如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________.答案 34解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .7.用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示).解 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π－π6≤α≤2k π＋5π12，k ∈Z .(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π＋π6≤α≤k π＋π2，k ∈Z .二、能力提升8.扇形圆心角为π3，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( )A.1∶3B.2∶3C.4∶3D.4∶9答案 B解析 设扇形的半径为R ，扇形内切圆半径为r ， 则R ＝r ＋rsin π6＝r ＋2r ＝3r .∴S 内切＝πr 2.S 扇形＝12αR 2＝12×π3×R 2＝12×π3×9r 2＝32πr 2.∴S 内切∶S 扇形＝2∶3.9.圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.π2 cm 2 B.3π2 cm 2 C.π cm 2 D.3π cm 2 答案 B解析 ∵15°＝π12，∴l ＝π12×6＝π2(cm)，∴S ＝12lr ＝12×π2×6＝3π2(cm 2).10.已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝______________. 答案 [－4，－π]∪[0，π] 解析 如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π].11.用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r ＝－⎝⎛⎭⎫r －1522＋2254. ∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ， 扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝l r＝2 rad. ∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm 2. 12.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1,0)出发，依逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π)，经过2 s 达到第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解 因为0<θ<π，且2k π＋π<2θ<2k π＋3π2(k ∈Z )， 则必有k ＝0，于是π2<θ<3π4， 又14θ＝2n π(n ∈Z )，所以θ＝n π7，n ∈Z ， 从而π2<n π7<3π4，即72<n <214， 所以n ＝4或5，故θ＝4π7或5π7. 三、探究与拓展13.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解 (1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm). S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－2×12×10×sin π6×10×cos π6＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2). (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R， ∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R＝－R 2＋12cR ＝－⎝⎛⎭⎫R －c 42＋c 216. 当且仅当R ＝c 4，即α＝2时， 扇形面积最大，且最大面积是c 216.。