任意角的概念与弧度制

任意角的概念与弧度制

1、角的概念的推广：

角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制

1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

正角:按逆时针方向旋转所形成的角.

负角:按顺时针方向旋转所形成的角.

零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.

要点诠释：

角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义.

2.终边相同的角、象限角

终边相同的角为

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.

要点诠释：

(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；

(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；

(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.

3、终边相同的角与象限角：

与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制

弧度制

(1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单

位可以省略不写).

(2)弧度与角度互换公式：

1rad=≈°=57°18′，1°=≈(rad)

(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，

扇形面积公式：.

要点诠释：

(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是

一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.

(2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径.

3、弧度制的概念及换算：

规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写.

在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则

所以，rad，(rad)，1(rad).

4、弧度制下弧长公式：

；弧度制下扇形面积公式.

类型一：象限角

1．已知角；

(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；

(2)集合，,那么两集合的关系是什么？

解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，

则令，

得

解得，从而或

代回或.

(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;

而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集

合，从而：.

总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论.

2．已知“是第三象限角，则是第几象限角？

思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表

示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域.

解法一：因为是第三象限角，所以，

∴，

∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角；

当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，

当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，

故为第一、三、四象限角.

解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依

次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，

则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边

所在的区域.

由图可知，是第一、三、四象限角.

总结升华：

(1)要分清弧度制与角度制象限角和终边在坐标轴上的角；

(2)讨论角的终边所在象限，一定要注意分类讨论，做到不重不落，尤其对象限界角应引起注意.

举一反三：

【变式1】集合，，则( )

A、B、C、D、

【答案】C

思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4

(法二)在平面直角坐标系中，数形结合

(法三)集合M变形，

集合N变形，

是的奇数倍，是的整数倍，因此.

【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.

解析：为第三象限角，

当时，此时在第二象限.

当时，此时在第四象限.

综上可知：

类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题

3．已知一半径为r的扇形，它的周长等于所在圆的周长的一半，那么扇形的中心角是多少弧度合多少度扇形的面积是多少？

解：设扇形的圆心角是，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是

依题意，得

≈≈

总结升华：弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式和圆面积公式，当用圆心角的弧度数代替时，即得到一般的弧长公式和扇形面积公式：

举一反三：

【变式1】一个扇形的周长为，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大并求出这个扇形的最大面积.

思路点拨：运用扇形的面积公式和弧长公式建立函数关系，运用函数的性质来解决最值问题.

解：设扇形的半径为，则弧长为，