第三节 单摆

第三节 单摆

一、单摆：

在线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，球的直径比线长短的多，这样的装置就叫做单摆（是一种理想化的模型）。

悬点：固定

线：细、软、长、无弹性 球：小、重

二、单摆的振动：

1、回复力：设摆球的质量为m ，摆长为L ，摆角为α，取离开平衡位置的位移X 的方向为正方向。 对摆球，受力如图所示，回复力为：

α-=sin mg F

当摆角很小时，L

X sin ≈α，所以：

KX X L

mg F -=-

=，

（其中L

mg K =）

2、简谐运动的条件： 在摆角很小（小于．．．．．．．．5．0

）的情况下．．．．．，单摆所受回复．．．．．．力跟位移成正比而方向相反．．．．．．．．．．．．，单摆做简谐振动．．．．．．．

。 三、单摆的周期：

1、简谐振动的周期：

k

m 2T π

=

说明：

K ：比例系数，m ：振子质量。

周期与振幅无关（叫固有周期、固有频率）； 2、单摆振动的周期：

g

L 2m

2k m 2T L

mg

π

=π

=π

=

说明：

1）此公式是荷兰物理学家惠更斯发现的； 2）T 与A 无关，与m 无关，叫等时性。伽利略发现

3）周期是2秒的单摆叫做秒摆。摆线长约1米。 四、单摆的应用：

1、计时器：

利用等时性制成，如摆钟等。由单摆周期公式可知，调节摆长即可调节摆钟的快慢。

2、测定重力加速度：

原理：由周期公式变形得：22

T

L 4g π=

，只要测

出单摆的摆长和振动周期，就可以测出当地的重力加速度。

五、例题：

如图所示，BOC 为一光滑圆弧形轨道，其半径为R （R 远大于BOC 弧）。若同时从圆心O '和轨道B 点无初速度分别释放一小球P 和Q ，则：

A 、Q 球先到达O 点；

B 、P 球先到达O 点；

C 、P 、Q 同时到达O 点；

D 、无法判断。

1.单摆振动的回复力是摆球所受的合外力吗?

单摆振动的回复力是重力在切线方向的分力，或

者说是摆球所受合外力在切线方向的分力．摆球所受的合外力在法线方向(摆线方向)的分力作为摆球做圆周运动的向心力．所以并不是合外力完全用来提供回复力的．“单摆振动的回复力就是摆球所受的合外力”这一说法是错误的．

2、将秒摆的周期变为1秒，下列哪些措施是可行？ A 、将摆球的质量减少一半 B 、将摆球的质量减少到原来的1/4 C 、将振幅减少一半 D 、将摆长减少一半

E 、将摆长减少到原来的1/4

根据单摆的等时性规律，A 、B 、C 、D 均错误，选项E 正确。 注意：秒摆的周期是两秒。单摆的等时性指周期与振幅无关，另外，周期也与摆球质量无关。这个规律在解决问题过程中是非常重要的。

巩固练习：

1．一个单摆从甲地移至乙地振动变慢了，其原因及使周期不变的方法应为：

A . g 甲>g 乙 ,将摆长缩短 B. g 甲>g 乙,将摆长加长 C. g 甲

3.有甲乙两个单摆，在甲摆振动20次的时间内乙摆恰好完成10次全振动，则甲乙的摆长之比等于

_____

问题讨论

4.一带摆的时钟，在山下走得很准确，若把它拿到高山上，快慢程度的变化是变_______

5．关于单摆的运动，下列说法正确的是：

A.单摆运动过程中摆绳的拉力和摆球重力的合力为回复力

B.摆球通过平衡位置时所受的合力为零

C.摆球经过最大位移处时所受的合力为零

D.摆球摆动过程中，摆球所受的重力沿轨迹切线方向的分力为回复力

6.有一个单摆，周期为1秒，如把它的摆长缩短到

1/4，则它的周期变为 _____ ；如摆长增加3倍，则它的周期变为_______；如把它的振幅减小到1/2，则它的周期为_____ 。

7.一个单摆偏离平衡位置时，最大势能为0.002焦，摆球质量为0.1千克，摆线长为1米.则摆球经最低点时的速度为米/秒，此摆的周期为秒，当摆球质量增加到0.5千克，此摆的周期为秒。

8．若单摆的摆长不变，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的1/2，则单摆振动时：

A.频率不变，振幅不变

B.频率不变，振幅改变

C.频率改变，振幅改变

D.频率改变，振幅不变

9.振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合外力的说法正确的是：

A. 回复力为零，合外力不为零，方向指向悬点B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线

C．合外力不为零，方向沿轨迹的切线

D．回复力为零，合外力也为零

10. 发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大

A. 增大摆球质量 B．缩短摆长

C. 减小单摆振幅

D. 将单摆由山下移至山顶

11.在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T l，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为:

A、T1＞T2

B、T1＝T2

C、T1＜T2

D、无法确定

12.有一单摆在地面上一定时间内振动了N次，将它移到某高山上，在相同时间内振动了(N－1)次，由此可粗略地推算出此山的高度约为地球半径的多少倍? 13．如图,在水平直杆上用长度分别是l1和l2的两条细线系住一个小球，已知两条细线相互垂直，它们与杆的夹角分别是α、β。现使小球绕杆作微小振动，其周期应为：

A

g

l

l

2

1

2

+

π

B

g

lα

π

sin

21

C

g

lβ

π

sin

22 D

g

l

2

2π

14．如图所示，一单摆摆长为l，在

其悬挂点O的正下方l/ 2 处的P点有

一个钉子，摆线在钉子的右侧。现将

摆球向其平衡位置左侧移动，移到摆

线与竖直成5°角时无初速释放，则它

振动的周期为多少？

g

l

g

l

T

2

π

π+

=

15．图中两单摆摆长相同，平衡时两

摆球刚好接触。现将摆球A在两摆线

所在平面内向左拉开一小角度后释

放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐

运动，以m A、m B分别表示摆球A、

B的质量，则：

A．如果m A>m B，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧B．如果m A

D．无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧

16．如图所示，光滑弧形槽的半径R

远大于小球运动弧长，设有两个小球

(均可视为质点) 同时由静止释放，其

中甲球开始时离圆槽最低点O较远

些。则它们第一次相遇的地点是在：

A．O点B．O点偏左C．O点偏右

D．无法确定，因为两小球的质量关系未知