几何探究题

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（一）几何探究题

1．（07绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如

下问题：如图1，己知四边形ABCD中，AC平分∠DAB,

∠DAB＝60°, ∠B与∠D互补，求证：AB＋AD＝ 3

AC．

小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD

特殊化，看如何解决该问题．

（1）特殊情况入手

添加条件：“∠B＝∠D”, 如图2，可证

AB＋AD＝ 3 AC．（请你完成此证明）

（2）解决原来问题

受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图

3，过Ｃ点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、

F．（请你补全证明）

2．（07盐城）操作：如图①，点O为线段MN的中

点，直线PQ与MN相交于点O，请利用图①画出一对以

点O为对称中心的全等三角形．

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动．

探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E

为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交

于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证

明你的结论；

探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于

点A，且BE：EC＝1：2，∠BAE＝∠EDF，CF∥AB．若

AB＝5，CF＝1，求DF的长度．

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3．（07潍坊）已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF ∥AB ，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM ∥AC ，交AB 于M 点，连结ME ． （1）求证：四边形AEPM 为菱形；

（2）当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？ 4．（07武汉）填空或解答：

点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ， EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F ．

如图1，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_______； 如图2，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_______； 如图3，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_______（用含α的式子表示）；

将图3中的△ABC 绕点C 旋转（点F 不与点A 、B 重合），得图4或图5．在图4中，∠AFB 与∠α的数量关系是_______；在图5中，∠AFB 与∠α的数量关系是

_______．

请你任选其中一个结论证明．

A

B

C

P

D F

E M

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5．（06毕节）如图，四边形OABC 与ODEF 均为正方形，CF 交OA 于P ，交DA 于Q ．

（1）求证：AD ＝CF ．

（2）AD 与CF 垂直吗？说说你的理由．

（3）当正方形ODEF 绕O 点在平面内旋转时，（1），（2）的结论是否有变化？（不需说明理由）．

6．（05苏州）

（1）如图一，等边△ABC 中，D 是AB 边上的动点，以CD 为一边，向上作等边△EDC ，连结AE ．求证：AE ∥BC ；

（2）如图二，将(1)中等边△ABC 的形状改成以BC 为底边的等腰三角形，所作的△EDC 改成相似于△ABC ．请问：是否仍有AE ∥BC ？证明你的结论．

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图2

F

A

B

(E ) D

（2b ＝a ） 图3

F

A

B C

D

E

（a ＜2b ＜2a ）

图4

F

A

B C

D

E F 图5 A

B

C

E

D

（b ＞a ）

（二）操作探究题

7．（07孝感）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：

第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图1）；

第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图2）．

请解答以下问题：

（1）如图2，若延长MN 交BC 于P ，△BMP 是什么三角形？请证明你的结论．

（2）在图2中，若AB=a ，BC=b ，a 、b 满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？

（3）设矩形ABCD 的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM '为y kx =，当M BC '∠=60°时，求k 的值.此时，将△ABM ′沿BM′折叠，点A 是否落在EF 上（E 、F 分别为AB 、CD 中点）？为什么？

8．（07河北）在图1—5中，正方形ABCD

的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．

操作示例

当2b ＜a 时，如图1，在BA

上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构

成四边形FGCH ．

思考发现

小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH

与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH=BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH=HC=GC=FG ，∠FHC=90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．

实践探究

（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）

（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．

联想拓展

小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．

当b ＞a 时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说

明理由．

F

图1 A B C

E D

H

G （2b ＜a ）