二阶 线性偏微分方程的定解条件
偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性
偏微分方程的定解条件与解的存在唯一性偏微分方程（Partial Differential Equation, 简称PDE）是数学领域中的重要研究对象，广泛应用于物理学、工程学、金融学等领域。
在求解偏微分方程时，我们需要考虑定解条件，以确保解的存在和唯一性。
本文将探讨偏微分方程的定解条件，并讨论解的存在唯一性。
一、偏微分方程的定解条件在求解偏微分方程之前，我们需要明确的是问题的定解条件。
定解条件是指在区域Ω上关于未知函数u及其偏导数的附加条件。
常见的定解条件包括初始条件和边界条件。
1. 初始条件（Initial Condition）初始条件是在区域Ω的某个子集Ω₀上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t₀) = g(x, t₀)，其中g(x, t₀)为已知函数，t₀为给定的初始时间。
2. 边界条件（Boundary Condition）边界条件是在区域Ω的边界上给定的函数值及其偏导数，常用符号表示为u(x, t) = f(x, t)，其中f(x, t)为已知函数。
在一些情况下，还需要考虑特殊的边界条件，如周期性边界（Periodic Boundary Conditions）和运动边界（Moving Boundary Conditions）等。
二、解的存在唯一性偏微分方程的解的存在唯一性是指在给定的定解条件下，方程是否有解以及解是否唯一。
1. 解的存在性对于某些偏微分方程，我们可以通过适当的数学工具（如变分法、分离变量法、线性化等）证明其存在解。
然而，并非所有的偏微分方程都具备解的存在性，存在着某些无解的情况。
因此，对于求解偏微分方程问题，我们需要首先考虑其解的存在性。
2. 解的唯一性在一些情况下，即使偏微分方程存在解，其解也不一定是唯一的。
对于线性偏微分方程，我们可以通过使用变分法或利用极大模原理来证明解的唯一性。
而非线性偏微分方程的唯一性则比较复杂，通常需要借助于更加深入的分析和数学工具。
数学物理方程及其定解问题
3.定解问题的整体性(除上述两种类型外的 数学物理方程)
4.定解问题的适定性
4
一. 无界弦的自由振动
1. 无界弦的自由振动 (1)无界弦的含义：无界弦不是指无限长的弦，是指所关 心的那一段弦远离两端，在所讨论的时间内，弦两端的影响来 不及传到这段弦上，因而认为弦的两端在无限远，就不必给弦 的两端提出边界条件。 定解问题 初值问题
x at, x at
得方程的通解
u f1 ( x at) f 2 ( x at)
通解的物理意义: f2 ( x at ) 正行波, f2 ( x at ) 反行波
6
⑵ 利用定解条件来确定函数 f1 ( x), f 2 ( x)
由初始条件得
u ( x, 0) f1 ( x) f 2 ( x) ( x) ut ( x, 0) af1 ( x) af 2 ( x) ( x)
数学物理方程及其定解问题数学物理方程习题解答数学物理方程数学物理方程谷超豪数学物理方程pdf数学物理方程试卷数学物理方程视频数学物理方程答案数学物理方程第三版数学物理方程讲义
第七章 数学物理方程及其定解问题
1.数学物理方程的导出 2.定解条件 3.数学物理方程的分类 4.达朗贝尔公式 定解问题
1
3.数学物理方程的分类
15
三. 一般情况下的数学物理方程
一般情况下，无法像对无限长弦那样，先求通解，然后用定解条件 求特解。
定解问题的整体性
物理问题
数学问题
定解问题是一个整体
四 . 定解问题的适定性
如定解问题满足 (1) 有解 (2) 解是唯一的 (3) 解是稳定的 则称此定解问题是适定的。 因为定解问题来自实际。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
物理学中的例子包括波动方程、热传导方程等。 力学中的例子包括弹性力学中的基本方程等。
按照应用分类
根据应用领域，可以 将二阶线性偏微分方 程分为工程、生物医 学、经济和环境科学 四类。
工程领域中的例子包 括电气工程中的传输 线方程、流体力学中 的Navier-Stokes方 程等。
生物医学领域中的例 子包括神经传导方程 、生物化学反应中的 质量传递方程等。
02
非奇异方程是指所有特征根均具有负实部的方程，而奇异方程至少存在一个具 有正实部的特征根。
03
在非奇异方程中，又可以根据波数和频率的关系分为稳定性、不稳定性、临界 稳定性和临界不稳定性的二阶线性偏微分分为物 理、几何和力学三类。
几何学中的例子包括拉普拉斯算子、热力学中的基本 方程等。
弹性力学
在弹性力学中，物体的位移和应力满足二阶线 性偏微分方程，该方程描述了物体的弹性变形 和应力分布及其随时间的变化。
在化学中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率和反应过程的动态变化，以及反应条件对反 应速率的影响。
分子的振动
分子的振动运动满足一个二阶线性偏微分方程，该方程描述了分子振动频率和振幅随时间 的变化以及分子间的相互作用。
重点介绍了二阶线性偏微分方程在数学和物理学中的重要地 位和研究进展。
研究意义
研究二阶线性偏微分方程对于理解和研究自 然现象和实际问题具有重要意义。
对于数学和物理学的发展也具有重要价值， 同时对于解决实际问题提供理论支持和方法
指导。
研究目的
对二阶线性偏微分方程进行分类和总 结，梳理各种类型方程的特点和性质 。
要点三
结构力学
在结构力学中，物体的位移、应力和 变形满足二阶线性偏微分方程，该方 程描述了结构的力学行为随时间的变 化。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
二阶线性微分方程的分类
b1 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y b 2 a11 xx 2a12 xy a22 yy b1 x b2 y c c, f f
如果选取合适的变换
1 (x, y),
2 ( x, y)
做变换
2 x y ) , 3
3 2
原方程化为
2u 1 u u 0. 6( )
2、微分方程一般分类
(1) 按自变量的个数，分为二元和多元方程； (2) 按未知函数及其导数是否线性(看其系数是否和未知函数有关)，分为线性微分 方程和非线性微分方程；
a11 , a12 , a22 , b1 , b2 , c, f 都是变量 x, y 在区域 上的实函数
2、两个自变量方程的化简
令 ( x, y), ( x, y)
D( , ) x y 且 在( x0 , y0 )处不为零。 D( x, y) x y
由于
2
(1.7 ')
如果(1.7’)存在一个解 ( x, y ) c ,根据隐函数存在定理, 有
x dy dx y
2
所以(1.7’)可以化为
dy dy a11 2a12 a22 0, dx dx
这样(1.7)的求解就化为下述常微分方程在 积分曲线问题:
a12 a11 xx a12 ( x y yx ) a22 y y 0
方程化为：
u u Au Bu Cu D.
例2：将弦振动方程化为标准形式。
解：方程 utt
特征方程:
a uxx 0 的特征线族是
2
二阶线性偏微分方程的解法和特解
二阶线性偏微分方程的解法和特解在数学领域中，二阶线性偏微分方程是一种重要的方程类型。
它在物理学、工程学以及其他领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
解决这类方程的问题既有理论上的方法，也有实用的数值解法。
本文将介绍二阶线性偏微分方程的求解方法，包括一般解法和特解法。
一、一般解法对于形如：\[a(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + b(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x \partial y}} + c(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} + d(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + e(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + f(x, y) u = g(x, y)\]的二阶线性偏微分方程，其中\(a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y), e(x, y), f(x, y), g(x, y)\)是已知函数，我们希望求解未知函数\(u(x, y)\)满足该方程。
首先，我们可以采用变量分离法将方程化简。
令\(u(x, y) = X(x)Y(y)\)，代入原方程，可以得到两个方程：\[ a(x) \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} + d(x) \frac{{X'(x)}}{{X(x)}} + f(x) = -\lambda \]\[ c(y) \frac{{Y''(y)}}{{Y(y)}} + e(y) \frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\lambda = -g(x, y) \]其中\(\lambda\)是常数。
我们先考虑第一个方程，它可以化为一个常系数齐次线性微分方程：\[ a(x) X''(x) + d(x) X'(x) + \left(f(x) + \lambda\right) X(x) = 0 \]接下来根据常系数线性微分方程的解法，可以求得\(X(x)\)的解。
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解二阶偏微分方程是指含有两个自变量和二阶导数的偏微分方程。
通常形式可以表示为：A(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0其中，u表示未知函数，u_x表示u关于x的一阶导数，u_y表示u关于y的一阶导数，u_{xx}表示u关于x的二阶导数，u_{xy}表示u 关于x和y的混合二阶导数，u_{yy}表示u关于y的二阶导数。
要求解二阶偏微分方程，一般会采用分离变量法或特征方程法。
分离变量法是指将方程中的未知函数u表示为两个只与自变量x 和y有关的函数的积，然后将其带入方程中，再将等式两边的含有x 或y的项移到等号的一边，将与u无关的项移到等号的另一边，从而得到两个只与自变量x和y有关的方程。
特征方程法是针对特殊形式的方程，通过假设解具有特定的形式来求解。
假设解具有形式：u(x,y) = F(p,q)其中，p和q是通过变换或代换得到的新的自变量。
将此形式的解带入方程中，然后通过求解特征方程得到p和q的表达式，最后通过对F(p,q)进行积分得到u(x,y)的表达式。
解二阶偏微分方程的方法还包括变换法、齐次化法、特解叠加法等。
具体的方法选择取决于方程的形式和具体情况。
解二阶偏微分方程需要注意以下几点：1.解的存在性和唯一性：对于某些特殊的边界条件或初值条件，解可能不存在或者不唯一。
2.常数的确定：在求解中可能会需要确定一些常数，可以通过给定的边界条件或初值条件来确定。
3.解的性质：解的性质可以通过对方程进行分析得到，例如解的连续性、二阶导数的正负性等。
4.数值解法：对于复杂的二阶偏微分方程，可能无法通过解析的方法求得解，可以借助数值方法进行求解，如有限元法、有限差分法等。
总之，解二阶偏微分方程需要根据方程的具体形式选择适当的方法，并对解存在性和唯一性、常数的确定、解的性质等进行分析。
同时可以借助计算工具进行数值求解。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解【序言】在数学领域中，偏微分方程是一类重要的数学方程，它们在物理学、工程学、经济学等学科中具有广泛的应用。
其中，二阶偏微分方程是一类形式特殊的方程，它们具有一定的数学难度和挑战性。
在本文中，我们将探讨二阶偏微分方程的求解方法，帮助读者理解和掌握这一重要的数学工具。
【概述】二阶偏微分方程是指具有二阶导数的偏微分方程。
通常表示为：(1) A(x, y)∂²u/∂x² + 2B(x, y)∂²u/∂x∂y + C(x, y)∂²u/∂y² + D(x,y)∂u/∂x + E(x, y)∂u/∂y + F(x, y)u = G(x, y)其中，u是未知函数，A(x, y), B(x, y), C(x, y), D(x, y), E(x, y), F(x, y)是已知的函数，G(x, y)是给定的函数。
解出u(x, y)是我们求解二阶偏微分方程的目标。
【求解方法】在求解二阶偏微分方程之前，我们先来了解一下常见的求解方法。
1. 特征值法特征值法是求解一类特殊形式的二阶偏微分方程的有效方法。
对于形如：(2) A∂²u/∂x² + 2B∂²u/∂x∂y + C∂²u/∂y² = 0的方程，我们可以通过求解其特征方程来求得解。
特征方程一般形式为：(3) Aλ² + 2Bλ + C = 0其中λ是未知参数。
通过求解特征方程所得到的特征根λ可以帮助我们确定对应的解形式。
具体的讨论和求解方法可以见附录一。
2. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解二阶偏微分方程的方法，它的基本思想是将未知函数表示为两个独立变量的乘积形式，然后分别对每个变量求解常微分方程。
具体步骤如下：(4) 假设u可以表示为u(x, y) = X(x)Y(y)，即u的形式可以分离变量。
(5) 将假设的形式代入原方程，得到两个关于X和Y的常微分方程。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
二阶线性偏微分方程的建立和求解
小柱体内温度升高 u 所需要的热量
n
dS
dS' ( cdS u) 随着柱高 趋于零而趋近于零
图图99..13 0 11.2.2
所以当 0
由热平衡方程给出:
k u dSdt (, t)dSdt 0
n
考虑到 0 时, dS dS 则得
u n
|S
1 k
(,
t)
(9.2.8)
3. 第三类
偏微分方程 标准的常微分方程
标准解，即为各类特 殊函数
第九章 数学建模---数学物理定解问题
9.1 数学建模----波动方程类型的建立
弦的横振动 杆的纵振动
具有波动方 程的数理方
程的建立
讨
论
定解条
件
传输线方程
9.1.1波动方程的建立
1. 弦的微小横振动
考察一根长为 l 且两端固定、水平拉紧的弦．
根据牛顿冷却定律: 单位时间从周围介质传到边界上单位面积 的热量与表面和外界的温度差成正比, 即
dQ H (u1 u | )
这里 u1 是外界媒质的温度. H 0 为常数
与推导条件(9.2.11)相似,此时可得边界条件
[ u n
hu]
hu1
其中 h H k
(9.2.9)
9.3 数学建模——稳定场方程类型的建立
也与 dS 和 dt 成正比，即：
n
dQ k u dSdt n
（9.2.1）
式中 k 是导热系数
取直角坐标系Oxyz, 如图9.8
u(x, y, z,t) 表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度
y
B
F
C
G
n
n
A E
22讲 定解条件与方程分类解析
uxy u x y u ( x y yx ) ux y u xy uxy .
故变换后方程变为 A11u 2 A12u A22u B1u B2u Cu F 0. 其中系数
2 A11 a11 x2 2a12 x y a22 y , 2 2 A22 a11x 2a12x y a22 y ,
x0
x
§7.3 数理方程的数学分类 本节主要内容：
1、二阶线性偏微分方程的定义 2、特征方程 3、二变量方程的分类 4、三类方程的标准式 5、叠加原理
一、二阶线性偏微分方程
若方程 aiju xi x j bi u xi cu f 0
j 1 i 1 i 1 n n n
系数a, b, c, f仅是自变量xi的函数，与未知函数u及其导数无关，则 称上面的二阶偏微分方程为线性方程；若f=0，则称为齐次方程。
二、二变量线性偏微分方程的分类 1、线性变换
对方程a11uxx 2a12uxy a22u yy b1ux b2u y cu f 0
的自变量作变换得到新的自变量： ( x, y), ( x, y),
其中h为常系数。
当函数f=0时，边界也成为齐次边界。 还有非线性边界和含时间导数的边界等，此处不细讲。
2、无界边界
例如弦振动，如果我们只研究靠近某一端A的振动行为，在很 短的时间内，另一端B还不会影响到该振动，那么B端的边界条件 就可以不予考虑，这相当于一种半无界边界。若我们只研究弦中 间的振动行为，在短时间内，两端还不会影响到该振动，就可以 不考虑两端的边界，视为一种无界状态。
2、力平衡条件：在跃变点x0处，外力F应与两侧内力沿外力方 向的分量平衡。如右图： F u
偏微分方程的解法
? 把通解代入初始条件易得 :
f1 ?x ??
f2
?x ??
1 a
x
?
x0
?x '?dx ' ? C0
从中易解得 :
f1 ?x??
1 [?
2
?x ??
?1
x
?
a x0
?x '?dx ' ? C ]
f2 ?x??
1 [? ?x ??
2
?1
x
?
a x0
?x '?dx ' ? C]
9
故原方程满足初始条件的特解可以表示为:
容易知道 ,若设 ? ? b2 ? 4ac ,则分别当 ? ? 0、? ? 0 和
? ? 0 时该方程分别对应于 xy 平面上的双曲线、抛物线和椭圆。
一般地 ,对于一个任意的二次函数
n
n
? ? ? ? f x1, , xn ? aij xi x j ? bi xi ? c
总可以化为如下标准形式：
i, j?1
11
? ? ? ? 时间(足够短 ) 内,外力的冲量为 f x,? ? ? ,? 时刻该冲量在弦
中引起的振动可以由以下方程确定 :
??vtt ? a2vxx ? 0, ??? ? x ? ?? ,? ? t ? ? ? ? ? ?
? ?
v
?x,?
??
0,
vt ?x,? ??
f
?x,? ?
而原问题的解则可以看作持续冲量作用在弦中产生的振动的叠加 ,即:
n
? di 'uxixi ? c 'u ? f ' ? 0 i
7
行波法 d'Alembert 公式
配置法解二阶偏微分方程
解二阶偏微分方程通常涉及到多种数值方法，其中包括有限差分法、有限元法、谱方法等。
配置法（也称为正交配置法或正交余弦法）是一种基于加权残差法的数值方法，它适用于求解线性和非线性常微分方程组的初值和边值问题。
这种方法特别适合于解决非线性问题，因为它具有较高的计算精度和稳定性。
在配置法中，未知解被展开为一组具有可调常数的试验函数，然后选择合适的常数值，使得试验函数尽可能接近微分方程的精确解。
这种方法的关键步骤包括：
1. 选择基函数：首先，需要选择一组正交基函数，这些基函数在定义域内满足正交性条件。
2. 构造近似解：将未知函数表示为基函数的线性组合，即u(x, t) ≈ Σ a_i φ_i(x, t)，其中φ_i 是基函数，a_i是待定系数。
3. 应用加权残差法：将近似解代入原微分方程，然后通过加权残差法来确定系数a_i。
这通常涉及到最小化残差的平方和。
4. 求解系数：通过求解线性方程组来找到系数a_i，这通常涉及到矩阵运算。
5. 验证和迭代：在得到系数后，可以计算近似解，并根据需要进行验证和迭代，以提高解的精度。
配置法的一个优点是它能够提供全局近似，这意味着即使在远离初始点的地方，解的精度也相对较高。
然而，这种方法在处理具有复杂边界条件或非线性项的方程时可能会遇到困难。
在实际应用中，配置法通常与其他数值方法（如有限差分法、有限元法）结合使用，以解决更复杂的问题。
二阶 线性偏微分方程的定解条件
u(x, t) x=0 = N0 ,u(x,t) x=l = N0
6 （二）、第二类边界条件
例 作纵振动的杆的某个端点x=a受沿端点外法线方向的外力 f（t），根据胡克定律，该点张力YUn|x=a与外力关系为：
(Yun ) x=a S = f (t)
S为横截面积，若端点自由，则f(t)＝0， un x=a = 0 若 f (t) ≠ 0 X＝l的端点，有： ∂u / ∂x |x=l = f (t) / YS
X＝0的端点，有：∂u / ∂x |x=0 = − f (t) / YS 在细杆导热问题中，若杆的某个端点x＝a有热流f(t)沿该端点
外法线方向流出，则：− kun x=a = f (t) 若热流流入，则
− kun x=a = − f (t) 若绝热，则
kun x=a = 0
7 （三）、第三类边界条件
振动,如右图:
o
杆端点所受的力有重力(Mg),惯性力(-MUtt)
YSux x=l = Mg − Mutt x=l
同时出现了对x的偏导数和对t的偏导数!
l
M
x
另外,还有非线性的边界条件!
边界条件只要确切说明边界上的物理状态就行.
例如,长为l的均匀杆,一端固定在车上,另一端自由,车子以速
度V0运行,突然停止,边界条件如何? V0
失去意义！
此时只能两端分别考虑，但仍然是一根弦的振动，不是独立的！ 无法列出x<x0和x>x0在x=x0处的边界条件,而是一个整体!
13 但此时,弦仍然是连续的! u(x0 − 0, t) = u(x0 + 0, t)
在折点,F(t)应该同张力平衡,即:
F (t) − T sinα1 − T sinα2 = 0
二阶偏微分方程的通解
二阶偏微分方程的通解二阶偏微分方程是指包含两个自变量的二阶微分方程，其中每个自变量都有两次导数。
这种方程通常涉及到物理学、工程学和数学等领域。
本文将介绍如何求解二阶偏微分方程的通解。
一、二阶偏微分方程的定义二阶偏微分方程可以写成如下形式：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}) $$其中，$u(x,y)$是未知函数，$f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partialx},\frac{\partial u}{\partial y})$是已知函数。
二、齐次线性偏微分方程齐次线性偏微分方程指的是$f(x,y,u,\frac{\partial u}{\partialx},\frac{\partial u}{\partial y})=0$的情况。
此时，原方程可以写成如下形式：$$a_{11}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x \ \ \ \ \ \ \ \ \ y}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\ \ \ y^2}=0$$其中$a_{11},a_{12},a_{22}$为常数。
对于这种情况，我们可以采用分离变量法求解。
假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则有：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=X''(x)Y(y),\ \\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=X(x)Y''(y)$$将上式代入原方程得到：$$a_{11}X''(x)Y(y)+a_{12}X'(x)Y'(y)+a_{22}X(x)Y''(y)=0$$将$X''(x)/X(x)$和$Y''(y)/Y(y)$分别移到等号左边，可得：$$\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,\ \ \frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda $$其中$\lambda$为常数。
偏微分方程的解法
n
n
一定可以改写为如下“形式”：
d u
i
n
i x i'x i'
D D D D b ' cu ' f ' 0 x y y x iu x ' i
n i
4
根据 d i 符号的不同可以划分方程的类型如下： 有某些 di 所有 di
常系数线性偏微分方程
如果在二阶线性偏微分方程
a u
i, j
n
ij xi x j
biuxi cu f 0
i
n
中, 所有系数均为常数, 则方程可以进一步简化为:
d 'u
i i
n
xi xi
c 'u f ' 0
7
行波法 d’Alembert公式
行波法是以自变量的线性组合作变量代换，对方程进 行求解的一种方法，它对波动方程类型的问题求解十分有 效.
解: 本题可根据线性方程的性质,假定原问题的解可以表示为:
u u1 u2
其中 u1 是如下定解问题(弦的自由振动问题)的解:
2 u a uxx 0, x , t 0 tt u x, 0 x , ut x, 0 x
u2 是上述纯强迫振动问题的解.
15
求出问题的通解，然后再结合定解条件确定满足
相应初始条件和边界条件的特解，仅对非常有限的问
题适用，很多定解问题很难直接求出通解。更为普遍 的处理办法是把泛定方程和定解条件作为整体处理，
直接求出定解问题的解。
16
1.行波法；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1在具体的研究中，要考查对象所处的环境和历史，则环境条件历史就是就是边界条件，历史就是初始条件。
一、初始条件(关于时间)
对于随时间而发展变化的问题，必须考虑以前的一些状态，先前某个时刻的运动状态，即初始条件
例：对于扩散、热传导问题，初始状态指的是研究的物理量U
的初始分布：
)
,,(),,,(0z y x t z y x u t ϕ==对于振动过程，不能仅仅给出初始位移：
,,,,,z x t z x u ==)
()(0y y t ϕ还必须有速度：)
,,(),,,(
0z y x t z y x u t t ψ==
2方程是二阶微分方程需要两个初始条件初始条件的个数跟方程是二阶微分方程，需要两个初始条件。
初始条件的个数跟方程的阶数相对应。
初始条件给出的是整体的状态，而不是某个点的状态！
y
例：长为l 的两端固定的弦，中点
然后放手振动初始
X 0l/2h 拉开距离h ，然后放手振动，初始时刻就是放手的瞬间，则初始速度
x X=0x=l/2显然为零0
),(0==t t t x u 状态，而不是中点一个点！初始位移应该是整个弦的位移状态，而不是中点个点⎧==)/2(,x l h t x u ]2/,0[l x ∈h
t x u t ==0),(⎩⎨−))(/2()(0x l l h t ],2/[l l x ∈
3如果没有初始条件，即在输运过程中，只由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运。
随着时间的进行，输运过程逐渐
自由输运随着时间的进行输运过程逐渐弱化，消失。
在振动过程中，只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫
在振动过程中只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫
自由振动
经历足够长时间后，初始条件引起的自由运输或者自由振动衰减到可以认为消失，而系统的输运或者振动仅仅由于周期
性外源或外力引起的，此时，我们可以忽略初始条件！
性外源或外力引起的此时我们可以忽略初始条件！
另外，在稳定场问题中（静电场、稳定浓度分布、稳定
另外，在稳定场问题中（静电场稳定浓度分布稳定
温度分布、无旋稳恒电流场、无旋稳恒流动），物理量恒定，
所以根本就没有初始条件问题!
4二、边界条件（关于空间边界）
周围环境的影响体现为边界上的物理状况周围环境的影响体现为边界上的物理状况－－边界条件线性边界条件，数学上分为三类：
第一类边界条件：直接给出边界上所研究物理量的数值。
第二类边界条件：给出物理量边界外法线方向上方向导数数值。
第类界条件给出物量界外法线方向方向导数数值第三类边界条件：给出物理量以及其外法线方向向导数的线性
组合在边界上的数值
组合在边界上的数值。
第一类
),,,(),,,(,,t z y x f t z y x u z y x =边界第二类
000),,,(000,,t z y x f u z y x =∂边界第三类n ∂())
,,,(000,,t z y x f Hu u z y x n =+边界
例：线的两端x=0,和x=l 固定而振动，则边界条件为：0,00====l
x x u u 细杆导热问题中，若杆的一个端点x ＝a 的温度按已知规律变化则边界条件为
f(t)变化，则边界条件为：)
(),(t f t x u a x ==若恒温，则0
),(u t x u a x ==扩散问题中，若保持恒定表面浓度扩散，则硅片的边界就是x=0,x=l 表面x 0,x l 处，物理量是杂质浓度u 保持为常数N 0
00),(,),(N t x u N t x u l x x ====
例作纵振动的杆的某个端点x=a 受沿端点外法线方向的外力f （t ），根据胡克定律，该点张力YU n |x=a 与外力关系为：
)
()(t f S Yu a x n ==S 为横截面积，若端点自由，则f(t)＝0，0==a x n
u 0
≠t ＝=若)(f X l 的端点，有：YS t f x u l x /)(|/∂∂=X ＝0的端点，有：YS
t f x u x /)(|/0−=∂∂=在细杆导热问题中若杆的某个端点在细杆导热问题中，若杆的某个端点
x ＝a 有热流f(t)沿该端点外法线方向流出，则：−若热流流入，则)
(t f ku a x n ==0
=ku 若绝热，则)(t f ku a x n −=−==a x n 若绝热则
在细杆导热问题中，如果杆的某个端点x ＝a 自由冷却，即θ杆端和周围介质（温度为）按牛顿冷却定律交换热量，此时，既不能推断该点的温度值，也不能推断该点的温度梯度的值但自由冷却规定流出热流强度（
U x 的值，但自由冷却规定流出热流强度（－kU n ）与温度差（U|x=a ）有以下关系：θ−)|
(|θ−=−==a x a x n u h ku
即H 即：)
/(|)(h k H Hu u a x n ==+=θ对于两端点x ＝0，x ＝l 都自由冷却的杆，x ＝l 端外法向n 就是X 方向，自由冷却条件表示为：
θ=+=l x x Hu u |)(
8
（θ=−=0|)(x x Hu u n （－x ）n （x ）
O l x 如右图。
若杆跟外界介质热交换系数h 远远大于杆的热传导系数则H ＝k/h 0≈边界条件就退化成第一类边界条件:θθ====l x x u u |,|0在作纵振动的杆中,如果某一端点x=a 既不固定也不自由,而是通过弹性体连接到固定物上,此弹性连接规定了杆中弹性力等于弹性连接中的弹性恢复力:
0|)u YS (u a x n =+=k
以上边界条件都是线性的,若f 恒等于零,则是齐次边界条件
9有的时候还有其他的边界条件振动,如右图:
o (Mg)l 杆端点所受的力有重力(Mg),惯性力(-MU tt )
l
x tt l x x Mu Mg YSu ==−=时出对M x
同时出现了对x 的偏导数和对t 的偏导数!
另外,还有非线性的边界条件!边界条件只要确切说明边界上的物理状态就行.
例如,长为l 的均匀杆,一端固定在车上,另一端自由,车子以速度V 0运行,突然停止,边界条件如何?
V 0
10
V 0事实上x=0固定,x=l 自由,可以这样0|,0|0==
==l x x x u u 不用考虑固定端所受的作用力和其他
的运动状况!l x
O 注意区分边界条件与方程中的外力或外源
!例:一维扩散问题,
如果在某一端点x=a 有粒子流注入,强度q 此时注入粒子流为边界条件,即:
q Du a x t ==|ρ
c q u a u xx t /2=−而不是外源!此方程意味着处处有粒子流注入,强度处处为q!
11实际的物理系统总是有界的
以弦振动为例,弦总是有限长,但如果着重研究靠近端点的那段弦,在不太长的时间里,另端的影响还没来得及传到,可以认为
另一端的影响还没来得及传到
另一端不存在,或者在无限远,无需给出其边界条件,这样抽象成半无界的弦,如果着重研究不靠近两端的弦,在不太长的时间里两端的影响都没有传到,可以认为两端都不存在,或都在无限远,无需边界条件,抽象成无界的弦!
12
三、衔接条件有时候，所研究的区域出现跃变点，泛定方程在此点失去意义u F(t)F t 1
α
2α例，在弦振动问题中，如有横向力（）集中作用在x ＝x 0点，此点成了折点！
在此点处，斜率的左极限U x （x 0－0，t ）
）不同即x o x 0跟右极限U x （
x 0＋0，t ）不同，即U x 有跃变，则U xx 不存在，振动方程02
=−xx tt u a u 失去意义！
此时只能两端分别考虑，但仍然是一根弦的振动，不是独立的！<>而是个无法列出x<x 0和x>x 0在x=x 0处的边界条件,而是一个整体!
13
但此时,弦仍然是连续的!),0(),0(00t x u t x u +=
−在折点,F(t)应该同张力平衡,即:−−
(1)0sin sin )(21=ααT
T
t F 由于),0(tg sin 011t x u x
−=≈αα())
,0(tg sin 022t x u x +=≈αα(2)则)
(),0(),0(00t F t x Tu t x Tu x x −=−−+()(1)和(2)称为衔接条件此时弦作为一个整体,是适定的.()()但严格来说,跃变点也是科学的抽象.实际上存在的是一个小的过渡区,在过渡区上,某些物理量的空间变化率很大,但毕竟还是连续变动的,但只要过渡区很小,可以认为集中到一点,简化了处理!。