二阶 线性偏微分方程的定解条件

1在具体的研究中，要考查对象所处的环境和历史，则环境条件历史就是就是边界条件，历史就是初始条件。

一、初始条件(关于时间)

对于随时间而发展变化的问题，必须考虑以前的一些状态，先前某个时刻的运动状态，即初始条件

例：对于扩散、热传导问题，初始状态指的是研究的物理量U

的初始分布：

)

,,(),,,(0z y x t z y x u t ϕ==对于振动过程，不能仅仅给出初始位移：

,,,,,z x t z x u ==)

()(0y y t ϕ还必须有速度：)

,,(),,,(

0z y x t z y x u t t ψ==

2方程是二阶微分方程需要两个初始条件初始条件的个数跟方程是二阶微分方程，需要两个初始条件。初始条件的个数跟方程的阶数相对应。

初始条件给出的是整体的状态，而不是某个点的状态！

y

例：长为l 的两端固定的弦，中点

然后放手振动初始

X 0l/2h 拉开距离h ，然后放手振动，初始时刻就是放手的瞬间，则初始速度

x X=0x=l/2显然为零0

),(0==t t t x u 状态，而不是中点一个点！初始位移应该是整个弦的位移状态，而不是中点个点⎧==)/2(,x l h t x u ]2/,0[l x ∈h

t x u t ==0),(⎩⎨−))(/2()(0x l l h t ],2/[l l x ∈

3如果没有初始条件，即在输运过程中，只由于初始时刻的不均匀分布引起的输运叫作自由输运。随着时间的进行，输运过程逐渐

自由输运随着时间的进行输运过程逐渐弱化，消失。

在振动过程中，只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫

在振动过程中只由于初始偏离或初始速度引起的振动叫

自由振动

经历足够长时间后，初始条件引起的自由运输或者自由振动衰减到可以认为消失，而系统的输运或者振动仅仅由于周期

性外源或外力引起的，此时，我们可以忽略初始条件！

性外源或外力引起的此时我们可以忽略初始条件！

另外，在稳定场问题中（静电场、稳定浓度分布、稳定

另外，在稳定场问题中（静电场稳定浓度分布稳定

温度分布、无旋稳恒电流场、无旋稳恒流动），物理量恒定，

所以根本就没有初始条件问题!

4二、边界条件（关于空间边界）

周围环境的影响体现为边界上的物理状况周围环境的影响体现为边界上的物理状况－－边界条件线性边界条件，数学上分为三类：

第一类边界条件：直接给出边界上所研究物理量的数值。

第二类边界条件：给出物理量边界外法线方向上方向导数数值。第类界条件给出物量界外法线方向方向导数数值第三类边界条件：给出物理量以及其外法线方向向导数的线性

组合在边界上的数值

组合在边界上的数值。第一类

),,,(),,,(,,t z y x f t z y x u z y x =边界第二类

000),,,(000,,t z y x f u z y x =∂边界第三类n ∂())

,,,(000,,t z y x f Hu u z y x n =+边界

例：线的两端x=0,和x=l 固定而振动，则边界条件为：0,00====l

x x u u 细杆导热问题中，若杆的一个端点x ＝a 的温度按已知规律变化则边界条件为

f(t)变化，则边界条件为：)

(),(t f t x u a x ==若恒温，则0

),(u t x u a x ==扩散问题中，若保持恒定表面浓度扩散，则硅片的边界就是x=0,x=l 表面x 0,x l 处，物理量是杂质浓度u 保持为常数N 0

00),(,),(N t x u N t x u l x x ====

例作纵振动的杆的某个端点x=a 受沿端点外法线方向的外力f （t ），根据胡克定律，该点张力YU n |x=a 与外力关系为：

)

()(t f S Yu a x n ==S 为横截面积，若端点自由，则f(t)＝0，0==a x n

u 0

≠t ＝=若)(f X l 的端点，有：YS t f x u l x /)(|/∂∂=X ＝0的端点，有：YS

t f x u x /)(|/0−=∂∂=在细杆导热问题中若杆的某个端点在细杆导热问题中，若杆的某个端点

x ＝a 有热流f(t)沿该端点外法线方向流出，则：−若热流流入，则)

(t f ku a x n ==0

=ku 若绝热，则)(t f ku a x n −=−==a x n 若绝热则

在细杆导热问题中，如果杆的某个端点x ＝a 自由冷却，即θ杆端和周围介质（温度为）按牛顿冷却定律交换热量，此时，既不能推断该点的温度值，也不能推断该点的温度梯度的值但自由冷却规定流出热流强度（

U x 的值，但自由冷却规定流出热流强度（－kU n ）与温度差（U|x=a ）有以下关系：θ−)|

(|θ−=−==a x a x n u h ku

即H 即：)

/(|)(h k H Hu u a x n ==+=θ对于两端点x ＝0，x ＝l 都自由冷却的杆，x ＝l 端外法向n 就是X 方向，自由冷却条件表示为：

θ=+=l x x Hu u |)(

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（θ=−=0|)(x x Hu u n （－x ）n （x ）

O l x 如右图。若杆跟外界介质热交换系数h 远远大于杆的热传导系数则H ＝k/h 0≈边界条件就退化成第一类边界条件:θθ====l x x u u |,|0在作纵振动的杆中,如果某一端点x=a 既不固定也不自由,而是通过弹性体连接到固定物上,此弹性连接规定了杆中弹性力等于弹性连接中的弹性恢复力:

0|)u YS (u a x n =+=k

以上边界条件都是线性的,若f 恒等于零,则是齐次边界条件