单双精度浮点数的IEEE标准格式

单双精度浮点数的IEEE标准格式

目前大多数高级语言（包括C）都按照IEEE-754标准来规定浮点数的存储格式，IEEE754规定，单精度浮点数用4字节存储，双精度浮点数用 8字节存储，分为三个部分：符号位、阶和尾数。阶即指数，尾数即有效小数位数。单精度格式阶占8位，尾数占24位，符号位1位，双精度则为11为阶，53 位尾数和1位符号位，如下图所示：

31 30 23 22 0

63 62 52 51 0

细心的人会发现，单双精度各部分所占字节数量比实际存储格式都了一位，的确是这样，事实是，尾数部分包括了一位隐藏位，允许只存储23位就可以表示24位尾数，默认的1位是规格化浮点数的第一位，当规格化一个浮点数时，总是调整它使其值大于等于1而小于2，亦即个位总是为1。例如1100B，对其规格化的结果为1.1乘以2的三次方，但个位1并不存储在23位尾数部分内，这个1是默认位。

阶以移码的形式存储。对于单精度浮点数，偏移量为127（7FH），而双精度的偏移量为1023（3FFH）。存储浮点数的阶码之前，偏移量要先加到阶码上。前面例子中，阶为2的三次方，在单精度浮点数中，移码后的结果为127+3即130（82H），双精度为1026（402H）。

浮点数有两个例外。数0.0存储为全零。无限大数的阶码存储为全1，尾数部分全零。符号位指示正无穷或者负无穷。

下面举几个例子：

所有字节在内存中的排列顺序，intel的cpu按little endian顺序，motorola 的cpu按big endian顺序排列。

IEEE754标准的一个规格化 32位浮点数x的真值可表示为

x=（-1）^S*（1.M）*2^（E-127）e=E－127

31 30 23 0

｜S ｜ E ｜M ｜

[例1]若浮点数x的754标准存储格式为（41360000）16，求其浮点数的十进制数值。

解：将16进制展开后，可得二进制数格式为

0 100，0001，0 011，0110，0000，0000，0000，0000

S E M

指数e=100，0001，0－01111111=00000011=（3）10

包含隐藏位1的尾数1.M=1.011，0110，0000，0000，0000，0000

于是有x=（-1）^0*（1.M）*2^（E-127）

=+（1.011011）2*2^3

=（11.375）10

[例2]将数（20.59375）10转化为754标准的32位浮点数的二进制存储格式。解：首先分别将整数部分和小数部分转换成二进制

（20.59375）10=+（10100.10011）2

然后移动小数点使其在1，2位之间

10100.10011=1.010010011*2^4 e=4

于是得到：S=0，E=e+127=131，M=010010011

最后得到32位浮点数的二进制存储格式为

0 100，0001，1 010，0100，1100，0000，0000，0000

=（41A4C000）16

从存储结构和算法上来讲，double和float是一样的，不一样的地方仅仅是float是32位的，double是64位的，所以double能存储更高的精度。

任何数据在内存中都是以二进制（0或1）顺序存储的，每一个1或0被称为1位，而在

x86CPU上一个字节是8位。比如一个16位（2字节）的 short int型变量的值是1000，那么它的二进制表达就是：00000011 11101000。由于Intel CPU的架构原因，它是按字节倒序存储的，那么就因该是这样：11101000 00000011，这就是定点数1000在内存中的结构。

目前C/C++编译器标准都遵照IEEE制定的浮点数表示法来进行float,double运算。这种结构是一种科学计数法，用符号、指数和尾数来表示，底数定为2——即把一个浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再添上符号。下面是具体的规格：

````````符号位阶码尾数长度

float 1 8 23 32

double 1 11 52 64

临时数 1 15 64 80

由于通常C编译器默认浮点数是double型的，下面以double为例：

共计64位，折合8字节。由最高到最低位分别是第63、62、61、……、0位：最高位63位是符号位，1表示该数为负，0正；

62-52位，一共11位是指数位；

51-0位，一共52位是尾数位。

^P

按照IEEE浮点数表示法，下面将把double型浮点数38414.4转换为十六进制代码。

把整数部和小数部分开处理:整数部直接化十六进制：960E。小数的处理:

0.4=0.5*0+0.25*1+0.125*1+0.0625*0+……

实际上这永远算不完！这就是著名的浮点数精度问题。所以直到加上前面的整数部分算够53位就行了（隐藏位技术：最高位的1不写入内存）。

如果你够耐心，手工算到53位那么因该是：

38414.4(10)=1001011000001110.0110101010101010101010101010101010101(2)

(注：实际上我也没算到那么位，这个也只是意思一下，所谓的55555555CD C1E240对应却是38414.4166666666642……)科学记数法为：1.001……乘以2的15次方。指数为15！

于是来看阶码，一共11位，可以表示范围是-1024 ~ 1023。因为指数可以为负，为了便于计算，规定都先加上1023，在这里，15+1023=1038。二进制表示为：100 00001110 符号位：正—— 0 ！

合在一起（尾数二进制最高位的1不要）：

01000000 11100010 11000001 11001101 01010101 01010101 01010101 01010101