八年级数学上册全册全套试卷培优测试卷

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一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上，

(1) 求证：点A 为BE 的中点

(2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标.

(3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI.

【答案】（1）证明见解析；（2）22(0,

)7

F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作E

G ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证；

（2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标；

（3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到

∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长.

试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ，

∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4，

在△AEG 和△ABO 中，

∵

90

EGA BOA

EAG BAO

EG BO

∠=∠=︒

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△AEG≌△ABO（AAS），∴AE=AB

∴A为BE中点

（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，过D作DK⊥x轴于K，

∵∠FEA=45°，∴AE=AD，

∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），

设F（0，y），

∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD，

∴()()() 111

347463

222

y y +⨯=+⨯++

∴22

7

y=

∴

22

0,

7

F

⎛⎫

⎪

⎝⎭

（3）连接MI、NI

∵I为△MON内角平分线交点，∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，在△MIN和△MIA中，

∵

MN MA

NMI AMI

MI MI

=

⎧

⎪

∠=∠

⎨

⎪=

⎩

∴△MIN≌△MIA（SAS），

∴∠MIN=∠MIA，

同理可得∠MIN=∠NIB，

∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，

∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，

∴∠AIB=135°×3-360°=45°，

连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，

∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，

在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，

∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，

可证△QIP≌△QIC，

∴PQ=QC=QS+HP，

∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.

2．在四边形ABCD 中，E 为BC 边中点.

（Ⅰ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，∠AED=90°，点F 为AD 上一点，AF=AB.求证：（1）△ABE≌AFE；（2）AD=AB+CD

（Ⅱ）已知：如图，若AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，∠AED=120°，点F，G 均为AD上的

点，AF=AB，GD=CD.求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD=AB+1

2

BC+CD.

【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（Ⅰ）（1）运用SAS证明△ABE≌AFE即可；

（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得出DF=DC，即可得出结论；

（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE≌△AFE（SAS），△DGE≌△DCE（SAS），由全等三角形的性质得出BE=FE，∠AEB=∠AEF，CE=GE，∠CED=∠GED，进而证明△EFG是等边三角形；

（2）由△EFG是等边三角形得出GF=EE=BE=1

2

BC，即可得出结论．

【详解】

（Ⅰ）（1）∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠FAE，

在△ABE和△AFE中，

AB AF BAE FAE AE AE ⎪∠⎪⎩

∠⎧⎨＝＝＝，

∴△ABE ≌△AFE （SAS ），

（2）∵△ABE ≌△AFE ，

∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，

∵E 为BC 的中点，

∴BE=CE ，

∴FE=CE ，

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°，

∴∠AEB+∠DEC=90°，

∴∠DEF=∠DEC ，

在△DEF 和△DEC 中，

FE CE DEF DEC DE DE ⎪∠⎪⎩

∠⎧⎨＝＝＝，

∴△DEF ≌△DEC （SAS ），

∴DF=DC ，

∵AD=AF+DF ，

∴AD=AB+CD ；

（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点，

∴BE=CE=12

BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ），

△DEG ≌△DEC （SAS ），

∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，

∵BE=CE ，

∴FE=GE ，

∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°，

∴∠AEF+∠GED=60°，

∴∠GEF=60°，

∴△EFG 是等边三角形，

（2）∵△EFG 是等边三角形，

∴GF=EF=BE=12

BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+

12BC ．