2019年高考数学专题:导数中恒成立与存在性问题(解析版)
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2019年高考数学专题:导数中恒成立与存在性问题(解析版)
1.设函数.
(1)若函数是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;
(2)设,是的导函数.①若对任意的,求证:存在使;②若求证:.
【答案】(1) ;(2)①.证明见解析;②证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由题意,对恒成立,对恒成立;(2)①,由题中条件得到令,则,代入表达式得到,得证;②,,即
,,只需证,换元研究函数最值即可.
∴,从而.
(2)①,则.
若,则存在,使,不合题意.
∴.
取,则.
此时.
∴存在,使.
②依题意,不妨设,令,则.
∴.
下面证明,即证明,只要证明.
设,则在恒成立.
∴在单调递减,故,从而得证.
∴,即.
2.已知函数.
(1)若在处取得极值,求的值;
(2)若在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】试题分析:(1),由在处取到极值,可得,.
经检验,时,在处取到极小值;(2),令,讨论三种情况,分别利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值,可得当时,不满足
在上恒成立,时再分两种情况讨论可得时,在上恒成
立,当时,根据二次函数的性质可得不满足题意,进而可得结果.学
试题解析:(1)
,
∵在处取到极值, ∴,即,∴. 经检验,时,在处取到极小值. (2)
,令
,
①当时,,在上单调递减.
又∵,∴
时,
,不满足
在
上恒成立.
②当时,二次函数开口向上,对称轴为
,过
.
a.当,即时,在上恒成立, ∴,从而在上单调递增. 又∵,∴时,
成立,满足
在上恒成立.
b.当
,即时,存在,使
时,,
单调递减;
时,
,
单调递增,∴
.
又∵,∴,故不满足题意.
③当时,二次函数开口向下,对称轴为,在上单调递减,
,∴,
在上单调递减.
又∵,∴时,,故不满足题意.
综上所述,.
3.设函数
()ln m
f x x x =+
, m R ∈.
(1)当m e =时,求函数
()
f x 的极小值;
(2)讨论函数
()()3x
g x f x -
'=零点的个数;
(3)若对任意的0b a >>,
()()
1
f b f a b a
-<-恒成立,求实数m 的取值范围.
【答案】(1)极小值2;(2)1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
(Ⅲ)由题意原命题等价于()()f b b f a a
-<-恒成立,设
()ln (0)m
h x x x x x =+
->,
进而转化为
()
h x 在
()0,+∞上单调递减,利用导数,即可求得实数m 的取值范围.
试题解析:
(1)因为
()2'(0)x e
f x x x -=
>,所以当()0,x e ∈时, ()0f x '<, ()f x 在()0,e 上单
调递减;当
(),x e ∈+∞时,
()0
f x '>,
()
f x 在
(),e +∞上单调递增;
所以当x e =时,
()
f x 取得极小值
()ln 2e
f e e e =+
=.
(2)
()()3x g x f x -
'== 213m x
x x -- (0)x >,
令()0g x =,得3
1(0)3m x x x =-+>.
设
()31(0)
3
x x x x ϕ=-+>,则
()21x x φ-'=+=
()()
11x x --+.
所以当()
0,1x ∈时,
()0x φ'>,
()
x φ在
()0,1上单调递增;
当
()
1,x ∈+∞时,
()0
x φ'<,
()
x φ在
()1,+∞上单调递减;
所以
()
x φ的最大值为
()12
113
3φ=-+=
,又()00φ=,可知:
①当23m >
时,函数()g x 没有零点;②当2
3m =
或0m ≤时,函数()g x 有且仅有1个零
点;
③当
2
03m <<
时,函数()g x 有2个零.
所以2
m x x ≥-+= 2
1124x ⎛⎫--+ ⎪⎝
⎭ (0)x >恒成立,所以14m ≥. 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.
4.已知函数
()
f x 是偶函数,且满足()()220f x f x +--=,当
(]
0,2x ∈时,
()(1)
x f x e ax a =+>,当
(]
4,2x ∈--时,
()
f x 的最大值为2
416e +.
(1)求实数a 的值;
(2)函数()()34
4203g x bx bx b =-+≠,若对任意的()11,2x ∈,总存在()21,2x ∈,使
不等式
()()
12f x g x <恒成立,求实数b 的取值范围.
【答案】(1)2;(2)
23384b e ≥+或233
84b e ≤--
使不等式()()
12f x g x <恒成立”等价于“
()()max max
f x
g x <”,故可将问题转化为求函
数
()()
,f x g x 的最大值或其值域.
试题解析: (1)∵
()()220
f x f x +-=,即
()()
22f x f x +=,