2019年高考数学专题：导数中恒成立与存在性问题(解析版)

2019年高考数学专题：导数中恒成立与存在性问题（解析版）

1．设函数．

（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；

（2）设，是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证：．

【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由题意，对恒成立，对恒成立；（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，即

，，只需证，换元研究函数最值即可.

∴，从而．

（2）①，则．

若，则存在，使，不合题意.

∴．

取，则．

此时．

∴存在，使．

②依题意，不妨设，令，则．

∴．

下面证明，即证明，只要证明．

设，则在恒成立．

∴在单调递减，故，从而得证．

∴，即．

2．已知函数.

（1）若在处取得极值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1），由在处取到极值，可得，.

经检验，时，在处取到极小值；（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足

在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成

立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.学

试题解析：（1）

，

∵在处取到极值， ∴，即，∴. 经检验，时，在处取到极小值. （2）

，令

，

①当时，，在上单调递减.

又∵，∴

时，

，不满足

在

上恒成立.

②当时，二次函数开口向上，对称轴为

，过

.

a.当，即时，在上恒成立， ∴，从而在上单调递增. 又∵，∴时，

成立，满足

在上恒成立.

b.当

，即时，存在，使

时，，

单调递减；

时，

，

单调递增，∴

.

又∵，∴，故不满足题意.

③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，

，∴，

在上单调递减.

又∵，∴时，，故不满足题意.

综上所述，.

3．设函数

()ln m

f x x x =+

， m R ∈．

（1）当m e =时，求函数

()

f x 的极小值；

（2）讨论函数

()()3x

g x f x -

'=零点的个数；

（3）若对任意的0b a >>，

()()

1

f b f a b a

-<-恒成立，求实数m 的取值范围．

【答案】（1）极小值2；（2）1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭

（Ⅲ）由题意原命题等价于()()f b b f a a

-<-恒成立，设

()ln (0)m

h x x x x x =+

->，

进而转化为

()

h x 在

()0,+∞上单调递减，利用导数，即可求得实数m 的取值范围．

试题解析：

（1）因为

()2'(0)x e

f x x x -=

>，所以当()0,x e ∈时， ()0f x '<， ()f x 在()0,e 上单

调递减；当

(),x e ∈+∞时，

()0

f x '>，

()

f x 在

(),e +∞上单调递增；

所以当x e =时，

()

f x 取得极小值

()ln 2e

f e e e =+

=.

（2）

()()3x g x f x -

'== 213m x

x x -- (0)x >，

令()0g x =，得3

1(0)3m x x x =-+>．

设

()31(0)

3

x x x x ϕ=-+>，则

()21x x φ-'=+=

()()

11x x --+．

所以当()

0,1x ∈时，

()0x φ'>，

()

x φ在

()0,1上单调递增；

当

()

1,x ∈+∞时，

()0

x φ'<，

()

x φ在

()1,+∞上单调递减；

所以

()

x φ的最大值为

()12

113

3φ=-+=

，又()00φ=，可知：

①当23m >

时，函数()g x 没有零点；②当2

3m =

或0m ≤时，函数()g x 有且仅有1个零

点；

③当

2

03m <<

时，函数()g x 有2个零.

所以2

m x x ≥-+= 2

1124x ⎛⎫--+ ⎪⎝

⎭ (0)x >恒成立，所以14m ≥． 即m 的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．

4．已知函数

()

f x 是偶函数，且满足()()220f x f x +--=，当

(]

0,2x ∈时，

()(1)

x f x e ax a =+>，当

(]

4,2x ∈--时，

()

f x 的最大值为2

416e +.

（1）求实数a 的值；

（2）函数()()34

4203g x bx bx b =-+≠，若对任意的()11,2x ∈，总存在()21,2x ∈，使

不等式

()()

12f x g x <恒成立，求实数b 的取值范围.

【答案】（1）2；（2）

23384b e ≥+或233

84b e ≤--

使不等式()()

12f x g x <恒成立”等价于“

()()max max

f x

g x <”，故可将问题转化为求函

数

()()

,f x g x 的最大值或其值域．

试题解析： （1）∵

()()220

f x f x +-=，即

()()

22f x f x +=，