高中物理双星问题上课讲义

“双星”问题的分析思路
两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。

双星问题是万有引力定律在天文学上的应用的一个重要内容，现就这类问题的处理作简要分析。

一、 要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源
双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提 供。

由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小。

二、 要明确双星中两颗子星匀速圆周运动的运动参量的关系
两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等 的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。

三、 要明确两子星圆周运动的动力学关系。

设双星的两子星的质量分别为M 1和M 2，相距L ，M 1和M 2的线速度分别为v 1和v 2，角 速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：
M 1： 2
2121111121M M v G M M r L r ω== M 2： 2
21
22222222M M v G M M r L r ω== 在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星
间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径。

【例题一】两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是：
A 、它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比。

B 、它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比。

C 、它们做圆周运动的半径与其质量成正比。

D 、它们做圆周运动的半径与其质量成反比。

解析：两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也相等。

由v=r ω得线速度与两子星圆周运动的半径是成正比的。

因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有引力提供，向心力大小相等，由212112M M G M r L ω=，212222
M M G M r L ω=可知：221122M r M r ωω=，所以它们的轨道半径与它们的质量是成反比的。

而线速度又与轨道半径成正比，所以线速度
2 2
与它们的质量也是成反比的。

正确答案为：BD 。

【例题二】用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质存在的形式和分布有了较深刻的认识，双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度都小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理，现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。

（1）计算该双星系统的运动周期T 计算。

（2）若实验上观测到的运动周期为T 观测，且T 观测：T 计算=1 (N>1)，为了解释T 观测
与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体边线为直径的球体内均匀分布着暗物质，而不考虑其它暗物质的影响，试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。

解析：（1）双星绕它们的连线中点做圆周运动，由万有引力提供向心力，根据万有引力
和牛顿第二定律得：2222
M M L G L ω=，而2T πω=。

解得：T π计算＝
（2）因为
T T 观测计算计算＜，这个差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物质引起的，设这种暗物质质量为M ′，位于两星连线中点处的质点对双星的影响相同，这时双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和M ′对双星的万有引力提供，所以有：
()
22/222/2M L M MM G G L L ω=观测＋，又2T πω=观测观测
解得暗物质的质量为：/N 1/4M M ＝（－） 而暗物质的体积为：34L V 32
π＝（） 所以暗物质的密度为：/3M 3(1)/(2)V N M L ρπ=-＝。