周长和面积专题训练(巧算面积)

周长和面积专题训练（巧算面积）

一、知识梳理

要想快速准确地将复杂的图形面积计算出来，首先要熟练的掌握最基础的图形面积计算公式。任何一个复杂图形求面积，都要用到基础的公式逐步求解。

常用面积计算公式：

长方形面积＝长×宽，s＝ab；

正方形面积＝边长×边长，s＝a2；

平行四边形面积＝底×高，s＝ah；

三角形面积＝底×高÷2，s＝ah÷2；

梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，s＝（a＋b）h÷2

圆形面积＝圆周率×半径的平方，s＝∏r2；

我们在计算复杂的图形面积时，经常会用到一些巧妙的方法，例如拆分组合图形、割补组合图形……。本次专题还将带领同学接触一些更巧妙的算法。

二、例题精讲

【例1】一个边长为40厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积（图(a)）．

分析：第一个正方形的面积不难求出，第二个正方形的面积是多少呢？如图(b)所示，把大正方形平均分成8份，小正方形有4份，所以第二个正方形的面积是第一个正方形面积的一半．解：第二个正方形的面积为第一个正方形面积的一半．依此类推，第五个正方形的面积为：40×40÷2÷2÷2÷2=100(平方厘米)

答：第五个正方形的面积为100平方厘米．

【例2】如下图(a)，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米．求这两个正方形的面积．

分析：将小正方形补成与大正方形一样(如图(a))，然后将所补的部分分成三块(如图(b))，并利用图(c)求得大、小、正方形的边长之差．

解：如上图(b)，大正方形比小正方形的面积多2块A和1块B．再将B下方的A旋转到如图(c)．由A、B、A拼成的长方形，面积是40平方厘米，长是20厘米，所以宽是40÷20=2(厘米)．即大正方形与小正方形边长的差是2厘米．所以大正方形边长为(20+2)÷2=11(厘米)

小正方形边长：20-11=9(厘米)

所以，大正方形面积为11×11=121（平方厘米）

小正方形面积为9×9=81（平方厘米）

答：大正方形面积为121平方厘米，小正方形面积为81平方厘米．

【例3】一块长方形，用垂直于长和宽的两条线分成四块，其中三块面积分别为15、18、30

平方米．第四块面积是多少平方米(如图(a))？

解如图(b)，长方形A的面积=a×b，长方形D的面积=c×d，因此

长方形A的面积×长方形D的面积=a×b×c×d同样

长方形B的面积×长方形C的面积=b×c×a×d所以

长方形A的面积×长方形D的面积=长方形B的面积×长方形D的面积．

在图(a)中，所求面积为15×30÷18=25(平方米)

答：第四块面积是25平方米．

发现：当一个长方形被分成四个小长方形时，对角的两个长方形面积的乘积一定相等．

三、专题特训

1．求图中的阴影部分的面积(单位：厘米)．

2．一个边长为80厘米的大正方形，称为第一个正方形．依次连接四边的中点，得到第二个正方形．这样继续下去，得到第三个，第四个，第五个，第六个，第七个，第八个正方形．求这八个正方形的面积的和．

3．四个一样的长方形和一个小的正方形(如图所示)拼成一个面积为49平方米的大正方形．小正方形的面积是4平方米．长方形的短边是几米?

4．一块长方形地被两条直线截成四块(如下图)．其中三块长方形的面积是24、30、20平方米，第四块面积是多少平方米?

5．如图所示，已知长方形ABCD，AD=8厘米，AB=5厘米，E、F分别为AB及BC边的中点．求阴影图形的面积．

6．如图所示，已知正方形的边长为8厘米．求阴影部分的面积．

7．如图所示，一块长方形草地，长100米，宽80米，中间有一条宽4米的道路．求草地(阴影部分)的面积．

8．如图所示，一个长方形被两条直线分成三个长方形和一个正方形。其中上方的两个面积之和是23平方厘米，右边两个长方形面积之和是44平方厘米，而且各边边长均为整数．求正方形的面积．

9.如图所示，正方形ABCD中，AD=10米，E、F、G、H分别为各边的中点．求阴影部分的面积．

10.下图是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯截面积是多少平方厘米?

答案与解析

参考答案

1．0×20=400(平方厘米)

400÷2÷2=100(平方厘米)

答：阴影部分面积为100平方厘米．

2．这个八个正方形的面积从小到大，依次加在一起是：

80×80÷2÷2÷2÷2÷2÷2÷2+80×80÷2÷2÷2÷2÷2÷2+80×80÷2÷2÷2÷2÷2+

80×80÷2÷2÷2÷2+80×80÷2÷2÷2+80×80÷2÷2+80×80÷2+80×80=12750(平方厘米) 答：这八个正方形的面积和为12750平方厘米。

3.4=2×249=7×7大小两个正方形的边长分别是7米、2米。

因为大正形的边长＝长方形的长边＋短边，又因为长方形的长边＝短边＋2，所以大正方形的边长＝短边＋2＋短边，于是可以求出短边的长度。

(7-2)÷2=2.5(米)

答：长方形的短边长2.5米．

4．20×30÷24=25(平方米)

答：第四块面积为25平方米。

5．8×5÷2=20(平方厘米)

(8÷2)×(5÷2)÷2=5(平方厘米)

20-5=15(平方厘米)

答：阴影图形的面积是15平方厘米．

6．如右图，阴影部分的面积为：

8×8÷16÷2×12=24(平方厘米)

答：阴影部分面积为24平方厘米．

7．两块阴影部分正好拼合成一个长为（100-4）米，宽为（80－4）米的长方形。

(100-4)×(80-4)=7296(平方米)

答：草地面积为7296平方米．

8．各边边长均为整数

∵ 23=1×23∴ c=1

44÷b-1=23-b

因为44÷b是整数，所以b只能为1，2，4，11，22，44．不难验证b只可为2．

23-2=21(厘米)，21×21=441(平方厘米)

答：正方形面积为441平方厘米．

9．大正方形可以剪拼成5个与阴影部分一样的小正方形10×10=100(平方厘米) 100÷5=20(平方厘米)

答：阴影部分面积为20平方厘米．