【名师整理高数最全知识点】大学高数考研高数知识点2
高数2知识点总结
高数2知识点总结
高等数学2是大学数学的一门课程，是高等数学的延伸和拓展。
它包含了多个知识点，总结如下：
1. 无穷级数：
- 收敛和发散的概念；
- 正项级数的判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等； - 任意级数的绝对收敛和条件收敛概念。
2. 函数的连续性和可导性：
- 函数的连续性概念及连续性定理；
- 可导函数的导数定义及性质，如导数的四则运算、链式法则、隐
函数导数等。
3. 多元函数的偏导数：
- 多元函数的偏导数定义和求导法则，如常见的偏导函数的求导法则；
- 高阶偏导数、混合偏导数及其次序可换性。
4. 多元函数的极值和最值：
- 多元函数的极值和最值的概念及存在性定理；
- 极值和最值的求解方法，如拉格朗日乘数法。
5. 重积分：
- 二重积分和三重积分的概念；
- 重积分的计算方法，如累次积分法、极坐标法、柱坐标法、球坐
标法等；
- 坐标变换的雅可比行列式及其应用。
6. 曲线与曲面积分：
- 曲线积分和曲面积分的概念；
- 曲线积分与路径无关性质的应用，如格林公式、斯托克斯公式；
- 曲面积分的计算方法，如参数化计算、高斯公式。
以上是高等数学2的主要知识点总结，通过学习这些知识点，可以进一步理解和应用高等数学的相关内容。
考研高数二全部知识点总结
考研高数二全部知识点总结一、多元函数微分学1. 多元函数的概念多元函数是指自变量有两个以上的函数。
在多元函数微分学中，需要掌握多元函数的定义、取值范围、图像等知识。
2. 偏导数偏导数是多元函数微分学的基础，偏导数的概念、性质、计算方法是高数二中的重点内容。
在复习过程中，需要重点掌握偏导数的计算方法，包括利用定义求偏导数、隐函数求导、高阶偏导数等内容。
3. 方向导数和梯度方向导数是用来表示函数在某一点沿着某一方向的变化率，梯度是方向导数的一种特殊情况，是多元函数在某一点的变化率最大的方向。
复习时需要掌握方向导数和梯度的定义、性质、计算方法等知识点。
4. 隐函数与参数方程在高数二中，隐函数与参数方程是重要的内容，需要掌握隐函数的存在性与偏导数求法、参数方程的导数、相关方程的结论等知识点。
5. 全微分全微分是多元函数微分学中的重要概念，包括全微分的定义、性质、计算方法等内容，需要在复习过程中重点掌握。
6. 泰勒公式泰勒公式是多元函数微分学中的重要内容，需要掌握泰勒公式的一阶、二阶、多元泰勒公式等内容。
二、多元函数积分学1. 重积分重积分是多元函数积分学的重要内容，包括重积分的定义、性质、计算方法等内容。
复习时需要重点掌握二重积分、三重积分的计算方法，包括直角坐标系下的积分、极坐标系下的积分、柱坐标系下的积分等内容。
2. 曲线、曲面积分曲线积分和曲面积分是高数二中的难点内容，需要复习时掌握曲线积分和曲面积分的定义、性质、计算方法等知识。
3. 格林公式格林公式是多元函数积分学中的重要内容，复习时需要掌握格林公式的定义、性质、应用等知识点。
4. 散度和旋度在多元函数积分学中，散度和旋度是重要的内容，需要掌握散度和旋度的定义、性质、计算方法等知识。
5. 曲线积分公式和斯托克斯定理曲线积分公式和斯托克斯定理是多元函数积分学中的重要内容，需要复习时掌握曲线积分公式和斯托克斯定理的定义、性质、应用等知识点。
总结：多元函数微分学和多元函数积分学是高数二的重要内容，在复习高数二的过程中，需要掌握多元函数微分学和多元函数积分学的全部知识点，包括偏导数、方向导数、梯度、全微分、泰勒公式、重积分、曲线、曲面积分、格林公式、散度和旋度、曲线积分公式和斯托克斯定理等内容。
高数二知识点
高数二知识点高等数学二是许多专业课程的重要基础，涵盖了丰富的知识内容。
下面就为大家详细介绍一下高数二中的一些关键知识点。
首先，我们来谈谈多元函数的微积分。
多元函数是指具有两个或两个以上自变量的函数。
比如，＄z ＝f(x,y)＄就是一个典型的二元函数。
在多元函数中，偏导数是一个重要概念。
偏导数表示的是函数在某一个自变量方向上的变化率。
对于函数＄z ＝ f(x,y)＄，它关于＄x$ 的偏导数记为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄，关于＄y$ 的偏导数记为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄。
在计算偏导数时，我们把其他自变量看作常数，只对所关注的自变量求导。
例如，对于函数＄z ＝ x^2 ＋ 3xy ＋ y^2$，其关于＄x$ 的偏导数为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial x} ＝ 2x ＋ 3y$，关于＄y$ 的偏导数为＄＼frac{＼partial z}｛＼partial y} ＝ 3x ＋ 2y$。
多元函数的全微分也是一个重要知识点。
全微分反映了函数在多个自变量同时变化时的微小改变量。
对于二元函数＄z ＝ f(x,y)＄，如果其偏导数＄＼frac{＼partial z}｛＼partial x}＄和＄＼frac{＼partial z}｛＼partial y}＄在某点连续，那么函数在该点的全微分＄dz ＝＼frac{＼partial z}｛＼partial x}dx ＋＼frac{＼partial z}｛＼partial y}dy$ 。
接着，我们说一说二重积分。
二重积分可以用来计算平面区域上的面积、体积等。
假设我们有一个二元函数＄f(x,y)＄，要计算它在区域＄D$ 上的二重积分，记作＄＼iint_D f(x,y)d\sigma$ 。
计算二重积分时，我们可以将其转化为累次积分。
如果区域＄D$ 可以表示为＄a ＼leq x ＼leq b$，＄g_1(x) ＼leq y ＼leq g_2(x)＄，那么二重积分可以化为先对＄y$ 积分，再对＄x$ 积分的累次积分：＄＼int_{a}＾｛b}dx\int_{g_1(x)｝＾｛g_2(x)｝f(x,y)dy$ 。
高数2知识点总结
高数2知识点总结1. 极限与连续1.1 极限在高数2中，我们进一步学习了极限的概念。
极限可以用来描述函数在某一点附近的行为。
在高数1中，我们学习了函数的极限，而在高数2中，我们进一步研究了数列的极限。
对于函数的极限，我们记作$\\lim_{x\\to a}f(x)=L$，其中a是函数f(x)的定义域内的一个点，L是一个确定的实数。
这个式子的意思是，当x无限接近a时，函数f(x)的值将无限接近于L。
在计算极限时，我们可以使用各种极限定理和运算法则来简化计算。
对于数列的极限，我们记作$\\lim_{n\\to \\infty}a_n=L$，其中a n表示数列的第n个项，L是一个确定的实数。
数列的极限表示当数列的项无限增加时，数列的值将无限接近于L。
我们可以使用数列收敛的定义和各种数列极限定理来计算数列的极限。
1.2 连续连续是高数2中另一个重要的概念。
我们可以将连续地理解为无间断的。
在数学中，我们称一个函数在某一点连续，如果这个点的函数值等于极限值。
如果一个函数在其定义域的每个点都连续，我们称该函数是一个连续函数。
在判断函数在某一点是否连续时，我们可以使用连续函数的基本性质和连续函数的四则运算法则。
如果函数在某点发生不连续的现象，我们可以通过修正函数的定义或者进行函数的分段来使其连续。
2. 导数与微分2.1 导数在高数2中，我们继续学习了导数的概念。
导数可以用来描述函数在某一点的变化速率。
对于函数f(x)，它的导数记作f′(x)或者$\\frac{{df(x)}}{{dx}}$。
导数表示函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为一点处的切线斜率。
在计算导数时，我们可以使用导数的定义、导数运算法则、隐函数求导法则和高阶导数定理等来简化计算。
导数的计算可以帮助我们求解函数的极值问题，研究函数的增减性和凹凸性，以及描述曲线的切线和法线。
2.2 微分微分是导数的一个应用。
在高数2中，我们学习了微分的概念和微分的计算方法。
考研高数每章总结知识点
考研高数每章总结知识点一、函数与极限1. 函数的概念与性质2. 一元函数的极限3. 函数的连续性4. 导数与微分5. 多元函数的极限6. 多元函数的连续性7. 偏导数与全微分在这一章节中，我们需要深入理解函数的概念与性质，掌握一元函数的极限和导数与微分的计算方法，以及多元函数的极限、连续性、偏导数与全微分的性质和应用。
二、微分学1. 函数的微分学2. 隐函数与参数方程的微分法3. 高阶导数与微分的应用4. 泰勒公式与函数的逼近5. 不定积分6. 定积分与广义积分7. 定积分的应用在这一章节中，我们需要掌握函数的微分学的相关知识，包括隐函数与参数方程的微分法、高阶导数与泰勒公式的应用，以及不定积分、定积分与广义积分的计算方法及其应用。
三、级数与一些其他杂项1. 数项级数2. 幂级数3. 函数项级数4. 傅立叶级数5. 常微分方程在这一章节中，我们需要掌握数项级数、幂级数和函数项级数的相关知识，包括傅立叶级数的表示和计算方法，以及常微分方程的解法和应用。
四、空间解析几何1. 空间直角坐标系2. 空间点、向量和坐标3. 空间中的直线和平面4. 空间中的曲线5. 空间中的曲面6. 空间曲线和曲面的切线与法线在这一章节中，我们需要掌握空间中的点、向量和坐标的表示和计算方法，以及空间中的直线、平面、曲线和曲面的性质和应用，包括曲线和曲面的切线与法线的计算方法。
五、多元函数微分学1. 函数的极值2. 条件极值与 Lagrange 乘数法3. 二重积分4. 三重积分5. 重积分的应用在这一章节中，我们需要掌握多元函数的极值和条件极值的求解方法，包括 Lagrange 乘数法的应用，以及二重积分和三重积分的计算方法及其应用。
总结起来，考研高数的每个章节都包含了大量的知识点，要想取得好成绩就需要对每个章节的知识点有一个深入的了解和掌握。
在备考的过程中，应该注重理论知识的掌握和应用能力的提升，多做习题和模拟题，以增强对知识点的理解和记忆。
高数二知识点总结
高数二知识点总结高等数学是大多数理工科学生必修的一门课程，其中高数二作为高等数学的延续，包含了更多的数学知识点。
本文将对高数二中的一些重要知识点进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这门课程。
1. 多元函数与偏导数在高数二中，我们首先学习了多元函数与偏导数。
多元函数是指有多个自变量的函数，与一元函数相比，其求导的过程更加复杂。
为了求多元函数的导数，我们需要使用偏导数的概念。
偏导数表示多元函数在某一点上关于某个自变量的变化率，而其他自变量视为常数。
通过求取各个偏导数，我们可以得到多元函数的梯度，进而利用梯度来进行最优化等问题的求解。
2. 高阶导数与泰勒展开在高数二的学习中，我们会进一步研究高阶导数的概念。
高阶导数表示对一个函数进行多次求导的结果。
通过求取高阶导数，我们可以更加深入地了解函数的性质和特点。
此外，高阶导数还与泰勒展开有着密切的联系。
泰勒展开是通过多项式逼近函数的方法，它将函数在某个点处展开成无穷级数，以近似表示原函数。
泰勒展开在物理、工程等领域具有广泛的应用，它为我们提供了一种处理复杂函数的有效工具。
3. 重积分与曲线积分重积分也是高数二中的重要内容，它是对多元函数在某个区域上进行积分的概念。
重积分分为二重积分和三重积分，用于求解平面上和空间中的某些物理量。
曲线积分是对曲线上的某个向量场进行积分的概念。
它分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。
第一类曲线积分是将向量场沿曲线的弧长方向进行积分，而第二类曲线积分则是将向量场在曲线上的投影进行积分。
曲线积分可以帮助我们计算曲线所围成的面积、弧长以及向量场的流量等问题。
4. 曲面积分与高斯定理、斯托克斯定理曲面积分是对曲面上的某个标量场或向量场进行积分的概念。
它的计算方法分为两种：第一类曲面积分和第二类曲面积分。
第一类曲面积分是将标量场在曲面上的投影进行积分，而第二类曲面积分则是将向量场通过曲面上的法向量进行积分。
高斯定理是与曲面积分相关的一个重要定理，它将曲面积分与体积积分关联起来。
高数二知识点
高数二知识点高等数学二作为高等数学的延伸和深化，是大学数学课程中的一门重要课程。
它对于培养学生的抽象思维能力和数学建模能力具有重要作用。
下面，我将就高等数学二中的一些重要知识点进行简要介绍。
1. 多元函数的极限与连续多元函数的极限和连续是高等数学二中的基础知识点。
在多元函数的极限中，需要理解极限的定义，熟练掌握极限的性质和计算方法，能够判断多元函数是否有极限。
在多元函数的连续中，需要理解连续的定义和性质，掌握连续函数的判定方法，了解连续函数的运算规则。
掌握了多元函数的极限与连续，能够为后续的微分、积分提供坚实的基础。
2. 二重积分与三重积分二重积分和三重积分是高等数学二中的重要内容，也是数学建模中常用的数学工具。
在二重积分中，需要理解二重积分的定义与性质，掌握二重积分的计算方法，包括直角坐标下的二重积分和极坐标下的二重积分。
在三重积分中，需要理解三重积分的定义与性质，掌握三重积分的计算方法，包括直角坐标下的三重积分和柱面坐标下的三重积分。
掌握了二重积分与三重积分，能够在实际问题中进行面积、体积和质量的计算。
3. 多元函数的偏导数与全微分多元函数的偏导数与全微分是研究多元函数的重要工具。
在多元函数的偏导数中，需要理解偏导数的概念和性质，熟练掌握偏导数的计算方法，包括常规偏导数的计算和高阶偏导数的计算。
在多元函数的全微分中，需要理解全微分的定义和性质，掌握全微分的计算方法，能够进行微分近似和微分运算。
掌握了多元函数的偏导数与全微分，能够为后续的泰勒展开和极值问题提供基础。
4. 重积分的应用重积分具有广泛的应用领域，如物理学、工程学、经济学等。
通过重积分的计算，可以求解平面区域的面积、空间图形的体积，还可以计算质心、转动惯量等。
此外，重积分还可以用于求解动量、质量和动力学问题等。
掌握了重积分的应用，能够将数学知识与实际问题相结合，培养学生的数学建模能力。
总之，在学习高等数学二的过程中，多元函数的极限与连续、二重积分与三重积分、多元函数的偏导数与全微分、重积分的应用等是需要重点关注和掌握的知识点。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结一、极限与连续1.1 函数的极限1.1.1 函数的极限定义1.1.2 函数极限的性质1.1.3 函数的无穷极限1.1.4 无穷小与无穷大1.2 极限运算法则1.2.1 两个重要极限1.2.2 无穷大与无穷小的比较1.3 一元函数的连续1.3.1 连续函数的定义1.3.2 连续函数的性质1.3.3 初等函数的连续性1.4 中值定理1.4.1 Rolle定理1.4.2 拉格朗日中值定理1.4.3 柯西中值定理1.5 L'Hospital法则二、导数与微分2.1 函数的导数2.1.1 导数的定义2.1.2 导数的几何意义2.1.3 导数的物理意义2.1.4 函数的可导性2.2 导数的运算法则2.2.1 基本初等函数的导数2.2.2 复合函数的求导法则2.2.3 反函数的导数2.2.4 隐函数的导数2.3 高阶导数2.4 微分2.4.1 微分的概念2.4.2 微分的运算法则2.4.3 隐函数的微分2.4.4 高阶微分三、不定积分3.1 不定积分的概念3.2 不定积分的运算法则3.2.1 基本初等函数的积分3.2.2 第一换元法3.2.3 第二换元法3.2.4 分部积分法3.3 不定积分的应用3.3.1 函数的原函数3.3.2 定积分与不定积分的关系3.3.3 牛顿-莱布尼茨公式四、定积分与定积分的应用4.1 定积分的概念4.2 定积分的运算法则4.2.1 定积分与不定积分的关系4.2.2 定积分的性质4.2.3 定积分中值定理4.3 定积分的应用4.3.1 几何应用4.3.2 物理应用4.3.3 概率应用4.3.4 广义积分五、微分方程5.1 微分方程的概念5.2 微分方程的解5.2.1 变量分离法5.2.2 齐次方程5.2.3 一阶线性微分方程5.2.4 一阶齐次线性微分方程5.2.5 可降阶的高阶微分方程5.3 微分方程的应用5.3.1 函数图形的性质5.3.2 物理模型5.3.3 生物模型5.3.4 经济模型六、无穷级数6.1 级数的概念6.2 收敛级数的判别法6.2.1 正项级数6.2.2 任意项级数6.2.3 幂级数6.3 级数的应用6.3.1 函数展开成级数6.3.2 物理应用6.3.3 工程应用七、多元函数微分学7.1 多元函数的概念7.2 偏导数7.2.1 偏导数的定义7.2.2 偏导数的几何意义7.2.3 高阶偏导数7.3 方向导数7.3.1 方向导数的概念7.3.2 方向导数的计算7.3.3 方向导数与梯度7.4 多元函数的极值7.4.1 极值的判别法则7.4.2 拉格朗日乘数法7.5 多元函数的微分学应用7.5.1 向量值函数的导数7.5.2 隐函数的偏导数这些是考研高数知识点的一些主要内容，希望对大家的学习有所帮助。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结高等数学是考研数学中的重要一部分，对于考研学生来说，掌握高等数学的知识点是非常重要的。
下面是对高等数学知识点的总结，希望对考研学生有所帮助。
一、函数与极限1. 函数的概念：函数的定义域、值域和图像2. 函数的性质：奇偶性、周期性等3. 极限的概念：数列极限和函数极限4. 极限的性质：极限的四则运算、夹逼定理等5. 单调性与有界性：单调递增、单调递减、有界二、导数与微分1. 导数的概念：导数的定义、几何意义、物理意义2. 导数的运算法则：加法减法法则、乘法法则、复合函数法则等3. 高阶导数与隐函数求导4. 微分与微分近似三、高阶导数与泰勒公式1. 高阶导数的定义与运算法则2. 泰勒展开式与泰勒公式四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念与运算法则2. 反常积分：可积性、柯西准则、比较判别法等3. 定积分的概念与性质：函数积分的线性性、可加性、区间可加性等4. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的应用五、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义与性质：定义域、值域、图像等2. 偏导数的概念：一阶偏导数、高阶偏导数3. 隐函数求导与全微分的概念4. 多元函数的极值与条件极值六、重积分与曲线曲面积分1. 二重积分的概念与计算方法：极坐标法、换元法、直角坐标系下的积分法2. 三重积分的概念与计算方法：柱面坐标法、球面坐标法、直角坐标系下的积分法3. 曲线积分与曲面积分的概念与计算方法七、常微分方程1. 常微分方程的基本概念：初值问题、解的存在唯一性2. 高阶线性常微分方程与常系数齐次线性方程3. 常微分方程的解法：分离变量法、齐次方程法、一阶线性非齐次方程法等4. 常微分方程的应用：动力学模型、电路网络分析等八、级数1. 级数的概念与基本性质：收敛、发散、极限、级数的四则运算等2. 正项级数与比较判别法、比值判别法、根值判别法等3. 幂级数与泰勒级数展开高等数学知识点总结完毕，以上知识点对考研的高等数学考试来说是基础中的基础。
考研高数二知识点总结
考研高数二知识点总结考研高数二知识点总结在我们平凡无奇的学生时代，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。
哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编精心整理的考研高数二知识点总结，欢迎阅读与收藏。
1、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3、一元函数积分学重点考查不定积分的'计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
4、向量代数与空间解析几何主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7、无穷级数重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
高数二知识点总结
高数二知识点总结高等数学是大学数学专业的一门重要课程，它是数学基础的延伸和拓展，为学生提供了进一步研究数学的理论与方法的机会。
高等数学分为高数一和高数二两个学期，其中高数二作为高数学科体系的延续，内容相较高数一更加深入和复杂。
在这里，我们对高数二的知识点进行一个总结和梳理，帮助大家更好地理解和掌握这门课程。
一、极限与连续极限是高等数学中最重要的概念之一。
在高数二中，我们开始接触到一些更加复杂的极限问题。
例如，函数的一致连续性与函数的一致收敛性的关系。
通过学习极限的概念和性质，我们可以更好地理解函数的性质与变化规律。
二、微分与导数微分与导数是高数二的重要知识点。
在高数一中，我们已经学习了导数的定义、基本性质和求导法则。
在高数二中，我们进一步学习了高阶导数、隐函数与参数方程的导数以及简单的微分方程。
掌握微分与导数的理论和方法，对于应用数学、物理学等学科的研究和问题的解决都具有重要的意义。
三、积分与定积分积分与定积分是高数二的另一个重要内容。
在高数二中，我们学习了不定积分和定积分的概念、性质和计算方法。
通过积分，我们可以求解曲线下面的面积、曲线的弧长以及曲线的质心等问题。
积分在物理、工程、经济等学科中都有广泛的应用，因此掌握积分的理论和计算方法对于解决实际问题非常重要。
四、无限级数无限级数是高数二的重要章节，包括数项级数和幂级数。
学习无限级数可以帮助我们进一步理解数与发散、收敛的概念和判别方法。
无限级数在数学、物理、工程等学科中都有着广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要的价值。
总结高数二作为高等数学的延伸和深化，对于学生的数学素养和思维能力提出了更高的要求。
通过对极限与连续、微分与导数、积分与定积分以及无限级数等知识点的学习和掌握，我们可以更好地理解高数的理论和方法，为以后的学习和研究打下坚实的基础。
同学们在学习高数二的过程中，要注重理论与实践的结合，多做题多实践，将知识应用到实际问题中去，提高自己的解题能力和思维能力。
高数2知识点总结
高数2知识点总结高等数学2是大学数学教学中的重要组成部分，主要包括微积分、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数与逼近理论等内容。
在学习高等数学2的过程中，我们需要掌握一些基本的知识点和方法，下面就对高等数学2中的一些重要知识点进行总结。
1.微积分微积分是高等数学2中的一个重要内容，主要包括函数的极限、导数和积分。
在学习微积分时，首先需要掌握函数的极限概念及其计算方法，包括无穷小量、无穷大量、洛必达法则等。
其次是函数的导数，需要掌握导数的定义、导数的运算法则、高阶导数、隐函数求导等内容。
最后是函数的积分，包括不定积分、定积分、变限积分、定积分的计算方法、定积分的应用等。
2.多元函数微分学多元函数微分学是高等数学2中的另一个重要内容，主要包括多元函数的极限、偏导数、全微分和导数、方向导数、梯度、微分中值定理等。
在学习多元函数微分学时，需要掌握多元函数的极限概念及其计算方法，了解多元函数的偏导数定义及计算方法，掌握多元函数的全微分和导数、方向导数、梯度的概念及计算方法，并了解微分中值定理等内容。
3.多元函数积分学多元函数积分学是高等数学2的另一个重要内容，主要包括重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分、格林公式等。
在学习多元函数积分学时，需要掌握多元函数的重积分概念及其计算方法，了解累次积分的概念及其计算方法，掌握曲线积分和曲面积分的概念及计算方法，并了解格林公式等内容。
4.无穷级数与逼近理论无穷级数与逼近理论是高等数学2中的另一个重要内容，主要包括数项级数、函数项级数、收敛性、级数求和、傅里叶级数等。
在学习无穷级数与逼近理论时，需要掌握数项级数和函数项级数的收敛性判别法，了解级数求和的方法，掌握傅里叶级数的概念及计算方法等内容。
总之，高等数学2是一门包含了微积分、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数与逼近理论等内容的重要课程，在学习这门课程时，我们需要掌握一些基本的知识点和方法，包括函数的极限、导数和积分、多元函数的极限、偏导数、全微分和导数、多元函数的重积分、累次积分、曲线积分、曲面积分、无穷级数与逼近理论等内容。
高等数学二知识点
高等数学二知识点高等数学二是大学数学课程中的一门重要课程，它是数学的延伸和拓展，在前置课程高等数学一的基础上，进一步深入研究数学的各个领域。
本文将重点介绍高等数学二的一些核心知识点，帮助学生更好地掌握该门课程。
1. 多元函数与偏导数多元函数研究的是具有多个自变量的函数，而偏导数则是多元函数求导的一种方法。
在研究多元函数时，我们需要了解其定义域、连续性、可微性等基本概念。
而为了求解多元函数的极值，我们需要掌握偏导数的计算方法以及利用二阶偏导数进行判定的技巧。
2. 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分是研究曲线和曲面上的物理量积分的数学方法。
在计算曲线和曲面上的物理量时，我们需要了解参数方程以及相关的积分计算方法。
特别是在计算曲面积分时，要掌握向量场及其曲面积分的相关概念和计算方法。
3. 无穷级数与幂级数无穷级数和幂级数是研究函数展开和逼近的重要工具。
在研究无穷级数时，我们需要了解级数的收敛性、敛散判别法等基本概念，并学会计算级数的和。
而幂级数则是一类特殊的无穷级数，它在数学和物理中有广泛的应用，因此需要掌握幂级数的性质和求和的方法。
4. 偏微分方程偏微分方程是研究函数的偏导数与自变量之间关系的方程。
在解偏微分方程时，我们需要了解偏微分方程的基本类型和解的性质，掌握一些常见的偏微分方程的求解技巧。
此外，还需要了解偏微分方程在数学建模中的应用，这对于实际问题的求解具有重要意义。
5. 线性代数线性代数是高等数学二的另一个重要分支。
它研究的是向量空间、矩阵、行列式等代数结构及其相关的运算和性质。
在学习线性代数时，我们需要了解矩阵的求逆、特征值与特征向量的计算以及矩阵的对角化等基本知识。
同时，线性代数在工程和物理等领域有广泛应用，因此需要理解线性代数在实际问题中的意义和应用。
综上所述，高等数学二涵盖了多元函数与偏导数、曲线积分与曲面积分、无穷级数与幂级数、偏微分方程以及线性代数等多个知识点。
这些知识点对于数学专业的学生来说尤为重要，也为其他工科专业的学生提供了一种数学建模和问题解决的方法。
考研高数二知识点总结
考研高数二知识点总结导读： 1.函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2.一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的`计算(包括隐函数求导)、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3.一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
4.向量代数与空间解析几何主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等))解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5.多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6.多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7.无穷级数重点考查正项级数的基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
8.常微分方程及差分方程重点考查一阶微分方程的通解或特解、二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解、微分方程的建立与求解。
此外，数三考查差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法。
数一还要求会伯努利方程、欧拉公式等。
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结来源：文都教育导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。
基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。
下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。
第一节 导数1．基本概念（1）定义0000000000()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==∆→∆→→+∆--∆====∆∆-或 注：可导必连续，连续不一定可导.注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.（2）左、右导数0'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---∆→→+∆--==∆-. 0'000000()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++∆→→+∆--==∆-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+⇔=.（3）导数的几何应用曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-.法线方程：0001()()'()y f x x x f x -=--. 2．基本公式（1）'0C = （2）'1()a a x ax -=（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a=>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =-（7）2(tan )'sec x x = （8）2(cot )'csc x x =-（9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）21(arcsin )'1x x =- （12）21(arccos )'1x x =--（13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （1522221[ln()]'x x a x a ++=+3．函数的求导法则（1）四则运算的求导法则()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2''()'u u v uv v v-= （2）复合函数求导法则--链式法则设(),()y f u u x ϕ==，则(())y f x ϕ=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ϕϕϕ=.例5 求函数21sin x y e =的导数.（3）反函数的求导法则设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则11'()'()'(())g y f x f g y ==. （4）隐函数求导设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x yF y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数4．高阶导数二阶以上的导数为高阶导数.常用的高阶求导公式：（1）()()ln (0)x n x n a a a a => 特别地，(n)()x x e e =（2） ()(sin )sin()2n n kx k kx n π=+ （3）()(cos )cos()2n n kx k kx n π=+ （4）()1(1)(1)n n n n x x --+=-+ （5）()()(1)(2)(1)k n k n x k k k k n x -=---+（6）莱布尼茨公式：()()()0()n n k n k k n k uv C u v -==∑，其中(0)(0),u u v v ==第二节 微分1．定义背景：函数的增量()()y f x x f x ∆=+∆-.定义：如果函数的增量y ∆可表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 是与x ∆无关的常数，则称函数()y f x =在点0x 可微，并且称A x ∆为x ∆的微分，记作dy ，则dy A x =∆.注：,y dy x dx ∆≠∆=2．可导与可微的关系一元函数()f x 在点0x 可微，微分为dy A x =∆⇔函数()f x 在0x 可导，且0'()A f x =.3．微分的几何意义4．微分的计算（1）基本微分公式'()dy f x dx =.（2）微分运算法则②四则运算法则()d u v du dv ±=± duv vdu udv =+ 2()u vdu udv d v v-= ②一阶微分形式不变若u 为自变量，(),'()'()y f u dy f u u f u du ==∆=；若u 为中间变量，()y f u =，()u x ϕ=，'()'()'()dy f u x dx f u du ϕ==.。
高数二知识点总结
高数二知识点总结一、极限与连续1. 极限的概念- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 无穷小与无穷大2. 极限的性质- 唯一性、有界性- 四则运算法则- 夹逼定理3. 极限的计算- 极限的四则运算- 链式法则、导数的定义- 洛必达法则4. 连续函数- 连续性的定义- 间断点的类型- 闭区间上连续函数的性质二、导数与微分1. 导数的定义- 导数的几何意义- 导数的物理意义2. 导数的计算- 基本导数公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 隐函数求导3. 高阶导数- 高阶导数的定义- 常见函数的高阶导数4. 微分的概念- 微分的定义- 微分与导数的关系三、中值定理与泰勒公式1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒公式- 泰勒公式的定义- 泰勒级数展开- 近似计算四、函数的极值与最值1. 极值的概念- 极值的定义- 极值存在的条件2. 极值的求解- 一阶导数测试- 二阶导数测试- 函数的单调性3. 最值问题- 闭区间上函数的最值 - 应用问题五、一元函数积分学1. 不定积分- 基本积分表- 换元法- 分部积分法2. 定积分的概念- 定积分的定义- 微积分基本定理3. 定积分的计算- 定积分的性质- 定积分的计算方法4. 积分应用- 几何应用- 物理应用- 微分方程的解法六、空间解析几何1. 向量代数- 向量的运算- 向量的坐标表示2. 平面与直线- 平面的方程- 直线的方程3. 曲线与曲面- 空间曲线的方程 - 常见曲面的方程七、多元函数微分学1. 偏导数- 偏导数的定义 - 高阶偏导数2. 全微分- 全微分的定义 - 全微分的计算3. 多元函数的极值 - 极值条件- 拉格朗日乘数法八、重积分1. 二重积分- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法2. 三重积分- 三重积分的定义- 三重积分的计算方法3. 重积分的应用- 计算体积- 计算重心与惯性矩请根据以上结构在Word文档中进行编辑和扩展，确保每个部分都有详细的解释和示例。
高数2知识点总结
高数2知识点总结高等数学是大学数学的重要组成部分，其中高数2是高等数学的进阶内容。
本文将对高数2的知识点进行总结，以便读者能够更好地理解和掌握这一学科。
1. 极限与连续极限是高数2中的重要概念，它描述了函数在某一点或无穷远处的趋势。
极限的计算方法有很多种，如代入、夹逼、洛必达法则等。
连续是指函数在某一区间内无间断的特性，连续函数具有一些重要的性质，如介值定理、零点定理等。
2. 一元函数微分学微分学是研究函数变化率与函数本身的关系的学科。
高数2中的微分学主要包括导数和微分。
导数描述了函数在某一点的变化率，它有一些重要的性质，如可导函数的判定、导数法则等。
微分是导数的几何解释，它用于近似计算和误差估计。
3. 一元函数积分学积分学是研究函数累积与函数本身的关系的学科。
高数2中的积分学主要包括不定积分和定积分。
不定积分是求函数原函数的过程，它有一些常见的积分公式和积分方法。
定积分是求函数在某一区间上的累积量，它有一些重要的性质，如定积分的计算、定积分的应用等。
4. 多元函数微分学多元函数微分学是研究多元函数的变化率与函数本身的关系的学科。
高数2中的多元函数微分学主要包括偏导数和全微分。
偏导数描述了多元函数在某一点的各个方向上的变化率，它有一些重要的性质，如混合偏导数的对称性、二阶偏导数的计算等。
全微分是多元函数的线性逼近，它用于近似计算和误差估计。
5. 多元函数积分学多元函数积分学是研究多元函数的累积与函数本身的关系的学科。
高数2中的多元函数积分学主要包括二重积分和曲线积分。
二重积分是求多元函数在平面区域上的累积量，它有一些常见的积分公式和积分方法。
曲线积分是求多元函数沿曲线的累积量，它有一些重要的性质，如格林公式、斯托克斯公式等。
总结：高数2是高等数学的重要内容，主要包括极限与连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微分学和多元函数积分学。
这些知识点在数学和工程领域都有广泛的应用，对理解和解决实际问题具有重要意义。
考研数学复习高数知识点汇总2
考研数学复习高数知识点汇总2高等数学函数求极限、函数连续性等内容，是高等数学的基础，在考试当中，常考的类型题目可以分为几大类。
其中，求函数极限是高数最基本的题目类型，还有函数的导数、微分等知识点。
1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性.单调性.周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念.6.了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷小的概念和基本性质.掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系.8.理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理.介值定理)，并会应用这些性质.10.理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程.11.掌握基本初等函数的导数公式.导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数.12.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.13.了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.14.会用洛必达法则求极限.以上是2016考研高等数学前两章的考试大纲内容，下面数学老师大致总结了前两章容易考到的题目类型。
题型一、若干项之和或之积的极限问题。
求若干项之和或之积的极限常用的方法有：(1)先求和或积，再求极限。
(2)迫敛定理。
(3)定积分的定义。
注意，在使用定积分的定义求极限的时候，必须满足两个特征，一是分子和分母的各项次数分别相等，二是分母的次数要高于分子的一次。
高数知识点大二
高数知识点大二高等数学是大二学生必修的一门课程，涵盖了许多重要的知识点。
本文将为您介绍高等数学中的一些主要知识点。
1. 极限与连续在高等数学中，极限是一个重要的概念。
它描述了一个函数在某一点无限接近于某个数的情况。
通过极限可以研究函数的性质和变化趋势。
连续是指函数在某一区间上无断点的性质，可以通过极限的概念来探究函数的连续性。
2. 微分学微分学是高等数学中的另一个重要分支。
它研究函数的变化率和曲线的切线问题。
微分是一种求导数的运算，通过求导数可以得到函数在某一点的斜率和变化趋势。
微分学在物理、经济学等领域有着广泛的应用。
3. 积分学积分学是微分学的互逆运算，用来研究曲线下面积、曲线长度和函数的原函数等问题。
积分学的主要方法包括牛顿-莱布尼茨公式和定积分求解等。
积分学是应用数学的重要分支，广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
4. 一元函数的级数展开级数展开是指将一个函数表示为一系列项的和的形式。
在高等数学中，泰勒级数是一种常用的级数展开方法。
泰勒级数可以将一个光滑函数在某一点的附近用幂函数来逼近，从而对函数进行近似计算。
5. 多元函数与偏导数高等数学还涉及了多元函数与偏导数的研究。
多元函数是指依赖于多个自变量的函数。
在多元函数中，偏导数描述了函数在某一自变量上的变化率，可以帮助我们理解函数的性质和优化问题的解。
6. 空间解析几何空间解析几何是研究在三维空间中的点、直线和平面等几何对象的性质和关系。
在高等数学中，通过向量和坐标表示，可以进行三维空间中的几何计算和推导。
7. 常微分方程常微分方程是描述自然现象中变化规律的数学模型。
高等数学中主要学习了一阶和二阶常微分方程的求解方法，如变量分离法、齐次线性方程和二阶常系数线性齐次方程等。
常微分方程在物理学、生物学和工程学等领域具有广泛的应用。
以上是高等数学中的一些主要知识点，希望对大二学生学习高数有所帮助。
高等数学作为一门抽象的学科，需要学生有扎实的数学基础和逻辑思维能力，通过不断的练习和理解，可以更好地掌握和应用这些知识点。
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第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+V V V V(2)lim ,lim ,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆(3),x y f x f y df +V V @ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y f x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程.三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =U ; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶 2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++L ; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑) 注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1na ∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: n S Z ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln kn n ∑ 3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):n p ka n:(估计), 如10()n f x dx ⎰;()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛? 注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n pn+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0n n a a →]; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比na∑;(1)nna-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数: 1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)23111,2!3!xe x x x R =++++Ω=L 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω=L35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω=L3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=L 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=L ;211,(1,1)1x x x x =+++∈--L ; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+L2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-L2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-L3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-L(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++)(3)考察导函数: ()'()g x f x @0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰@()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =L ,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰L4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈)(1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-L (分段表示) (2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +r r ; (平行b a λ⇔=v v )2. a r ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=u u v v @v )3. a b ⋅r r ; (投影:()aa b b a⋅=v v vv v ; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=v v v v ; 夹角:(,)a b a b a b⋅=v v v v S v v ) 4. a b ⨯r r ; (法向:,n a b a b =⨯⊥v v v v v ; 面积:S a b =⨯Y v v )二. 平面与直线 1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=v(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕=v(2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =)(2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒v (或(,1)x y n z z =--v)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t =r (或12s n n =⨯v u v u u v)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=,z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=v , 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=-v(2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒=v(2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯v uv u u v六. 方向导与梯度(重点)1. 方向导(l v方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒v(2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==u r cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂r(3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G u r:(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==u v; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒==u v(2)结论()a u l∂∂0G l =⋅u r ur ; ()b 取l G =ur v 为最大变化率方向;()c 0()G M u r为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dzfdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式 二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰u v v u v v4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换: A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰u v v u v u v四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰Ñ; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径 (3)L⎰Ñ(xy QP =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰蜒(变形)3. 推广(路径无关性):P Qy y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰u v v(Γ有向τv ,(,,)F P Q R =u v ,(,,)d r ds dx dy dz τ==v v )五. 第二类曲面积分:1. 定义:Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧) 2. 计算:(1)定向投影(单项): (,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔 (2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =--v[()()]x yPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰ (3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ=v(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用:(1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂u v (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰u v Ò (3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰Ò(含奇点) 4. 通量与积分:A d S ∑Φ=⋅⎰⎰u v u v (∑有向n v ,(),,A P Q R =u v ,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==u v v )六: 第二类曲线积分(2): (,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入) 注(1)当0rot A =u v v 时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰u v v2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧)(1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂u v u v (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 00F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =v 或{,,}x y z G G G ; (3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰u v v u v v Ñ(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰。