弦长问题
直线与圆相交的弦长问题
【方法3】联立方程求交点，韦达定理求弦长（此 方法有普适性）
பைடு நூலகம்
直线与圆相交 例1 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y22y-4=0截得的弦长.
例2.已知过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x2y+1=0截得的弦长为√2,则直线l的斜率为
问题：圆C:（x-a)2 ( y b)2 r 2 , P( x0 , y0 )为圆内一点， 过P点的弦与圆交于A，B，当CP与AB满足什么条件时 弦AB的长度最小。
直线与圆的位置相交时弦长问题
问题：已知直线Ax+Bx+C=0,与圆（x-a) ( y b) r
2 2
2
交于A，B两点，则弦AB的长度。 （圆心到直线距离用d表示）
求弦长的三种方法: 【方法1】先联立方程求交点，再用两点间的距离公式求弦 长
【方法2】利用弦心距、弦长一半、半径构成的直角三角形 解决
例3：已知直线l： 2mx y 8m 3 0和 圆C：x 2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1)m R时，证明l与C总相交 （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长
总结：圆的弦长的几种求法
新高考数学人教版必修2课件第3章 习题课 弦长问题
C. 34
D.
17 2
解析 将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8， 可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0，
∴x1＝－2，x2＝25，∴y1＝－1，y2＝75，
∴直线 y＝x＋1 被椭圆 x2＋4y2＝8 截得的弦长为 52＋22＋75＋12＝125 2.
1234
3.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长为4，过右焦点F2且垂直于x轴的直 线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为
二、与弦长有关的最值问题
例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率 e ＝ 22，且点 P(2,1)在椭圆 C 上.
(1)求椭圆C的方程；
e＝ac＝ 22， 解 由题意得a42＋b12＝1，
a2＝b2＋c2，
a＝ 6， ∴b＝ 3，
∴椭圆 C 的方程为x62＋y32＝1.
y1y2＝－m21＋2， ∴S△AOB＝12|OF2|·|y1－y2|＝12 y1＋y22－4y1y2
＝12
－m22＋m 22－4×－m21＋2＝ 2×
m2＋1 m4＋4m2＋4
＝ 2×
m2＋1 m2＋12＋2m2＋1＋1
＝
2×
1 m2＋1＋m21＋1＋2
≤ 2×
2
1
＝
m2＋1·m21＋1＋2
22，
62 A. 7
43 B. 7
√12 2
C. 7
83 D. 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 设直线 AB 的方程为 y＝x－1，联立椭圆方程x42＋y32＝1， 整理可得7x2－8x－8＝0，
高中数学圆锥曲线系统讲解第20讲《弦长问题》练习及答案
第20讲 弦长问题知识与方法设直线的方程为y kx t =+，由()()200,0y kx tax bx c a f x y =+⎧⎪⇒++=≠⎨=⎪⎩，则：12AB x x a=−== 设直线的方程为x my n =+，由()()200,0x my nay by c a f x y =+⎧⎪⇒++=≠⎨=⎪⎩，则：12AB y y −= 提醒：①当已知或可求点的横（或纵）坐标时，则直接计算12x x −或12y y −得出弦长，否则联立直线与圆锥曲线，按上述公式中最右端的部分，用判别式来计算弦长；②若涉及到计算PA PB ⋅这种结构，还有小技巧可以使用典型例题1.（★★★★）设椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为3，点A 的坐标为(),0b ，且FB AB ⋅= （1）求椭圆的方程；（2）设直线():0l y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠（O 为原点），求k 的值.【解析】（1）由题意，3a =，故32a b =，c =，32FB a b =−，AB ，故32FB AB b ⋅==2b =，3a =，即椭圆的方程为22194x y +=. （2）如图，由（1）知()2,0A ，故直线AB 的方程为2y x =−+联立2y kx y x =⎧⎨=−+⎩解得：21x k =+，所以221AQ k =−=+.联立22194y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：x =p x所以21PQ k =−+， 设AOQ θ∠=，则tan k θ=，故sin cos k θθ=，即sin cos k θθ=， 所以()22222sin cos 1sin k k θθθ==−， 结合sin 0θ>可得sin θ=，即sin AOQ ∠=，由AQ AOQ PQ=∠=415−=，易证()31k +>3110k +>，31415k +=，进一步可解得：12k =或1128.2.（★★★★）设椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B .，AB =.（1）求椭圆的方程；（2）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于P 、Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P 、M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.【解析】（1）由题意，3a ==3a =，2b =， 故椭圆的方程为22194x y +=.（2）显然直线AB 的方程为132x y +=，联立132y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：623x k =+，即623M x k =+因为点M 在第四象限，所以6023k >+，解得：23k >−， 联立22194y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：x =结合点P在第四象限知P x =，Q x =，所以P Q PQ x x =−，P M PM x x =−， 由题意，2BPMBPQ PM S S PQ==△△，所以2PM PQ =，P M P Q x x x x −=−，故2P M P Q x x x x −=−， 所以()2M P P Q x x x x −=−，即32M P Q x x x =−，所以632k =+，解得：12k =−或89−，又23k >−，所以12k =−.3.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>> 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线:3l y x =−+与椭圆E 有且只有一个公共点T.（1）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（2）设O 是坐标原点，直线l '平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅，并求λ的值.【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意，b c = ，故22222a b c b =+=，椭圆的方程为222212x y b b +=，联立2222312y x x y bb =−+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：223121820x x b −+−= ①，判别式()()2212431820b∆=−−⨯−=，解得：b =E 的方程为22163x y +=将b =2x =，代入3y x =−+可得1y =，故点T 的坐标为()2,1. （2）解法1：由（1）可得直线OT 的斜率为12，因为l OT '∥，所以直线l '的斜率为12k = 故可设l '的方程为12y x m =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立312y x y x m =−+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：223213m x m y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即222,133m m P ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭ .所以2289m PT = 联立2212163y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 整理得：22344120x mx m ++−=, 由判别式()22116124120m m ∆=−−>得：22m −<<， 故1243m x x +=−，2124123m x x −=，故()221212125225221022224334339m m m m m PA PB x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅−−−−=⋅−−−++=⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故245PT PA PB =⋅，所以存在45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅恒成立. 解法2：由（1）可得直线OT 的斜率为12，因为l OT '∥，所以直线l '的斜率为12k =， 因为点P 在直线3y x =−+上，所以可设(),3t P t −，则()()()222223122PT t t t =−+−−=−， 且l '的方程为()132y x t t =−+−，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立()22132163y x t t x y ⎧=−+−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 整理得：()()()224220x t x t t −+−+−=， 由判别式()2116820t ∆=−−>得：22t <， 由韦达定理，()()()21222x t x t t −−=−11PA x t x t −=−，同理，2PB x t =−，所以()()()()2212555222442PA PB x t x t t t ⋅=⋅−−=⋅−=− 故245PT PA PB =⋅，所以存在45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅恒成立.【反思】设()00,P x y ，过点P 的直线与某圆锥曲线交于A 、B 两点，若要计算PA PB ⋅这种结构，在将直线和圆锥曲线方程联立时，根据弦长公式的需要凑成关于0x x −的这种“整体型”的一元二次方程，可以一定程度上简化计算.4.（★★★★）已知椭圆22:13x y E t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A 、M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（1）当4t =，AM AN =时，求AMN △的面积； （2）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】（1）当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，所以()2,0A −， 如图1，由AM AN =知AMN △为等腰直角三角形，直线AM 的方程为2y x =+联立222143y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得：27127x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或20x y =−⎧⎨=⎩，所以212,77M ⎛⎫− ⎪⎝⎭，由对称性可得212,77N ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故1224144227749AMN S ⎛⎫=⨯−⨯= ⎪⎝⎭△. （2）如图2，由题意可得()A ，直线AM的方程为(y k x =，即1x y k= 记1m k =，则AM的方程为x my =2213x y t +=消去x 整理得：()22360mt y +−=，解得：0y =，所以My =故M A AM y y =−=①在式①中用1m −替换m 可得AN =，因为2AM AN =，所以= ，结合00m t >⎧⎨>⎩整理得：()322136m t m m −=−， 将m 换回成1k 可得322361t k k k ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，从而()32236k t k k −=−②，当k =时，方程②不成立；当k ≠23362k k t k −=−，因为椭圆E 焦点在x 轴上，所以3t >，故233632k k k −>−，从而23212k k k −>−③，当0k <<时，320k −>，不等式③可化为2322k k k −>−，即32220k k k −+−>，所以()()221210k k k +−+>，故()()2120k k +−>，该不等式在0k <时无解，当k >时，320k −<，不等式③可化为2322k k k −<−，即32220k k k −+−<，所以()()2120k k +−<，解得：2k <，结合k >2k <综上所述，k 的取值范围为)【反思】欲求t 的范围，需建立关于k 的不等关系，本题建立k 的不等式用到的是椭圆E焦点在x 轴上，这一条件较为隐蔽.强化训练5.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 在内圆上运动，12AF F △112AF F F ⊥时，132AF =. （1）求椭圆C 的方程；（2）延长直线1AF 与椭圆C 交于点B ，若11F A F B AB λ⋅=，求λ的值. 【解析】（1）设()1,0F c −，()2,0F c ，则222a c b −=①，由题意，()12max122AF F S c b bc =⋅⋅==△②， 当112AF F F ⊥时，直线1AF 的方程为x c =−，代入22221x y a b +=可得，2242222a c b y b a a−=⋅=， 故2b y a=±，从而2132b AF a ==③，联立①②③解得：2a =，b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）由（1）可得()11,0F −，当直线AB 垂直于y 轴时，易求得113F A F B ⋅=，4AB =，所以34λ=，当直线AB 不与y 轴垂直时，设直线AB 的方程为1x my =−，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立2213412x my x y =−⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=， ()()()22236434914410m m m ∆=−+⋅−=+>由韦达定理，122934y y m =−+，从而()()22111212291134m F A F B y y m y y m +⋅==+=+()212212134m AB y y m +=−==+因为11F A F B AB λ⋅=，所以1134F A F B ABλ⋅==综上所述，34λ=.【反思】本题背后有一个简单的结论，设椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左焦点为1F ，AB 是椭圆的过1F 的弦，则211112a AF BF b +=，其实也就是2112AB aAF BFb=⋅，右焦点弦也有同样的结论。
8.圆锥曲线中的弦
弦：一条直线与圆锥曲线相交, 得到两个交点, 弦：一条直线与圆锥曲线相交, 得到两个交点, 两个交点 间的线段叫做弦。 1.弦长问题 1.弦长问题: 弦长问题: 弦长公式:设弦的两个端点分别为 弦长公式 设弦的两个端点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2), 设弦的两个端点分别为 和 斜率为k 斜率为 , 则 |AB|= 1+ k2 | x1 − x2 | = 1+ 若斜率k不存在， 若斜率 不存在，则 | AB|=| y1 − y2 | 不存在
1.弦长问题 1.弦长问题: |AB|= 1+ k2 | x − x | 弦长问题: 1 2
x2 已知斜率为1 【例1】已知斜率为1的直线 过椭圆 + y2 =1的右焦点交 y 椭圆于A 求弦AB的长 的长。 椭圆于A、B两 点，求弦AB的长。 4
l
由条件知AB的方程为 解: 由条件知 的方程为 y = x − 3
A
y
O B M P
x
则2x12-y12=2, 2x22-y22=2, 且x1+x2=2x, y1+y2=2y 两式相减得: 2(x 两式相减得: 2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0 y1 − y2 2(x1 + x2 ) 2x ∴k = = = x1 − x2 y1 + y2 y y −1 ∴ y −1 = 2x 2 2 k= ∴2x − y − 4x + y = 0 又∵ x −2 y x −2 ∴点M 的轨迹方程为 2x2 − y2 − 4x + y = 0
1 | y1 − y2 | 2 k
y1 − y2 分析: 分析 | AB |= (x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) 且 k = x1 − x2
【野生数学】解析几何弦长问题
，消
y
得，
( ) ( ) ( ) k2x2 − 2
k2 + 2
2
x
+
k2
=
0 ，显然
0
，故
x1
+
x2
=
x1
x2
=1
k2 + 2 k2
2 ，则 AB = x1 + x2 + 2 =
k2 + 2 k2
+2=8，
因此可解得 k = 1，即直线 l 为 y = x −1 或 y = −x +1．
此外，我们也提到，若抛物线为 y2 = 2 px ( p 0) 形式，反设直线联立将更加便捷．结合上述分
y2 = 4x
析可知，若反设直线，可设 l
为
x
=
1 k
y
+1
，联立
x
=
1 k
y
，消 +1
x
得，y2
−
4 k
y
−
4
=
0
，同样，
0
，
故
y1
+
y2
=
4 k
，但此时核心条件
AB
=
x1
+
x2
+ 2 用的是 x 的形式，因此还需要代换，由于是一次式，
y1 y2 = −4
故用直线代换，则有
AB
= x1 + x2
第二章 求解、范围与最值问题
第一节 弦长问题
（一）常规类弦长
常规类弦长中所讲解的，主要是端点在曲线上的弦长问题，这类弦长在面积类相关问题也是常 客，对于次类弦长问题，要熟练记忆并使用弦长公式．除了常规类弦长，还有部分非弦长的线段问 题，将在后续提升篇再作讲解．
高中数学 选修1-1 19.双曲线中的弦长问题
19.双曲线中的弦长问题
教学目标 班级____姓名________
1.掌握双曲线中弦长问题的解法.
2.能熟练解决中点弦问题.
教学过程
一、弦长问题.
1.弦长问题的一般解法：
（1）设直线方程和双曲线方程；（若有方程则不用设）
（2）消y ，得到关于x 的一元二次方程：02=++c bx ax ；
（3）韦达定理： a b x x -
=+21，（应用韦达定理，不必求出方程两根） a
c x x =21； （4）弦长公式：2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=.
2.中点弦问题.（已知弦的中点）
方法：（1）设直线与双曲线两交点的坐标),(11y x ，),(22y x ；
（2）将两交点坐标代入双曲线方程；
（3）两式相减，在配凑：一边是斜率，一边是中点；（利用斜率公式和中点公式）
（3）根据已知条件求解.
二、例题分析.
1.弦长问题.
例1：设双曲线的顶点是椭圆14
32
2=+y x 的焦点，该双曲线又与直线06315=+-y x 交于A 、B 两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点）.（1）求双曲线方程；（2）求||AB .
2.中点弦问题.
例2：已知直线l 过点M )1,3(-，且与双曲线14
22
=-y x 交于A 、B 两点，M 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程.
作业：双曲线19422=-x y 递增的渐近线与椭圆14922=+y x 交于M 、N ，求||MN 的长.。
圆锥曲线的弦长问题
THANKS
感谢观看
01
弦长是指连接圆锥曲线上的两点的线段的长度。
02
弦长的计算方法有多种，包括公式法、参数方程法、极坐标法
等。
弦长公式是计算弦长的常用方法，适用于不同圆锥曲线和不同
03
坐标系。
02
圆锥曲线弦长的公式与定 理
圆锥曲线的一般弦长公式
圆锥曲线的一般弦长公式为：$|AB| = frac{2sqrt{D^2 - 4F}}{sqrt{1 - k^2}}$，其中 $D$是曲线的一般方程中x和y的最高次项系数 乘积的一半，$F$是常数项，$k$是弦AB的斜 率。
研究弦长问题在工程学中的应用，如桥梁、建筑的设计等。
弦长问题与其他数学知识的结合
弦长问题与线性代数的结合
探讨弦长问题与线性代数之间的关系，如矩阵 变换、线性方程组等。
弦长问题与解析几何的结合
研究弦长问题与解析几何之间的关系，如参数 方程、极坐标等。
弦长问题与微积分的结合
探讨弦长问题与微积分之间的关系，如求曲线长度、面积等。
函数与导数
在解决函数与导数问题时，有时需要利用弦长公式进行计算。
综合题
在高考数学的综合题中，有时会涉及到弦长问题，需要考生综合 运用所学知识进行解决。
05
弦长问题的变式与拓展
弦长问题的变种形式
弦长与角度的关系
研究弦长与圆锥曲线上的角度之间的关系，如弦的中垂线与曲线的 交点等。
弦长与焦点的关系
探讨弦长与圆锥曲线的焦点距离之间的关系，以及在何种情况下弦 长达到最大或最小值。
实际生活中的弦长问题
01
02
03
桥梁设计
在桥梁设计中，需要计算 通过桥墩的弦长，以确保 桥梁的稳定性和安全性。
弦长切线问题
（3）直线与圆的位置关系一．弦长问题1.弦长公式：2.利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题例1：求直线被圆截得的弦长．例2．一个圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求该圆的方程．二．求圆的切线方程问题：1.已知点在圆上：2. 已知点在圆外：例1.求过圆上一点的圆的切线方程．2. 自点作圆的切线,求切线的方程．例2：自点作圆的切线,求切线的方程．3.从圆外一点向圆引切线，求切线长．例3: 已知圆，求该圆与轴和轴的截距相等的切线的方程.例4：若直线与恰有一个公共点，求实数的取值范围.练习1．已知圆，求该圆与轴和轴的截距的绝对值相等的切线的方程．2．若直线与有两个不同的交点，求实数的取值范围．3．直线与圆的位置关系为：（）相离相切相交但直线不过圆心相交且直线过圆心4．圆到直线的距离为的点共有（）1个2个3个4个5．圆与轴交于两点，圆心为，若，则的值是（ ）6．若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是 （ ）在圆上在圆外 在圆内 不能确定 7．过圆上一点作圆的切线，该切线的方程为 ． 8．与直线垂直，且与圆相切的直线方程是 ． 9．圆截直线所得的弦长等于 ． 10．过向圆引切线，求切线方程并求切线长。
11.从点P (1，－2)引圆(x +1)2+(y －1)2=4的切线，则切线长是( )A.4B.3C.2D.112.以M (－4,3)为圆心的圆与直线2x +y －5=0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )A ．0＜r ＜2B ．0＜r ＜C ．0＜r ＜2D ．0＜r ＜1013.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，并且M ∩N ≠ ，那么b 的取值范围是 .14.求过A (1，2)与B (3，4)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程．15.已知圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称，（1）求k 、b 的值；（2）若这时两圆的交点为A 、B ，求∠AOB 的度数.16．一个圆与轴相切，在直线上截得的弦长为，圆心在直线上，求该圆的方程． 1.（2013山东数学（理））过点作圆的两条切线,切点分别为,,则直线的方程为 （ ） A ． B ． C ． D ．2.（2013江苏卷理）本小题满分14分. 如图，在平面直角坐标系中，点，直线.设圆的半径为1，圆心在上.(1) 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； (2) 若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.3. (2010年广东) 已知圆心在x 的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的方程是。
弦长问题
为x轴，直线y 2 x 1交C所得弦长 |PQ| = 15，求抛物线C的方程.
解：由题意可设C的方程为y mx(m 0)
2
y 2 mx 2 由 得： 2y -my+m=0 y 2x 1
直线与C交于P、Q两点 =m -8m>0
2
解得m<0或m>8
注意：△ 的判断
直线与圆锥曲线
弦长问题
学习目标：
1.熟悉弦长公式； 2.学会弦长公式的初步应用.
预备知识：
1.直线与圆锥曲线的位置关系判断： 代数法、几何法 2.两点间的距离公式：
| AB |
x1 x2
2
y1 y2
2
3.韦达定理：
直线平行于坐标轴时， |AB|=|x1-x2| 或=|y1-y2|
推导：直线方程：y=kx+b
x1 x2 y1 y2 (1 k 2 )( x1 x2 ) 2 y1 kx1 b, y2 kx2 b y1 y 2 k ( x1 x2 )
2 2
|AB| x1 x2
1 k 2
2 2 1 k x x 1 2 4 x1x2
m m 设P(x1 ,y1 ),Q(x 2 ,y 2 ),则y1 +y 2 = ,y1y 2 2 2
| PQ | (1 )[( ) 4 ] 15
1 4 m 2 2 m 2
整理得：m 8m 48 0
2
解得：m=-4或m=12
注意：m的值要满 足前面△>0时m的 范围
2 2
所求抛物线C的方程为：y 4 x或y 12 x
跟踪练习2：
弦长问题
所以，直线l圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２， ０），Ｂ（１，３）．
例1 如图4.2-2，已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x 2 y 2 2 y 4 0 ，判断直线 L 与圆的位置关 系；如果相交，求它们交点的坐标。
求弦AB的长？
| 3 0 1 6 | 3 12来自25＝d＝
10
=
25 10
=
2 .5 ＜
5
所以，直线L与圆相交，有两个公共点．
由
x 3x 2 0
2
，解得
x1 =2 ， x 2 =１．
把 x1 =2 代入方程 3x y 6 0 ，得 y1 ＝０； 把 x 2 ＝１代入方程 3x y 6 0 ，得 y 2 ＝３．
例1 如图4.2-2，已知直线l：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x 2 y 2 2 y 4 0 ，判断直线 L 与圆的位置关 系；如果相交，求它们交点的坐标。
方法一，判断直线L与圆的位 置关系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数解；
y
C
●
0
x
方法二，可以依据圆心到直 线的距离与半径长的关系， 判断直线与圆的位置关系。
解法一：由直线l与圆的方程，得 ① 3x y 6 0
{ x y 2y 4 0
2 2
②
消去y ，得 因为 ⊿=
x 3x 2 0
2
(3) 4 1 2 1 0
2
所以，直线L与圆相交，有两个公共点。
2 2 解法二：圆 x 2 y 2 2 y 4 0 可化为 x ( y 1) 5 ，其 圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C（0，1）到直 线L的距离
弦长问题
已知椭圆 AB
x a
2 22x 2来自- x1 21 k
x 2
1 k
2
- x1
2
1 k
x 2 - x1
2
或 AB
y 2
- y 1 y 2 - y 1
2
1
1 k
2
y 2 - y1
• 当直线与圆锥曲线相交时，如何求相交所得弦的 长度。通常是 • 第一步消去y得到关于x的一元二次方程； • 第二步由韦达定理得两根之和x1+x2与两根之积 x1x2； • 第三步求两根之差的绝对值|x1-x2|； • 第四步由弦长公式 • • 求出弦长。
直线上两点间的距离公式
设直线上两点 则k A （ x 1， y ,1）， B （ x 2 ， y 2），若 k
AB
存在，
y 2 - y1 x 2 - x1
AB
直线上两点间距离公式 AB
x 2
2
- x 1 y 2 - y 1
2
2
2
x 2
- x1 k
2
y b
2 2
1 a b 0 与直线 x 2 y - 2 0 交于 A , B 两点， ，求此椭圆方程。
1 5 且 AB 中点 M m ， 2
解一：将（m，1/2）代入直线方程，得m=1 2 2 x 设椭圆方程： y （ a b 0） 即b² +a² =a² x² y² b² 1
弦长问题
答： 4 26
[2]直线 y=x + 1 被椭圆 2x2 +y2 =10截得的弦 长？
4
答：
14
3
总结二
[1]在把直线方程代入椭圆方程后，所得的一元二次 方程如果好解，就用第一个形式
[2]在把直线方程代入椭圆方程后，所得的一元二次 方程如果不好解，就用第二个形式
[3] 焦 半
对于椭圆x2 a2
y2 b2
或
求
出 直 线
不平行于坐标轴，但 过焦点的直线
与
椭
圆 不平行于坐标轴，也
方 不过焦点的直线
程
两点间距离公式 焦半径公式 弦 长公 式
作业
熟练三种弦长公式各自适用 的情况。
思考：过右焦点的弦长如何计算？
例 经过椭圆 x2 +2y2 = 4 左焦点且倾斜角为 /3的
弦长等于？
解：椭圆左焦点为
F1( 2,0)
,a2,e 2 2
直线方程为： ytg(x 2)
3
把直线方程代入椭圆方程，整理得
7x2122x80x1
x2
12 7
2
所以，弦长等于 l 2ae(x1 x2)
答：10/3
总结一
对于平行于坐标轴的直线与椭圆相交产生的弦长， 由于交点坐标非常好解，故用两点间距离公式就 可以求弦长。
[2] 弦长
l x1x2
1k2
公式 1k2 x1x22 4x1x2
此公式是由：直线斜率 k、弦的端点横坐标 x1 、x2 来求出弦长的。故，在给出直线方程时（既：已知 k），基本都使用这个公式。
1来说，有
径 公
左焦点焦半径公式F1为 P ：aex
弦长取值范围问题(教师版)
PO=，过点P作O的弦，其中最1．已知O的半径为2，点P为O内一定点，且1短的弦的长度是（）A．4 B C．D．2【答案】C【分析】过点P作AB⊥OP，交O于A、B两点，连结OA，OB，由等腰三角形性质可得AP=PB，在Rt△AOP中，AP【详解】解：根据勾股定理，在半径一定的情况下，弦越长，弦心距越短；弦越短，弦心距越长故过点P垂直于OP的弦最短∴过点P作AB⊥OP，交O于A、B两点，连结OA，OB，∵O的半径为2，∴OA=OB=2，∵OP⊥AB，∴AP=PB，在Rt△AOP中，AP，∴AB=2AP=故选择C．【点睛】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，掌握等腰三角形性质，勾股定理，圆的半径相等是解题关键．2．已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】D【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可．【详解】解：∵圆的半径为6，∴直径为12，∵AB是一条弦，∴AB的长应该小于等于12，不可能为14，故选：D．【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小．3．有一个圆的半径为5，则该圆的弦长不可能是（）A．1 B．4 C．10 D．11【答案】D【分析】根据圆的半径为5，可得到圆的最大弦长为10，即可求解．【详解】∵半径为5，∴直径为10，∴最长弦长为10，则不可能是11．故选：D．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解圆的直径是圆的最长的弦是解题的关键．4．已知O的半径是6cm，则O中最长的弦长是（）A．6cm B．12cm C．16cm D．20cm 【答案】B【分析】根据最长的弦是直径进行求解即可．【详解】解：∵在圆中，最长的弦是直径，且O的半径是6cm，∴O中最长的弦长=6×2=12cm，故选：B．【点睛】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解答此题的关键．5．已知在O 中，半径5OA =，弦CD a =，则a 的值不可以是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【分析】根据弦的定义直接可以得到答案.【详解】解：以为半径为5，所以直径为10所以圆中最长的弦为直径10而12＞10 所以12不是此圆的弦故选 D【点睛】本题主要考查了圆中弦的定义，熟记概念是解题的关键.6．已知在O 中，半径5OA =，弦CD a =，则a 的值不可以是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】D【分析】根据直径是圆内最长的线段进行解答即可．【详解】解：因为圆O 的半径OA=5，所以，圆O 的直径为10，故弦CD 的长度不能超过10，所以，选项D 符合题意，故选：D ．【点睛】此题主要考查了圆的有关概念，掌握直径是圆内最长的线段是解答本题的关键． 7．如图，OA 是⊙O 的半径，B 为OA 上一点（且不与点O 、A 重合），过点B 作OA 的垂线交⊙O 于点C ．以OB 、BC 为边作矩形OBCD ，连结BD ．若CD ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【分析】连接OC，先根据矩形的性质和圆的性质得到OC=DB=OA，然后在Rt△OBC中求出OB，然后再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图：连接OC∵矩形OBCD∴∠DCB=90°，BD=OC,OB=DC=6∵DC=6，BC=8∴10=∵OA是⊙O的半径∴OA=BD=OC=10∴AB=OA-OB=10-6=4故答案为C．【点睛】本题主要考查了圆的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，熟练运用相关知识是解答本题的关键．8．已知⊙O 的半径是5cm ，则⊙O 中最长的弦长是（ ）A ．5cmB ．10cmC ．15cmD ．20cm【答案】B【分析】根据圆中最长的弦是直径，且直径的长是半径长的2倍可得答案．【详解】∵⊙O 的半径是5cm ，∴⊙O 中最长的弦，即直径的长为10cm ，故选：B ．【点睛】本意主要考查圆的认识，解题的关键是掌握连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 9．在O 中，半径为5，A 、B 为O 上的点，为60AOB ∠=︒，则弦长AB =________．【答案】5【分析】由ОA =OB ，△OAB 为等边三角形，即可求解．【详解】解：如图，∵OA =OB =5，∠AOB =60°，∴△OAB 为等边三角形，∴AB =5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握同圆或等圆的半径相等是解题的关键．10．A ，B 是半径为3的O 上两个不同的点，则弦AB 的取值范围是________．【答案】06AB <≤【分析】根据直径是圆的最长的弦，即可求解．【详解】解：∵O 的半径为3，∴O 的直径为6，∴O 的最长弦为6，∵A ，B 是O 上两个不同的点，∴06AB <≤．故答案为：06AB <≤．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，理解直径是圆的最长的弦是解题的关键．11．一个半径为2?c m 的圆，其最长的弦的长度为_______． 【答案】4cm【分析】在同圆中最长的弦是直径，根据直径、半径定义的数量关系计算求解．【详解】解：∵圆的半径为2cm ，在同圆中最长的弦是直径，∴直径=半径×2=2×2=4(cm)．故答案为4cm ．【点睛】本题考查圆中关于弦、直径的定义，牢固掌握圆的半径、弦等基本概念是解题关键． 12．已知在O 中最长的弦长8cm ，则O 的半径是____．【答案】4cm【分析】根据圆的直径为圆中最长的弦求解．【详解】解：∵最长的弦长为8cm ，∴⊙O 的直径为8cm ，∴⊙O 的半径为4cm ．故答案为：4cm ．【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．13．若⊙O 的半径为6cm ，则⊙O 中最长的弦为________厘米．【答案】12【详解】解：∵⊙O 的半径为6cm ，∴⊙O 的直径为12cm ，即圆中最长的弦长为12cm ．故答案为12．14．如图，O 的弦AB 和直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ，已知AB=8，CE=2，那么O 的半径长是______．【答案】5【分析】连接OB ，设半径为r ，根据勾股定理进行计算即可．【详解】如图：连接OB∵CD 平分AB ，=8AB∴4AE BE ==设半径为r∵2CE =∴2OE r =-在Rt OEB ∆中：()22224r r =-+解得：=5r故答案为：5【点睛】本题考查了勾股定理，转化相关线段之间的关系是解题关键．15．如果圆的半径为3，则弦长x的取值范围是_____．【答案】0＜x≤6．【分析】根据直径是最长的弦，所以就可以确定弦长的取值范围了.【详解】解：圆的半径为3，则弦中最长的弦即直径的长度是6，因而弦长度的取值范围是0＜x≤6．故答案为：0＜x≤6．【点睛】本题主要考查圆中弦长的取值范围，知道直径是最长的弦是解题的关键.。
高中数学例题：弦长问题
高中数学例题：弦长问题例4．直线l 经过点P （5，5）并且与圆C ：x 2+y 2=25相交截得的弦长为l 的方程．【思路点拨】求弦长问题主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形，进一步求弦长。
【答案】x ―2y+5=0或2x ―y ―5=0【解析】 法一：根据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ―5=k(x ―5)圆心（0，0）到直线的距离d =，在由弦长的一半、半径和距离d 构成的直角三角形中，=，解得12k =或k=2 故直线l 的方程为x ―2y+5=0或2x ―y ―5=0．法二： 根据题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ―5=k(x ―5)与圆C 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）,联立方程225(5)25y k x x y -=-⎧⎨+=⎩，消去y ，得(k 2+1)x 2+10k(1―k)x+25k(k ―2)=0， ∴Δ=[10k(1―k)]2―4(k 2+1)·25k(k ―2)＞0，解得k ＞0． 又12210(1)1k k x x k -+=-+，12225(2)1k k x x k -=+． 由斜率公式，得y 1―y 2=k(x 1―x 2)，∴||AB ===== 两边平方，整理得2k 2―5k+2=0， 解得12k =或k=2，符合题意．故直线l 的方程为x ―2y+5=0或2x ―y ―5=9．【点评 】 设直线l 的方程为ax+by+c=0，圆O 的方程为(x ―x 0)2+(y ―y 0)2=r 2，求弦长的方法有以下两种：（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O 作l 的垂线，垂足C 为线段AB 的中点．如图所示，在Rt △OCB 中，|BC|2=r 2―d 2．则弦长|AB|=2|BC|，即||AB =（2）代数法：解方程组222000()()ax by c x x y y r ++=⎧⎨-+-=⎩， 消元后可得关于x 1+x 2，x 1·x 2或y 1+y 2，y 1·y 2的关系式，则||AB =0)k =≠ 举一反三：【变式1】圆心C 在直线l ：x+2y=0上，圆C 过点M （2，―3），且截直线m ：x ―y ―1=0所得弦长为，求圆C 的方程．【答案】(x ―2)2+(y+1)2=4或(x ―42)2+(y+21)2=1924．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆 C 恒相交，
②求直线 l 被圆C 截得弦长最短长度及
此时的直线方程.
(1)几何法：
如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点， 设弦心距 d,圆的半径 r，弦长为|AB|,
则有
|
AB 2
|
2
d2
r2
，
C
即 | AB | 2 r2 d 2
知二求一
AD B
课前自主回
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(2)代数法：
如图 2，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是 A(x1,y1) B(x2,y2)，则
的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程.
解 设直线l的方程为:
y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
Q x2 y2 4y 21 0，x2 ( y 2)2 25.
圆心C(0,-2),半径r =5.
dO
M(-3,-3) C
x
由题意知弦心距d 5.
r=5
又C到直线l的距离为
l
d | 2 3k 3 | | 3k 1|
k2 1
所以k 4 所以所求直线方程： y 3 4 (x 3) l
即 4x 3y+321 0
3
综上所述，x=-3或4x+3y+21=0
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截
(1)求截得的最长弦所在的直线方程； (2)求截得的最短弦所在的直线方程.
k 2 12
k2 1
所求直线方程为：
x 2y 9 0,或2x y 3 0.
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
x=-3
思考析：：满由d足 |题3k 意1| 的3得直| 3k线1仅| 3此k2 一1 条？ k2 1
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
d 1 2 1 (1)2 2
| AB | 2 r2 d 2 14
y
B
Dr
d
A
O
x
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4 相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式-----韦达定理）
由
y x x2 y2
1
4
消去y
得2x2 2x 3 0
l
A(x1,y1
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
C
B(x2,y2)
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值.
解：（弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
析 (1)l : y 3 2m(x 4)过定点M(4,-3) 因为42 (3)2 6 4 12 (3) 20 15 0 所以M(4，-3)在圆内 从而过M的直线l总与圆C相交
【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y2 6x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取
解（1）圆心 (2, 1) 到直线 3x 4y 17 0 的距离
d | 6 4 17 | 3 32 42
（2）弦长| AB | 2
r2
d2
,r2
8 2
2
d2
25
C D
所以圆的标准方程为 (x 2)2 ( y 1)2 25
A
B
思路方法巧
例 3.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截得
所以k 4 3
所以所求直线方程：
y 3 4 (x 3) 3
A
O
x
d=3 C
MD
即 4x 3y+21 0
l
错因分析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解。
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
析：
(1)因为圆内直径是最长的弦，
O
x
所以直线被圆所截最长的弦过圆心
C M
过M(-3,-3)，C(0,-2)的直线 所求直线方程为：x-3y-6=0
kMC
1 3
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截
(2)求截得的最短弦所在的直线方程.
析：当l CM时，弦心距d最大，
从而让所截得弦长最短.
直线CM的斜率为 kCM
1 3
所求直线l方程
O
x
C M
D
y 3 3(x 3)
即 3x y 12 0
| AB| 2 r2 d2
课堂基础巩固
【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y2 6x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
直线与圆的位置关系
-----弦长问题
研究直线与圆位置关系的两种方法
位置 关系
图形
几 何特 征
判定方法 方程特征
几何法 代数法
相交
有两个不
有两个公共点
d<r
同实根
△>0
相切
有且只有一个 有且只有
d = r △=0
公共点
一个实根
相 没有公共点 无实根 d>r △<0
离
课前自主回顾
求直线与圆相交时弦长的两种方法
析： C : (x 3)2 ( y 6)2 25 圆心C(3,-6) 半径r=5
当 l CM时，所截得弦长最短.
弦长最小值为 2 r2 | CM |2 2 15 当l过C 时，所截得弦长最长.且为10
已知圆C : (x 1)2 ( y 2)2 25及直线
l : (2m 1)x (m 1)y 7m 4(m R)
x1
x2
1,
x1x2
3 2
| AB | (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
(112 )[(1)2 4 ( 3)] 14 2
y
B(x2,y2)
A
O
x
(x1,y1)
例 2.圆心为 (2, 1) 的圆截直线 l : 3x 4y 17 0 所得 的弦长为 8,求圆的方程.
x=-3
思析考：由：4相2+d交2=5时2.得，d=所3 求直线一定有两条？
若（不此1时）是当d=，斜3,与率合不题什存意么在元时，素直有线关方程？x=-3, A
（2）当斜率存在时，设直线l的方程为:
O
x
y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
d=3 C
MD
由d | 3k 1| 3得 | 3k 1| 3 k 2 1