弦长问题
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解（1）圆心 (2, 1) 到直线 3x 4y 17 0 的距离
d | 6 4 17 | 3 32 42
（2）弦长| AB | 2
r2
d2
,r2
8 2
2
d2
25
C D
所以圆的标准方程为 (x 2)2 ( y 1)2 25
A
B
思路方法巧
例 3.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截得
析： C : (x 3)2 ( y 6)2 25 圆心C(3,-6) 半径r=5
当 l CM时，所截得弦长最短.
弦长最小值为 2 r2 | CM |2 2 15 当l过C 时，所截得弦长最长.且为10
已知圆C : (x 1)2 ( y 2)2 25及直线
l : (2m 1)x (m 1)y 7m 4(m R)
(1)几何法：
如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点， 设弦心距 d,圆的半径 r，弦长为|AB|,
则有
|
AB 2
|
2
d2
r2
，
C
即 | AB | 2 r2 d 2
知二求一
AD B
课前自主回
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(2)代数法：
如图 2，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是 A(x1,y1) B(x2,y2)，则
直线与圆的位置关系
-----弦长问题
研究直线与圆位置关系的两种方法
位置 关系
图形
几 何特 征
判定方法 方程特征
几何法 代数法
相交
有两个不
有两个公共点
d<r
同实根
△>0
相切
有且只有一个 有且只有
d = r △=0
公共点
一个实根
相 没有公共点 无实根 d>r △<0
离
课前自主回顾
求直线与圆相交时弦长的两种方法
的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程.
解 设直线l的方程为:
y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
Q x2 y2 4y 21 0，x2 ( y 2)2 25.
圆心C(0,-2),半径r =5.
dO
M(-3,-3) C
x
由题意知弦心距d 5.
r=5
又C到直线l的距离为
l
d | 2 3k 3 | | 3k 1|
l
A(x1,y1
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
C
B(x2,y2)
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值.
解：（弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
x1
x2
1,
x1x2
3 2
| AB | (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
(112 )[(1)2 4 ( 3)] 14 2
y
B(x2,y2)
A
O
x
(x1,y1)
例 2.圆心为 (2, 1) 的圆截直线 l : 3x 4y 17 0 所得 的弦长为 8,求圆的方程.
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
d 1 2 1 (1)2 2
| AB | 2 r2 d 2 14
y
B
Dr
d
A
O
x
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4 相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式-----韦达定理）
由
y x x2 y2
1
4
Hale Waihona Puke Baidu
消去y
得2x2 2x 3 0
k 2 12
k2 1
所求直线方程为：
x 2y 9 0,或2x y 3 0.
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
x=-3
思考析：：满由d足 |题3k 意1| 的3得直| 3k线1仅| 3此k2 一1 条？ k2 1
析：当l CM时，弦心距d最大，
从而让所截得弦长最短.
直线CM的斜率为 kCM
1 3
所求直线l方程
O
x
C M
D
y 3 3(x 3)
即 3x y 12 0
| AB| 2 r2 d2
课堂基础巩固
【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y2 6x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
析：
(1)因为圆内直径是最长的弦，
O
x
所以直线被圆所截最长的弦过圆心
C M
过M(-3,-3)，C(0,-2)的直线 所求直线方程为：x-3y-6=0
kMC
1 3
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截
(2)求截得的最短弦所在的直线方程.
①证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与
圆 C 恒相交，
②求直线 l 被圆C 截得弦长最短长度及
此时的直线方程.
k2 1
所以k 4 所以所求直线方程： y 3 4 (x 3) l
即 4x 3y+321 0
3
综上所述，x=-3或4x+3y+21=0
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截
(1)求截得的最长弦所在的直线方程； (2)求截得的最短弦所在的直线方程.
x=-3
思析考：由：4相2+d交2=5时2.得，d=所3 求直线一定有两条？
若（不此1时）是当d=，斜3,与率合不题什存意么在元时，素直有线关方程？x=-3, A
（2）当斜率存在时，设直线l的方程为:
O
x
y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
d=3 C
MD
由d | 3k 1| 3得 | 3k 1| 3 k 2 1
析 (1)l : y 3 2m(x 4)过定点M(4,-3) 因为42 (3)2 6 4 12 (3) 20 15 0 所以M(4，-3)在圆内 从而过M的直线l总与圆C相交
【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y2 6x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
所以k 4 3
所以所求直线方程：
y 3 4 (x 3) 3
A
O
x
d=3 C
MD
即 4x 3y+21 0
l
错因分析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解。
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
d | 6 4 17 | 3 32 42
（2）弦长| AB | 2
r2
d2
,r2
8 2
2
d2
25
C D
所以圆的标准方程为 (x 2)2 ( y 1)2 25
A
B
思路方法巧
例 3.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截得
析： C : (x 3)2 ( y 6)2 25 圆心C(3,-6) 半径r=5
当 l CM时，所截得弦长最短.
弦长最小值为 2 r2 | CM |2 2 15 当l过C 时，所截得弦长最长.且为10
已知圆C : (x 1)2 ( y 2)2 25及直线
l : (2m 1)x (m 1)y 7m 4(m R)
(1)几何法：
如图 1，直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点， 设弦心距 d,圆的半径 r，弦长为|AB|,
则有
|
AB 2
|
2
d2
r2
，
C
即 | AB | 2 r2 d 2
知二求一
AD B
课前自主回
求直线与圆相交时弦长的两种方法
(2)代数法：
如图 2，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是 A(x1,y1) B(x2,y2)，则
直线与圆的位置关系
-----弦长问题
研究直线与圆位置关系的两种方法
位置 关系
图形
几 何特 征
判定方法 方程特征
几何法 代数法
相交
有两个不
有两个公共点
d<r
同实根
△>0
相切
有且只有一个 有且只有
d = r △=0
公共点
一个实根
相 没有公共点 无实根 d>r △<0
离
课前自主回顾
求直线与圆相交时弦长的两种方法
的弦长为 4 5 ,求直线 l 的方程.
解 设直线l的方程为:
y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
Q x2 y2 4y 21 0，x2 ( y 2)2 25.
圆心C(0,-2),半径r =5.
dO
M(-3,-3) C
x
由题意知弦心距d 5.
r=5
又C到直线l的距离为
l
d | 2 3k 3 | | 3k 1|
l
A(x1,y1
| AB | (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 1 k 2 | x1 x2 | 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
C
B(x2,y2)
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值.
解：（弦心距,半弦及半径构成的直角三角形）
x1
x2
1,
x1x2
3 2
| AB | (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
(112 )[(1)2 4 ( 3)] 14 2
y
B(x2,y2)
A
O
x
(x1,y1)
例 2.圆心为 (2, 1) 的圆截直线 l : 3x 4y 17 0 所得 的弦长为 8,求圆的方程.
设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则
d 1 2 1 (1)2 2
| AB | 2 r2 d 2 14
y
B
Dr
d
A
O
x
例1．已知直线 y=x+1 与圆 x2 y2 4 相交于A,B两点， 求弦长|AB|的值
解法二：（弦长公式-----韦达定理）
由
y x x2 y2
1
4
Hale Waihona Puke Baidu
消去y
得2x2 2x 3 0
k 2 12
k2 1
所求直线方程为：
x 2y 9 0,或2x y 3 0.
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.
x=-3
思考析：：满由d足 |题3k 意1| 的3得直| 3k线1仅| 3此k2 一1 条？ k2 1
析：当l CM时，弦心距d最大，
从而让所截得弦长最短.
直线CM的斜率为 kCM
1 3
所求直线l方程
O
x
C M
D
y 3 3(x 3)
即 3x y 12 0
| AB| 2 r2 d2
课堂基础巩固
【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y2 6x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
析：
(1)因为圆内直径是最长的弦，
O
x
所以直线被圆所截最长的弦过圆心
C M
过M(-3,-3)，C(0,-2)的直线 所求直线方程为：x-3y-6=0
kMC
1 3
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截
(2)求截得的最短弦所在的直线方程.
①证明：不论 m 取什么实数，直线 l 与
圆 C 恒相交，
②求直线 l 被圆C 截得弦长最短长度及
此时的直线方程.
k2 1
所以k 4 所以所求直线方程： y 3 4 (x 3) l
即 4x 3y+321 0
3
综上所述，x=-3或4x+3y+21=0
【变式 2】过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0 所截
(1)求截得的最长弦所在的直线方程； (2)求截得的最短弦所在的直线方程.
x=-3
思析考：由：4相2+d交2=5时2.得，d=所3 求直线一定有两条？
若（不此1时）是当d=，斜3,与率合不题什存意么在元时，素直有线关方程？x=-3, A
（2）当斜率存在时，设直线l的方程为:
O
x
y+3=k(x+3),即kx-y+3k-3=0.
d=3 C
MD
由d | 3k 1| 3得 | 3k 1| 3 k 2 1
析 (1)l : y 3 2m(x 4)过定点M(4,-3) 因为42 (3)2 6 4 12 (3) 20 15 0 所以M(4，-3)在圆内 从而过M的直线l总与圆C相交
【练习】 已知直线 l : 2mx y 8m 3 0 和圆 C : x2 y2 6x 12 y 20 0 (1) m R 时，证明 l 与 C 总相交； (2) m 取何值时， l 被 C 截得弦长最值，求此弦长.
所以k 4 3
所以所求直线方程：
y 3 4 (x 3) 3
A
O
x
d=3 C
MD
即 4x 3y+21 0
l
错因分析：遗漏了斜率不存在的情形而造成漏解。
【变式 1】.过点 M (3, 3) 的直线 l 被圆 C : x2 y2 4 y 21 0
所截得的弦长为 8 ,求直线 l 的方程.