阶梯型矩阵概念

2
5
1 2 3 4
1
1
0
2
1
2
2 4
3
4
r4 2r1
5 1
0 1 3 2
0
2
5
5
1 1 0 2
1 1 0 2
1 0 0 27
r2
r3
0
0
0
1 2 2
3 5 5
2 5
r4 r3
0
r3 2r2 0
5
0
1 0 0
3 1 0
2
9
0
r3
r2 3r°3 r1 r°2
0
0
0
1 0 0
0 1 0
25
9
0
线性代数
阶梯型矩阵
定义 满足下列条件的矩阵称为（行阶）阶梯型矩阵:
(i) 如一行元素全为零, 则它下方的行(如有)也全为零;
(ii) 如某一行元素不全为零, 并且第一个不为零的元素位于第 i 列,
则它下方所有的行(如果存在)的前 i 个元素全为零.
1 1 0 2
0
1
3
2
0 0 1 9
0
0
0
0
线性代数
阶梯型矩阵
练习：判断下列矩阵是否为阶梯型矩阵？
1 1 1 2
A
0
0
1
2
0 0 0 5
1 2
B
0 0
1 0
1 0 0
C
0
1Fra Baidu bibliotek
0
0 1 1
线性代数
阶梯型矩阵
定理 任一矩阵经若干次初等行变换后均可化为阶梯型.
a11 a12 a13 L
0
0
0
1 0 0
0 1 0
25
9
0
线性代数
矩阵的初等变换
定义 满足下列条件的阶梯型矩阵称为行阶最简行型矩阵: (i) 非零行的非零首元为1; (ii) 非零行的非零首元所在的这一列其他元素都为0.
1 1 0 2
A
0
0
1
2
0 0 0 0
1 0 0 2
B
0
1
1
2
0 0 1 0
1 1 0
0
2
5
2
5
1 2 3 4
1
1
0
2
1
2
2 4
3
4
r4 2r1
5 1
0 1 3 2
0
2
5
5
1 1 0 2
1 1 0 2
1 0 0 27
r2
r3
0
0
0
1 2 2
3 5 5
2 5
r4 r3
0
r3 2r2 0
5
0
1 0 0
3 1 0
2
9
0
r3
r2 3r°3 r1 r°2
a21
a22
a23 L
A a31 a32 a33 L
M
M
M
am1 am2 am3 L
a1n
a2n
a11 a12 a13 L
0
a%22
a%23 L
a3n M amn
0 M 0
a%32 M a%m2
a%33 M a%m3
L L
a1n
a%2n
a%3n M a%mn
线性代数
深圳大学 数学与统计学院
线性代数
第一章 矩阵与初等变换
1.4 阶梯型矩阵概念
例 求线性方程组的解.
2x 4 y 5z 1
x
3
y
5z
3
x
2 y 3z 4
x y
2
线性代数
回顾
2 4 5 1
1 1 0
1
3
5
3
r1
r4
1
3
5
2
3
r2 r1 r3 r1
1 1 0
0
2
5
线性代数
矩阵的初等变换
例 求线性方程组的解.
x1 5x2 x3 x4 1
x1 2x2 x3 3x4 3x1 8x2 x3 x4
3 1
x1 9x2 3x3 7x4 7
例 求线性方程组的解.
1 5 1 1 1
1 2 1
3
3
3 8 1 1 1
1 9 3
7
7
线性代数
阶梯型矩阵
例 通过初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵.
2 3 3 2
A
1 1
1 1
1 2
2 1
线性代数
阶梯型矩阵
例 通过初等行变换将矩阵A化为阶梯形矩阵.
2 3 3 2
A
1 1
1 1
1 2
2 1
线性代数
矩阵的初等变换
2 4 5 1
1 1 0
1
3
5
3
r1
r4
1
3
5
2
3
r2 r1 r3 r1