第27讲 Z反变换方法

例
已 知F ( z )
z2
z 2z 1
,
z 1， 求f (n)。
解
z 1 2z 2 3z 3 4z 4 z2 2z 1 z
z 2 z 1
2 z 1
2 4z 1 2z 2
3z 1 2z 2
3z 1 6z 2 3z 3
因为 F (z) f (0)z0 f (1)z 1 f (2)z 2
4z 2 3z 3 4z 2 8z 3 4z 4
5z 3 4z 4
所以
f
( n)
0,
1,
2,
3,
4,
部分分式展开法
z变换式的一般形式
F(z)
N(z) D(z)
b0 b1 z b2 z 2 a0 a1z a2 z 2
br 1 z r 1 br z r ak 1z k 1 ak z k
k12Fra Baidu bibliotek( z 1)2
k2 z
k2
z
1
zz 12
z0
1
k12
z 12
1
zz 12
z 1
1
k11
1 (2 1)!
d dz
z 12
1
z
z
12
1
z 1
所以
F(z)
z
z
z 1 ( z 1)2
1
f (n) (n) n (n) (n)
f (n) 5 2n (n) 5 (n)
（2） F(z)仅含重极点
则可展开为
F (z)
N (z) ( z z1)m
各系数
F (z) z
k11 ( z z1)m
(z
k12 z1 )m-1
k1m z z1
k0 z
k1n
1
d n 1
(n 1)! dz n1
( z
z1 )m
F (z) z z z1
第5章 离散系统的Z域分析
•本章导读：
•如同拉普拉斯变换在分析连续时间系统的作用一样，通过Z变换 可以将描述离散系统的差分方程变换为代数方程，简化离散系统 响应的求解。
•描述离散系统的单位脉冲响应经Z变换得到离散系统的Z域系统 函数，观察Z域系统函数的零、极点分布，可进一步分析系统的 时域特性和稳定性等。
z
z1 z2
1 2 z1 z2
部 分 分 式 乘 以 z F(z) z 2z z1 z2
( n ) 2( 2)n ( n ) ( 2 n1 1) ( n )
例2： F (z)
1 ( z 1)2
,
z
1, 求 f (n)。
解
F (z)
1
z z( z 1)2
k11 z 1
第5章 主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4
Z变换的定义与性质 Z反变换的计算方法 离散系统的Z域分析 Z系统函数及应用
z 反变换方法
幂级数展开法 部分分式展开法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数。其各项的系数就是相应的序列值。
z0 0
( i = 0，1，2，n )
例 则 系数
故 反变换
F(z)
5z
( z 1)( z 2)
F(z)
5
k1 k2
z ( z 1)( z 2) z 1 z 2
k1
(z
1) F (z) z
z 1
5
k2
(z
2) F (z) z
z2
5
F(z) 5z 5z z 1 z 2
( n = 1，2，m )
注意：除了对
F
(z z
)
展开分式外，方法与拉氏变换一样
。
例1：已 知F ( z )
z2
，ROC
( z 1)( z 2)
:
z
2, 求 f (n)。
解 F (z) 除 以 z
F(z)
z
z
( z 1)( z 2)
将 F(z) 展 开 为 部 分 分 式 z
F ( z ) k1 k2
步骤
• 对 F (z) 进 行 部 分 分 式 展 开 z
• F(z) z z
• 查反变换表
部分分式展开法：
➢
已知F(z)后，应先对F (z) 展开部分分式。 z
（1）若 F(z)仅有n个一阶单极点，则可展开为
式中系数
F ( z) n ki ，
z
i 0 z zi
ki
F(z) (z z
zi ) z zi