第27讲 Z反变换方法
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九年及数学中考专题数与代数第二十七讲专题讲座北师大版公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
能用有理数预计一个无理数大体范 围；
能用非负数性质解题，会利用数轴 比较大小并进行绝对值化简；
能在运算中灵活利用运算率简化运 算.
第8页
三.考点透视 2．应用方法： 代数式部分：
列代数式求值更多是整体代入求 值求法；能灵活地运用运算率与乘法 公式简化计算过程，如幂运算性质和 乘法公式逆向应用；
分式中字母取值变化，使分式本 身有没故意义或值为零等；对于分式 化简求值一般是先化简后求值，分式 运算结过要化成最简分式.
1．考点要求： 代数式部分：
掌握代数式、整式；会求代数式值；会 进行整式加、减、乘、除、乘方等简朴运算. 其中包括整式合并同类项、幂运算、乘法公 式、单项式与单项式相乘、单项式与多项式 相乘、多项式与多项式相乘及整式除法.
分式意义和基本概念是中考必考内容； 分式运算和分式混合运算也是中考一个热点， 因此掌握分式基本性质及其化简求值.
解：B.
第21页
四.例题精讲 例6（·湖南）将连续自然数1至36 按图2方式排成一个正方形阵列，用 一个小 正方形任意圈出其中9个数，设圈出9 个 数中心数为a，用含a代数式表示这9 个数和为 .
第22页
四.例题精讲
思绪分析：观测正方形阵列，能够发觉其中
规律.能够用中心数a表示其它八个数， 依次为， a 7，a 6，a 5，a 1， 那么这九个a 数1，和a为 5，a. 6，a 7
136515亿元，136515亿元（用科学 计数法表
示，且保留四个有效数字）为（ ）
A.1.365×1012元 B.1.3652×1013 元
C.13.652×1012元 D.1.365×1013元
第17页
四.例题精讲
例4 （·四川广安）计算：
能用非负数性质解题，会利用数轴 比较大小并进行绝对值化简；
能在运算中灵活利用运算率简化运 算.
第8页
三.考点透视 2．应用方法： 代数式部分：
列代数式求值更多是整体代入求 值求法；能灵活地运用运算率与乘法 公式简化计算过程，如幂运算性质和 乘法公式逆向应用；
分式中字母取值变化，使分式本 身有没故意义或值为零等；对于分式 化简求值一般是先化简后求值，分式 运算结过要化成最简分式.
1．考点要求： 代数式部分：
掌握代数式、整式；会求代数式值；会 进行整式加、减、乘、除、乘方等简朴运算. 其中包括整式合并同类项、幂运算、乘法公 式、单项式与单项式相乘、单项式与多项式 相乘、多项式与多项式相乘及整式除法.
分式意义和基本概念是中考必考内容； 分式运算和分式混合运算也是中考一个热点， 因此掌握分式基本性质及其化简求值.
解：B.
第21页
四.例题精讲 例6（·湖南）将连续自然数1至36 按图2方式排成一个正方形阵列，用 一个小 正方形任意圈出其中9个数，设圈出9 个 数中心数为a，用含a代数式表示这9 个数和为 .
第22页
四.例题精讲
思绪分析：观测正方形阵列，能够发觉其中
规律.能够用中心数a表示其它八个数， 依次为， a 7，a 6，a 5，a 1， 那么这九个a 数1，和a为 5，a. 6，a 7
136515亿元，136515亿元（用科学 计数法表
示，且保留四个有效数字）为（ ）
A.1.365×1012元 B.1.3652×1013 元
C.13.652×1012元 D.1.365×1013元
第17页
四.例题精讲
例4 （·四川广安）计算：
7.2反Z变换
k −1 k −1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1d z
Z平面 平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义：离散信号由zk-1 信号的围线积分组成 围线积分组成 物理意义：离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法 反变换的求法
1.部分分式展开法 部分分式展开法 2.幂级数展开法 幂级数展开法 3.留数法 留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1
∴x[k] = Re s[ X (z)zk −1] + Re s[ X (z)zk −1] = [1+ (−0.5)k ]u[k]
z=1 z=−0.5
x[ k ] =
1 2π j
∫
C
X ( z ) z k −1d z
Z平面 平面
Im
Re
闭合曲线C 闭合曲线
物理意义：离散信号由zk-1 信号的围线积分组成 围线积分组成 物理意义：离散信号由z 信号的围线积分
Z反变换的求法 反变换的求法
1.部分分式展开法 部分分式展开法 2.幂级数展开法 幂级数展开法 3.留数法 留数法
1 d B = [(1 − 2 z − 1 ) 2 X ( z )] | z = 2 ( − 2 ) d ( z −1 ) 1 d 2 = [ ] |z = 2 −1 −1 (−2) d ( z ) 1 − 4 z −4 = | = −4 −1 2 z = 2 (1 − 4 z )
2 4 8 X ( z ) = 1− − + −1 2 −1 (1− 2z ) 1− 2z 1− 4z −1
5 −1 3− z 1 6 X (z) = , z > , 求 x[ k ] 1 −1 1 −1 3 1 − z 1 − z 4 3
1 2 A1 A2 = + X ( z) = + 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 − z 1 − z 1 − z 1 − z 4 3 4 3
−1 2
2 C = 1 − 4 z X ( z ) |z = 4 = | =8 −1 2 z = 4 (1 − 2 z )
−1
Z反变换
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
Z[ax(n) by(n)] aX (z) bY (z), max( Rx , Ry ) z min( Rx , Ry )
6. 翻褶序列
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x(n)] X (1) ; 1 z 1
z
Rx
Rx
证明： Z[x(n)] x(n)zn x(n)zn
n
n
x(n)(z1)n
n
X
(
1 z
)
，Rx
z 1
Rx ，
即 1 z 1
Rx
Rx
7. 初值定理
对于因果序列x(n)，则x(0) lim X (z)。 z
.. .
1+ —14 Z-1 +11—6 Z-2 + 6—14 Z -3...
Z- —1 ) Z 4 Z- —14
—14 —14 - —116 Z-1
—116 Z-1 —116 Z-1- —614 Z-2
—614 Z -2 —614 Z-2 - —215—6 Z-3
—215—6 Z-3
...
得X (z) 1 ( z 5 z 4 z 3 z 2 4z 15 64 16 4
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。
反Z变换
A = Re s[ X (z) ] P 4 0 表2 - 1 k z=zk z 1 d r−k r x(z) Ck = r−k [(z − zi ) (r − k)! dz z z=z , k=1,2⋯r i
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
8
例:求 X (z) =1 (1− 2z−1) (1− 0.5z−1) , z > 2 的z反变换
1/ 4
0
4 Re[ z ]
6
2.部分分式法 2.部分分式法 X(z)是 的有理分式，可分解成部分分式： X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：
B(z) X (z) = = X1(z) + X2 (z) +⋯+ XK (z) A(z)
对各部分分式求z反变换： 对各部分分式求z反变换：
x(n) = Z −1[ X (Z)] = Z −1[ X1(Z)] + Z −1[ X2 (Z)] +... + Z −1[ XK (Z)]
1− az−1 az−1 az−1 − a2 z−2 a2 z−2 X (z) =1+ az−1 + a2z−2 + a3z−3 +… a2 z−2 − a3z−3 ∞ a3z−3 = an z−n ⋮
∑
n=0
∴x(n) = anu(n)
11
1 例：用长除法求 X (z) = , < z < 4 z反变换 1 4 (4 − z)(z − ) 4
7
B(z) X (z) = = A(z)
M N
bi z−i ∑ 1+ ∑ai z−i
i=1 i=0 N
M
r Ak Ck −n X (z) = ∑Bn z +∑ + −1 ∑ 1− zk z k=1 (1− zi z−1)k n=0 k =1
Z反变换
s j 1
Bj z z zi j
2020/6/23
Am的求取方法就是一阶极 点的求取方法
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
(z zi )s
X (z)
z
zzi
高阶极点时，X(z)还可以展开成
X (z)
A0
M m1
Am z
z zm
s j 1
Cj z z zi j
这时，Cs
( z
(1), z 3时，x(n)是右边序列
x(n)
2 3
(n)
0.5n
1 3
3n
u(n)
2 (n) 0.5n 3n1 u(n) 3
x(n) lim x(z) 0 z
2020/6/23
(2), z 0.5时，x(n)是左边序列
x(n)
2
(n)
1
n
u(n
1)
3n1u(n
1)
3
2
x(n) lim x(z) 0
n
u
(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
x(n)
2 3
(n)
1 2
n
u(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
(3),0.5 z 3时，双边序列
n 1时，围线内极点z 0.5
2020/6/23
x(n) Res X (z)zn1 z0.5
1 2
n
,
n
1
n 0时，围线内极点
z 0, z 0.5
15 z2 45 z3 30 z4
31z3 30z4 x(n) (2n 1)u(n)
第27讲 化学反应速率、平衡图像(讲义)(原卷版)
第27讲化学反应速率、平衡图像目录考情分析网络构建考点一速率图像【夯基·必备基础知识梳理】知识点1 速率—时间图像知识点2 速率—压强(或温度)图像知识点3 物质的量(或浓度)—时间图像【提升·必考题型归纳】考向1 考查速率-时间图像考向2 考查速率—压强(或温度)图像考向3 考查浓度或物质的的量-时间图像考点二平衡图象【夯基·必备基础知识梳理】知识点1 转化率(或百分含量)—时间—温度(或压强)图像知识点2 恒温线或恒压线图像知识点3 反应过程中组分含量或浓度与温度的关系图像【提升·必考题型归纳】考向1 考查转化率(或百分含量)—时间—温度(或压强)图像的分析判断考向2 考查恒温线或恒压线图像的分析判断考向3 考查组分含量或浓度与温度的关系图像的分析判断考向4 考查化学平衡曲线外的非平衡点分析考点三图像类分析方法【夯基·必备基础知识梳理】知识点1 速率图像分析知识点2 平衡图像分析【提升·必考题型归纳】考向1 考查化学反应速率图像分析考向2 考查化学平衡综合图像分析真题感悟考点一速率图像知识点1 速率—时间图像1.“渐变”类v－t图像2.“断点”类v－t图像3.“平台”类vt图像4.全程速率—时间图像例如：Zn与足量盐酸的反应，化学反应速率随时间的变化出现如图所示情况。
原因：(1)AB段(v增大)，反应放热，溶液温度逐渐升高，v增大。
(2)BC段(v减小)，溶液中c(H＋)逐渐减小，v减小。
知识点2 速率—压强(或温度)图像1.对于速率～温度曲线，温度改变后，吸热反应速率变化大，放热反应速率变化小。
即吸热大变，放热小变。
以mA＋nB pC＋qD；△Ｈ＝Ｑ为例2.对于速率～压强曲线，压强改变后，气体体积之和大的一侧反应速率变化大，气体体积之和小的一侧反应速率变化小。
以mA(g)＋nB(g)pC(g)＋qD(g)；△Ｈ＝Ｑ为例【名师点拨】这类图像中曲线的意义是外界条件(如温度、压强等)对正、逆反应速率影响的变化趋势及变化幅度。
附_z反变换
于是脉冲序列可以写成 ∗
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
同济大学数字信号处理课件第二章2z反变换
1 F ( z )在围线c内只有一阶极点z 4 x ( n ) Re s[ F ( z )] 1
z
j Im[ z ]
C
1 z n 1 ( z ) 1 4 (4 z )( z 1/ 4) z 4 n 4 15
4
1/ 4
0
4 Re[ z ]
当n 1时 1 F ( z )在围线c内有一阶极点z 和-(n 1)阶极点z 0 4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式
X ( z ) [a 1 z a 2 z 2 a 3 z 3 …] - an z n
n 1
x(n) a n u( n 1)
z 例：X ( z ) ， 1/4< z 4，求z反变换 (4 z )( z 1/ 4)
2
解：X(z)的Roc为环状，故x(n)是双边序列 极点z=1/4对应右边序列，极点z=4对应左边序列 先把X(z)展成部分分式
z2 例1：X ( z ) ， 1/4< z 4，求其z反变换 (4 z )( z 1/ 4) z2 n 1 解：x (n ) z dz c ( Rx , Rx ) 2 j c (4 z )( z 1/ 4) 2 n 1 z z n 1 其中：F ( z ) z (4 z )( z 1/ 4) (4 z )( z 1/ 4) 当n 1时 1
根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 Rx z Rx , （Rx 0, Rx ） 内是解析的，则 在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即
X ( z)
而
Cn
n
n C z n
Z反变换方法
信号与系统
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
第27讲 Z反变换方法
z
z1 z2
1 2 z1 z2
部 分 分 式 乘 以 z F(z) z 2z z1 z2
( n ) 2( 2)n ( n ) ( 2 n1 1) ( n )
例2： F (z)
1 ( z 1)2
,
z
1, 求 f (n)。
解
F (z)
1
z z( z 1)2
k11 z 1
z0 0
( i = 0，1，2，n )
例 则 系数
故 反变换
F(z)
5z
( z 1)( z 2)
F(z)
5
k1 k2
z ( z 1)( z 2) z 1 z 2
k1
(z
1) F (z) z
z 1
5
k2
(z
2) F (z) z
z2
5
F(z) 5z 5z z 1 z 2
( n = 1，2，m )
注意：除了对
F
(z z
)
展开分式外，方法与拉氏变换一样
。
例1：已 知F ( z )
z2
，ROC
( z 1)( z 2)
:
z
2, 求 f (n)。
解 F (z) 除 以 z
F(z)
z
z
( z 1)( z 2)
将 F(z) 展 开 为 部 分 分 式 z
F ( z ) k1 k2
例
已 知F ( z )
z2
z 2z 1
,
z 1， 求f (n)。
解
z 1 2z 2 3z 3 4z 4 z2 2z 1 z
z 2 z 1
2 z 1
2 4z 1 2z 2
Z反变换方法
例
已 知F (z)
z2
z 2z 1
,
z 1， 求f (n)。
解
z 1 2z 2 3z 3 4z 4
z2 2z 1 z
z 2 z1
2 z 1
2 4z 1 2z 2
3z 1 2z 2
3z1 6z 2 3z3
因为 F (z) f (0)z0 f (1)z 1 f (2)z 2
z
z
12
z1
1
所以
F(z)
z z1
z (z 1)2
1
f (n) (n) n (n) (n)
(n) 2(2)n (n) (2n1 1) (n)
例2：
F(z)
(z
1 1)2
,
z
1, 求f
(n)。
解
F(z)
1
z z(z 1)2
k11 z1
k12 (z 1)2
k2 z
1
k2 z zz 12 z0 1
k12
z
12
zz
1
12
z1
1
k11
(2
1 1)!
d dz
z
12
1
第5章 主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4
Z变换的定义与性质 Z反变换的计算方法 离散系统的Z域分析 Z系统函数及应用
z 反变换方法
• 幂级数展开法 • 部分分式展开法
幂级数展开法
F(z) f (n)zn n0 f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是 z-1的幂级数。其各项的系数就是相应的序列值。
• 对 F(z) 进 行 部 分 分 式 展 开 z
Z变换公式——精选推荐
Z变换公式——精选推荐Z变换是一种常用的数学工具，用于分析离散时间信号和系统。
它是傅里叶变换在离散时间域上的推广，可以将离散时间域上的信号或系统转换为复平面上的Z域。
Z变换广泛应用于信号处理、控制系统和通信系统等领域。
在Z变换的计算中，有一些重要的公式被广泛应用。
下面是一些精选的Z变换公式：1.Z平移定理如果序列x(n)的Z变换为X(z)，那么对于任意整数k，x(n-k)的Z变换为z^(-k)X(z)。
这个公式可以表示离散时间序列的平移操作。
2.反转定理如果序列x(n)的Z变换为X(z)，那么序列x(-n)的Z变换为X(1/z)。
这个公式表示序列的反转操作对应于Z平面上对称的操作。
3.Z域的卷积定理对于两个序列x1(n)和x2(n)，它们的卷积操作x(n)=x1(n)*x2(n)的Z变换为X(z)=X1(z)X2(z)，其中X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的Z变换。
这个公式使得计算卷积操作变得更加简单，只需要对序列的Z变换进行乘法运算。
4.Z域的时移定理如果序列经过时移操作x(n-k)，那么它的Z变换为Z^(-k)X(z)，其中X(z)是原序列的Z变换。
这个公式表示时移操作对应于Z域上的将序列乘以一个Z的幂次的操作。
5.Z域的初始值定理如果一个序列x(n)的Z变换为X(z)，那么序列的初始值x(0)等于X(1)。
这个公式是根据定义得到的，表示序列在n=0时的值等于Z变换在z=1时的值。
6.Z域的终值定理如果一个序列x(n)的Z变换为X(z)，并且序列是因果的，即x(n)=0，当n小于0时，那么序列的终值x(infinity)等于lim_(z->1) [(1-z^-1)X(z)]。
这个公式表示因果序列在无穷远处的值等于计算X(z)关于z=1的泰勒级数截断的结果。
7.Z域的加法定理对于两个序列x1(n)和x2(n)，它们的和序列x(n)=x1(n)+x2(n)的Z变换为X(z)=X1(z)+X2(z)，其中X1(z)和X2(z)分别是x1(n)和x2(n)的Z变换。
z反变换的留数法
z反变换的留数法
反变换的留数法是一种计算反向Laplace变换的方法，也称为留数方法。
它将Laplace变换的积分转换为复平面上的留数计算，并使用留数定
理来计算反变换。
设 $F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}$，其中$s$为复平面上的复变量。
反
变换的留数法的基本思路是，先找出函数$F(s)$在复平面上的所有孤立奇点，然后计算这些奇点上的留数，最后使用留数定理将反变换表示成积分
形式。
留数定理的表述如下：
设$f(z)$在$z_0$处有一个$n$阶极点，则$f(z)$在$z_0$处的留数为：$$Res[f(z),z_0]=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}[(z-z_0)^n f(z)]$$。
根据留数定理，反变换的留数法可以写作：
$$\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi i}\lim_{T \to
\infty} \int_{\gamma-iT}^{\gamma+iT} F(s)e^{st}ds=\sum_i
Res[F(s)e^{st},s_i]$$。
其中，$\gamma$是收敛线，$s_1,s_2,...,s_n$是复平面上$F(s)$的
所有孤立奇点。
因此，要计算反变换，需要先找出函数$F(s)$的所有奇点，并计算它
们上的留数，然后将这些留数相加即可得到反变换。
此方法适用于计算一
些简单的反变换，但对于具有复杂奇点分布的函数，计算留数非常困难，
需要采用其他方法。
z变换,反Z变换两部分补充PPT
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
Z变换补充材料
15
逆Z变换
2、高阶极点 当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修
Bk z k
1
j Im[ z ]
n
n
a z
Z平面 收敛域
0
a
Re[ z ]
为保证收敛，则
X ( z) 1
z 1 或 | z || a | a
1 z z 1 ( a ) z a | z | | a |
Z变换补充材料
3
Z变换的定义
例3：求序列 x (n)= 解： ( z ) X (1/3)|n| 的Z变换。
零点：0，极点：3，1/3
Z变换补充材料 4
Z变换的收敛域
Z变换的收敛域 对于任意给定的序列 x(n) ，使其Z变换收敛的所有 z值的集合称为 X (z ) 的收敛域。 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：
n
x ( n) z n
1 1 1 收敛 不定 发散
根据级数收敛的阿贝尔定理
lim
n
an
n
对于不同的序列 x(n) ，可求得相应的收敛域。
5
Z变换补充材料
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(2)z2+···· |z|< 如果是右边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， |z|>也位于收敛域内。
序列Z变换与反变换
4
0
Re[ z]
1/4
1）当n≥-1时, z n1在z=0处不会构成极点，此时C内c
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n)
Res[
z
n1
/(4
z)(
z
1 4
)]
z
1
4
( 1 )n1 4 1 1 4n , n 1
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号拉氏变换与抽样序列Z变换关系的实质 建立起 s (域) 平面与 z (域)平面之间的的一一对应关系！
z esT
s 1 ln z T
s j z re j
r eT
T
r与σ的对应关系 (r eT )
σ=0,即S平面的虚轴映射到Z平面单位圆(r=1)； σ<0,即S左半平面映射到Z平面单位圆内(r<1)； σ>0, 即S右半平面映射到Z平面单位圆外(r>1) 。
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
n
Z变换与Laplace 变换的关系
抽样序列 x(n) x(nT ) 的 z 变换
X (z)
x(n) z n
n
X (z) zesT X (esT ) X a (s)
z esT ，抽样序列的z变换等于理想抽样信号的Laplace变换。
9.有限项累加特性
0
Re[ z]
1/4
1）当n≥-1时, z n1在z=0处不会构成极点，此时C内c
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n)
Res[
z
n1
/(4
z)(
z
1 4
)]
z
1
4
( 1 )n1 4 1 1 4n , n 1
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号拉氏变换与抽样序列Z变换关系的实质 建立起 s (域) 平面与 z (域)平面之间的的一一对应关系！
z esT
s 1 ln z T
s j z re j
r eT
T
r与σ的对应关系 (r eT )
σ=0,即S平面的虚轴映射到Z平面单位圆(r=1)； σ<0,即S左半平面映射到Z平面单位圆内(r<1)； σ>0, 即S右半平面映射到Z平面单位圆外(r>1) 。
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
n
Z变换与Laplace 变换的关系
抽样序列 x(n) x(nT ) 的 z 变换
X (z)
x(n) z n
n
X (z) zesT X (esT ) X a (s)
z esT ，抽样序列的z变换等于理想抽样信号的Laplace变换。
9.有限项累加特性
《电动力学》第27讲§5.2电磁波在介质界面上的反射和折射
山东大学物理学院宗福建31振幅关系菲涅耳fresnel公式垂直入射面山东大学物理学院宗福建3242振幅关系菲涅耳fresnel公式边值关系式为山东大学物理学院宗福建33coscos振幅关系菲涅耳fresnel公式山东大学物理学院宗福建34coscos振幅关系菲涅耳fresnel公式利用反射定律和折射定律得山东大学物理学院宗福建35coscoscoscos2cossinsincoscos振幅关系菲涅耳fresnel公式平行入射面山东大学物理学院宗福建3642振幅关系菲涅耳fresnel公式边值关系式为山东大学物理学院宗福建37coscos振幅关系菲涅耳fresnel公式山东大学物理学院宗福建38coscos振幅关系菲涅耳fresnel公式利用反射定律和折射定律得山东大学物理学院宗福建392cossinsin振幅关系菲涅耳fresnel公式表示反射波折射波与入射波场强的比值
3
2. 时谐电磁波
研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得
E(x, t) E(x)eit
B(
x,
t
)
B(
x)eit
D(
x,
t
)
D(
x)eit
H(x, t) H(x)eit
E iH H iE
gE 0 gH 0
山东大学物理学院 宗福建
13
可以看出，合成波的振幅不是常数，而是波：
2E0 cos(dgt dkgz)
位相传播速度： t kz 0
zt
k
z
vp t k
振幅传播速度：dgt dkgz 0
z d t
dk
vg
z t
d
dk
山东大学物理学院 宗福建
3
2. 时谐电磁波
研究时谐情形下的麦氏方程组。在一定频率下，有 D = ε E , B = μ H , 消去共同因子 e−iωt 后得
E(x, t) E(x)eit
B(
x,
t
)
B(
x)eit
D(
x,
t
)
D(
x)eit
H(x, t) H(x)eit
E iH H iE
gE 0 gH 0
山东大学物理学院 宗福建
13
可以看出，合成波的振幅不是常数，而是波：
2E0 cos(dgt dkgz)
位相传播速度： t kz 0
zt
k
z
vp t k
振幅传播速度：dgt dkgz 0
z d t
dk
vg
z t
d
dk
山东大学物理学院 宗福建
自动控制原理--Z变换与反变换
k 1 k k 1 前向和后向差分示意图
例17 一阶采样系统的差分方程为
yk 1 byk r t
其中b为常数, r k ak , y0 0,求响应y k 。
解:对方程两边进行在z变换，并由实移定理
zY z y0 bY z Rz
因为 r k ak，R z z ，y 0 0
za
Z t eat
Tz eaT z eaT 1 2
例14 求 f t k cost 的变换。
解：已知函数 cost的变换为
Zcost zz cosT
z 2 2z cosT 1
根据z域尺度定理可得
Z k cost
z
z
cosT
z 2 2 z cosT 1
2 2
3、Z反变换
Z变换与反变换
• 线性连续控制系统可用线性微分方程来 描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性 能及稳态性能。
• 对于线性采样控制系统则可用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性 能及稳态性能。
• Z变换是研究采样系统主要的数学工具， 由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号 的拉普拉斯变换。
• 连续信号f（t）的拉普拉斯变换为 • 连续信号f（t）经过采样得到采样信号f*（t）为
对上列级数求和，写成闭合形式，得
E(z)
1 1 z1
z
z 1
例6 试求单位理想脉冲序列的 z变换。
解：由于T为采样周期，所以
e(t) T (t) (t kT ) k 0
显然只有当 t kT 时，所以其z变换式为
E z Z T 1kT zk 1 z1 z2
k 0
z z 1
线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等于 各时域函数z变换的线性组合。
例17 一阶采样系统的差分方程为
yk 1 byk r t
其中b为常数, r k ak , y0 0,求响应y k 。
解:对方程两边进行在z变换，并由实移定理
zY z y0 bY z Rz
因为 r k ak，R z z ，y 0 0
za
Z t eat
Tz eaT z eaT 1 2
例14 求 f t k cost 的变换。
解：已知函数 cost的变换为
Zcost zz cosT
z 2 2z cosT 1
根据z域尺度定理可得
Z k cost
z
z
cosT
z 2 2 z cosT 1
2 2
3、Z反变换
Z变换与反变换
• 线性连续控制系统可用线性微分方程来 描述，用拉普拉斯变换分析它的暂态性 能及稳态性能。
• 对于线性采样控制系统则可用线性差分 方程来描述，用Z变换来分析它的暂态性 能及稳态性能。
• Z变换是研究采样系统主要的数学工具， 由拉普拉斯变换引导出来，是采样信号 的拉普拉斯变换。
• 连续信号f（t）的拉普拉斯变换为 • 连续信号f（t）经过采样得到采样信号f*（t）为
对上列级数求和，写成闭合形式，得
E(z)
1 1 z1
z
z 1
例6 试求单位理想脉冲序列的 z变换。
解：由于T为采样周期，所以
e(t) T (t) (t kT ) k 0
显然只有当 t kT 时，所以其z变换式为
E z Z T 1kT zk 1 z1 z2
k 0
z z 1
线性定理表明,时域函数线性组合的z变换等于 各时域函数z变换的线性组合。
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第5章 离散系统的Z域分析
•本章导读：
•如同拉普拉斯变换在分析连续时间系统的作用一样，通过Z变换 可以将描述离散系统的差分方程变换为代数方程，简化离散系统 响应的求解。
•描述离散系统的单位脉冲响应经Z变换得到离散系统的Z域系统 函数，观察Z域系统函数的零、极点分布，可进一步分析系统的 时域特性和稳定性等。
第5章 主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4
Z变换的定义与性质 Z反变换的计算方法 离散系统的Z域分析 Z系统函数及应用
z 反变换方法
幂级数展开法 部分分式展开法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数。其各项的系数就是相应的序列值。
例
已 知F ( z )
z2
z 2z 1
,
z 1， 求f (n)。
解
z 1 2z 2 3z 3 4z 4 z2 2z 1 z
z 2 z 1
2 z 1
2 4z 1 2z 2
3z 1 2z 2
3z 1 6z 2 3z 3
因为 F (z) f (0)z0 f (1)z 1 f (2)z 2
4z 2 3z 3 4z 2 8z 3 4z 4
5z 3 4z 4
所以
f
( n)
0,
1,
2,
3,
4,
部分分式展开法
z变换式的一般形式
F(z)
N(z) D(z)
b0 b1 z b2 z 2 a0 a1z a2 z 2
br 1 z r 1 br z r ak 1z k 1 ak z k
k12 ( z 1)2
k2 z
k2
z
1
zz 12
z0
1
k12
z 12
1
zz 12
z 1
1
k11
1 (2 1)!
d dz
z 12
1
z
z
12
1
z 1
所以
F(z)
z
z
z 1 ( z 1)2
1
f (n) (n) n (n) (n)
( n = 1，2，m )
注意：除了对
F
(z z
)
展开分式外，方法与拉氏变换一样
。
例1：已 知F ( z )
z2
，ROC
( z 1)( z 2)
:
z
2, 求 f (n)。
解 F (z) 除 以 z
F(z)
z
z
( z 1)( z 2)
将 F(z) 展 开 为 部 分 分 式 z
F ( z ) k1 k2
z
z1 z2
1 2 z1 z2
部 分 分 式 乘 以 z F(z) z 2z z1 z2
( n ) 2( 2)n ( n ) ( 2 n1 1) ( n )
例2： F (z)
1 ( z 1)2
,
z
1, 求 f (n)。
解
F (z)
1
z z( z 1)2Fra bibliotekk11 z 1
f (n) 5 2n (n) 5 (n)
（2） F(z)仅含重极点
则可展开为
F (z)
N (z) ( z z1)m
各系数
F (z) z
k11 ( z z1)m
(z
k12 z1 )m-1
k1m z z1
k0 z
k1n
1
d n 1
(n 1)! dz n1
( z
z1 )m
F (z) z z z1
步骤
• 对 F (z) 进 行 部 分 分 式 展 开 z
• F(z) z z
• 查反变换表
部分分式展开法：
➢
已知F(z)后，应先对F (z) 展开部分分式。 z
（1）若 F(z)仅有n个一阶单极点，则可展开为
式中系数
F ( z) n ki ，
z
i 0 z zi
ki
F(z) (z z
zi ) z zi
z0 0
( i = 0，1，2，n )
例 则 系数
故 反变换
F(z)
5z
( z 1)( z 2)
F(z)
5
k1 k2
z ( z 1)( z 2) z 1 z 2
k1
(z
1) F (z) z
z 1
5
k2
(z
2) F (z) z
z2
5
F(z) 5z 5z z 1 z 2
•本章导读：
•如同拉普拉斯变换在分析连续时间系统的作用一样，通过Z变换 可以将描述离散系统的差分方程变换为代数方程，简化离散系统 响应的求解。
•描述离散系统的单位脉冲响应经Z变换得到离散系统的Z域系统 函数，观察Z域系统函数的零、极点分布，可进一步分析系统的 时域特性和稳定性等。
第5章 主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4
Z变换的定义与性质 Z反变换的计算方法 离散系统的Z域分析 Z系统函数及应用
z 反变换方法
幂级数展开法 部分分式展开法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数。其各项的系数就是相应的序列值。
例
已 知F ( z )
z2
z 2z 1
,
z 1， 求f (n)。
解
z 1 2z 2 3z 3 4z 4 z2 2z 1 z
z 2 z 1
2 z 1
2 4z 1 2z 2
3z 1 2z 2
3z 1 6z 2 3z 3
因为 F (z) f (0)z0 f (1)z 1 f (2)z 2
4z 2 3z 3 4z 2 8z 3 4z 4
5z 3 4z 4
所以
f
( n)
0,
1,
2,
3,
4,
部分分式展开法
z变换式的一般形式
F(z)
N(z) D(z)
b0 b1 z b2 z 2 a0 a1z a2 z 2
br 1 z r 1 br z r ak 1z k 1 ak z k
k12 ( z 1)2
k2 z
k2
z
1
zz 12
z0
1
k12
z 12
1
zz 12
z 1
1
k11
1 (2 1)!
d dz
z 12
1
z
z
12
1
z 1
所以
F(z)
z
z
z 1 ( z 1)2
1
f (n) (n) n (n) (n)
( n = 1，2，m )
注意：除了对
F
(z z
)
展开分式外，方法与拉氏变换一样
。
例1：已 知F ( z )
z2
，ROC
( z 1)( z 2)
:
z
2, 求 f (n)。
解 F (z) 除 以 z
F(z)
z
z
( z 1)( z 2)
将 F(z) 展 开 为 部 分 分 式 z
F ( z ) k1 k2
z
z1 z2
1 2 z1 z2
部 分 分 式 乘 以 z F(z) z 2z z1 z2
( n ) 2( 2)n ( n ) ( 2 n1 1) ( n )
例2： F (z)
1 ( z 1)2
,
z
1, 求 f (n)。
解
F (z)
1
z z( z 1)2Fra bibliotekk11 z 1
f (n) 5 2n (n) 5 (n)
（2） F(z)仅含重极点
则可展开为
F (z)
N (z) ( z z1)m
各系数
F (z) z
k11 ( z z1)m
(z
k12 z1 )m-1
k1m z z1
k0 z
k1n
1
d n 1
(n 1)! dz n1
( z
z1 )m
F (z) z z z1
步骤
• 对 F (z) 进 行 部 分 分 式 展 开 z
• F(z) z z
• 查反变换表
部分分式展开法：
➢
已知F(z)后，应先对F (z) 展开部分分式。 z
（1）若 F(z)仅有n个一阶单极点，则可展开为
式中系数
F ( z) n ki ，
z
i 0 z zi
ki
F(z) (z z
zi ) z zi
z0 0
( i = 0，1，2，n )
例 则 系数
故 反变换
F(z)
5z
( z 1)( z 2)
F(z)
5
k1 k2
z ( z 1)( z 2) z 1 z 2
k1
(z
1) F (z) z
z 1
5
k2
(z
2) F (z) z
z2
5
F(z) 5z 5z z 1 z 2