Z反变换
数字信号处理DSP第二章2z反变换
z1
4n
4
15 2021/4/21
j Im[z]
C
1/ 4 0
4 Re[z]
5
当n 1时 F (z)在围线c内有一阶极点z 1 和-(n 1)阶极点z 0
4 而围线c外只有一阶极点z=4，且F(z)的分母多项式 阶次高于分子多项式阶次两次以上
x(n) Re s[F (z)]z4
z
4
解：X
z
1
5 z 1 z1 6z2
z2
5z z 6
5z
z 2z 3
X
z
z
z
5
2z
3
A1 z2
A2 z3
3
j Im[z]
2
0
Re[z]
A1
Res
X
z
zБайду номын сангаас
z2
z
2
z
5
2
z
3
z2
1
A2 Res
2021/4/21
X
z
z
z3
z
3
z
5
2
z
3
z 3
1
16
X z
1
1
z z2 z3
bi zi
i0 N
1 ai zi
i 1
X (z)
M N n0
Bn zn
A M r k
k1 1 zk z1
r k 1
Ck [1 zi z1]k
用留数定理求系数：
Ak
Re
s
X (z) z zzk
k 1,2,
,M r
2021/4/21
15
例：X (z)
附_z反变换
f (t ) = δ (t − T ) + 5δ (t − 2T ) + 19δ (t − 3T ) + 65δ (t − 4T ) + L
7
3 留数计算法
由z变换的定义可知
F ( z ) = ∑ f (kT ) z
k =0
+∞ k =0
+∞
−k
F ( z ) z m −1 = ∑ f (kT ) z m − k −1
2
f ( nT ) = K 1e − a1nT + K 2 e − a2 nT + L + K m e − am nT
例
已知z变换函数
z F ( z) = −T ( z − 1)( z − e )
求其z反变换。
3
解：
首先将
F ( z) z
展成部分分式
⎛ z − e −T ⎜ K 2 = lim z →e −T ⎜ ⎝ z
k −1 F ( z ) z 设 的极点为 z i , i = 1,2,L, n ，则
f (kT ) = ∑ res[ F ( z ) z
i =1
n
k −1
, zi ]
（8-48）
9
例
已知z变换函数为
10 z F ( z) = ( z − 1)( z − 2)
试用围线积分方法求z反变换。
1 部分分式法
若象函数 F ( z )
且 互异，则
F ( z) z
是复变量z的有理分式，
− ai T z = e , (i = 1,2, L , m) 的极点 i
F ( z) z
可展成如下形式：
Z反变换方法
第27讲 Z反变换计算方法
z 反变换主要方法
幂级数展开法 部分分式展开法 留数法
幂级数展开法
F (z) f (n)zn
n0
f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是z-1的 幂级数，其各项的系数就是相应的序列值，再求出其 闭合表示式即为原序列 f (n) 。
Ki
F(z) z
(z
z i)
zzi
z0 0
( i = 0，1，2，N)
N
z反变换，原序列为 f (n) Ki(zi)n (n)
i 1
部分分式展开法
例3
已知F (z)
z2 z 1 z2 3z 2
求原序列 f (n)
解
F (z) z2 z 1 K1 K2 3K
z z(z 1)(z 2) z z 1 z 2
幂级数展开法有时不能得到解析表达式
部分分式展开法
z变换式的一般形式 F (z) N (z) bm zm bm1zm1 K b1z b0 D(z) an zn an1zn1 K a1z a0
式中m n 。若 m n 时，利用长除法得到一个z 的多项式和一个
真分式。部分分式展开法与拉氏反变换的部分分式法类似，所不
同的是，一般是对 F(z) 展开为部分分式，以保证每个分式中都具
z
有基本变换形式 z 。
z a
部分分式展开法
(n)
z z 1
➢
已知F(z)后，应先对F ( z ) 展开部分分式。 z
（1） F(z)仅有一阶单极点，则可展开为
an (n) z
z a
式中系数
F ( z ) N
05第五讲 Z 反变 换
(1-66)
1 X ( z ) z n 1dz Re s[ X ( z ) z n 1 , zm ] 2j c m
(1-67)
第2章 Z变换
Res［X(z)zn-1, zk ］表示函数F(z)=X(z)zn-1 在极点z=zk 上的留
数。 式(1-66)表示函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z) 在围线c内部各极点的留数之和。式（1-67）说明，函数F(z)沿 围线c顺时针方向的积分等于F(z)在围线c外部各极点的留数之 和。由式（1-66）及式（1-67），可得
该积分路径c在半径为R的圆上，即 z=Rejθ Rx-<R<Rx+ 则
1 1 Rk k 1 k 1 j ( k 1) j c z dz 2j c R e d[Re ] 2 2j 1 0 k 0 k 0, k整数
e
jk
d
(1-65)
第2章 Z变换 这个积分公式（1-65）也称为柯西积分定律。因此
有三种： 围线积分法（留数法）、部分分式展开法和幂级数展 开法。
第2章 Z变换
2.洛朗级数 设复变函数f ( z )在圆环域R1 z z0 R2内处处解析， 则f ( z )一定能在此圆环域中展 开为洛朗级数: 1 f ( z) n f ( z ) Cn z z0 其中Cn C z z0 n1 dz, 2j n 而C为此圆环内绕z0的任意一简单闭曲线 。 1 特别是当n 1时 : C1 C f ( z )dz 2j
Rx | z | Rx
(1-63)
1 n 1 x ( n) c X ( z) z dz 2j
c ( Rx , Rx )
第一课序列Z变换与反变换
Bn zn
N r k 1
1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
Bn是X(z)整式部分系数；zk是X(z)的单阶极点； zi是X(z)的r阶重极点。
部分分式展开法计算过程
Ak
(1 zk z1) X (z) zzk
Res
X
(z) z
z
zk
(
1 v
)v1dv
max[Rx1 ,
1 ]< Rx2
v
<
min[Rx1 ,
1] Rx2
Z变换与Laplace 变换的关系
理想抽样信号 xa (t) 的Laplace变换
xa (t)＝xa (t)T (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa (s) L[xa (t)] xa (nT )ensT
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
1
Z[e
j0nu(n)]
1
1 e j0
z 1
,
z
e j0
1
故，Z[cos(0n)u(n)]
11
2
[ 1
e
j0
z
1
1 1 e j0 z1 ],
z
1
双边Z变换的主要性质
2．位移特性 x [n m] z mX(z) ROC = Rx
只有一个一阶极点
zr
1 4
。
x(n)
Res[ zn1
/(4
§5-2 反z变换
= − 2[1 − ( 0 .5 ) n +1 ]u ( − n − 1) = − [ 2 − ( 0 . 5 ) n ]u ( − n − 1)
由上例可见，若给定z变换的函数式X(z)，当已知收敛域为一圆 的外域：|z|>R1，其对应的z反变换是一个因果序列：
x ( n ) = x1 ( n )u ( n )
《Signals & Systems》
z >1
解：由收敛域知道序列是因果的，将X(z)写成
《信号与系统》
电子技术教研室
作长除
1 + 1.5 z −1 + 1.75 z −2 z 2 − 1.5 z + 0.5 z 2 z 2 − 1.5 z + 0.5 1.5 z − 0.5 1.5 z − 2.25 + 0.75 z −1 1.75 − 0.75 z −1−1 1.75 − 2.625 z + 0.875 z −2
n ZT
于是，当X(z)/z是有理真分式，则有
《Signals & Systems》
《信号与系统》
电子技术教研室
X (z) = z
∑
i=0
N
Ai z − pi
X ( z ) = A0 + ∑
i =1
N
Ai z z − pi
于是，对应的反变换当收敛域为：
z > R1 z < R2 R1 < z < R2
《Signals & Systems》
∑ (2)
k=n
−2
− ( k + 1)
=
∑ ( 2)
k=2
−n
k −1
6.3.4 z反变换
Z变换将分析差分方程的问题转换为分析代数方程问题，然 后通过求x(z)的原函数，可求出离散系统的时域响应。这就 是z反变换。
1、幂级数法：（长除法）
Z变换函数，通常可表示为两个Z的多项式之比，一般可写成：
X ( z)
bm z m bm1 z m1 b0
n n 1
z a1 z nm
an
(m n)
z 1
设
b0 z m b1 z m1 bm1 z bm X(z) a0 z n a1 z n1 an1 z an
b0 z m b1 z m1 bm 1 z bm a0 ( z zi )
z e T K 2 lim z e T z 1 F ( z ) 1 e T
F ( z)
1 z z T T z 1 1 e z e
f (nT )
1 f (t ) 1 e T
1 nT 1 e 1 e T
* 。 x (t )
计算法可以直接求出 x( nT )序列，因而容易求得 但这两种方法有一个共同的特点，都需要知道
X( z )的全部极点,这意味着要求解高阶代数方程，
这是一件困难的事，因此在应用上有一定的局限性，
一般不宜用于高阶采样系统。
而长除法却没有这种限制，通用性好。它的缺点是 计算起来麻烦，而且往往得不到闭合的表示形式。
的所有极点
F ( z) z
m 1
m k 1 dz f (kT ) z dz k 0
F ( z) z
m 1
dz f (kT ) z
《自动控制原理》z变换与z反变换
《自动控制原理》z变换与z反变换自动控制原理是一门研究系统动态特性与控制方法的学科，其中涉及到了很多数学工具和方法，其中之一就是z变换和z反变换。
本文将对z 变换和z反变换进行详细的解释和介绍。
z变换是一种非常重要的数学工具，它是离散时间信号和系统分析中的一种常用方法。
z变换的定义如下：X(z)=Z[x(n)]=∑[x(n)*z^(-n)]其中，x(n)为离散时间信号，X(z)为z变换后的结果，z为变量。
z变换可以将离散时间信号从时域转换到z域，从而可以更方便地进行分析和处理。
z变换可以将离散时间信号表示为有理函数的形式，从而可以用于求解离散时间系统的频率响应、系统稳定性等问题。
z变换的性质有很多，这里只介绍其中几个重要的性质。
首先是线性性质，即线性系统的z变换可以表示为输入信号和系统冲激响应的z变换的乘积。
其次是时移性质，即输入信号的z变换与输入信号z变换乘以z^(-n)的结果相等。
最后是共轭对称性质，即输入信号为实数序列时，其z变换的共轭对称性质。
在进行z变换的计算时，可以使用z变换的表格、z变换的性质以及z变换的逆变换来简化计算。
z变换的逆变换可以将z域的信号重新转换回时域的信号，其定义如下：x(n) = Z^(-1)[X(z)] = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，X(z)为z变换的结果，x(n)为z变换的逆变换结果。
z反变换可以将z域的信号转换为时域的信号，从而可以得到离散时间信号的具体数值。
z变换和z反变换在自动控制领域中有着广泛的应用。
例如，在系统建模和分析中，可以通过z变换将离散时间系统转换为z域的传递函数，从而可以方便地进行系统分析和控制器设计。
此外，在数字滤波器设计中，z变换也是一种常用的工具，可以将滤波器的差分方程转换为z域的传递函数，从而可以设计出满足要求的数字滤波器。
总结起来，z变换和z反变换是自动控制原理中的重要数学工具，可以方便地进行离散时间信号和系统的分析和处理。
第二章 反z变换【VIP专享】
z-1 z z-1与z
例2.5：已知X(z)=e1/z,|z|>0,求其反Z变换
解：将其展开为幂级数形式
1
ez
1 z1 z2
1
z n
2!
n! n0
所以得
xn 1 u(n)
n!
例2.6 ：已知 解：
X z z5 ,
z2
0 z 2
求X(z)的反z变换。
X z z5
1
z 5
z
n
u
n
5
1
1
5n
u5
n
2 2
2 2
一般地，Z变换式为有理分式的情形，可以利用长除法
来得到其幂级数展开式
a. X(n)为右边序列，不含 z的正指数项
b. X(n)为左边序列，不含 z的正指数项
分子分母按降幂排列 分子分母按升幂排列
例： X z 1 2z1
1 2z1 z2
对其进行多项式除法
a.先按降幂排列，同上。 X z 1 4z 1 7 z 2 x n z n n0
b. 先按升幂排列 X z 2z1 1
利用多项式除法得
z2 2z1 1
X z 2z 5z2
8z3
1
x n zn
n
2. 部分分式法
• 设X（z）可以分解成
其中
是简单的分式，可以通过Z变换表
3
1
，显然， X 0 (z) 3(z 1)(z 1) 并且 m=1。
3
• X(z)有两个极点：z1=1 及 z2 = 1/3，故有三种可能
的收敛域。
(1) 收敛域|z|>1: 此时收敛域在|z|=1的园外，围
线c之内包含X0(z)的两个极点，所以有：
Z反变换方法
例
已 知F (z)
z2
z 2z 1
,
z 1， 求f (n)。
解
z 1 2z 2 3z 3 4z 4
z2 2z 1 z
z 2 z1
2 z 1
2 4z 1 2z 2
3z 1 2z 2
3z1 6z 2 3z3
因为 F (z) f (0)z0 f (1)z 1 f (2)z 2
z
z
12
z1
1
所以
F(z)
z z1
z (z 1)2
1
f (n) (n) n (n) (n)
(n) 2(2)n (n) (2n1 1) (n)
例2：
F(z)
(z
1 1)2
,
z
1, 求f
(n)。
解
F(z)
1
z z(z 1)2
k11 z1
k12 (z 1)2
k2 z
1
k2 z zz 12 z0 1
k12
z
12
zz
1
12
z1
1
k11
(2
1 1)!
d dz
z
12
1
第5章 主要内容
5.1 5.2 5.3 5.4
Z变换的定义与性质 Z反变换的计算方法 离散系统的Z域分析 Z系统函数及应用
z 反变换方法
• 幂级数展开法 • 部分分式展开法
幂级数展开法
F(z) f (n)zn n0 f (0)z0 f (1)z1 f (2)z2 L
根据单边z变换的定义，因果序列的象函数是 z-1的幂级数。其各项的系数就是相应的序列值。
• 对 F(z) 进 行 部 分 分 式 展 开 z
序列Z变换与反变换
注：若线性组合过程中出现某些零点和极点相互抵消 时，收敛域会扩大！
例：已知 x(n) cos(0n)u(n) 求其z变换。
cos(0n)u(n)
1 2
[e
j0n
e
j0n
]u(n)
Z
[anu(n)]
1
1 az1
,
z
a
Z[e
j0nu(n)]
1
e
1
j0
z 1
,
z
e j0
若n2 0 : 0 < z < R
Im z
ROC R x+ Re z
几种不同序列z变换的ROC
(4) 双边序列
X (z)
x(n)zn
n
ROC R < z < R
R
x-
Im z ROC
Re z R
x+
z反变换
x(n) 1 X (z)zn1dz 2πj c
C为X(z) 的ROC中的一闭合曲线
4
4 15
Z反变换
2）当n≤-2时，X(z)zn-1在z=0处有多重极点。因此C内 有极点：z=1/4(一阶), z=0为(n+1)阶极点；而在C外 的无穷远处没有极点，仅有 z=4这个一阶极点；且此 时分母中z的次数大于分子中z的次数二次以上:
x(n)
-
Res[ zn1
/(4
z )( z
1 4
)]z
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzk
k
1
2 j
X (z)zn1dz
c
Res[ X (z)zn1]zzm
Z反变换
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx ，则
Z[x*(n)] X *(z*) ，Rx z Rx ; 其中，x* (n)为x(n)的共轭序列。
证明：Z[x*(n)] x*(n)zn [x(n)(z*)n ]*
n
n
[ x(n)(z*)n ]* X *(z*) ，Rx z Rx ; n
bi z i
i0
N
1 ai z i
i 1
因此，X(z)可以展成以下部分分式形式
X
(z)
M N
Bn zn
n0
N r
k1 1
Ak zk z1
r k 1
(1
Ck zi z1)k
其中，M≥N时，才存在Bn；Zk为X(z)的各单极点，
Zi为X(z)的一个r阶极点。而系数Ak，Ck
分别为：
Ak
Re s[ X (z) z
X (z)
z
A1 A2
z (z 2)(z 0.5) z 2 z 0.5
A1
[( z 2)
X
( z
z
)
]
z
2
4 3
A2
[( z 0.5)
X (z)
z
]z 0.5
1 3
X (z) 4 z 1 z 3 z 2 3 z 0.5
又 z 2,
查p54表2.1得
x(n)
4 3
1 z 1 z 2 z 3 ) 4 16 64
进而得：x(n)
1
15
1
15
(4) n2 (1)n 4
, ,
n 1 n0
Z变换的基本性质和定理
1.线性
如果 Z[x(n)] X (z), Rx z Rx 则有： Z[ y(n)] Y (z), Ry z Ry
信号与系统§8.3Z反变换
jIm( z)
0
X z xnz n
(1)
n0
1式两边同乘以 zm1，并进行围线积分
Re(z) C
1
X zz m1 d z 1
xnzn z m1 d z
2 πj c
2π j
c n0
xn
1
z nm1 d z
n0
2 πj c
号与系统
信
§8.3 Z反变换
部分式展开法 幂级数展开法 围线积分法——留数法
一．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
X (z)
N(z) D(z)
b0 b1z b2 z2 a0 a1z a2 z2
br1z r1 br z r ak1z k1 ak z k
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换
X z xnzn
1
n0
得 z 逆变换公式
所以
xn
1 2π
j
c X
z z n1
d
z
3
用留数定理求围线积分。
推导
在X (z的) 收敛域内，选择一条包围 坐标原点的逆时针方向的围线C， 的全部X极z点zn都1 在积分路线的内 部。
级数的系数就是序列 xn
2．右边序列的逆z变换
将X z以 z 的降幂排列
X (z) x(n)z n x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2 n0
3．左边序列的逆z变换
将X z以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z3 n
z变换反演积分法
z变换反演积分法
Z变换反演积分法是通过利用逆Z变换的公式，将Z变换的结果反变换成时域信号。
具体步骤如下：
1. 根据信号的Z变换结果，确定其逆Z变换的公式。
2. 将Z变换结果的极坐标形式转换为分数形式，即将Z变换
结果表示为分子和分母的比值。
3. 将分数形式的Z变换结果进行部分分式展开，得到Z变换
结果的逆Z变换表达式。
4. 反变换的结果通常是关于n的时域信号，其中n为正整数。
5. 根据逆Z变换的公式，对得到的逆Z变换表达式进行展开，得到最后的时域信号。
需要注意的是，逆Z变换涉及到部分分式展开，通常需要使
用拉普拉斯反演公式、维特公式等方法来求解。
对于复杂的Z
变换结果，逆Z变换可能会比较繁琐或难以求解，因此在实
际应用中，常常利用Z变换表格或数值计算方法来进行逆Z
变换。
3z反变换 PPT
z 4, z 1 是极点。 4
z n1对应的一定是零点？
当n10时，zn1对应的是极点
如图所示，取收敛域的一个围线c， 分两种情况讨论： （1）n≥－1时，
zn1不构成极点，所
以这时C内只有一个一阶
极点 z1/4 ，
因此
x(n) Res[zn1 /(4z)(z 14)]z1
4
[zn1(z
1)/(4
4
z)(z
14)]z1
4
(1/4)n1 1 4n,n1
41/4 15
或记 x(n)作 14 ： nu(n1) 15
（2）当n<-1时， zn+1构成|n+1|阶极点，极点为z=0。
因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为|n+1|阶 极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:
x(n) Re[szn1/(4z)(z14)]z4 4n1 1 4n2,n1 41/4 15
现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) . . x ( 2 . ) z 2 x ( 1 ) z 1 x ( 0 ) z 0 x ( 1 ) z 1 x ( 2 ) z 2 .
求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
或记 x(n 作 )1： 4n2u( n2) 15
因此 x(n)11115544nn2,,
n1 n2
或记 x (n ) 4 作 nu (n ： 1 ) 4 n 2u ( n 2 ) 15 15
[例2-6]: 已知 X(z) z2 , z 4 ，
(4z)(z1)
求z反变换。
4
解:由收敛域可知，
Z反变换方法范文
Z反变换方法范文Z反变换方法是一种在控制系统设计和信号处理领域广泛应用的数学工具。
它能够将复平面上的频域信号转换回时域信号，提供了一种有效的逆变换方法，可以将频域系数转换成原始信号。
在本文中，我们将详细介绍Z反变换的原理、应用和计算方法。
首先，我们来了解一下Z变换。
Z变换是一种将离散时间序列转换为复平面上的频域表示的方法。
它在控制系统设计和信号处理中具有重要的作用。
Z变换将离散时间序列表示为复数序列，这些复数的模长表示信号的幅度，相位角表示信号的相位信息。
Z变换的数学定义如下：X(z) = Σ[x(n) * z^(-n)], n=-∞ to +∞其中，X(z)表示Z变换后的频域信号，x(n)表示时域信号，z是一个复数变量。
Z变换的作用类似于傅里叶变换，它能够将时域信号转换为频域信号，提供了一种分析和处理信号的有效方法。
Z反变换是Z变换的逆运算。
它的作用是将Z变换后的频域信号转换回时域信号。
Z反变换的数学定义如下：x(n) = (1/2πj) * ∮[X(z) * z^(n-1) * dz]其中，x(n)表示反变换后的时域信号，X(z)表示Z变换后的频域信号，∮表示沿着闭合曲线的积分，j是虚数单位。
Z反变换的计算方法有多种，下面我们将介绍两种常用的计算方法。
一种常用的计算方法是使用留数定理。
留数定理是复变函数理论中的重要定理，它提供了一种计算复变函数积分的方法。
对于Z反变换的计算，我们可以首先将X(z)分解为部分分式的形式，然后计算每个留数对应的积分，最后求和得到反变换。
另一种常用的计算方法是使用逆Z变换表。
逆Z变换表是一种预先计算好的Z反变换的结果表格。
通过查表可以直接得到反变换的结果。
逆Z 变换表通常包含了一些常用的频域信号的反变换结果，可以方便地应用于实际计算中。
Z反变换在控制系统设计和信号处理中有广泛的应用。
在控制系统设计中，Z反变换可以用于恢复控制信号的时域波形，从而实现对系统的控制。
在信号处理中，Z反变换可以用于恢复被Z变换后的频域信号，从而实现对信号的处理和分析。
第二章 反z变换
分子分母按降幂排列
分子分母按升幂排列
对其进行多项式除法
1 2 n
1 2 z X z 1 2 z z
1 1
2
a.先按降幂排列，同上。
X z 1 4 z 7 z x n z
n 0
1 2 1
z 1 2 z b. 先按升幂排列 X 利用多项式除法得 z 2 z 1
zn
1 z 3
(2）收敛域|z|<1/3: 此时收敛域在|z|=1/3的园内，围
线c之外包含X0(z)的两个极点，所以有：
• 当n≥1=m=0时，x(n)=0；而当n<1-m=0时，有：
1 x ( n ) Re s [ X ( z ), z 1 ] Re s [ X ( z ), z ] 2 1 1 3 1 1 1n () 2 23
1 3 z X ( z ) , |z | 3 , 求 x ( n ) 12 ( 1 3 z)
1 X ( z ) , | z | 2 , 求 x ( n ) 1 1 ( 1 2 z )( 1 0 . 5 z)
1 1 2 z 1 X ( z ) | z | z 1 2 2
X ( z ) 4 1 1 1 z 3 ( z 2 ) 3 ( z 0 . 5 )
4 z 1 z X ( z ) 3 ( z 2 ) 3 ( z 0 . 5 )
i i i
n i i i
n
i
i i
2. 如可将X(z)表示为
z z X z B C z b z c
i i i i i i
于是，
x n B b u n C c u n 1
功率谱z的反变换
功率谱z的反变换功率谱z的反变换一、引言功率谱z的反变换是信号处理领域中重要的数学工具之一。
通过对功率谱z进行反变换，可以将频域的信号转换回时域，从而更好地理解信号的时序特性。
本文将介绍功率谱z的反变换原理、应用场景以及一些注意事项。
二、功率谱z的反变换原理功率谱z的反变换是指将功率谱z转换为其对应的时域信号。
根据傅里叶变换的性质，可以使用逆傅里叶变换（Inverse Fourier Transform）来实现功率谱z的反变换。
具体而言，对于一个给定的功率谱z，其反变换可以通过对其进行逆傅里叶变换得到。
逆傅里叶变换是将频域信号转换回时域的操作，可以还原出原始信号的时序特性。
三、功率谱z的反变换应用场景1. 信号重建：通过功率谱z的反变换，可以将频域中的信号重建回时域。
这对于一些需要对信号进行时域分析或还原的应用场景非常重要，比如音频信号处理、图像处理等。
2. 信号去噪：在某些情况下，信号受到噪声的干扰，需要对信号进行去噪处理。
功率谱z的反变换可以将受噪声干扰的频域信号转换回时域，方便进行后续的去噪操作。
3. 时域特征提取：对于某些复杂信号，如语音信号或生物信号，功率谱z的反变换可以帮助提取出信号的时域特征，进一步便于对信号进行分析和处理。
四、功率谱z的反变换注意事项1. 反变换的计算复杂度：对于较大的功率谱z，进行反变换的计算复杂度较高。
因此，在实际应用中需要考虑计算效率的问题，可以采用一些近似算法或优化方法，以提高计算速度。
2. 信号截断问题：功率谱z的反变换会得到一个周期性的时域信号，因此在一些情况下需要对信号进行截断操作，以得到感兴趣的时域信号片段。
3. 噪声干扰问题：功率谱z的反变换可能受到噪声的干扰，导致还原的时域信号质量下降。
因此，在实际应用中需要考虑噪声去除的方法，以提高反变换结果的准确性。
五、结论功率谱z的反变换是信号处理中重要的数学工具，可以将频域的信号转换回时域。
它在信号重建、信号去噪以及时域特征提取等应用场景中具有广泛的应用。
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s j 1
Bj z z zi j
2020/6/23
Am的求取方法就是一阶极 点的求取方法
Bj
1 (s
d s j
j)!
dz
s
j
(z zi )s
X (z)
z
zzi
高阶极点时，X(z)还可以展开成
X (z)
A0
M m1
Am z
z zm
s j 1
Cj z z zi j
这时，Cs
( z
(1), z 3时，x(n)是右边序列
x(n)
2 3
(n)
0.5n
1 3
3n
u(n)
2 (n) 0.5n 3n1 u(n) 3
x(n) lim x(z) 0 z
2020/6/23
(2), z 0.5时，x(n)是左边序列
x(n)
2
(n)
1
n
u(n
1)
3n1u(n
1)
3
2
x(n) lim x(z) 0
n
u
(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
x(n)
2 3
(n)
1 2
n
u(n
1)
1 3
3n
u(n
1)
(3),0.5 z 3时，双边序列
n 1时，围线内极点z 0.5
2020/6/23
x(n) Res X (z)zn1 z0.5
1 2
n
,
n
1
n 0时，围线内极点
z 0, z 0.5
15 z2 45 z3 30 z4
31z3 30z4 x(n) (2n 1)u(n)
2020/6/23
例8-4
已知X
(z)
7z
5z 3z2
2
,(1 2
z
2),求x(n)
解： 1 z 2, x(n)必为双边序列。
3
X
(z)
7z
5z 3z2
2
(3z
5z 1)( z
2)
5z 3
(z 1)(z 2)
3
z 0.5
jIm(z)
C
z
3
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
z3
0.5 3
Re(z)
1 2
n
1 3
3n
,
n
1
2020/6/23
当n 0时，围线内有三个极点z 0, z 0.5, z 3
x(n)
m
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
X (z) zm1dz
C
C
n0
x(n)
z
n
z m1dz
n0
x(n)
z mn1dz
C
由柯西定理
z
C
m1dz
2j, k 0
0, others
2020/6/23
则 X (z)zm1dz 2j x(n) C
x(n) 1 X (z)zm1dz
2j C
由留数定理：
jIm(z)
Zm
C
Re(z)
1 X (z)zn1dz
2j C
n=m
Res X (z)zn1
一项
m
zzm
zm为C内的奇点,即( X (z) zn1)的极点(一阶)
2020/6/23
于是：
x(n)
m
Res X (z)z n1
,n 0
z zm
0, n 0
若z zm是 X (z)zn1 的s阶极点时，
m1
2020/6/23
若收敛域z Rx，则x(n)是左边序列，这时
k
这样，x(n) A0 (n) Am (zm )n u(n 1) m1
当zi是s阶极点时，
M
X (z)
Am z s
m0 z zm j1
Bj z z zi j
对应表8-2
A0
M m1
Am z z zm
Res X (z)zn1 , n 0
则x(n)
C外极点
Res X (z)zn1
,n 0
C内极点
当Rx1 z Rx2时，
Res X (z)zn1 , n 0
则x(n)
C内极点
Res
X
(z)z n1
,n
0
C外极点
jIm(z)
Zm C C’
Re(z)
2020/6/23
Signals and Systems
§7.3 Z反变换
徐昌庆
X (z) Zx(n) x(n) Z 1X (z)
三种方法： 1，长除法；2，部分分式展开法； 3，留数法
一，长除法（幂级数展开法） P319 排序问题
由Z变换的定义式：X (z)
x(n)zn
n
可知,X(z)是Z-1的幂级数，所以只要在给定的收敛
z2
2zz 0.5z 3
A1 2
z
A2
0.5
A3
z 3
X (z)
2
A1 z
z
x(z)
z0
z0 3
A3
z
3
X
(z) z
z3
1 3
A2
z
0.5
X (z) z
z 0.5
1
2020/6/23
2
1
X (z) 3 1 3 z z z 0.5 z 3
X (z) 2
z
1z 3
3 z 0.5 z 3
后项对应左边序列。长 除法时按 z的升幂排序 (或z1的降幂)
1
1 2
z
1 z2 4
2z 2 2z
z z 1 z2
2
1 z2 2 1 z2 1 z2
n
2 zn
2z 2 4
n0
x(n) 1 nu(n 1) 2nu(n) 3
2020/6/23
域内把X(z)产开成幂级数，那么级数的诸系数就
组成序列x(n)
2020/6/23
一般情况下，X(z)是有理数，可用长除法得到Z-1的 幂级数。
例8-3
已知X (z)
z
, ( z 2), 求x(n)
(z 1)( z 2)
解： z 2, x(n)是因果序列。将X (z)的分子分母 多项式按z的降幂形式(或z 1的升幂)排列
m
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
当n 1时，x(z) zn1有三个一阶级点, z 0.5, z 3
2020/6/23
x(n)
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
z 0.5
Res
2
zn z
2zn1
0.5 z
3
z3
z
0.5
2
zn z
2zn1
0.5 z
z
B12
0.52
z
B13
0.5
A0 z
A1 z 1
B11
z
0.53
X (z) z
z 0.5
z4
z z 1
z 0.5
1 4
B12
d dz
z
0.53
X (z) z
z 0.5
d dz
z4
z
z
1
z 0.5
2
B13
1 2
d2 dz 2
z
0.53
X (z) z
z 0.5
1 2
d2 dz 2
2020/6/23
z1 3z2 7z315z4
z2 3z 2 z
X (z) z1 3z2 7z3 15 z4
z 3 2z1
3 2z1 3 9z 1 6z 2
7z1 6z2 7z1 21z2 14 z3
15z2 14z3
0 z1 3z2 7z3 15z4
(2n 1)zn n0
二、部分分式展开法
X(z)通常是有理函数，可表示成有理分式
X (z)
br zr ak zk
br1zr1 ak1zk1
b1z b0 a1z a0
对于因果序列，z Rx1，为保证z 处收敛，
要求k r
Z n 1, Z anu(n) z ， za
这是Z变换的基本形式。
2020/6/23
4 2 2
2
2
8u(n)
1 8
n2
15 8
n
7
1 2
n
u(n)
三、留数法（围线积分法）
X (z) x(n)zn , z Rx1 n0
2020/6/23
两边乘z m1 ,
X
(z)
z m1
n0
x(n) z n
z m1
在X(z)的收敛域内选择一逆时针围线C包围原点，
然后，上式两边绕C积分
zi z
)s
X (z) zzi
其他C
用待定系数法求得
j
对应表8-3
对应表9-2， 322页
2020/6/23
例8-5
已知：X
(z)
z2 2z2 7z
，求收敛域分别为 3
(1), z 3;(2), z 0.5;(3),0.5 z 3时的Z反变换
解：
X (z) z
z2 z 2z2 7z 3
2z3 40z
z 23
z4