不等关系与不等式经典教案

不等关系与不等式

【学习目标】

1．了解不等式(组)的实际背景．

2．掌握比较两个实数大小的方法．

3．掌握不等式的八条性质．

【学法指导】

1．不等关系广泛存在于现实生活中，应用不等式(组)表示不等关系实质是将“自然语言”或“图形语言”

转化成“数学语言”，是用不等式知识解决实际问题的第一步．只需根据题意建立相应模型，把模型中的量具体化即可．

2．作差法是比较两个数(或式)大小的重要方法之一，可简单概括为“三步一结论”，其中关键步骤“变形”要彻底，当不能“定号”时注意分类讨论．

3．不等式的基本性质是解决不等式的有关问题的依据，应用时每步都要做到等价变形．

一、知识温故

大于小于大于

等于

小于

等于

至多至少不少于不多于

＞＜≥≤≤≥≥≤a－b＞0⇔；

a－b＝0⇔；

a－b＜0⇔.

3．常用的不等式的基本性质

(1)a>b⇔b a(对称性)；

(2)a>b，b>c⇒a c(传递性)；

(3)a>b⇒a＋c b＋c(可加性)；

(4)a>b，c>0⇒ac bc；a>b，c<0⇒ac bc；

(5)a>b，c>d⇒a＋c b＋d；

(6)a>b>0，c>d>0⇒ac bd；

(7)a>b>0，n∈N，n≥2⇒a n b n；

(8)a>b>0，n∈N，n≥2⇒n

a

n

b.

二、经典范例

问题探究一实数比较大小

问题1(实数比较大小的依据)

在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b，右边的点表示的数比左

边的点表示的数大，从实数减法在数轴上的表示可以看出a，b之间具有以下性质：

如果a－b是正数，那么；

如果a －b 是负数，那么 ；

如果a －b 等于零，那么 .

以上结论反过来也成立，即a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＜0⇔a ＜b ；a －b ＝0⇔a ＝b . 问题2 (作差法比较实数的大小)

向一杯a 克糖水中加入m 克糖，糖水变得更甜了．你能把这一现象用一个不等式表示出来吗？并证明你的结论．

问题探究二 不等式的基本性质

问题3 在实数大小比较的基础上，可以给出不等式八条基本性质的严格证明．证明时，可以利用前面

的性质推证后续的性质．

请同学们借助前面的性质证明性质6： 如果a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，那么ac ＞bd .

问题4 初学者对不等式的八条基本性质往往重视不够，其实不等式的基本性质是不等式变形(证明不等式和求解不等式)的重要依据．请同学们解下面这个简单的一元一次不等式，体会并证明不等式基本性质的应用． 解不等式：－16x ＋34<23x －112.

小结 (1)当问题中同时满足几个不等关系时，应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，则选用几个字母分别表示这些变量即可．

(2)解决这类有多个不等关系的问题时，要注意根据题设将所有不等关系都找出来． (3)若有表格、图象等，读懂表格，图象对解决这类问题很关键．

变式练习1：某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？

变式练习2：已知x ＜1，试比较x 3－1与2x 2－2x 的大小．

小结 作差后变形是比较大小的关键一环，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．

变式练习3：(1)比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小；

(2)设x ，y ，z ∈R ，比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．

变式练习4：已知a 、b 、c 为实数，判断以下各命题的真假．

(1)若a >b ，则ac

(2)若ac 2>bc 2，则a >b ； (3)若a ab >b 2； (4)若c >a >b >0，则

a c －a >

b

c －b

； (5)若a >b ，1a >1

b

，则a >0，b <0.

小结 在不等式的各性质中，乘法的性质极易出错，即在不等式两边同乘或除以一个数时，必须要确定该数是正数、负数或零，否则结论就不确定．

变式练习5:

判断下列各命题是否正确，并说明理由．

(1)若c a

b 且

c >0，则a >b ；

(2)若a >b >0且c >d >0，则 a d

> b c

； (3)若a >b ，ab ≠0，则1a <1

b ；

(4)若a >b ，c >d ，则ac >bd .

三、过关测试 一、选择题

1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1

b B ．a 2>b 2 C.a

c 2＋1>b

c 2＋1

D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )

A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >a

C.a b >a >a b 2

D.a b >a b

2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a

4．若x ∈(e －1,

1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a

5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 3<0 C ．a 2－b 2<0 D ．b ＋a >0

6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2 二、填空题

7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．

8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．

9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与1

2

的大小关系为________．