高中数学13-5直接证明间接证明

的思考过程、特 转化思想．本节在高考中一般不会直接命题，往往
点．
是以其他知识为载体作为一种方法考查相关内
2．了解间 容．如2012年天津卷19，重庆卷21等．
接证明的一种基 预测：预计2013年高考对本节知识的考查主要
本方法——反证 是导数及其应用，不等式及其证明，数列的递推公
法，了解反证法 式及通项公式，题型多为解答题，分值约为12
≤ 2.
已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：
|a|＋|b| |a＋b|
【思路启迪】 a⊥b⇔a·b＝0. 同时注意，|a|2＝a2，将要 证式子变形平方即可获证．
【证明】 ∵a⊥b，∴a·b＝0， 要证|a|a|＋＋b|b||≤ 2， 只需证|a|＋|b|≤ 2|a＋b|， 只需证|a|2＋2|a||b|＋|b|2≤2(a2＋2a·b＋b2)， 只需证|a|2＋2|a||b|＋b|2≤2a2＋2b2， 只需证|a|2＋|b|2－2|a||b|≥0， 即(|a|－|b|)2≥0， 上式显然成立，故原不等式得证．
2．分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着 分析，逐渐地靠近已知事实．
用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是： 为了证明命题Q为真， 这只需证明命题P1为真，从而有… 这只需证明命题P2为真，从而有… … 这只需证明命题P为真． 而已知P为真，故Q必为真． 3．用分析法证题时，一定要严格按格式书写，否则容易出错．
2．间接证明 (1)反证法定义：假设原命题 不成立 (即在原命题的条件 下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出 矛盾 ，因此 说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫 反证法．
பைடு நூலகம்
(2)适宜用反证法证明的数学命题有： ①结论本身以否定形式出现的一类命题； ②关于惟一性、存在性的命题； ③结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题； ④结论的反面比原始结论更具体、更容易研究的命题； ⑤要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推 出结论的线索不够清晰．
考纲要求
考情分析
1.了解直接
数学证明题是锻炼学生思维能力和优化人的大
证明的两种基本 脑的体操，在高考中占据重要地位，除在立体几何
方法——分析法 中考查空间位置关系的判定外，还常与函数，数列、
和综合法；了解 圆锥曲线相结合进行考查，要求学生具备较强的逻
分析法和综合法 辑思维能力、推理论证能力和综合能力以及化归与
综合法往往以分析法为基础，是分析法的 逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件 出发，根据不等式的性质推导证明．
已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2 ＋1a＋1b＋1c2≥6 3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
解：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac， 所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac， ① 同理a12＋b12＋c12≥a1b＋b1c＋a1c， ②
当所证命题不知从何入手时，有时可以运 用分析法获得解决，特别是对于条件简单而结论复杂的题 目，往往行之有效，如对含有根式的证明问题也常常使用分 析法．
设a，b，c>0，证明：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
【思路启迪】 本题因为有三项分式，不主张用分析 法．综合法证明不等式，要特别注意基本不等式的运用和对 题设条件的运用．这里可从去分母的角度去运用基本不等 式．
【证明】 ∵a，b，c>0，根据基本不等式， 有ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c. 三式相加：ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)． 当且仅当a＝b＝c时取等号． 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
(3)用反证法证明问题时要注意的问题： ①必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面 呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可 能，反证都是不完全的； ②反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面 作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结 论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．
的思考过程、特 分．与数列知识结合命题的机会较大，主要考查不
点.
等式的放缩.
1．直接证明
(对应学生用书P233)
内容 定义
综合法
分析法
利用已知条件和某 些数学定义、公理 、定理等，经过一 系列的 推理论证 ， 最后推导出所要证 明的结论成立 .
从要证明的结论 出发，逐步寻求 使它成立的 充分条件 ，直到最 后，把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件， 定理，定义，公理等)为止．
实质 由因导果(顺推证法)
框图表示
P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→ Qn⇒Q
文字 因为…所以…
语言 或由…得…
执果索因
Q⇐P1→P1⇐P2→…→得到 一个
要证…只需证… 即证…
问题探究1：综合法与分析法的思维特点是什么，有何联 系？
提示：综合法是从条件推结论，分析法是逆向思维，从 结论出发逐步寻求结论成立的条件，两种方法各有优缺点， 在证题时一般用分析法分析用综合法写出过程．
故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2 ≥ab＋bc＋ac＋3a1b＋3b1c＋3a1c≥6 3. ③ 所以原不等式成立 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b＝c， (ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立． 即当且仅当a＝b＝c＝3 时，原式等号成立.
1.分析法也是中学数学证明问题的常用方法，其主要过 程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分条件．
问题探究2：利用反证法证明问题的关键是什么？可能出 现的矛盾是什么？
提示：反证法证明问题的关键是推出与假设矛盾的结 论，从而说明假设错误，结论成立，可能出现的矛盾：与假 设，与已知，与数学公理，定理，公式，定义或已证明的结 论矛盾，与公认的简单事实矛盾．
(对应学生用书P234)
综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出 发，推导出所要证明的等式或不等式成立．因此，综合法又 叫做顺推证法或由因导果法．其逻辑依据是三段论式的演绎 推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证 结论的正确性．