概率论与数理统计课件D随机事件及其概率
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1 P( A1)P( A2 )P( An )
5
特别提醒:
(2)但是, 经常有的难题要求求某些独立事件的 交了再并的概率, 这时候不得不套用广义加法 法则, 尤其常用的是三个事件的并的加法法则
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- P(AC)-P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)- P(A)P(C)
7
例1
甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别 为0.9,0.8及0.85. 求在这段时间内有机床需要 工人照管的概率以及机床因无人照管而停工 的概率.
8
例1
(1) P( ABC) 1 P( ABC) 1 P( A)P(B)P(C) 1 0.9 0.8 0.85 0.388
10
例2
若例1中的3部机床性能相同, 即设
P(A)=P(B)=P(C)=0.8
求: (1)这段时间内恰有一部机床需人照管的概率. (2)这段时间内恰有两部机床需人照管的概率.
11
例2
解答:
(1) P(E) C31 0.2 0.82 3 0.128 0.384
(2) P(F ) C32 0.22 0.8 3 0.04 0.8 0.096
三人中至多有两人投进的事件为 ABC
12
例3
如图所示, 开关电路中开关a, b, c, d开或关的概率都是
0.5, 且各开关是否关闭相互独立. 求灯亮的概率以及若
已见灯亮, 开关a与b同时关闭的概率
a
b
c
d
13
例3
解: 令事件
A,B,C,D分别
表示开关
a,b,c,d关闭, E
表示灯亮, 则
E=AB+C+D
a
b
c
d
14
例3
P(E)=P(AB+C+D) =P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD) -P(CD)+P(ABCD)
(2) P(A B A C B C ) P(A B) P(A C ) P(B C ) 2P(A B C ) P( A)P(B ) P( A)P(C ) P(B )P(C ) 2P( A)P(B )P(C ) 0.1 0.2 0.1 0.15 0.2 0.15 2 0.1 0.2 0.15 0.059
17
贝努里定理:
如果事件A在每次试验中发生的概率都是 p(0<p<1), 则在n重贝努里试验事件A恰好发 生k次的概率为:
P( A) Cnk pk qnk
(q 1 p)
18
例4
一条自动生产线上产品的优质品率为0.6, 现 检查了10件,求至少有两件优质品的概率. 解:
P( A) 1 0.410 C110 0.6 0.49 0.998
独立试验序列概型
在概率论中, 我们称在同样条件下重复进行 试验的数学模型为独立试验序列概型. 进行n次试验,若任何一次试验中各结果发生 的可能性都不受其它各次试验结果发生情况 的影响,则称这n次试验是相互独立的.
16
贝努里试验:
如果在每次试验中某事件A或者发生,或者不 发生,且每次试验的结果与其它各次试验结果 无关,即在每次试验中事件A发生的概率都是 p(0<p<1), 这样的试验我们称为贝努里试验. 如果重复进行n次, 则称为n重贝努里试验.
=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)
=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54 =0.8125
P(AB|E)=P(ABE)/P(E)=0.25/0.815=0.3077
15
2
事件的独立性:
可以证明:
(1)事件A与事件B独立的充要条件是:
P(AB)=P(A)P(B) (2)若事件A与B独立,则事件A与B, A与B, A与B 也相互独立.
3
事件的独立性:
推广: 如果n (n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一
个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事
件发生与否的影响, 则称A1,A2,…,An相互独立.
当然,若A1,A2,…,An相互独立, 则有 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P (An)
4
特别提醒:
(1)如果是要求多个相互独立的事件的并的概 率, 则应当利用狄.摩根定理将事件的并转换 为事件的交, 也就是考虑事件的逆的概率.即
P(A B) 1 P(A B) 1 P(A)P(B) P( A1 A2 An ) 1 P( A1A2 An )
19
98年经济类考研题1
甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛, 已知甲的命中率 为0.9, 乙的命中率为0.8, 丙的命中率为0.7, 现每 人各投一次, 求: (1)三人中至少有两人投进的概率; (2)三人中至多有两人投进的概率.
Baidu Nhomakorabea20
98年经济类考研题1
解: 设A="甲投进", B="乙投进", C="丙投进" 则三人中至少两人投中的事件为 AB+AC+BC
-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
6
特别提醒:
例如, 常见的求AB+CD+EF的概率, 则 P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-
P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF) 如果A,B,C,D,E,F相互之间独立, 则上式中的各个交事
件的概率再变成各概率之积.
9
例1
第二个问题也可以用对立事件来做,机床因无人照管 而停工的对立事件是，最多有一台机床需要照管，因 此其概率为：
1 P( ABC ABC ABC ABC)
1[P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)]
1 (0.9 0.8 0.85 0.1 0.8 0.85 0.9 0.2 0.85 0.9 0.8 0.15) 0.059
随机事件及其概率Ⅴ
独立事件的概念 独立试验序列 n重贝努里试验概率模型 互不相容（互斥）与相互独立的关系， 在互斥和相互独立条件下，加法法则与乘法 法则的表现形式。
1
事件的独立性:
如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的 影响, 即P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称事 件A与事件B相互独立,简称事件A与B独立.
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特别提醒:
(2)但是, 经常有的难题要求求某些独立事件的 交了再并的概率, 这时候不得不套用广义加法 法则, 尤其常用的是三个事件的并的加法法则
P(A+B+C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- P(AC)-P(BC)+P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)- P(A)P(C)
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例1
甲,乙,丙3部机床独立工作, 由一个工人照管, 某段时间内它们不需要工人照管的概率分别 为0.9,0.8及0.85. 求在这段时间内有机床需要 工人照管的概率以及机床因无人照管而停工 的概率.
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例1
(1) P( ABC) 1 P( ABC) 1 P( A)P(B)P(C) 1 0.9 0.8 0.85 0.388
10
例2
若例1中的3部机床性能相同, 即设
P(A)=P(B)=P(C)=0.8
求: (1)这段时间内恰有一部机床需人照管的概率. (2)这段时间内恰有两部机床需人照管的概率.
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例2
解答:
(1) P(E) C31 0.2 0.82 3 0.128 0.384
(2) P(F ) C32 0.22 0.8 3 0.04 0.8 0.096
三人中至多有两人投进的事件为 ABC
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例3
如图所示, 开关电路中开关a, b, c, d开或关的概率都是
0.5, 且各开关是否关闭相互独立. 求灯亮的概率以及若
已见灯亮, 开关a与b同时关闭的概率
a
b
c
d
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例3
解: 令事件
A,B,C,D分别
表示开关
a,b,c,d关闭, E
表示灯亮, 则
E=AB+C+D
a
b
c
d
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例3
P(E)=P(AB+C+D) =P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD) -P(CD)+P(ABCD)
(2) P(A B A C B C ) P(A B) P(A C ) P(B C ) 2P(A B C ) P( A)P(B ) P( A)P(C ) P(B )P(C ) 2P( A)P(B )P(C ) 0.1 0.2 0.1 0.15 0.2 0.15 2 0.1 0.2 0.15 0.059
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贝努里定理:
如果事件A在每次试验中发生的概率都是 p(0<p<1), 则在n重贝努里试验事件A恰好发 生k次的概率为:
P( A) Cnk pk qnk
(q 1 p)
18
例4
一条自动生产线上产品的优质品率为0.6, 现 检查了10件,求至少有两件优质品的概率. 解:
P( A) 1 0.410 C110 0.6 0.49 0.998
独立试验序列概型
在概率论中, 我们称在同样条件下重复进行 试验的数学模型为独立试验序列概型. 进行n次试验,若任何一次试验中各结果发生 的可能性都不受其它各次试验结果发生情况 的影响,则称这n次试验是相互独立的.
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贝努里试验:
如果在每次试验中某事件A或者发生,或者不 发生,且每次试验的结果与其它各次试验结果 无关,即在每次试验中事件A发生的概率都是 p(0<p<1), 这样的试验我们称为贝努里试验. 如果重复进行n次, 则称为n重贝努里试验.
=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C) -P(A)P(B)P(D)-(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)
=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54 =0.8125
P(AB|E)=P(ABE)/P(E)=0.25/0.815=0.3077
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2
事件的独立性:
可以证明:
(1)事件A与事件B独立的充要条件是:
P(AB)=P(A)P(B) (2)若事件A与B独立,则事件A与B, A与B, A与B 也相互独立.
3
事件的独立性:
推广: 如果n (n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一
个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事
件发生与否的影响, 则称A1,A2,…,An相互独立.
当然,若A1,A2,…,An相互独立, 则有 P(A1A2…An)= P(A1)P(A2)…P (An)
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特别提醒:
(1)如果是要求多个相互独立的事件的并的概 率, 则应当利用狄.摩根定理将事件的并转换 为事件的交, 也就是考虑事件的逆的概率.即
P(A B) 1 P(A B) 1 P(A)P(B) P( A1 A2 An ) 1 P( A1A2 An )
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98年经济类考研题1
甲,乙,丙三人进行定点投篮比赛, 已知甲的命中率 为0.9, 乙的命中率为0.8, 丙的命中率为0.7, 现每 人各投一次, 求: (1)三人中至少有两人投进的概率; (2)三人中至多有两人投进的概率.
Baidu Nhomakorabea20
98年经济类考研题1
解: 设A="甲投进", B="乙投进", C="丙投进" 则三人中至少两人投中的事件为 AB+AC+BC
-P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)
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特别提醒:
例如, 常见的求AB+CD+EF的概率, 则 P(AB+CD+EF)=P(AB)+P(CD)+P(EF)-P(ABCD)-
P(ABEF)-P(CDEF)+P(ABCDEF) 如果A,B,C,D,E,F相互之间独立, 则上式中的各个交事
件的概率再变成各概率之积.
9
例1
第二个问题也可以用对立事件来做,机床因无人照管 而停工的对立事件是，最多有一台机床需要照管，因 此其概率为：
1 P( ABC ABC ABC ABC)
1[P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)]
1 (0.9 0.8 0.85 0.1 0.8 0.85 0.9 0.2 0.85 0.9 0.8 0.15) 0.059
随机事件及其概率Ⅴ
独立事件的概念 独立试验序列 n重贝努里试验概率模型 互不相容（互斥）与相互独立的关系， 在互斥和相互独立条件下，加法法则与乘法 法则的表现形式。
1
事件的独立性:
如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的 影响, 即P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B), 则称事 件A与事件B相互独立,简称事件A与B独立.