穷举法详细
算法——穷举法
算法——穷举法穷举法是一种常见的求解问题的算法，也被称为暴力搜索或者暴力枚举。
它的基本思想是穷尽所有可能的情况，从中找出满足问题要求的最优解或者符合条件的解。
在实际问题中，穷举法可以解决很多难题，比如寻找最短路径、最小值、最大值等等。
穷举法的求解过程相对容易理解，而且实现起来很简单。
但是，随着问题规模的增加，穷举法的时间复杂度会非常高，计算机的计算能力往往无法承载。
因此，在使用穷举法时，需要掌握一些技巧有效地减少计算量。
穷举法基本步骤：1.确定问题的解空间解空间是指可以取到的所有解组成的集合。
需要明确问题的解空间，方便穷举法从中查找到符合条件的解。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，解空间就是所有偶数的集合{2,4,6,...,100}。
2.确定问题的约束条件约束条件是指解必须满足的限制条件。
例如，对于求1~100中所有偶数的和这个问题，约束条件就是偶数。
3.进行穷举搜索穷举搜索就是从解空间中挨个枚举每一个解，判断是否满足约束条件。
对每一组解都进行判断，找到满足要求的最优解或者符合条件的解。
例如，在求1~100中所有偶数的和这个问题中，需要从所有偶数中挨个枚举每一个偶数，将其累加到结果变量中。
4.分析求解结果分析求解结果，检验是否符合问题的要求。
如果结果合法，那么就是要求的最优解或者符合条件的解。
如果结果不合法，那么需要继续搜索其他可能的解。
穷举法的优缺点优点：1.穷举法可以求解各种难点问题，尤其是在面对离散的问题时效果非常显著。
2.穷举法思路简单，易于理解，实现也相对较简单。
3.穷举法保证能够搜索到所有可能的解，因此能够找到最优解或者符合条件的解。
1.穷举法遍历所有可能的解，当问题规模较大时，时间复杂度非常高，计算量大，效率低。
2.部分问题的解空间很难找到或没有固定的解空间，导致穷举策略无从下手。
3.穷举法没有明确的评估标准，求得的解无法与其他算法进行比较。
穷举法使用技巧1.剪枝技术穷举法的时间复杂度往往比较高，因此需要使用剪枝技术，减少不必要的计算。
基础算法（一）穷举法
基础算法（⼀）穷举法
基础算法（⼀）穷举法
穷举法的基本思想:从可能的解集合中⼀⼀穷举各元素，⽤题⽬给定的检验条件判定哪些是有⽤的，哪些是⽆⽤的，能使命题成⽴的，即为其解。
穷举法解题思路：
1、对命题建⽴正确的数学模型；
2、根据命题确定数学模型中各变量的变化范围（即可能解的范围）；
3、利⽤循环语句、条件判断语句逐步求解或证明。
穷举法的特点：
算法简单，但运算量⼤。
对于可能确定解的范围，⼜⼀时找不到更好的算法时，可以采⽤穷举法。
例1、求满⾜表达式A+B=C的所有整数解，其中A、B、C为1～3之间的整数。
例2、鸡兔同笼问题（在同⼀个笼⼦⾥有鸡和兔⼦若⼲只，从上⾯看，能看到20个头，从下⾯看，能看到60只脚，问鸡兔各有多少只？）例3、百钱百鸡问题（⼀百块钱要买⼀百只鸡，这⼀百只鸡必须包含母鸡、公鸡和⼩鸡，其中，公鸡5元⼀只，母鸡3元⼀只，⼩鸡1元三只，
问有哪些购买⽅案？）
例4、⽔仙花数问题（ABC=A3+B3+C3,列出所有的整数ABC）
在⽤穷举法时，问题必须满⾜两个条件：
1、能够预先确定可能解的个数；
2、对每个解变量的取值，其变化范围也能预先确定。
使⽤穷举法时应注意的问题：
1、减少穷举变量；
2、缩⼩穷举变量的取值范围。
穷举法
• 观看C语言程序片断
开始 x=1
2x+4(30x)=95?
开始
x=1 是 X<=30? 是 2x+4(30x)=95?
30-
否
否
否
x累加1
是
输出x, x
输出x，30-x x累加1
结束
结束
(P23)练一练：在一个停车场共有24辆车，包
括4个轮子的汽车和3个轮子的摩托车，车轮共 86个，请问3轮摩托车几辆？请你画出流程图
开始
已设定密码P i从0开始逐一尝试， 直至找到符合条件 (i=P)的答案为止 是 i=p? 否 i=i+1 (i累加1)
i=0
输出 i
结束
• 穷举法:就是按照事物发展规律,将问题的所
有可能的答案一一列举,然后根据条件判断 此答案是否合适,合适就保留,不合适就丢弃 的一种方法。
1、今年弟弟6岁，哥哥15岁，当 两人年龄和为65岁时，弟弟几岁？
开始
x=1
否
x<=24?
是 3x+4(24-x)=86? 是 输出x，24-x X累加1
否
结束
开始
x=1
否 X<=30? 是 2x+4(30-x) =96? 是 输出x，30-x 否
x累加1
结束
X<=30?
（1）当找不到符合条件的值时， 可以避免死循环
（2）跳出循环时，x最终的值不同
想想该流程图应如何修改,避免死循环呢？
输出ห้องสมุดไป่ตู้x,
30-x 结束
2、笼中有鸡和兔，共有30个头，95只脚。问 鸡、兔各几只？（设鸡x只)
开始
x=1
是
3.2用穷举法解决问题
穷举的范围： 0 ≤ a≤ 100
0 ≤ b ≤ 100
0 ≤ c ≤ 100 判断式： a +b+c=100 且 5*a+3*b+c/3=100
思考：如何提高算法的效率？ 1、减少循环的次数，通过缩小穷举范围
0 ≤ a≤ 100 / 5 0 ≤ b≤ 100 / 3 0 ≤ c ≤ 100 2、减少循环嵌套的层数
0 ≤ a ≤ 100 / 5 0 ≤ b≤ 100 / 3 c = 100 – a – b
百鸡百钱程序代码： Dim a As Integer, b As Integer, c As Integer For a = 0 To 20 For b = 0 To 33 c = 100 - a - b If a * 5 + b * 3 + c / 3 = 100 Then Print a, b, c End If Next b Next a
约束条件：该数的个、十、百位 数的立方和正好是等于该数本身
程序结构选择：三重循环
如果你理解了这2个思路，可以在VB 中编写出来么？GO!
方法一： For I=100 to 999 A=int(I/100) B=int(I/10) mod 10 C=I mod 10 If a^3+b^3+c^3=I then print I End if Next I
穷举法的一般模式
• 列出问题的可能范围，一般用循环或者循 环嵌套结构来实现
• 探究、挖掘出问题解的约束条件 • 根据约束条件优化算法，尽可能地缩小穷
举范围，减少穷举次数，降低算法的时间 和空间复杂度。
枚举法
c
枚举法 D
穷举法
穷举法：列举出所有可能的情况，逐个判断有哪些符合问题所要求的条件，从而得到问题的答案。
穷举法也称枚举法穷举法的思路：列举一切与命题相关的情况，然后根据问题设定的条件，逐个加以检查，找到满足条件的解。
但在穷举时，“与命题相关条件地情况”所包含的范围可能广，如果不加限制可能会耗费计算机的运行时间。
设计算法：设计穷举法的关键是如何列举所有可能的情况，绝对不能遗漏，最好不要重复。
在列举时注意变量的范围，可以减少工作量。
⒊某学校组织一次读书活动，计划购买各种各样书写笔作为奖品。
用100元买100支笔，其中钢笔每支5元，圆珠笔每支1元，铅笔1元5支，编程求可行的方案数是多少?⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=++=++1000200100515100b a c b a c b a ⒋一个N 位数的各位数N 次方之和等于这个数，称为armstrong 数（如153=13+53+33，1634=14+64+34+44）。
编一个程序，求出2、3、4位数中所有的armstrong 数。
分段：10——99；100——999；1000——9999⒌编程找出四位整数abcd 中满足下述关系的数有多少种。
abcd cd ab =+2)(四位整数的取值范围：1000——9999算法及程序⒊For a = 0 To 20For b = 0 To 100c = 100 - a - bIf 5 * a + b + 0.2 * c = 100 Then d = d + 1Next bNext aPrint d⒋For m = 10 To 99a = m \ 10b = m Mod 10If a ^ 2 + b ^ 2 = m Then Print mNext mFor m = 100 To 999a = m \ 100b = (m - a * 100) \ 10c = m Mod 10If a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 = m Then Print mNext mFor m = 1000 To 9999a = m \ 1000b = (m - a * 1000) \ 100c = (m - a * 1000 - b * 100) \ 10d = m Mod 10If a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + d ^ 4 = m Then Print mNext m⒌For a=1 to 9For b=0 to 9For c= 0 to 9For d= 0 to 9If (a*10+b+c*10+d)^2=a*1000+b*100+c*10+d then e=e+1Next dNext cNext bNext a?e。
拓展知识5-1 穷举法
拓展知识5-1 穷举法一、什么是穷举法在实际问题中，经常遇到在一定范围内寻求某类事物解的问题。
比如：求水仙花数，因为水仙花数是一个三位数，所以，[100,999]就是给定的范围，水仙花数就是要求的解；又如：百马百担问题，求解决方案，大马数量[1,33]，中马数量[1,50]，小马数量[1,100] 就是给定的范围，解决方案就是要求的解等。
像这类问题，可以通过对指定范围内每种可能的情况进行一一测试，验证其是否是满足条件的解的方法来解决，我们就把这种解决问题的方法称为穷举法。
由于实际问题的指定范围可能很大，所以，穷举法更适合于使用计算机，因此，这类问题可通过程序设计来解决。
二、穷举法解决问题的关键1．确定范围（1）往往实际问题给定的范围不一定很明确，需要我们通过分析来确定范围；（2）所得到的范围还可以利用给定的部分约束条件进一步缩小，以减少程序的运行时间，提高效率。
2．确定解的条件通过对实际问题进行分析，给出判断解的条件，有了判断解的条件才能对每种可能的情况进行一一验证，从而得到问题的解。
三、穷举法解决问题的步骤1．分析问题，确定范围变量，给出解的判断条件；2．用循环或循环的嵌套对范围变量的所有可能情况进行一一测试；3．用选择语句判断每种情况是否符合解的条件；4．输出符合条件的情况。
四、穷举法的优化策略1．减少范围变量范围变量能少用尽量少用，这样可大大减少测试的数量。
例如百马百担问题，对大马、中马、小马均可设一个范围变量dm、zm、xm，其范围分别是：[1,33]，[1,50]，[1,100]，总的测试数量为33*50*100=165000次；在大马、中马具体确定后，小马可利用约束条件dm+zm+xm=100来确定，因此，只需将大马、中马设为范围变量，这样测试数量为33*50=1650次。
可见，减少范围变量的使用可大大减少测试的数量。
2．缩小穷举范围根据实际问题的隐含条件，可将不符合条件的情况去掉，缩小穷举范围，减少穷举变量的值域。
穷举法-计算机求解问题的一种方法
穷举法——计算机求解问题的一种方法概述所谓穷举法，就是在列举所有可能的解，逐一检验直至找到真正的解。
例如，“找出整数n的所有因子”这一问题就可以采用穷举法。
所有可能的解（即因子）落在集合{1, 2, 3, …, n}内，分别用n除一除，余数为0则是因子，否则不是因子。
银行卡密码是6位数字，采用穷举法破解就是把所有6位数都试一遍，那一共要试106次。
人来试是受不了的，而计算机也许可以（因为速度更快）。
所谓暴力破解法正是这样做的。
例一题目：一个首项大于0的递增等差数列前四项和为26，前四项积为880，求该数列的第20项的值。
提示：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。
例如：等差数列：1，3，5，7，9，11。
该数列的公差是2，第5项值是9。
采用穷举法解题说明如下。
假设数列首项为a，差值为d，有：a+ a+d + a+2d + a+3d = 26a*(a+d) * (a+2d)*(a+3d) = 880如何求出a和d？答：穷举（a，d）的组合。
数列首项a从1穷举到5，差值d可从1穷举到5。
a从1开始是因为题目指出首项大于0，a到5为止是因为数列前4项之和为26，而4*5+6*1（差值d至少为1）等于26。
差值d从1开始是因为是等差数列，差值至少为1，到5为止的因为6*5>26。
这样，构造出了所有可能的解，即（a，d）的组合：(1, 1)，(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5)…(5,1), (5,2),(5,3),(5,4),(5,5)。
算法描述如下：for a=(1,2,3,4,5):for d=(1,2,3,4,5):如果a+ a+d + a+2d + a+3d等于26且a*(a+d) * (a+2d)*(a+3d)等于880，则：求得数列第20项是a+19*d；算法结束。
穷举
最优解Biblioteka 11, 3, 4 2，5 ，
5 4
3 2
4
三、回溯法：八皇后问题
要求在8×8格的国际象棋棋盘上摆放 要求在 × 格的国际象棋棋盘上摆放 8个皇后，使其不能互相攻击。由于 个皇后，使其不能互相攻击。由于 皇后的走棋法是可以横走、直走、走 斜线，每次走任意格数，所以要求这 八个皇后中的任意两个都不处于同一 行、同一列或同一斜线上。问有多少 种摆法？ 分析： 穷举法 穷举法”， 个皇后各占一行， 分析：“穷举法 ，8个皇后各占一行， 穷举每一行上可能占有的列，再排除 不合条件的情况，只输出合理的解。
表示一个皇后的控制范围（续）
同理，从左下角到右上角的主对角线及平 行线(即斜率为 的各斜线)上， (行号 - 列 行线 即斜率为-1的各斜线 上， 行号 即斜率为 的各斜线 相等，从左到右的15条直线这种差值 号)相等，从左到右的 条直线这种差值 相等，从左到右的 分别为7, 分别为 6, 5, …，0, -1, -2，…，-7。 ， ， ， 。 用以下的变量来表示当摆设第i个皇后时， 用以下的变量来表示当摆设第 个皇后时， 前面几个皇后在各列、各± 前面几个皇后在各列、各± 对角线上的占 用情况 bool A[n]; // 第j行皇后 行皇后 bool B[2*n-1]; // 斜率为 的对角线 斜率为+1的对角线 bool C[2*n-1]; // 斜率为-1， C[i-j+7] 斜率为 ，
• 从人工模拟的角度可直接从第 个回溯 从人工模拟的角度可直接从第6个回溯 • 从算法的角度是继续试探第7个 从算法的角度是继续试探第 个
4
试探安排八个皇后（续2）
在回溯的过程中，应该抹掉前面试探 留下的标记，即恢复A[j]、B[i+j]、 留下的标记，即恢复 、 、 C[i-j+7]为未被占用状态，这样才能 为未被占用状态，这样才能 正确地开展下一步的试探。 不管是找到了解还是没有找到解都必 须抹掉以前的标记，并回溯。 这种回溯过程将逐步返回，使得各行 的皇后都能试探到各种可能的摆法
穷举法研究
穷举算法探究报告
一、穷举算法原理介绍
穷举法的基本思想是根据题目的部分条件拟定答案的大致范畴，并在此范畴内对全部可能的状况逐个验证，直到全部状况验证完毕。
若某个状况验证符合题目的全部条件，则为本问题的一种解；若全部状况验证后都不符合题目的全部条件，则本题无解。
穷举法也称为枚举法。
用穷举法解题时，就是按照某种方式列举问题答案的过程。
针对问题的数据类
型而言，惯用的列举办法一有以下三种：
（1）次序列举是指答案范畴内的多种状况很容易与自然数对应甚至就是自然数，能够按自然数的变化次序去列举。
（2）排列列举有时答案的数据形式是一组数的排列，列举出全部答案所在
范畴内的排列，为排列列举。
（3）组合列举当答案的数据形式为某些元素的组合时，往往需要用组合列举。
组合是无序的
二、程序设计流程。
穷举法详细
第三讲穷举法一、穷举法的基本概念穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人，就是用高速的电子计算机运行，其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
二、穷举算法模式穷举算法模式：(1)问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现(2)写出符合问题解的条件。
(3)能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。
三、使用穷举法设计算法穷举法应用很多，比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。
如在QQ上，OicqPassOver这个工具穷举你的口令，它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令，如果口令简单，一分钟内，密码就会遭到破译。
下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。
实例一：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2～1000内的所有完全数。
分析：(1)本题是一个搜索问题，搜索范围 2～1000，找出该范围内的完全数；(2)完全数必须满足的条件：因子的和等于该数据的本身。
(3)问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和。
程序如下：Program p3_1 ;Var a , b,s :integer ;BeginFor a:=2 to 1000 doBeginS:=0 ;For b:=1 to a -1 doIf a mod b =0 then s:=s+b ; { 分解因子并求和 }If a=s then beginWrite( a, ‘=’ ,1, );For b:=2 to a -1 doIf a mod b=0 then write( ’+’, b );Writeln ;End;End;End.当程序运行后，输出结果：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248实例二：（第七届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛初赛试题）在A，B两个城市之间设有N个路站(如下图中的S1，且N<100)，城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段(各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数)。
穷举法举例说明
穷举法举例说明
穷举法是一种计算思路，它通过枚举所有可能的情况，从而找到
最优解。
在实际应用中，穷举法常被用于解决一些复杂的问题。
下面，我们通过几个例子来详细说明该方法的应用。
例1：密码破解
密码的破解可以采用穷举法。
假设某个密码只包含数字和字母，
且长度为4位，则可以按照以下步骤进行破解：先从0000开始，依次
尝试0001、0002、……，直到9999为止。
在这个过程中，如果可以正确破解密码，则停止尝试，否则继续尝试下一个密码。
这种方法虽然
效率比较低，但对于简单密码来说，可以快速找到密码。
例2：网络路由
在计算机网络中，网络路由的目的是寻找从源节点到目标节点的
最短路径。
穷举法可以用于解决路由问题。
假设有一个有向带权图，
可以先从源节点开始，尝试每一条可能的路径，直到找到一条从源节
点到目标节点的路径为止。
在这个过程中，可以采用Dijkstra算法等
其他优化算法，来加快寻找最短路径的速度。
例3：求解方程
穷举法也可以用于解决一些数学问题。
假设要求解某个方程的解，则可以从一个极小值开始，并逐步增加变量的取值，直到满足方程的
条件为止。
在这个过程中，可以采用二分法、牛顿法等其他优化算法来加速求解的过程。
综上所述，穷举法虽然效率可能较低，但是在一些问题上，其解决方法是唯一的。
在实际应用中，我们应该根据具体问题的特点，选择合适的算法来解决问题。
同时，在加速穷举法的过程中，也可以采用其他算法来优化求解的效率。
穷举法的原理
穷举法的原理穷举法是一种解决问题的常用方法，它通过遍历所有可能的情况来寻找问题的解决方案。
在数学、计算机科学、工程等领域，穷举法被广泛应用于问题求解和决策制定。
一、什么是穷举法？穷举法，又称为暴力搜索法，是一种基于遍历所有可能情况的解决问题的方法。
它的基本思想是将问题的解空间进行穷尽，找出满足条件的解。
穷举法通常适用于问题的规模较小，解空间相对较小的情况。
二、穷举法的步骤穷举法的步骤如下：1. 理解问题：首先要对问题进行充分的理解，明确问题的目标和限制条件。
2. 枚举可能性：根据问题的特点和限制条件，列出所有可能的情况。
这一步需要进行适当的抽象和推理，将问题转化为具体的数学模型或算法。
3. 遍历解空间：对所有可能的情况进行遍历，逐个检验是否满足问题要求。
这一步需要有一定的策略和方法，以便尽快地找到满足条件的解。
4. 验证解答：对找到的解答进行验证，确保其符合问题的要求和限制条件。
5. 总结和优化：根据问题的特点和解答的效果，进行总结和优化，提出改进的方案和思路。
三、穷举法的应用举例1. 破解密码：穷举法可以用于破解密码，通过遍历所有可能的密码组合，找到正确的密码。
2. 棋盘问题：穷举法可以用于解决棋盘问题，通过遍历所有可能的棋子布局，找到满足条件的解。
3. 整数拆分：穷举法可以用于整数拆分问题，通过遍历所有可能的拆分方式，找到满足条件的解。
4. 组合优化问题：穷举法可以用于解决组合优化问题，通过遍历所有可能的组合方式，找到最优解。
5. 网络搜索：穷举法可以用于搜索引擎的网页索引，通过遍历所有可能的网页，找到相关的搜索结果。
四、穷举法的优缺点穷举法的优点是简单易懂，适用于问题规模较小的情况。
它可以保证找到问题的解决方案，而且解决方案通常是准确的。
然而，穷举法的缺点是计算复杂度较高，当问题规模较大时，遍历所有可能情况的时间和空间成本非常高。
五、穷举法与其他方法的比较1. 贪心法：贪心法通过选择当前最优解来解决问题，而不考虑全局最优解。
特殊解题方法——穷举法
特殊解题方法——穷举法解答某些数学题，可以把问题所涉及到的数量或结论的有限种情况，不重复不遗漏地全部列举出来，以达到解决问题的目的。
这种解题方法就是穷举法。
例1 从甲地到乙地有A、B、C三条路线，从乙地到丙地有D、E、F、G四条路线。
问从甲地经过乙地到达丙地共有多少条路线？（如图3．28）分析：从甲地到乙地有3条路线，从乙地到丙地有4条路线。
从甲地经过乙地到达丙地共有下列不同的路线。
解：3×4＝12答：共有12条路线。
例2 如果一整数，与1、2、3这三个数，通过加减乘除运算（可以添加括号）组成算式，能使结果等于24，那么这个整数就称为可用的。
在4、5、6、7、8、9、10、11、12这九个数中，可用的有_______个。
（1992年小学数学奥林匹克初赛试题）分析：根据题意，用列式计算的方法，把各算式都列举出来。
4×（1＋2＋3）＝24 （5＋1＋2）×3＝246×（3＋2－l）＝24 7×3十豆十2—248×3×（2－1）＝24 9×3—1—2—2410×2＋l＋3＝24 11×2＋3－l＝2412×（3＋1－2）＝24通过计算可知，题中所给的9个数与1、2、3都能够组成结果是24的算式。
答：可用的数有9个。
例3 从0、3、5、7中选出三个数字能排成_______个三位数，其中能被5整除的三位数有_________个。
（1993年全国小学数学竞赛预赛试题）分析：根据题中所给的数字可知：三位数的百位数只能有三种选择：十位数在余下的三个数字中取一个数字，也有3种选择；个位数在余下的两个数字中取一个数字，有2种选择。
解:把能排成的三位数穷举如下，数下标有横线的是能被5整除的。
305，307，350，357，370，375；503，507，530，537，570，573；703，705，730，735，750，753答：能排成18个三位数，其中能被5整除的有10个数。
穷举法计算概率
穷举法计算概率
穷举法是一种通过列举所有可能的情况来计算概率的方法。
以下是使用穷举法计算概率的一般步骤：
1. 明确问题：确定要计算的概率问题，例如抛掷一枚硬币正面朝上的概率。
2. 列出所有可能的结果：对于给定的问题，列出所有可能的结果。
例如，抛掷一枚硬币可能的结果有正面朝上和反面朝上两种情况。
3. 确定目标事件：确定我们关心的目标事件。
例如，在抛掷硬币的例子中，目标事件可能是正面朝上。
4. 计算目标事件的数量：数出目标事件在所有可能结果中的数量。
在抛掷硬币的例子中，正面朝上的结果只有一种。
5. 计算概率：使用公式“概率=目标事件的数量/所有可能结果的数量”计算概率。
在抛掷硬币的例子中，正面朝上的概率为 1/2。
使用穷举法计算概率的关键是确保列出所有可能的结果，并正确计数目标事件的数量。
当问题变得复杂或可能的结果数量很大时，穷举法可能变得不切实际。
在这种情况下，可能需要使用其他更高效的方法来计算概率。
希望以上内容对你有帮助，具体片段可以根据你的需求进行选择。
数字运算的穷举法
数字运算的穷举法穷举法，也被称为暴力法或试探法，是一种常用于解决问题的算法方法。
它通过逐个尝试所有可能的解决方案来找到问题的解。
在数字运算中，穷举法可以用于解决各种数学运算问题，如寻找因子、求和、计算阶乘等。
本文将探讨数字运算中穷举法的应用以及相关的技巧和注意事项。
一、寻找因子当需要找出一个整数的所有因子时，可以使用穷举法。
具体步骤如下：1. 首先，确定待寻找因子的整数，假设为n。
2. 从1开始，逐个尝试可能的因子，直到尝试到n本身。
3. 对每个尝试的因子，判断其是否能整除n。
若能整除，则为n的一个因子。
4. 将所有找到的因子记录下来，即为n的所有因子。
通过以上步骤，我们可以得到一个整数的所有因子。
这种方法适用于任何整数，无论其大小。
二、求和问题穷举法在求解数字求和问题时也很有用。
当给定一个数列，并需要计算其中元素的和时，可以使用穷举法来逐个累加所有元素。
具体步骤如下：1. 确定给定的数列，假设为a1, a2, a3, ..., an。
2. 将初始和sum设为0。
3. 逐个将数列中的元素加到sum中，直到加到最后一个元素an。
4. 完成累加后，sum即为所有元素的和。
这种方法适用于任何给定的数列，无论其长度以及元素之间的关系。
三、计算阶乘阶乘是一个常见的数学运算。
穷举法可以用于计算任意正整数的阶乘。
具体步骤如下：1. 确定待计算阶乘的正整数，假设为n。
2. 将初始结果factorial设为1。
3. 从1开始，逐个乘以所有小于等于n的正整数，直到乘到n本身。
4. 完成乘法运算后，factorial即为n的阶乘。
通过以上步骤，我们可以得到任意正整数的阶乘。
这种方法对于计算较小的数值是可行的，但当n较大时，计算量可能变得很大。
除了以上列举的例子，穷举法还可以应用于其他数字运算问题中。
然而，在使用穷举法时，我们需要注意以下几点：1. 确保遍历范围合理。
避免无限循环或漏掉某些可能的解。
2. 缩小搜索空间。
常用算法-穷举法
常⽤算法-穷举法穷举法⼜称为枚举法，它是在计算机算法设计中⽤得最多的⼀种编程思想。
它的实现⽅式是：在已知答案范围的情况下，依次地枚举该范围内所有的取值，并对每个取值进⾏考查，确定是否满⾜条件。
经过循环遍历之后，筛选出符合要求的结果来。
这种⽅法充分利⽤了计算机运算速度快的特点，思路简单直接，能够解决⼤部分的问题。
什么样的问题适合使⽤穷举法来解决呢？归纳起来，遇到了如下的三种情况，将优先考虑使⽤穷举法：1. 答案的范围已知：虽然事先并不知道确切的结果，但能预计到结果会落在哪个取值范围内。
譬如说：①求1－100之间所有的素数：⽆论结果如何，都在1－100的范围之内。
②求2000－2015年间有⼏个⽉的13号是周⽇？这15年间共有180个⽉，⽉份的个数最多不会超过180③验证1000以内的哥德巴赫猜想：即找出1000之内所有的合数，看是否能够分解为两个质数之和。
如果仔细观察，将会发现许多题⽬的结果范围都是已知的，都可以使⽤穷举法来实现。
2. 答案的结果是离散的，不是连续的。
如果要求出1－2之间所有的⼩数，就⽆法⽤穷举法来实现，因为其结果是⽆限连续的。
3. 对时间上的要求不严格。
蓝桥杯⽐赛中的许多题⽬对于算法的设计是有时间要求的，有时会⾮常苛刻。
如果⽤穷举法则耗时过长，不可取。
例如求出21位的⽔仙花数，使⽤穷举法可能会花费30分钟的时间。
⽽蓝桥杯试题通常要求时间限制在1秒钟之内完成，少数会延长⾄3分钟。
在这种情况下，必须使⽤新的算法来解决问题。
下⾯举个经典的例⼦：100块砖100⼈来搬，男⼈⼀⼈搬4块，⼥⼈⼀⼈搬3块，⼩孩3⼈抬⼀块，问男，⼥，⼩孩各⼏⼈？若设男，⼥，⼩孩⼈数分别为X， Y， Z，则只能够列出两个等式： X+Y+Z＝100 4*X+3*Y+Z/3＝100 。
三个未知数两个等式，⽆法求解。
这就只能够使⽤穷举法来实现，具体做法如下：先确定每种类型⼈员的数量的取值范围，由题意可知，男⼈X的取值范围是0~100/4＝25 ⼥⼈Y的取值范围是0~100/3＝33 ⼩孩的取值范围是0~99（必须不⼤于100且为3的倍数）。
第3章穷举法汇总
change(b,n);
//b表示的二进制数增1
}
printf("\n");
}
解法2：采用增量穷举法求解1～n的幂集，当n=3时的求 解过程如图3.3所示，先产生一个空子集{}，在此基础上添加1 构成一个子集{1}，然后在{}和{1}各子集中添加2产生子集{2}、 {1,2}，再在前面所有子集中添加3产生子集{3}、{1,2}、{2,3}、 {1,2,3}，从而生成{1,2,3}的所有子集。
{} 初始值 {1} 添加 1
{2} {1 2} 添加 2
{3} {1 3} {2 3} {1 2 3} 添加 3
得到 1～3 的所有幂集 {} {1} {2} {1 2} {3} {1 3} {2 3} {1 2 3}
这种思路也是穷举法方法，即穷举1～n的所有子集。先 建立一个空子集，对于i（1≤i≤n），每次都是在前面已建立 的子集上添加元素i而构成若干个子集，对应的过程如下：
}
【例3.4】有n（n≥4）个正整数，存放在数组a中，设计 一个算法从中选出3个正整数组成周长最长的三角形，输出 该最长三角形的周长，若无法组成三角形则输出0。
解：采用穷举法，用i、j、k三重循环，让i<j<k避免正 整数被重复选中，设选中的三个正整数a[i]、a[j]和a[k]之和 为len，其中最大正整数为ma，能组成三角形的条件是两边 之和大于第三边，即ma<len-ma。
6=1+2+3 28=1+2+4+7+14
解：先考虑对于一个整数m，如何判断它是否为完全数。 从数学知识可知：一个数m的除该数本身外的所有因子都在 1～m/2之间。算法中要取得因子之和，只要在1～m/2之间 找到所有整除m的数，将其累加起来即可。如果累加和与m 本身相等，则表示m是一个完全数，可以将m输出。其循环
穷举法
穷举法
四、穷举法应用
begin e:=15-a-b-c-d;b0:=(e<>2) and (e<>3);
m:=bton(e=1)+bton(b=2)+bton(a=5)+bton(c<>1)+bton(d=1);
b0:=b0 and (m=-2); b1:=(e=1) and (a<>2); b1:=b1 or (a=5) and(c<>1) and(c<>2); b1:=b1 or (c<>1) and (d<>1) and (d<>2); b1:=b1 or (d=1) and (e<>2); b0:=b0 and not b1; if b0 then
穷举法
四、穷举法应用
分析：本题是一个逻辑判断题，一般的逻辑判断题都采 分析：本题是一个逻辑判断题， 用穷举法进行解决。 我们对5 用穷举法进行解决 。 我们对 5 所学校所得名次的各种可 能情况进行穷举。在每种情况中， 能情况进行穷举。在每种情况中，为了防止不同学校取 相同的名次，设立了逻辑数组x x[I]为false表示已有 相同的名次，设立了逻辑数组x，x[I]为false表示已有 某校取第I 某校取第I名。 此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b0来 此题的难点在于确定判断条件。我们设立逻辑变量b 描述这一条件，主要有两个条件： 校不是第2 描述这一条件，主要有两个条件：“E校不是第2名或第 只有第1名和第2 名的学校的人猜对” 3 名 ” 与 “ 只有第 1 名和第 2 名的学校的人猜对 ” ， 后一 条件要判断： 是否只有两人说法正确？ 条件要判断：1）是否只有两人说法正确？2）说得正确 的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？ 的人是否是取得第1名和第2名的学校的人？要判断是否 仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此，设立 仅有两人说正确，须统计正确命题的个数。为此， 了函数bton 将逻辑量数值化。 bton， 了函数bton，将逻辑量数值化。
method of exhaustion 穷举法
method of exhaustion 穷举法
穷举法（Method of Exhaustion）是一种古希腊时期的数学方法，被认为是求解难题的重要方法之一。
这种方法常常用于公元前5世纪至公元前3世纪高超的希腊数学里程碑中，而被称为“希腊分析学派”的代表性学派就是使用该方法得出众多数学成果。
其中最著名的代表作就是将圆周率精确计算到小数点后第三位的“希帕索斯定理”。
穷举法的基本理念是巧妙地将数学问题按照一定的方法，划分成任意多的，并且较为容易解答的子问题，然后将这些问题逐个解答，成功答出每个问题的同时，再将各个子问题的答案综合起来，得出原问题的答案。
按照这种方法逐步“穷尽”问题中所有可能出现的情况，也即是从简单问题到困难问题逐渐增加条件、限制，并逐级解答（当然，其扩展性、适用性也比较广泛），最终达到求出原问题答案的效果。
但是值得注意的是，在运用穷举法求解问题时，由于其过程过于繁琐，需要花费大量的时间和精力来推导，而且其中还存在大量的漏解和误解，所以，在实际应用中需要特别注意其可行性、实用性和可靠性等问题。
总之，穷举法具有简单易行、容易实现、适用性广、对数学思维的培养具有一定功效等特点，尤其在现代大数据量的数据挖掘、组合优化等领域中，其重要性愈加显著。
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第三讲穷举法一、穷举法的基本概念穷举方法是基于计算机特点而进行解题的思维方法。
一般是在一时找不出解决问题的更好途径（即从数学上找不到求解的公式或规则）时，可以根据问题中的的部分条件（约束条件）将所有可能解的情况列举出来，然后通过一一验证是否符合整个问题的求解要求，而得到问题的解。
这样解决问题的方法我们称之为穷举算法。
穷举算法特点是算法简单，但运行时所花费的时间量大。
有些问题所列举出来的情况数目会大得惊人，就是用高速的电子计算机运行，其等待运行结果的时间也将使人无法忍受。
因此，我们在用穷举方法解决问题时，应尽可能将明显的不符合条件的情况排除在外，以尽快取得问题的解。
二、穷举算法模式穷举算法模式：(1)问题解的可能搜索的范围：用循环或循环嵌套结构实现(2)写出符合问题解的条件。
(3)能使程序优化的语句，以便缩小搜索范围，减少程序运行时间。
三、使用穷举法设计算法穷举法应用很多，比如一些密码破译软件通常就是用的穷举算法。
如在QQ上，OicqPassOver这个工具穷举你的口令，它根据机器性能最高可以每秒测试20000个口令，如果口令简单，一分钟内，密码就会遭到破译。
下面我们来以三个例子说明穷举法的具体应用。
实例一：古希腊人认为因子的和等于它本身的数是一个完全数（自身因子除外），例如28的因子是1、2、4、7、14，且1+2+4+7+14=28，则28是一个完全数，编写一个程序求2～1000内的所有完全数。
分析：(1)本题是一个搜索问题，搜索范围 2～1000，找出该范围内的完全数；(2)完全数必须满足的条件：因子的和等于该数据的本身。
(3)问题关键在于将该数的因子一一寻找出来，并求出因子的和。
程序如下：Program p3_1 ;Var a , b,s :integer ;BeginFor a:=2 to 1000 doBeginS:=0 ;For b:=1 to a -1 doIf a mod b =0 then s:=s+b ; { 分解因子并求和 }If a=s then beginWrite( a, ‘=’ ,1, );For b:=2 to a -1 doIf a mod b=0 then write( ’+’, b );Writeln ;End;End;End.当程序运行后，输出结果：6 = 1 + 2 + 328 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 =1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248实例二：（第七届全国青少年信息学(计算机)奥林匹克分区联赛初赛试题）在A，B两个城市之间设有N个路站(如下图中的S1，且N<100)，城市与路站之间、路站和路站之间各有若干条路段(各路段数≤20，且每条路段上的距离均为一个整数)。
A，B的一条通路是指：从A出发，可经过任一路段到达S1，再从S1出发经过任一路段，…最后到达B。
通路上路段距离之和称为通路距离(最大距离≤1000)。
当所有的路段距离给出之后，求出所有不同距离的通路个数(相同距离仅记一次)。
例如：下图所示是当N=1时的情况：从A到B的通路条数为6，但因其中通路5+5=4+6，所以满足条件的不同距离的通路条数为5。
算法说明：本题采用穷举算法。
数据结构：N：记录A，B间路站的个数数组D(I，0)记录第I-1到第I路站间路段的个数D(I，1)，D(I，2)，…记录每个路段距离数组G记录可取到的距离PROGRAM CHU7_6；VAR I，J，N，S：INTEGER；B：ARRAY[0..100]OF INTEGER；D：ARRAY[0..100，0..20]OF INTEGER；G ：ARRAY[0..1000]OF 0..1；BEGINREADLN(N)；FOR I:=1 TO N+1 DOBEGINREADLN(D[I，0])；FOR J:=1 TO D[I，0]DO READLN(D[I，J])；END；D[0，0]:=1；FOR I:=1 TO N+1 DO B[I]:=1；B[0]:=0；FOR I:=0 TO 1000 DO G[I]:=0；WHILE ①DOBEGINS:=0；FOR I:=1 TO N+1 DOS:= ②G[S]:=1；J:=N+1；WHILE ③DO J:=J-1；B[J]:=B[J]+1；FOR I:=J+1 TO N+1 DO B[I]:=1；END；S:=0；FOR I:=1 TO 1000 DO④；WRITELN(S)；READLN；END.答案：① B[0]=0② S+D[I,B[I]]; ③ B[J]=D[J,0] ④S:=S+G[I]实例三（第八届全国青少年信息学奥林匹克联赛(NOIP2002)试题）将n个整数分成k组(k≤n,要求每组不能为空),显然这k个部分均可得到一个各自的和s1,s2,……sk,定义整数P为:P=(S1-S2)2+(S1一S3)2+……+(S1-Sk)2+(s2-s3)2+……+(Sk-1-Sk)2问题求解:求出一种分法,使P为最小(若有多种方案仅记一种)程序说明:数组:a[1],a[2],...A[N]存放原数s[1],s[2],...,s[K]存放每个部分的和b[1],b[2],...,b[N]穷举用临时空间d[1],d[2],...,d[N]存放最佳方案程序:program exp4;Var i,j,n,k : integer;a :array [1..100] of integer;b,d:array [0..100] of integer;s :array[1..30] of integer;beginreadln(n,k);for I:=1 to n do read(a[I]);for I:=0 to n do b[I]:=1;cmin:=1000000;while (b[0]=1) dobeginfor I:=1 to k do ①for I:=1 to n do②sum:=0;for I:=1 to k-1 dofor j:= ③sum:=sum+(s[I]-s[j])*(s[I]-s[j]);if ④ thenbegincmin:=sum;for I:=1 to n do d[I]:=b[I];end;j:=n;while ⑤ do j:=j-1;b[j]:=b[j]+1;for I:=j+1 to n do ⑥end;writeln(cmin);for I:=1 to n do write(d[I]:40);writeln;end.四、穷举算法的深入应用实例一：一根29厘米长的尺子, 只允许在上面刻七个刻度, 要能用它量出1～29 厘米的各种长度。
试问这根尺的刻度应该怎样选择?分析：(1) 从1～29 厘米中选择七个刻度的所有可能情况数是:C7 29= 29·28·26·25·24·23 = 29·9·26·5·2·23= 29·26·23·90= 15607801·2·3·4·5·6·7(2) 对于每一组刻度的选择都需要判断是否能将1～29 厘米的各种刻度量出来, 例如选择的刻度为: a1,a2,a3,a4,a5a,6,a7 那么能量出的刻度为：a1, 29-a1; 2a2, a2-a1, 29-a2; 3a3, a3-a1 ,a3-a2, 29-a3 ; 4a4, a4-a1, a4-a2, a4-a3, 29-a4; 5a5, a5-a1, a5-a2, a5-a3, a5-a4, 29-a5; 6a6, a6-a1, a6-a2, a6-a3, a6-a4, a6-a5, 29-a6; 7a7-a1, a7-a2, a7-a2, a7-a3, a7-a4, a7-a5, a7-a6, 29-a7; 8 共可量出2+3+4+5+6+7+8 种刻度, 即35 种刻度, 事实上其中有许多刻度是重复的, 不可能复盖1～29。
例如：取a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7为1, 3, 6, 10, 15, 21, 28能量出的刻度为：1 , 283, 2, 266, 5, 3, 2310, 9, 7, 4, 1915, 14, 12, 9, 5, 1421, 20, 18, 15, 11, 6, 828, 27, 25, 22, 18, 13, 7, 1缺16,17,24 ( 29 即尺子长度)如果找出了刻度a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7 那么我们可以利用其对称性29-a1,29-a2,29-a3,29-a4,29-a5,29-a6,29-a7, 也是一组解, 所以求解过程中可仅考虑a1<a2<a3<a4<a5<a6<a7 的情况。
很显然要使1,28 两种刻度能量出来, 则在七个刻度就必须有 1 或28; 这样就可设a1=1 ( 或a1=28 )。
本题就变成了只要在2～27 中选取六个刻度问题了。
其刻度选择的数目为C6= 26·25·24·23·22·21 = 26·5·23·11·7 = 230230261·2·3·4·5·6这样解的范围就从百万变成了十万的数量级, 大大减少运行次数。
因此，我们在用穷举法求问题解时，应注意程序的优化，尽可能减少搜索时间。
{ 程序优化}(3) 为了判定七个刻度是否能够度量1～29的所有长度, 可以用集合的方法, 也可以用数组的0，1数据判断。
下面的程序使用了数组的0，1方法。
Program p12_2 ;Const n=29 ; m=1;Var a：array [1..7] of integer;b：array [1..n] of 0..1 ; { 记录能量的刻度}f：Boolean ;I , j ：integer ;BEGINa[1]:=m;for a[2]:=2 to n-7 dofor a[3]:=a[2]+1 to n-6 dofor a[4]:=a[3]+1 to n-5 dofor a[5]:=a[4]+1 to n-4 dofor a[6]:=a[5]+1 to n-3 dofor a[7]:=a[6]+1 to n-2 dobeginfor i:=1 to 29 do b[i]:=0;for i:=1 TO 7 dobeginb[a[i]]:=1; b[n-a[i]]:=1; b[n]:=1 ; { 初始化}for j:=i+1 TO 7 do b[abs(a[j]-a[i])]:=1end;j: =0;for i;=1 to n do j:=j + b[i];if j=n then beginfor i:=1 to 7 do write (a[i]:4);writeln ;end ;end;end.运行程序的结果: 当m=1 时得出两组刻度1 2 14 18 21 24 271 4 10 17 22 24 27m=28 时也可获得两组刻度28 2 5 7 13 19 2528 2 5 8 11 15 27这两组刻度实际上是m=1 的对称情况, 所以问题的解实质上为两组结果。