第五章-刚体力学-习题解答

5.1、一长为l 的棒AB ，靠在半径为r 的半圆形柱面上，如图所示。今A 点以恒定速度0v 沿水平线运动。试求：(i)B 点的速度B v ；(ii)画出棒的瞬时转动中心的位置。 解：如图，建立动直角系A xyz -，取A 点为原点。B A AB v v r ω=+⨯，关键是求ω 法1(基点法)：取A 点为基点，sin C A AC A CO A A v v r v v v v ωθ=+⨯=+=+ 即sin AC A r v ωθ⨯=，AC r ω⊥，化成标量为

ω在直角三角形OCA ∆中，AC r rctg θ=

所以200sin sin sin cos A AC v v v r rctg r θθ

θωθθ

===

即2

0sin cos v k r θ

ωθ

=

取A 点为基点，那么B 点的速度为：

20023

00sin [(cos )sin ]

cos sin sin (1)cos B A AB v v v r v i k l i l j r v l l v i j

r r

θ

ωθθθ

θθ

θ=+⨯=+⨯-+=-- 法2(瞬心法)：如图，因棒上C 点靠在半圆上，所以C 点的速度沿切线方向，故延长OC ，

使其和垂直于A 点速度线交于P 点，那么P 点为瞬心。 在直角三角形OCA ∆中，sin OA r r θ

=

在直角三角形OPA ∆中，2

cos sin AP OA r r r ctg θ

θθ

==

02

cos ()sin A PA PA PA r v r k r j r i i v i θ

ωωωωθ

=⨯=⨯-===，即20sin cos v r θωθ= 取A 点为基点，那么B 点的速度为：

20023

00sin [(cos )sin ]

cos sin sin (1)cos B A AB v v v r v i k l i l j r v l l v i j

r r

θ

ωθθθ

θθ

θ=+⨯=+⨯-+=-- 5.2、一轮的半径为r ，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度0v 前进。求轮缘上任一点(该点处的轮辐与水平线成θ角)的速度和加速度。 解：任取轮缘上一点M ，设其速度为M v ，加速度为M a

r

C A

v CO

v

如图，取轮心O 为原点，建立动系O xyz -，其中轮心的速度方向为x 轴正向，O xy -平面位于轮上。那么轮子的角速度为k k ωωθ=-=

取O 点为基点，那么M O OM v v r ω=+⨯

因轮无滑动地滚动，所以C 点为瞬心。0O CO v r v ω=⨯=

即

0CO k r j v i ω-⨯=，化简有00CO v v

r r

ω==，那么有：

00

00

0(cos sin )

(cos sin )(1sin )cos M O OM v v r v i k r i j v v i k r i j r

v i v j ωωθθθθθθ=+⨯=-⨯+=-

⨯+=+-

0000002

0[(1sin )cos ]cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )

M M d d

a v v i v j v i v j dt dt

v i j v i j v i j r

θθθθθθθθθωθθθθ=

=+-=+=+=-+=-+ 5.3、半径为r 的圆柱夹在两块相互平行的平板A 和B 之间，两板分别以速度1v 和2v 匀速反向运动，如图示。若圆柱和两板间无相对滑动，求： (i)圆柱瞬心的位置

(ii)位于圆柱上与板的接触点M 的加速度。

解：(i)如图，圆柱瞬心的位置为C 点，不妨设12v v > 在图示的直角坐标系中，k ωω=-，

11v v i =，22v v i =-，CM CM r r j =， (2)CN CN CM r r j r r j =-=-

因为1M CM v v r ω==⨯，2N CN v v r ω==⨯

所以有1CM v r ω=，2(2)CN CM v r r r ωω==-，联立解得：1

12

2CM rv r v v =+

或者取N 点为基点，那么：

11222(2)M N NM v v v i v r v i k rj r v i ωωω===+⨯=--⨯=-

1

v 2

v A

B

求得12

2v v r ω+=

，因1CM v r ω=，故112

2CM rv r v v =+

于是求得瞬心的位置位于距离M 点1

12

2CM rv r v v =

+的直径上。

(ii)瞬心到圆柱轴心O 的距离为12

12

CO CM v v r r r r v v -=-=

+ 圆柱轴心O 的速度为1212121222

O CO CO v v v v v v

v r r i ri i r v v ωω+--=⨯==

=+

M 点相对O 点的速度为：1212122

MO M O v v v v

v v v v i i i -+=-=-

= M 点相对O 点做圆周运动，故22

12()4MO M v v v a j r r

+==- 5.4、高为h 、顶角为2α的圆锥，在一平面上无滑动地滚动。已知圆锥轴线以恒定角速度Ω绕过顶点的铅直轴转动。求：

(i)圆锥的角速度

(ii)锥体底面上最高点的速度 (iii)圆锥的角加速度

解：取圆锥的顶点为原点，建立动系O xyz - 取圆锥和平面交线为y 轴， 圆锥的对称面OAB 位于O yz -平面

因圆锥轴线以恒定角速度Ω绕过顶点的铅直轴 转动，若设圆锥绕自身轴线的角速度为'ω 那么圆锥绕顶点的角速度为'ωω=+Ω

又OB 母线与平面接触，为圆锥的瞬时转动轴，故ω平行于OB

(i)在角速度合成的矢量三角形中，圆锥的角速率ctg ωα=Ω，即ctg j ωα=-Ω (ii)在动系O xyz -中，锥体底面上最高点A 的位矢可以表示为：

cos2sin 2OA OA OA r r j r k αα=+

由图中的几何关系可知：cos OA h

r α

= 所以(cos 2sin

2)cos OA h

r j k ααα

=

+ αΩ

'

ωωO

h