信息论考试卷及答案分析
信息论考试题及答案
1.有二元对称信道编码：1)已知信源X,41,4310==p p ，求H(X),H(X|Y),I(X,Y)。
2)求信道容量C 。
解：由题意可知，（X,Y ）服从如下的联合分布Y,X0101/21/1211/41/6X 的边际分布是（3/4,1/4），Y 的边际分布是（7/12,5/12）)(811.03log 432)41log 4143log 43(log )(210bit p p X H i i i =-=+-=-=∑=)bit (749.07log 1275log 1253log 433252,53(125)71,76(127)|()()|(22210=++--=+====∑=H H i Y X H i Y p Y X H i )bit (062.07log 1275log 12538)|()(),(22=--=-=Y X H X H Y X I )(082.03log 35)31(1)(12bit H p H C =-=-=-=2.最小熵。
求出)(),...,,(21p H p p p H n =最小值是多少，因为p 的范围是在n 维概率向量集合上的最小值是多少？找到所有达到这个最小值时的p。
解：我们希望找到所有的概率向量),...,,(21n p p p p =，让∑-=i ii p p p H log )(达到最小，现在有时等式成立或当且仅当10,0log =≥-i i i p p p ，因此，唯一可能使得H(p)最小化的概率向量是对于某些i 和j 满足.,0,1i j p p j i ≠==这里有n 个这样的向量，比如)1,...,0,0(),0,...,1,0(),0,...,0,1（，此时H(p)的最小值为0。
3.赫夫曼码。
考虑随机变量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=02.003.004.004.012.026.049.07654321x x x x x x x X （a）求X 的二元赫夫曼码。
信息论试卷含答案资料讲解
《信息论基础》参考答案一、填空题（共15分，每空1分）1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。
2、信源的剩余度主要来自两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。
3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为32log bit/符号。
4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= H r (S)）。
5、当R=C 或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。
6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。
7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。
8、若连续信源输出信号的平均功率为2σ，则输出信号幅度的概率密度是高斯分布或正态分布或()222x f x σ-=时，信源具有最大熵，其值为值21log 22e πσ。
9、在下面空格中选择填入数学符号“,,,=≥≤〉”或“〈”（1）当X 和Y 相互独立时，H （XY ）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。
（2）()()1222H X X H X =≥()()12333H X X X H X = （3）假设信道输入用X 表示，信道输出用Y 表示。
在无噪有损信道中，H(X/Y)> 0, H(Y/X)=0,I(X;Y)<H(X)。
二、（6分）若连续信源输出的幅度被限定在【2,6】区域内，当输出信号的概率密度是均匀分布时，计算该信源的相对熵，并说明该信源的绝对熵为多少。
()1,2640,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩Q 其它()()()62log f x f x dx ∴=-⎰相对熵h x=2bit/自由度该信源的绝对熵为无穷大。
三、（16分）已知信源1234560.20.20.20.20.10.1S s s s s s s P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L ;（4分）（3）计算编码信息率R ';（2分）（4）计算编码后信息传输率R ;（2分） （5）计算编码效率η。
信息论基础理论与应用考试题及答案
信息论基础理论与应用考试题一﹑填空题（每题2分，共20分）1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的 （可靠性）﹑（有效性）﹑XX 性和认证性，使信息传输系统达到最优化。
（考点：信息论的研究目的）2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成531010⨯个不同的画面。
按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（610bit /画面）。
（考点：信息量的概念与计算）3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。
（考点：信道按噪声统计特性的分类）4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。
若r=2，N=1，即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位二元符号编码才行。
（考点：等长码编码位数的计算）5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。
（考点：错误概率和译码准则的概念）6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。
（考点：纠错码的分类）7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4，2））线性分组码。
（考点：线性分组码的基本概念）8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑）。
（考点：平均信息量的定义）9.对于一个（n,k）分组码，其最小距离为d，那么，若能纠正t个随机错误，同时能检测e（e≥t）个随机错误，则要求（d≥t+e+1）。
（考点：线性分组码的纠检错能力概念）10.和离散信道一样，对于固定的连续信道和波形信道都有一个最大的信息传输速率，称之为（信道容量）。
《信息论》期末考试试题( 卷)标准答案
2．（共 10 分）有两枚硬币，第一枚是正常的硬币，它的一面是国徽，另一面是 面值；第二枚是不正常的硬币，它的两面都是面值。现随机地抽取一枚硬币，进 行 2 次抛掷试验，观察硬币朝上的一面，其结果为：面值、面值。
1）求该试验结果与事件“取出的是第一枚硬币”之间的互信息；（4 分）
=
E( XS + αS 2 ) σ SσU
=
αQ σ SσU
I (U ; S) = H (U ) + H (S ) − H (US )
=
1 2
log
2πe σ
2 U
+
1 2
log
2πeσ
2 S
+
log 2πeσUσ S
1− ρ2
=
1 2
log
σ
σ σ2 2
SU
σ2 2
US
− (αQ)
2
=
1 log P + α 2Q
2 1 d = 1 0 7）若失真矩阵为 3 1 ，输入等概，则 Dmin = 2/3 ， Dmax = 2/3 。
三、简答题（6 分）
1．仙农第二定理指出了“高效率、高可靠性”的信道编码存在性，
1）“高效率”的含义是什么？
（1 分）
2）“高可靠性” 的含义是什么？
（1 分）
3）存在这种信道编码的必要条件是什么？
1− ρ2
=
1 log
σ
2 U
σ
2 Y
2
σ
2 U
σ
2 Y
−
(P
+ αQ)2
=
1 log
(P + Q + N )(P + α 2Q)
信息论与编码试卷及答案分解
信息论与编码试卷及答案分解⼀、（11’）填空题（1）1948年，美国数学家⾹农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论⽂，从⽽创⽴了信息论。
（2）必然事件的⾃信息是0 。
（3）离散平稳⽆记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的N倍。
（4）对于离散⽆记忆信源，当信源熵有最⼤值时，满⾜条件为__信源符号等概分布_。
（5）若⼀离散⽆记忆信源的信源熵H（X）等于2.5，对信源进⾏等长的⽆失真⼆进制编码，则编码长度⾄少为 3 。
（6）对于⾹农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码⽅法惟⼀的是⾹农编码。
（7）已知某线性分组码的最⼩汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_______个码元错误，最多能纠正___1__个码元错误。
（8）设有⼀离散⽆记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R__⼩于___C（⼤于、⼩于或者等于），则存在⼀种编码，当输⼊序列长度n⾜够⼤，使译码错误概率任意⼩。
（9）平均错误概率不仅与信道本⾝的统计特性有关，还与___译码规则____________和___编码⽅法___有关三、（5'）居住在某地区的⼥孩中有25%是⼤学⽣，在⼥⼤学⽣中有75%是⾝⾼1.6⽶以上的，⽽⼥孩中⾝⾼1.6⽶以上的占总数的⼀半。
假如我们得知“⾝⾼1.6⽶以上的某⼥孩是⼤学⽣”的消息，问获得多少信息量？解：设A表⽰“⼤学⽣”这⼀事件，B表⽰“⾝⾼1.60以上”这⼀事件，则P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75 （2分）故 p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375 （2分）I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分）四、（5'）证明：平均互信息量同信息熵之间满⾜I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY)证明：()()()()()()()()()()Y X H X H y x p y x p x p y x p x p y x p y x p Y X I X X Y j i j i Y i j i XYi j i j i -=---==∑∑∑∑∑∑log log log; （2分）同理()()()X Y H Y H Y X I -=; （1分）则()()()Y X I Y H X Y H ;-= 因为()()()X Y H X H XY H += （1分）故()()()()Y X I Y H X H XY H ;-+=即()()()()XY H Y H X H Y X I -+=; （1分）五、（18’）.⿊⽩⽓象传真图的消息只有⿊⾊和⽩⾊两种，求：1）⿊⾊出现的概率为0.3，⽩⾊出现的概率为0.7。
信息论测试题及答案
一、设X 、Y 是两个相互统计独立的二元随机变量，其取-1或1的概率相等。
定义另一个二元随机变量Z ，取Z=YX （一般乘积）。
试计算：1.H （Y ）、H （Z ）；2.H （YZ ）；3.I （X;Y ）、I （Y;Z ）； 二、如图所示为一个三状态马尔科夫信源的转移概率矩阵1. 绘制状态转移图；2. 求该马尔科夫信源的稳态分布；3. 求极限熵；三、在干扰离散对称信道上传输符号1和0，已知P （0）=1/4,P(1)=3/4,试求：1. 信道转移概率矩阵P2.信道疑义度3.信道容量以及其输入概率分布 四、某信道的转移矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1.006.03.001.03.06.0P ，求信道容量，最佳输入概率分布。
五、求下列各离散信道的容量（其条件概率P(Y/X)如下：）六、求以下各信道矩阵代表的信道的容量答案一、设X 、Y 是两个相互统计独立的二元随机变量，其取-1或1的概率相等。
定义另一个二元随机变量Z ，取Z=YX （一般乘积）。
试计算：1.H （Y ）、H （Z ）；2.H （XY ）、H （YZ ）；3.I （X;Y ）、I （Y;Z ）； 解：1. 2i 11111H Y P y logP y log log 2222i i =⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦∑（）=-（）（）=1bit/符号 Z=YX 而且X 和Y 相互独立∴ 1(1)(1)(1)PP X P Y P X ⋅=+=-⋅=-（Z =1）=P(Y=1)= 1111122222⨯+⨯= 2(1)(1)(1)P P X P Y P X ⋅=-+=-⋅=（Z =-1）=P(Y=1)= 1111122222⨯+⨯=故H(Z)= i2i1(z )log (z )i P P =-∑=1bit/符号2.从上式可以看出:Y 与X 的联合概率分布为:H(YZ)=H(X)+H(Y)=1+1=2bit/符号 3.X 与Y 相互独立，故H(X|Y)=H(X)=1bit/符号∴I （X;Y ）=H(X)-H(X|Y)=1-1=0bit/符号I(Y;Z)=H(Y)-H(Y|Z)=H(Y)-[H(YZ)-H(Z)]=0 bit/符号二、如图所示为一个三状态马尔科夫信源的转移概率矩阵2. 绘制状态转移图； 2. 求该马尔科夫信源的稳态分布；3. 求极限熵；解：1.状态转移图如右图 2.由公式31()()(|)j iji i p E P E P EE ==∑,可得其三个状态的稳态概率为：1123223313123111()()()()22411()()()2211()()()24()()()1P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E P E ⎧=++⎪⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪⎪++=⎩1233()72()72()7P E P E P E ⎧=⎪⎪⎪⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩3.其极限熵:3i i 13112112111H = -|E =0+0+72272274243228=1+1+ 1.5=bit/7777i P H H H H ∞=⨯⨯⨯⨯⨯⨯∑（E ）（X ）（，，）（，，）（，，）符号三、在干扰离散对称信道上传输符号1和0，已知P （0）=1/4,P(1)=3/4,试求：2. 信道转移概率矩阵P 2.信道疑义度3.信道容量以及其输入概率分布解：1.该转移概率矩阵为 P=0.90.10.10.9⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.根据P （XY ）=P （Y|X ）⋅P （X ），可得联合概率由P （X|Y ）=P(X|Y)/P(Y)可得H(X|Y)=-i jiji j(x y )log x |y =0.09+0.12+0.15+0.035=0.4bit/P P∑，（）符号 3.该信道是对称信道，其容量为：C=logs-H=log2-H （0.9,0.1）=1-0.469=0.531bit/符号这时，输入符号服从等概率分布，即01 11()22XP X⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦四、某信道的转移矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1.06.03.01.03.06.0P，求信道容量，最佳输入概率分布。
《信息论》期末考试B卷答案
第1 页 共5 页北方民族大学试卷课程代码: 01100622 课程： 信息理论及编码 B 卷答案说明：此卷为《信息理论及编码》B 卷答案一、概念简答题（每小题6分，共30分）1、比较平均自信息（信源熵）与平均互信息的异同.答：平均自信息为 ()()()1log qiii H X P a P a ==-∑,表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量.………………………………………(3分)平均互信息()()()(),;log X YyP x I X Y P xy P y =∑.表示从Y 获得的关于每个X 的平均信息量，也表示发X 前后Y 的平均不确定性减少的量，还表示通信前后整个系统不确定性减少的量.………………………………………(3分)2、简述香农第一定理。
答：对于离散信源S 进行r 元编码,只要其满足()_log H s NNrL ≥，…………………（3分） 当N 足够长，总可以实现无失真编码。
………………………………………(3分）3、简述唯一可译变长码的判断方法？答：将码C 中所有可能的尾随后缀组成一个集合F ，当且仅当集合F 中没有包含任一码字时，码C 为唯一可译变长码。
构成集合F 的方法：…………………(2分)首先，观察码C 中最短的码字是否是其他码字的前缀.若是，将其所有可能的尾随后缀排列出.而这些尾随后缀又可能是某些码字的前缀,再将由这些尾随后缀产生的新的尾随后缀列出。
依此下去，直至没有一个尾随后缀是码字的前缀或没有新的尾随后缀产生为止.…………………(2分） 接着，按照上述步骤将次短的码字直至所有码字可能产生的尾随后缀全部列出，得到尾随后缀集合F 。
…………………(2分)4、简述最大离散熵定理.第2 页 共5 页答：最大离散熵定理为：对于离散无记忆信源，当信源等概率分布时熵最大。
……（3分）对于有m 个符号的离散信源，其最大熵为log m 。
…………………………（3分)5、什么是汉明距离；两个二元序列1230210,0210210i j αβ==,求其汉明距离.答：长度相同的两个码字之间对应位置上不同的码元的个数,称为汉明距离。
信息论典型试题及答案
3.1设有一个信源，它产生0，1序列的信息。它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P(0) = 0.4，P(1) = 0.6的概率发出符号。
(1)试问这个信源是否是平稳的？
(2)试计算H(X2),H(X3/X1X2)及H∞；
(3)试计算H(X4)并写出X4信源中可能有的所有符号。
解：
(1)这个信源是平稳无记忆信源。因为有这些词语：“它在任意时间而且不论以前发生过什么符号……”
(1)计算接收端的平均不确定性；
(2)计算由于噪声产生的不确定性H(Y/X)；
解：(1)
(2)
(3)两个点数的排列如下：
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
共有21种组合：
其中11，22，33，44，55，66的概率是
其他15个组合的概率是
(4)
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概 Nhomakorabea分布如下：
解：
(1)
（2）黑白气象传真图的消息前后有关联时，由其前后的依赖关系可知，黑色白色同时出现的联合概率为：
则信源的联合熵为：
H(X1X2)=1.426bit/symbol
H2(X)=1/2*H(X1X2)=0.713 bit/symbol
（3）上述两种信源的剩余度分别为：
信息论典型试题及答案
同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：(1) “3和5同时出现”这事件的自信息；(2) “两个1同时出现”这事件的自信息；(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；(4) 两个点数之和（即2, 3, … , 12构成的子集）的熵；(5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解：(1)bitx p x I x p i i i 170.4181log )(log )(18161616161)(=-=-==⨯+⨯=(2) bit x p x I x p i i i 170.5361log)(log )(3616161)(=-=-==⨯=(3)两个点数的排列如下： 11 12 13 14 15 16 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66共有21种组合：其中11，22，33，44，55，66的概率是3616161=⨯其他15个组合的概率是18161612=⨯⨯symbol bit x p x p X H ii i / 337.4181log 18115361log 3616)(log )()(=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯-=-=∑(4)参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：symbolbit x p x p X H X P X ii i / 274.3 61log 61365log 365291log 912121log 1212181log 1812361log 3612 )(log )()(36112181111211091936586173656915121418133612)(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑(5)bitx p x I x p i i i 710.13611log )(log )(3611116161)(=-=-==⨯⨯=设离散无记忆信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=====⎥⎦⎤⎢⎣⎡8/14/1324/18/310)(4321x x x x X P X ，其发出的信息为(202032)，求 (1) 此消息的自信息量是多少？(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是多少？ 解：(1) 此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：62514814183⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=p 此消息的信息量是：bit p I 811.87log =-=(2) 此消息中平均每符号携带的信息量是：bit n I 951.145/811.87/==设信源⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡17.016.017.018.019.02.0)(654321x x x x x x X P X ，求这个信源的熵，并解释为什么H(X) > log6不满足信源熵的极值性。
信息论考题及答案
一、（25分）如果X 和Y 相互独立，证明X 和Y 的熵满足可加性，即 H(Y)H(X)Y)H(X,+= 证明：设P(x,y)=P(x)P(y),则有1H(X,Y)()()logP()()11()()log()()log ()()11()log()log ()()()()xyxyxy xy P x P y x P y P x P y P x P y P x P y P x P y P x P y H X H Y ==+=+=+∑∑∑∑∑二、（50分）联合总体X ，Y 具有如下联合分布。
XY分别计算(1) 联合熵H(X,Y)是多少？ (2)边缘熵H(X)和H(Y)是多少?(3)对于每一个y 值，条件熵H(X ︱y)是多少？ (4)条件熵H(X ︱Y)是多少？ (5)X 和Y 之间的互信息是多少？ 解答：(1) H(X,Y)=3.375(2) H(X)=2, H(Y)=1.75(3) H(X|y=1)=2,H(X|y=1)=1.875,H(X|y=1)=1.875, H(X|y=4)=0.5(4)H(X|Y)=1.1264(5)I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=2-1.1264=0.8736 三、（25分）考虑一个差错概率为f=0.15的二进制对称信道。
输入总体为x Ω:{0P =0.9，1p =0.1}，假设观察到y=1，请计算(1|1)P x y ==？ 解：(1|1)P x y ===(1|1)(1)(1|)()xP y x P x P y x P x ===∑==9.015.01.085.01.085.0⨯+⨯⨯=22.0085.0=0.39一、（25分）如果X 和Y 相互独立，证明X 和Y 的熵满足可加性，即 H(Y)H(X)Y)H(X,+=二、（50分）联合总体X ，Y 具有如下联合分布。
XY分别计算(1) 联合熵H(X,Y)是多少？ (2)边缘熵H(X)和H(Y)是多少?(3)对于每一个y 值，条件熵H(X ︱y)是多少？ (4)条件熵H(X ︱Y)是多少？ (5)X 和Y 之间的互信息是多少？三、（25分）考虑一个差错概率为f=0.15的二进制对称信道。
信息论 试卷与答案
答：最大离散熵定理为：离散无记忆信源，等概率分布时熵最大。
最大熵值为
。
3.解释信息传输率、信道容量、最佳输入分布的概念，说明平均互信息与信源的 概率分布、信道的传递概率间分别是什么关系？
答：信息传输率 R 指信道中平均每个符号所能传送的信息量。信道容量是一个信道所能达到 的最大信息传输率。信息传输率达到信道容量时所对应的输入概率分布称为最佳输入概率分 布。
一、概念简答题（每题 5 分，共 40 分）
1.什么是平均自信息量与平均互信息，比较一下这两个概念的异同？
答：平均自信息为 表示信源的平均不确定度，也表示平均每个信源消息所提供的信息量。
平均互信息
表示从 Y 获得的关于每个 X 的平均信息量，也表示发 X 前后 Y 的平均不确定性减少的量，还 表示通信前后整个系统不确定性减少的量。
概念简答题（每题 5 分，共 40 分） 1. 2. 3.答：信息传输率 R 指信道中平均每个符号所能传送的信息量。信道容量是一个信道所能达到的最大信息 传输率。信息传输率达到信道容量时所对应的输入概率分布称为最佳输入概率分布。
平均互信息是信源概率分布的∩型凸函数，是信道传递概率的 U 型凸函数。 4. 5 6 7.答：当 R＜C 时，只要码长足够长，一定能找到一种编码方法和译码规则，使译码错误概率无穷小。 8. 二、综合题（每题 10 分，共 60 分）
8.什么是保真度准则？对二元信源 求 a>0 时率失真函数的 和 ？
答：1）保真度准则为：平均失真度不大于允许的失真度。
，其失真矩阵
，
2）因为失真矩阵中每行都有一个 0，所以有 。
二、综合题（每题 10 分，共 60 分） 1.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求：
信息论考试试卷A答案
1、选择题(共10分，每题2分) B D B C B2、（本题10分）一个消息由符号0，1，2，3组成，已知p(0)=3/8, p(1)= 1/8, p(2)=1/4, p(3)= 1/4。
求此消息的剩余度为多少？试求由无记忆信源产生的60个符号构成的所有消息所含的平均信息量（bit/消息）。
解： H （X ）=H （3/8，1/8，1/4，1/4）（2） =1.9bit/符号（2）05.029.114log )(1≈-≈-=X H γ(3) H （X 60）=60*H （X ）=114bit/消息（3）3、（本题12分）某一离散平稳信源⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4/19/436/11210)(u p U ，并设发出的符号只与前一个符号有关，即可用条件概率P(uj / ui)给出它们的关联程度如下表所示：求此平稳信源的极限熵及信源效率。
H ∞=H(U 2 /U 1)=0.872bit/符号（3）H 0=H （1/3，1/3，1/3）=1.6bit/符号（3） 信源效率：H ∞/H 0=54.5%（3）4、（12分）设信源X 的符号集为{0，1，2}，其概率分布为1014P P==，122P =，每信源符号通过信道传输，输出为Y ，信道转移概率如图所示：求（1）H (Y )； （6分） （2）H (XY )； （2分） （3）I (X;Y )。
（4分） 解：(4)（1）353355888888()(,)log log 0.955 /H Y H ==--=比特符号(2)（2） 11114882()(,,,) 1.75 /H XY H ==比特符号(2)（3） 111442()(,,) 1.5 /H X H ==比特符号(2)(;)()()()1.50.9551.750.705I X Y H X H Y H X Y =+-=+-=比特符号(2)5、（共20分）某离散无记忆信源符号集为{}129,,,a a a ，所对应的概率分别为：0.4，0.2，0.1，0.1，0.07，0.05，0.05，0.02，0.01，码符号集为{0，1，2，3}。
信息论考试卷及答案解析
考试科目名称：信息论一. 单选（每空2分，共20分）1.信道编码的目的是（C ），加密编码的目的是（D ）。
A．保证无失真传输B．压缩信源的冗余度，提高通信有效性C．提高信息传输的可靠性D．提高通信系统的安全性2.下列各量不一定为正值的是（D ）A．信源熵B．自信息量C．信宿熵D．互信息量3.下列各图所示信道是有噪无损信道的是（B ）A．B．C．D．4.下表中符合等长编码的是（ A ）5.联合熵H（XY）与熵H（X）及条件熵H（X/Y）之间存在关系正确的是（A ）A．H（XY）＝H（X）＋H（Y／X）B．H（XY）＝H（X）＋H（X／Y）C．H（XY）＝H（Y）＋H（X）D．若X和Y相互独立，H（Y）=H（YX）6.一个n位的二进制数，该数的每一位可从等概率出现的二进制码元（0，1）中任取一个，这个n位的二进制数的自信息量为（C ）A．n2B．1 bitC．n bitnD．27.已知发送26个英文字母和空格，其最大信源熵为H0 = log27 = 4.76比特/符号；在字母发送概率不等时，其信源熵为H1 = 4.03比特/符号；考虑字母之间相关性时，其信源熵为H2 = 3.32比特/符号；以此类推，极限熵H=1.5比特/符号。
问若用一般传送方式，冗余度为（ B ）∞A．0.32B．0.68C ．0.63D ．0.378. 某对称离散信道的信道矩阵为 ，信道容量为（ B ）A ．)61,61,31,31(24log H C -= B ．)61,61,31,31(4log H C -= C ．)61,61,31,31(2log H C -= D ．)61,31(2log H C -= 9. 下面不属于最佳变长编码的是（ D ）A ．香农编码和哈夫曼编码B ．费诺编码和哈夫曼编码C ．费诺编码和香农编码D ．算术编码和游程编码二. 综合（共80分）1. （10分）试写出信源编码的分类，并叙述各种分类编码的概念和特性。
《信息论》期末考试试题(A 卷)标准答案
北京邮电大学2006——2007学年第 一 学期《信息论》期末考试试题（A 卷）标准答案姓名 班级 学号 分数一、判断题（正确打√，错误打×）（共10分，每小题1分）1）异前置码是即时码； （√） 2）最大似然准则等价于最小汉明距离准则； （×） 3）离散信源记忆的长度越大，信源的符号熵越小； （√） 4）一维高斯信源的熵只与其均值和方差有关； （×） 5）为达到并联加性高斯噪声信道容量，在信道输入总功率给定条件下应给噪声方差大的子信道分配更多的功率； （×） 6）只要信息传输速率小于信道容量，总可以找到一种编码方式使得当编码序列足够长时传输差错率任意小； （√） 7）离散无记忆信源的N 次扩展源的熵是原信源熵的N 倍； （√） 8）仙农的AWGN 信道容量公式是在信道输入的平均功率和幅度受限条件下推导出来的； （×） 9)当马氏源的初始状态s 和输出nx x x ,,,10 给定后，那么状态1,21,,+n s s s 就能唯一确定； （√） 10)当平均失真大于其上限D max 时，率失真函数R （D ）= 0 。
（√）二、填空题（共20分，每空2分）1) 设信源的熵为0.8比特/符号，对信源序列进行单符号编码，码序列为0、1二元序列，如果编码效率为100%，那么每信源符号平均码长为 0.8 ，码序列中“0 ”符号出现的概率为 1/2 ，信息传输速率为 1 比特/码符号。
2) 一阶平稳马氏源的符号转移概率为2.0)0|0(12|=X X p ，6.0)1|1(12|=X X p ，那么符号的平稳分布为=)0(X p 1/3 ，=)1(X p 2/3 ；信源的符号熵为 0.8879 比特/符号。
3）一维连续随机变量X在[a，b]区间内均匀分布时，其信源熵为log2(b-a)。
4）在输入平均功率相同的情况下, 高斯分布使加性噪声信道容量最小。
5) 二元等概信源的熵为 1 比特/符号,当信源输出序列长度L足够长时，典型序列的个数约等于2L。
《信息论》试题及答案
期终练习一、某地区的人群中，10％是胖子，80％不胖不瘦，10％是瘦子。
已知胖子得高血压的概率是15％，不胖不瘦者得高血压的概率是10％，瘦子得高血压的概率是5％，则“该地区的某一位高血压者是胖子”这句话包含了多少信息量。
解：设事件A ：某人是胖子； B ：某人是不胖不瘦 C ：某人是瘦子 D ：某人是高血压者根据题意，可知：P （A ）=0.1 P （B ）=0.8 P （C ）=0.1 P （D|A ）=0.15 P （D|B ）=0.1 P （D|C ）=0.05而“该地区的某一位高血压者是胖子” 这一消息表明在D 事件发生的条件下，A 事件的发生，故其概率为P （A|D ）根据贝叶斯定律，可得：P （D ）＝P （A ）* P （D|A ）＋P （B ）* P （D|B ）＋P （C ）* P （D|C ）＝0.1 P （A|D ）＝P （AD ）/P （D ）＝P （D|A ）*P （A ）/ P （D ）＝0.15*0.1/0.1＝0.15 故得知“该地区的某一位高血压者是胖子”这一消息获得的多少信息量为： I （A|D ） = - logP （A|D ）=log （0.15）≈2.73 （bit ） 二、设有一个马尔可夫信源，它的状态集为{S 1，S 2，S 3}，符号集为{a 1，a 2，a 3}，以及在某状态下发出符号集的概率是(|)k i p a s （i ，k=1，2，3），如图所示（1）求图中马尔可夫信源的状态极限概率并找出符号的极限概率（2）计算信源处在某一状态下输出符号的条件熵H(X|S=j) (j=s 1，s 2，s 3) （3）求出马尔可夫信源熵H ∞解：（1）该信源达到平稳后，有以下关系成立：13212312123()()31()()()4211()()()42()()()1Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E Q E =⎧⎪⎪=+⎪⎨⎪=+⎪⎪++=⎩可得1232()73()72()7Q E Q E Q E ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩3111322133313()()(|)72()()(|)73()()(|)7i i i i i i i i i p a Q E p a E p a Q E p a E p a Q E p a E =========∑∑∑（2）311113222133331(|)(|)log (|) 1.5bit/(|)(|)log (|)1bit/(|)(|)log (|)0bit/k k k kk k k k k H X S p a S p a S H X S p aS p a S H X S p a S p a S ====-==-==-=∑∑∑（符号）（符号）（符号）（3）31()(|)2/7*3/23/7*12/7*06/7iii H Q E H X E ∞==⨯=++=∑（比特/符号）三、二元对称信道的传递矩阵为0.60.40.40.6⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）若P(0)=3/4，P(1)=1/4，求H （X ），H （X|Y ）和I （X ；Y ）（2）求该信道的信道容量及其最大信道容量对应的最佳输入分布 解：⑴()H X =21()log ()iii p x p x ==-∑=0.75log 750.25log 25--≈0.811(比特/符号)1111212()()(|)()(|)p y p x p y x p x p y x =+=0.75*0.6+0.25*0.4=0.55 2121222()()(|)()(|)p y p x p y x p x p y x =+=0.75*0.4+0.25*0.6=0.45()0.55log0.550.45log0.45H Y =--=≈0.992(比特/符号)122(|)()(|)()(|)0.75(0.6,0.4)0.25(0.4,0.6)(0.6log 0.60.4log 0.4)0.971/H Y X p x H Y x p x H Y x H H =+=⨯+⨯=-+≈（比特符号）(|)()()()(|)()H X Y H XY H Y H X H Y X H Y =-=+-≈0.811+0.971-0.992=0.79 (比特/符号)I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=0.811-0.79=0.021(比特/符号) （2）此信道为二元对称信道，所以信道容量为C=1-H(p)=1-H(0.6)=1-0.971=0.029(比特/符号) 当输入等概分布时达到信道容量四、求信道22042240 p pp pεεεεεε⎡⎤--⎢⎥--⎢⎥⎣⎦的信道容量，其中1p p=-。
信息论考试卷与答案..
考试科目名称：信息论一. 单选（每空2分，共20分）1.一个m位的二进制数的自信息量为（A ）A．m bitB．1 bitC．m2mD．22.信源编码的目的是（A ）A．提高通信有效性B．提高信息传输的可靠性C．提高通信系统的安全性D．压缩信源的冗余度3.下面属于最佳变长编码的是（C ）A．算术编码和游程编码B．香农编码和游程编码C．哈夫曼编码和费诺编码D．预测编码和香农编码4.表中符合即时码的是（A ）和（D ）5.下列各量可能为负值的是（B ）A．自信息量B．互信息量C．信息熵D．平均互信息量6.联合熵H（XY）与熵H（X）及条件熵H（X/Y）之间存在关系错误的是（D ）A．H（XY）＝H（X）＋H（Y／X）B．若X和Y相互独立，H（Y）=H（Y／X）C．H（XY）＝H（Y）＋H（X／Y）D．H（XY）＝H（X）＋H（X／Y）7.已知发送26个英文字母（包括空格），其最大信源熵（发送概率相等）为H0 = log27 = 4.76比特/符号；在字母发送概率不等时，其信源熵为H1 = 4.03比特/符号；考虑字母之间相关性时，其信源熵为H2 = 3.32=1.4比特/符号。
问若用一般传送比特/符号；以此类推，极限熵H∞方式，冗余度γ为（ B ）A．0.58B．0.71C．0.65D．0.298. 某信道传递矩阵为，其信道容量为（ D ）A ．)41log 4143log 43()81,81,41,21(4log ++-=H C B ．)41log 4343log 41()81,81,41,21(2log +--=H C C ．)41log 4143log 43()81,81,41,21(4log +--=H CD ．)41log 4143log 43()81,81,41,21(2log +--=H C9. 下列各图所示信道是对称信道的是（ C ）A ．B ．C ．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8181214181814121PD．二. 综合（共80分）1.（10分）试画出通信系统的模型，并叙述各部分的定义和作用。
《信息论》期末考试试题(A卷)标准答案
2 次扩展信源符号 00 01 10 11 概 率 0.81 0.09 0.09 0.01 编 0 10 110 111 码
(3 分)
计算每信源符号平均码长为： l (1 0.19 0.10) / 2 0.645 ，编码器每秒输出 符号数为： 3.5 0.645 2.2575 2 ,所以传输不满足失真要求。 将信源的 3 次扩展源进行 Huffman 编码，结果为：
3
(1) 信源符号速率 3.5 大于信道传输速率 2，所以信源直接与信道相接，不能保证无失 真传输。 (3 分) (2) 采用适当的编码方式可以通过信道进行无失真传输。 (2 分) H ( X ) H (0.1) 0.1 log 0.1 0.9 log 0.9 0.469 比特/符号 信源熵率为 H (b / s ) H ( X ) 3.5 1.6415 b / s ，二元无噪信道容量为 C (b / s ) 2 b / s 。 因为 H (b / s) C (b / s) ，所以根据信源信道编码定理可知，采用适当的编码方式然后通
计 算 每 信 源 符 号 平 均 码 长 为 ： l 0.5327 ， 编 码 器 每 秒 输 出 符 号 数 为 ： (5 分) 3.5 0.5327 1.8644 2 ,所以传输满足不失真要求。 由于这种编码所得是变长码，因此在编码器与信道之间应设置缓冲器。 (2 分)
六、计算题（16 分）
三、简答题（由 4 个独立子信道组成， 子信道方 差如右图所示，其中 1、2、3、4 子信道的方差分别为 2、1、 4、3； （1）达到容量时，信道输入应该是何种分布？各子信道的 输入是否统计独立？ (1+1 分)
信息论期末考试试题 答案
安徽大学2011—2012学年第1学期 《信息论》考试试卷参考答案（AB 合卷）一、 填空题 1、()(;)log()()p xy I x y p x p y =；2、事物运动状态或存在方式的不确定性的描述；3、(|)log(|)(|)p xy z p x z p y z ；4、信源 编码器 信道 译码器 信宿；5、保密性 认证性；6、0.72；7、 ， ；8、(;)C I X Y - ；9、4.6 ； 10、0H ≥1H ≥4H ≥6H ≥∞H ； 11、()()1log log N L H S H S r N r N≤<+； 12、()f x 在q F 上不可约； 13、()g x |1n x -； 14、2F 、22F 、32F 、42F 、62F 、122F ； 15、8，4.二、判断题1、╳2、√3、√4、╳5、╳6、√7、√8、╳9、 ╳三、计算题 1、解：1111()log log 12222H X =--=1()log24H Y =-= 1()log 38H Z =-=当Z Y X ,,为统计独立时：()()()()1236H XYZ H X H Y H Z =++=++=2、解：二次扩展信源为2111213212223313233,,,,,,,,411111111,,,,,,,,9999363693636x x x x x x x x x x x x x x x x x x X P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦信源熵：22HX H X =（）（）22112log 2log )3366=-+⨯（=2log3-2/3比特/二符号 3、解：1）信道到矩阵为1/31/61/31/61/61/31/61/3P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故此信道为对称信道1111log 4(,,,)3636C H =-5l o g 33=-（比特/符号）相应的最佳输入概率分布为等概率分布。
（2）信道到矩阵为1/21/31/61/61/21/31/31/61/2P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故此信道为对称信道111l o g 3(,,)236C H =-12log 323=- （比特/符号） 相应的最佳输入概率分布为等概率分布。
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考试科目名称：信息论一. 单选（每空2分，共20分）1.信道编码的目的是（C ），加密编码的目的是（D ）。
A．保证无失真传输B．压缩信源的冗余度，提高通信有效性C．提高信息传输的可靠性D．提高通信系统的安全性2.下列各量不一定为正值的是（D ）A．信源熵B．自信息量C．信宿熵D．互信息量3.下列各图所示信道是有噪无损信道的是（B ）A．B．C．D．4.下表中符合等长编码的是（ A ）5.联合熵H（XY）与熵H（X）及条件熵H（X/Y）之间存在关系正确的是（A ）A．H（XY）＝H（X）＋H（Y／X）B．H（XY）＝H（X）＋H（X／Y）C．H（XY）＝H（Y）＋H（X）D．若X和Y相互独立，H（Y）=H（YX）6.一个n位的二进制数，该数的每一位可从等概率出现的二进制码元（0，1）中任取一个，这个n位的二进制数的自信息量为（C ）A．n2B．1 bitC．n bitnD．27.已知发送26个英文字母和空格，其最大信源熵为H0 = log27 = 4.76比特/符号；在字母发送概率不等时，其信源熵为H1 = 4.03比特/符号；考虑字母之间相关性时，其信源熵为H2 = 3.32比特/符号；以此类推，极限熵H=1.5比特/符号。
问若用一般传送方式，冗余度为（ B ）∞A．0.32B．0.68C ．0.63D ．0.378. 某对称离散信道的信道矩阵为 ，信道容量为（ B ）A ．)61,61,31,31(24log H C -= B ．)61,61,31,31(4log H C -= C ．)61,61,31,31(2log H C -= D ．)61,31(2log H C -= 9. 下面不属于最佳变长编码的是（ D ）A ．香农编码和哈夫曼编码B ．费诺编码和哈夫曼编码C ．费诺编码和香农编码D ．算术编码和游程编码二. 综合（共80分）1. （10分）试写出信源编码的分类，并叙述各种分类编码的概念和特性。
（1分）将信源消息分成若干组，即符号序列xi ， xi ＝(xi1xi2…xil …xiL)，{非分组码 分组码{奇异码 非奇异码{非唯一可译码 唯一可译码{非即时码即时码（非延长码）码（5分）xil A={a1，a2，…，ai，…，an}每个符号序列xi依照固定码表映射成一个码字yi，yi＝(yi1yi2…yil…yiL)，yil B={b1，b2，…，bi，…，bm}这样的码称为分组码，有时也叫块码。
只有分组码才有对应的码表，而非分组码中则不存在码表。
（1分）奇异码和非奇异码若信源符号和码字是一一对应的，则该码为非奇异码。
反之为奇异码。
（1.5分）唯一可译码任意有限长的码元序列，只能被唯一地分割成一个个的码字，便称为唯一可译码（1.5分）即时码：只要收到符号就表示该码字已完整，可以立即译码。
即时码又称为非延长码，任意一个码字都不是其它码字的前缀部分，有时叫做异前缀码。
2.（15分）有一个二元二阶马尔可夫信源,其信源符号集为{0，1}，已知符号条件概率：p(0|00) = 1/2 p(1|00)=1/2p(0|01) = 1/3 p(1|01)=2/3p(0|10) = 1/4 p(1|10)=3/4p(0|11) = 1/5 p(1|11)=4/5求：（1）.信源全部状态及状态转移概率；（2）.画出完整的二阶马尔可夫信源状态转移图；（3）.求平稳分布概率。
解：（1）.符号条件概率矩阵状态转移概率矩阵（5分）（2）.（5分）（3）. 平稳分布概率（5分）121234()()()1/21/2()1/32/3(|)()1/43/4(010*******)1/54/5j i a a s s p a s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=5/45/100004/34/13/23/100002/12/1)|(43214321s s s s s s p s s s s i j 154325131432141214321442342231131=+++⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=+=+=+=+⇒=∑W W W W W W W W W W W W W W W W pijjiiW W 74,356,356,3534321====W W W W ∑1316161493. （20分）具有符号集},{10u u U =的二元信源，信源发生概率为：210,1)(,)(10≤<-==p p u p p u p 。
Z 信道如图 所示，接收符号集},{10v v V =，转移概率为：q u v q u v q -==1)|(,1)|(1100。
发出符号与接收符号的失真：1),(),(,0),(),(10011100====v u d v u d v u d v u d 。
（1）. 计算平均失真—D ；（2）. 率失真函数R(D)的最大值是什么？当q 为什么值时可达到该最大值？此时平均失真—D 是多大？（3）. 率失真函数R(D)的最小值是什么？当q 为什么值时可达到该最小值？此时平均失真—D 是多大？ （4）. 画出R(D)-D 曲线。
解：（1）. 已知信源符号概率210,1)(,)(10≤<-==p p u p p u p ； 转移概率矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=q q u v q i j 101)]|([；失真矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110)],([j i v u d ；联合概率矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=)1)(1()1(0)],([q p q p p v u p j i ； q p q p q p p v u d v u p D j i j i )1(0)1)(1(1)1(100),(),(ij-=⨯--+⨯-+⨯+⨯==∑—。
（5分） （2）. maxR(D)=R(Dmin)=H(X)=-plogp-(1-p)log(1-p)；当q=0时，Dmin=0，即得到maxR(D)；—D =0。
（5分）（3）. minR(D)=R(Dmax)=0；当q=1时，转移概率矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0101)]|([i j u v q ，可使得到minR(D)；—D =1-p 。
（5分）（4）. （5分）4. （15分）一个平均功率受限制的连续信道，其通频带为1MHz ，信道上存在白色高斯噪声。
（1）. 已知信道上的信号与噪声的平均功率比值为20，求该信道的信道容量；（2）. 信道上的信号与噪声的平均功率比值降至10，要达到相同的信道容量，信道通频带应为多大？（3）. 若信道的通频带增加至2MHz 时，要保持相同的信道容量，信道通频带应为多大？ 解：（1）. 已知SNR=20s Mbit SNR W W N s PW C /392.421log 1)1log()01log(=⨯=+=+=（5分）（2）. 若SNR=10，C=4.392Mbit/s ；)101log(392.4+=WW=1.27MHz （5分）（3）. 若W=2MHz ，C=4.392Mbit/s ；)1log(2392.4SNR +⨯=SNR=3.582（5分）5. （20分）信源符号X 有6种字母，概率为0.32，0.22，0.18，0.16，0.08，0.04。
（1）. 求符号熵H （X ）；（2）. 用费诺（Fano ）编码法编成二进制变长码，求出平均码长和编码效率；（3）. 用香农（Shannon ）编码法编成二进制变长码，求出平均码长和编码效率；（4）. 用哈夫曼（Huffma ）编码法编成三进制变长码，求出平均码长和编码效率。
解：（1）. ∑=-=ii i bit a p a p X H 符号/35.2)(log )()(（5分）（2）. 费诺编码法编成二进制变长码（5分）00，01，10，110，1110，1111%9.974.235.2)()(====—KX H R X H L η （3）. 香农编码法编成二进制变长码（5分）第 11 页 共 11 页00，010，100，101，1110，11110%7.8284.235.2)()(====—KX H R X H L η （4）. 哈夫曼编码法编成三进制变长码（5分）1，2，00，01，020，021%8.933log 58.135.2log )()(=⨯===m LKX H R X H L —η m=3，n=6，令k=2 m+k(m-1)=7，s=7-n=1所以第一次取m-s=2个符号进行编码。