钢结构板的屈曲理论

2 2
x0 xy 0
4）物理方程 1 1 2(1 v) x 0 N x vN y y 0 N y vN x xy 0 N xy Et Et Et 5）基本微分方程 为了简化计算过程，设法减少未知量，引入应力函数 2 F 2 F 2 F 令N x xt t 2 N y y t t 2 N xy xy t t y x xy
2
设满足边界条件的曲面方程为： w Amn sin
m 1 n 1
m x a
sin
式中m和n分别是板屈曲时在x和y方向的半波数 对w微分两次和四次后代入偏微分方程：
m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 px m 2 2 m x n y Amn a 4 2 a 2b 2 b 4 D a 2 sin a sin b 0 m 1 n 1
2 16 b ( px pcrx ) f2 2 2 2 2 2 2 2 Et a / ( m b ) m b / a
2 D mb
2
px pcrx 4b f /t 2 2 2 2 2 2 t 2 Et a / ( m b ) m b / a
2
对于比值a/b远大于1.0的受剪板件，可以在板的两侧设置横向 加劲肋以缩小板的幅面尺寸，从而提高板的剪切屈曲系数。
板弹性屈曲以后是否 破坏，能否继续承载
2 大挠度理论
前面研究的薄板的屈曲问题都是建立在小挠度弹性理论基 础上的，认为板屈曲时的挠度远小于其厚度，而中面在板屈曲 时产生的薄膜拉力是微不足道的。当板边缘的支承构件具有较 大的刚度时，有时板的屈曲应力虽不很高，但屈曲以后板并不 破坏。板的挠度将发展到相当大的数值，在发展挠度的过程中， 板的应力将出现重分布，板的中面会产生薄膜应力。板中的应 力重分布和 薄膜拉力的出现可延缓挠度的发展，实际上对板起 着支持作用，从而大大提高板的承载力，使其超过板的分岔屈 曲荷载。
3）几何方程 板弯曲后，微元体上任一点在x和y方向的位移由两部分组成，一部分由 中面力产生中面位移；另一部分又板的挠度产生。 u0 1 w v 1 w y 0 0 x 2 x y 2 y u v w w 0 0 y x x y
u、v与挠度w的关系 w w u z v z x y
将此二式代入上三式有： 2w x z 2 x 2w y z 2 y 2w xy 2 z xy 4）本构关系 由广义虎克定律有： 1 x E ( x y ) 1 y ( x y ) E xy 2(1 ) xy xy G E
2w 2w M x D 2 ，Qx 0，M xy 0 x 2 y
1.2 弹性屈曲荷载
1）单项均匀受压简支板 板的中面力N x Px N y 0 N xy 0 微分方程变为： w
4
Px w
2
D x n y b
本章只介绍外力作用于等厚度中面 内的薄板的屈曲问题。
1 小挠度理论
1.1 平衡方程
1）基本假定 a、板很薄，微元体上的应力 z， zx 和 zy 远小于应力 x，
y 和 xy，由他们产生的正应变 z 和剪应变 zx 与 zy 都可忽
略不计。 z =0，可用板中面的挠度代表沿厚度方向任何 一点挠度； b、与板的厚度相比，垂直于中面的挠度是微小的，这样 一来，可以忽略中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜力,这 样微元体两侧的中面力相同N x =p x , N y p y , N xy pxy ; c、板为各向同性弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
mb n a 令k 称为屈曲系数， mb a 可得： b2 当a/b 4时，k接近最小值4。所以对于狭长的均匀受压的四边简支 板，屈曲系数均可用最小值。 板的屈曲应力： k 2E pcrx / t 2 12(1 v ) (b / t ) 2 pcrx k
5)内力与挠度关系 单位宽度上板元的弯矩和扭矩为：
M x M y M xy

t 2 t 2

2w 2w x zdz D 2 x 2 y t 2w 2w 2 zdz D x 2 y 2 t y 2
板的纵向和横向面力: 2( p p ) 2 F 2 y N x t 2 px 4 x 4 4crx cos y a / (m b ) 1 b 2( px pcrx ) 2 F 2m x N y t 2 2 cos x a / ( m 2b 2 ) m 2b 2 / a 2 a 2( p p ) 当y 0, b时，N max px 4 x 4 4crx a / (m b ) 1 2( ) max u 4 u 4 4crx a / (m b ) 1 如以m a / b代入得： 2 理论和实验研究表明，板越薄，临界 力越低，屈曲后强度越高 u f y crx
t 2 zdz t xy 2源自文库


2w D 1 xy
Et 3 式中：D ,为单位宽度板的抗弯刚度 2 12(1 ) 6)板受弯的挠曲微分方程式，将内力的公式代入 力的平衡方程有： 4w 4w 4w 1 2w 2w 2w 2 2 2 4 N x 2 2 N xy Ny 2 4 D xy x x y y x y
上述方程很难解出封闭解，如不用应力函数，只能数值积分法解得。 或用基于势能驻值原理基础上的迦辽金法求得近似解。
2.2 单向均匀受压简支板的屈曲后强度
采用伽辽金法解得： a 2 Et 2 m 2b 2 a2 px 2 f 2 2 2 2 b a mb 16b mb a 2 D mb a 注意到 2 是单向均匀受压四边简支板的屈曲荷载pcrx，故 b a mb px pcrx px 可以通过px / pcrx 算出板屈曲后强度的提高幅度。 板的挠度为：
7）边界条件
以x 0的边界为例。 1)简支边
2w 2w 2w 2w w 0, M x D 2 0, 2 0 2 0 x 2 y y x
2w 即在简支边有：w 0, 2 0 x 2）固定边 w w 0, 0 x 3）自由边
2 F 2w 2 F 2w 2F 2w 4 D w t 2 2 2 2 2 x y y x x y x y 卡门方程组 2 w 2 2 w 2 w 4 F E xy x 2 y 2
2 (1 2 )(1 4 2 )(1 9 2 )
32
2
1
2 2
9 / 625 1
2 2

1/ 81
当a / b=2 / 3时，可得屈曲系数最小值为k =23.9。
3）均匀受剪四边简支板 采用伽辽金法求解板的屈曲荷载。 板的中面内力：N xy N yx p xy p yx 屈曲荷载为： pcrxy k s
可解出应力表达式 ，并用几何关系 表为挠度关系 zE 2 w 2w 2 2 x 2 1 x y zE 2 w 2 w 2 2 y 2 1 x y E 2w xy z 1 xy
2）力的平衡方程
2 M x x
2
2
2 M xy xy

2 M y y
2
Nx
2w x
2
2 N xy
2w xy
Ny
2w y
2
0
3）几何方程
距中面为z处的dz厚度板的变形
1 v / x 2 u / y
u v v u x y xy x y x y

板的屈曲条件： m 4 4 m 2 n 2 4 n 4 4 px m 2 2 2 2 2 4 2 0 4 a ab b D a px a D m n D mb n a 2 2 2 2 m a b b a mb
D
2
b
2
式中：k s 剪切屈曲系数，对于四边简支板： 当a b时 k s 5.34 4.0(b / a )
2
当a b时 k s 4.0 5.34(b / a ) 对于四边固定的受剪板：
2
当a b时 k s ８ .98 5.6(b / a )
2
当a b时 k s 5.6 8.98(b / a )
N N yx x 0 x y N y N xy 0 x y 2 2 2 w w w 4 D w N x 2 N N q xy y 2 2 xy x y
w、N x、N y、N xy四个未知量，只有三个 平衡方程，需考虑几何、物理方程。
板的屈曲理论
基本思路
钢结构板受力时产生弹塑性变形，研究这类问题的 基本思路是经过三个方面的分析： （1）力的平衡条件 （2）几何变形协调条件 （3）本构关系 从而获得三类基本方程，再满足具体的边界条件，通 过特定的求解方法求解。
板的分类
t 1 1 厚板： ~ b 5 8 1 1 t 1 1 薄板: ~ ~ 80 100 b 5 8 薄膜：板的厚度极小，抗弯刚度几乎降为零，板完全 靠薄膜拉力来支承荷载的作用。 式中：t为板厚，b为板的最小板宽
2D
crx
对于单项均匀受压狭长 的板，通过使用横向加劲肋 来改变比值a/b从而提高屈曲 系数并无明显效果，把加劲 肋的间距取得小于2b又很不 经济。对于很宽的薄板，可 以采用纵向加劲肋来减少宽 边b。
2）单向纯弯曲简支板 采用瑞利-里兹法求解板的屈曲荷载。 令 a / b，屈曲荷载为 pcrx1 k 2 D / b 2 屈曲系数k
2.1 平衡方程
1）基本假定 a、板很薄，微元体上的应力 z， zx 和 zy远小于应力 x，
y和 xy，这样由他们产生的正应变 z和剪应变 zx与 zy都
可忽略不计； b、考虑中面因弯曲变形伸长而产生的薄膜力； c、板为各向同性弹性体，应力与应变关系服从虎克定律。
2）力的平衡方程 （推导同小挠度理论，只是N x、N y、N xy中已包含 因w引起的薄膜力，故不再是常数）