九年级数学上22.3实际问题与二次函数第二课时教案

22.3 实际问题与二次函数（第2课时）

教学目标:

1.知识与技能：将生活实际问题转化为数学问题，进一步体验二次函数在生活中的应用.

2.过程与方法：通过对生活中实际问题的探究,体会数学在生活实际中的广泛应用，发展数学思维.

3.情感态度：感受数学在生活中的应用，激发学生学习热情，体验解决问题的方法，培养学生的合作交流意识和探索精神.

教学重点：利用二次函数解决有关拱桥问题.

教学难点：建立二次函数的数学模型.

教学过程：

一、问题导入

问题 为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．

（1）试求出每天的销售量y （盒）与每盒售价x （元）之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P （元）最大？最大利润是多少？

（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 答案 解：（1）由题意，得()7002045201600y x x =--=-+.

（2）P =()()()2

2402016002024006400020608000x x x x x --+=-+-=--+，∵x ≥45，a =-20＜0，∴当x =60时，P 最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P （元）最大，最大利润是8000元.

（3）由题意，得()2206080006000x --+=.解得150x =，270x =．

∵抛物线()220608000P x =--+的开口向下，∴当50≤x ≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元.又x ≤58，∴50≤x ≤58.∵在201600y x =-+中，20k =-＜0，∴y 随x 的增大而减小.∴当x =58时，y 最小值=-20×58+1600=440，即超市每天至少销售粽子440盒.

二、探索新知

()264-探究 图中是抛物线形拱桥，当拱桥离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？

提问

（1）石拱桥桥拱的形状可以近似地看成是抛物线吗？

（2）将本体转化为二次函数问题，需要求出二次函数解析

式，根据题中条件，求二次函数解析式的前提是什么？

（3）题中“水面下降1m 的含义是什么？”水面下降的同时水面宽度有什么变化？如何求宽度增加多少？

解决问题：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立坐标系.设这条抛物线表示的二次函数为2y ax =.由抛物线经过点（2，-2），可得222a -=⨯，12

a =-.这条抛物线表示的二次函数为212y x =. 当水面下降1m 时，水面的纵坐标为-3.

请你根据上面的函数解析式求出这时的水面宽度.

水面下降1m 时，水面宽度增加 m . 三、巩固练习

1.如图，一单杠高

2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的

两端拴于立柱与铁结合处，绳子自然下垂呈抛物线状态，一身高0.7米的小

女孩站在离立柱0.4米处，其头刚好触上绳子，则绳子最低点到地面的距离为多少米？

2.如图，一位篮球运动员甲在距篮球筐下4米处跳起投篮，球的运

行线路为抛物线，当球运行到水平距离为2.5米时达到最高高度为3.5

米，然后准确地落入篮筐，已知篮圈中心到地面的高度为3.05米，该

运动员的身高为1.8米．

（1）在这次投篮中，球在该运动员的头顶上方0.25米处出手，则

当球出手时，该运动员离地面的高度为多少米？

（2）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3米运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？

答案：1.如图所示，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，垂直方向

为y 轴，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为()20y ax a =≠.设A ，B ，

D 三点坐标依次为（A x ，A y ），（B x ，B y ），（D x ，D y ）.

由题意，得AB =1.6，∴0.8A x =-，0.8B x =，又可得1 1.60.42D x ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭

=-0.4.∴当0.8x =-时，A y =()2•0.80.64a a -=,当0.4x =-时，()2•0.40.16yD a a =-=.∵ 2.20.7 1.5A D y y -=-=，∴0.640.16 1.5a a -=.∴258a =

.∴抛物线的解析式为2258y x =.当0.4x =-时，()2250.40.58

D y =⨯-=，∴0.70.50.2-=（m ）. 2.（1）设抛物线的解析式为2 3.5y ax =+.∵（1.5，3.05）在抛物线上，

∴3.05 1.52 3.5a =⨯+.解得0.2a =-.∴20.2 3.5y x =-+.当 2.5x =-时， 2.25y =， ∴运动员离地面的高度为2.250.25 1.80.2--=（m ）.

（2）由题意,得 3.3y =，则23.30.2 3.5x =-+.解得11x =，21x =-.∴413-=（m ）.∴乙在运动员甲与篮板之间的距离甲3米范围内能在空中截住球.

四、归纳小结

1.运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题.

2.数形结合思想的运用.

五、布置作业：

从教材习题22.3中选取.

教学反思：

本课时的教学应注意建立正确的直角坐标系，使类似于抛物线的实际问题转化为平面直角坐标系中的抛物线.教学时，教师仍可采用分步设问的形式让学生回答并让学生互相交流.教师应鼓励学生用多种方法建立平面直角坐标系，并求出相应抛物线的解析式，在这一过程中让学生体验探究发现的乐趣，体会数学的最优化思想.