第二章分离变量二阶常系数微分方程幻灯片资料
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数理方程第二章分离变量法
解的唯一性
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
分离变量法得到的解可能不唯一，有时需要额外的条件或参数才能 确定唯一解。
数值稳定性
分离变量法在数值实现时可能存在数值稳定性问题，如数值误差的 累积和扩散等，需要采取适当的措施进行控制和校正。
06
CATALOGUE
分离变量法的改进与拓展
改进方向一：提高求解精度
数值稳定性
通过改进数值算法，提高求解过程中数值的稳定性， 减少误差的传播和累积。
原理推导
01
首先，将偏微分方程中的多个变量分离出来，使方程变为一个 关于各个变量的常微分方程。
02
然后，对每个常微分方程分别求解，得到各个变量的解。
最后，将各个变量的解代回原偏微分方程，得到整个问题的解
03 。
原理应用
在物理学中，分离变量法广泛应用于求解具有多个独立变量的偏微分方程 ，如波动方程、热传导方程等。
高阶近似方法
研究高阶近似方法，以更精确地逼近真实解，提高求 解精度。
自适应步长控制
引入自适应步长控制策略，根据解的精度要求动态调 整步长，提高求解精度。
改进方向二：拓展应用范围
复杂边界条件
研究如何处理更复杂的边界条件，使得分离变 量法能够应用于更广泛的数理方程问题。
多维问题
将分离变量法拓展到多维问题，以解决更复杂 的数学模型。
04
CATALOGUE
分离变量法的实例
实例一：一维波动方程的分离变量法
总结词
通过将一维波动方程转化为常微 分方程，分离变量法能够简化求 解过程。
详细描述
一维波动方程是描述一维波动现 象的基本方程，通过分离变量法 ，我们可以将该方程转化为多个 常微分方程，从而逐个求解，得 到波动问题的解。
数学表达式
高等数学课件7第二节 可分离变量的微分方程ppt
故所求特解为 lnln| yy|11lnln((xx2 21)1.). 22
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
思考与练习
1. 求下列方程的通解 :
提示:
(1)
分离变量
y
x
1 y2 dy 1 x2 dx
(2) 方程变形为 y 2cos x sin y
ln tan y 2sin x C 2
4
y5,
dx
是可分离变量的微分方程．
4
y 5dy
Байду номын сангаас
2 x 2dx,
若 dy f ( x, y) dx
dy dx
f1(x) f2( y) ；
或由 P( x, y)dx Q( x, y)dy 0
M1( x)M2( y)dx N1( x)N2( y)dy 0 .
则均为可分离变量的微分方程．
二、分离变量法
( Q( x, y) 0 )
将它看成以 y 为自变量、x 为未知函数的方程
dx Q( x, y) dy P( x, y)
( P(x, y) 0 )
引例1. 求一阶微分方程 dy 2x 的通解． dx
解: 两端积分得通解 y x2 C ．
引例2. 求一阶微分方程 dy 2xy2 的通解． dx
说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解.
令 C eC1
( C 为任意常数 ) ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 求下列微分方程的通解:
解: 原方程化为
dy ex e y dx
分离变量
e ydy exdx
两边积分
通解： e y e x C
(2)
反之，
当 g( y) 0 时，
由(2)式所确定的隐函数y ( x)是(1)式的解;
数理方程第二章(1)
特点：方程和边界条件都是线性齐次的. 特点：方程和边界条件都是线性齐次的.
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
(2.1) (2.2) ( 2.3)
思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 思路：运用叠加原理。先寻找齐次方程(2.1)的满 叠加原理 (2.1) 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式( (2.2)的足够多个具有简单形式 足边界条件(2.2)的足够多个具有简单形式(变量被 分离)的特解, 分离)的特解, 再对它们作线性组合使得线性组合 满足初始条件(2.3) (2.3)。 满足初始条件(2.3)。 思路的物理背景：乐器发出的声音可以分解成不同 思路的物理背景： 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线， 频率的单音。每种单音在振动时形成正弦曲线，其 振幅依赖于时间 t ，即每个单音可表示为
∫ ∫
π π
－π
1 ⋅ cos nxdx = ∫ 1⋅ sin nxdx =0, n = 1, 2,L ,
－π
π
－π
cos nx ⋅ sin mxdx = ∫
π
－π
cos nx ⋅ cos mxdx = n ≠ m.
∫
π
－π
sin nx ⋅ sin mxdx =0,
f ( x) 为 [−π , π］ 上可积的以 2π 为周期的函数。
令 y = e λ x 代入方程有 λ 2 + pλ + q = 0,
−p+ p 2 − 4q − p − p 2 − 4q , λ2 = 2 2
λ1 =
λ 2 + pλ + q = 0
(1) p 2 − 4q > 0 时，y = C1e λ1 x + C 2e λ2 x ; (2) p 2 − 4q = 0 时，y = (C1 + C 2 x )e λ1 x ;
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
第二章 分离变量法
为加深理解，下面扼要分析一下级数形式解（2.11）得物理意义。先 分析一下级数中每一项 的物理意义。分析的方法时：先固定时间t，看看在任一指定时刻波是 什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。
把括号内的式子改变一下形式，可得 其中，，。
当时间t取定值t0时，得 其中是一个定值。这表示再任一时刻，波的形状都是一些正弦曲线，只 是它的振幅随时间的改变而改变。
如果将初始条件（2.3）代之以，则相应的定解问题的解为 当时，它平均收敛于（2.11）所给的形式解u(x,t)。由于Sn(x,t)既满足方 程（2.1）及边界条件（2.2），有近似地满足初始条件（2.3），所以， 当n很大时，可以把Sn(x,t)看成是原问题的近似解。所谓近似平均收敛的 极限u(x,t)，具有实际意义。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解，它的主要步骤大体为：
一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程
的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。
二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以
确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界
条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非
需要指出的是，当φ(x),ψ(x)不满足这里所述的条件时，由 （2.11～2.12）所确定的函数u(x,t)不具备古典解的要求，它只能是原定 解问题的一个形式解。由实变函数的理论可知，只要φ(x),ψ(x)在 [0,l]上是L2可积的，函数列 分别平均收敛[即按L2中的“距离”（范数）收敛]于φ(x),ψ(x)，其 中Ck，Dk由（2.12）确定。
从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步 骤是确定特征函数与运动叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因
把括号内的式子改变一下形式，可得 其中，，。
当时间t取定值t0时，得 其中是一个定值。这表示再任一时刻，波的形状都是一些正弦曲线，只 是它的振幅随时间的改变而改变。
如果将初始条件（2.3）代之以，则相应的定解问题的解为 当时，它平均收敛于（2.11）所给的形式解u(x,t)。由于Sn(x,t)既满足方 程（2.1）及边界条件（2.2），有近似地满足初始条件（2.3），所以， 当n很大时，可以把Sn(x,t)看成是原问题的近似解。所谓近似平均收敛的 极限u(x,t)，具有实际意义。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ解，它的主要步骤大体为：
一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程
的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。
二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以
确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界
条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非
需要指出的是，当φ(x),ψ(x)不满足这里所述的条件时，由 （2.11～2.12）所确定的函数u(x,t)不具备古典解的要求，它只能是原定 解问题的一个形式解。由实变函数的理论可知，只要φ(x),ψ(x)在 [0,l]上是L2可积的，函数列 分别平均收敛[即按L2中的“距离”（范数）收敛]于φ(x),ψ(x)，其 中Ck，Dk由（2.12）确定。
从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步 骤是确定特征函数与运动叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因
常微分方程PPT
解 设降落伞下落速度为v(t) 时伞所受空气阻力为
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
− kv（ 负号 表示 阻力与运动方向相反 k 为常数） 另外， ， 为常数） 另外， ．
受重力P = mg作用 故由牛顿 作用， 伞在下降过程中还 ， 第二定律 dv v 初始条件： 于是， 初始条件： |t=0 = 0于是， 得m = mg − kv且有 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m = mg − kv, dt v |t=0 = 0,
(2)
两边积分得 ln y = ln x + lnC
所以,齐次方程（ 所以,齐次方程（2） 的通解为
,即 ,即
y = Cx
ln y = lnCx
(3)
C 将通解中的任意常数C 换成待定函数 (x) ,即令 y = C(x)x 为方程（1）的通解,将其代入方程(1)得 为方程（ 的通解,将其代入方程(1) (1)得 xC '(x) = ln x.于是
所以
1 ′(x) = ln x, C x ln x 1 C(x) = ∫ dx = ∫ ln xdln x = (ln x)2 + C, x 2
求 (3), 原 程 通 为 将所 的C(x)的 入 (3),得 方 的 解 代 式
x y = (ln x)2 + Cx. 2
二、可降阶的高阶微分方程
1. y(n) = f (x)型的微分方程
所以， 是所给微分方程的解． 所以，函数y = C1ex +C2e2x 是所给微分方程的解．又因 ， 个 中 两 独 的 意 数， 为 这 解 有 个 立 任 常 ， 方 的 数 数 与 程 阶 相 所以它是所给微分方程的通解． 同，所以它是所给微分方程的通解 ．
始 件 由初 条 y(0) = 0， 们 C1 +C2 = 0 ， 初始 件 我 得 由 条
二阶线性常系数微分方程-PPT精选文档
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求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程: ypyqy0(p ,q 为常 ) ①数
因r为 为常,数 函时 数 erx和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y erx ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2p rq)erx0 r2prq0 ②
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e r x
若特征方程含 k 重复根 ri,则其通解中必含
对应项
e x [ ( C 1 C 2 x C k x k 1 ) co x s
(D 1 D 2 x D k x k 1 )six n ]
Байду номын сангаас 1 i,r 2 i
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o is six n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
为y使 中不 v1 ,v2 ,含 令
y1v1 y2v2 0
⑤
于是 y y 1 v 1 y 2 v 2 y 1 v 1 y 2 v 2
(以上Ci, Di均为任意常 ) 数
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例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r1 1,r23,
因此原方程的通解为 yC 1exC 2e3x
例2. 求解初值问题
d2s dt2
求特征方程(代数方程)之根
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二阶常系数齐次线性微分方程: ypyqy0(p ,q 为常 ) ①数
因r为 为常,数 函时 数 erx和它的导数只差常数因子,
所以令①的解为 y erx ( r 为待定常数 ), 代入①得
(r2p rq)erx0 r2prq0 ②
若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项
( C 1 C 2 x C k x k 1 ) e r x
若特征方程含 k 重复根 ri,则其通解中必含
对应项
e x [ ( C 1 C 2 x C k x k 1 ) co x s
(D 1 D 2 x D k x k 1 )six n ]
Байду номын сангаас 1 i,r 2 i
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o is six n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
为y使 中不 v1 ,v2 ,含 令
y1v1 y2v2 0
⑤
于是 y y 1 v 1 y 2 v 2 y 1 v 1 y 2 v 2
(以上Ci, Di均为任意常 ) 数
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例1. 求y 方 2 y 程 3 y 0 的通解.
解: 特征方程 r22r30,特征根: r1 1,r23,
因此原方程的通解为 yC 1exC 2e3x
例2. 求解初值问题
d2s dt2
9-5二阶线性常系数微分方程-PPT课件
2 y p y qy 0 p q0
特征根的情况
实根 1 实根
通解的表达式
复根 1,2
1
2
y C e C e 1 2
x 1
x 2
i
2
x y e (C1 cos x C2 sin x )
x 1 y C C xe 1 2
代入(9.70)得
2 x p qe 0
ex 0
特征方程
故有 特征根
2 q 0 p
1 ,2
p p2 4q , 2
0 ) (1) 有两个不相等的实根 (
2 p p 4q p p 4 q 特征根为 1 , , 2 2 2
n阶常系数线性齐次方程解法
特征方程为
p p p0
n n 1 1 n 1 n
特征方程的根
若是 k重根
通解中的对应项
k 1 x ( C C x C x e 0 1 k 1 )
m 1 C C x C x ) cos x 若是m重共轭 [( 0 1 m 1
例1 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 解 特征方程 2 3 0 ,特征根: 1 , 3 , 1 2
x 3 x 因此原方程的通解为 y C e C e 1 2
0 ) (3) 有一对共轭复根 (
特征根为
1 2
i , i 0 .
复根 i
m 1 x ( D D x D x ) sin x ] e 0 1 m 1
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对 应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.
特征根的情况
实根 1 实根
通解的表达式
复根 1,2
1
2
y C e C e 1 2
x 1
x 2
i
2
x y e (C1 cos x C2 sin x )
x 1 y C C xe 1 2
代入(9.70)得
2 x p qe 0
ex 0
特征方程
故有 特征根
2 q 0 p
1 ,2
p p2 4q , 2
0 ) (1) 有两个不相等的实根 (
2 p p 4q p p 4 q 特征根为 1 , , 2 2 2
n阶常系数线性齐次方程解法
特征方程为
p p p0
n n 1 1 n 1 n
特征方程的根
若是 k重根
通解中的对应项
k 1 x ( C C x C x e 0 1 k 1 )
m 1 C C x C x ) cos x 若是m重共轭 [( 0 1 m 1
例1 求方程 的通解. y 2 y 3 y 0 2 解 特征方程 2 3 0 ,特征根: 1 , 3 , 1 2
x 3 x 因此原方程的通解为 y C e C e 1 2
0 ) (3) 有一对共轭复根 (
特征根为
1 2
i , i 0 .
复根 i
m 1 x ( D D x D x ) sin x ] e 0 1 m 1
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个根都对 应着通解中的一项, 且每一项各一个任意常数.
常微分方程—二阶线性,常系数 共41页PPT资料
设非齐次方程通解为
y c 1 (x )y 1 c 2 (x )y 2
y c 1 ( x ) y 1 c 2 ( x ) y 2 c 1 ( x ) y 1 c 2 ( x ) y 2
设 c 1 ( x ) y 1 c 2 ( x ) y 2 0
模型. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,
在无外力作用下做自由运动, 取其平衡位置为原点建
立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 xx0,初始 速度为 v0, 求物体的运动规律 xx(t).
解: 由8.3.2的模型可知, 位移满足
因此定解问题为
例1 求方 yx 程 y1yx1的.通解 1x 1x
例2 求 x 2 方 y ( x 2 ) 程 ( x y y ) x 4的通解．
例1 求方 yx 程 y1yx1的.通 1x 1x
解 1 x 1 0, 1x 1x
对应齐方一特解为
c1(x) 1 c2(x) xex
c1(x)xC 1，c 2 (x ) x x e e x C 2 原方程的通解为 y C 1 x C 2 e x x 2 x 1 .
例2 求 x 2 方 y ( x 2 ) 程 ( x y y ) x 4 的通解.
补充内容
y P ( x ) y Q ( x ) y 0
可观察出一个特解
( 1 )若 P (x ) x(x Q ) 0 , 特解 yx; ( 2 )若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 特解 yex; ( 3 )若 1 P ( x ) Q ( x ) 0 , 特解 yex.
的一个非零特解，
令 y2u (x)y1 代入(1)式, 得
二阶微分方程教学课件
（9)
(2)特征根是两个相等的实根 r1= r2 ，此时 y1 er1x 和 y2 xer1x方程(2)的特解，且线性无关，所以方程(6)的通解为：
y (C1 C2 ,2=α±βi ， 这时y1 e(i)x
和 y2 e(i)x 是方程(6)的两个特解，但这两个解含有复数，
y ( sin x Cx C2 )dx cosx C1x2 C2 x C3
C
(C1
) 2
这就是所求方程的通解．
4
2. y f (x, y)型
方程
y f ( x, y)
(3)
的右边不显含未知函数 y ．如果设y p( x) ,那么
y dp p, dx
因而方程(3)就变为
p f ( x, p)
(2) 求出特征方程的两个根 r1 与 r2 ；
(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程 (6)的通解：
特征方程 r2 pr q 0 的根
两个不相等的实根r1 r2 两个相等的实根r1 r2 r
一对共轭复根 r1,2 i
方程 y py qy 0 通解
y C1er1x C2er2x
两端积分并进行化简，得 p C1 y 或 y C1 y
再一次分离变量并积分，得
ln y C1x lnC2 或 y C2eC1x
如果P = 0，那么立刻可得 y = C，显然它也满足原方程．但 y =C
已被包含在解 y C2eC1x 中了 (令C1 0就可得到它).
所以方程的通解为 y C2eC1x
因为，erx 0 所以上式要成立就必须有
r2 pr q 0
(8)
这就是说，如果函数 y erx 是方程(6)的解，那么 r 必须满
二阶常系数线性微分方程的解法-19页PPT文档资料
是特征方程的重根
u0
取 u = x , 则得 y2xer1x,因此原方程的通解为 y(C 1C 2x)er1x
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3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 c3 o x 3 s s3 i x )n 所求通解为
x (5 c3 o x 3 s3 ix ) n
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定理 4.
分别是方程
y p y q f y k ( x )( k 1 ,2 , ,n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
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(YpYqY)
f(x ) 0 f(x )
复习 目录 上页 下页 返回 结束
故 y Y (x ) y * (x )是非齐次方程的解, 又Y 中含有
u0
取 u = x , 则得 y2xer1x,因此原方程的通解为 y(C 1C 2x)er1x
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3. 当 p24q0时, 特征方程有一对共轭复根
这时原方程有两个复数解:
y1e(i)x e x(cx o isix n ) y2e(i)x e x(cx o isix n )
比较系数, 得 因此特解为 y * x ( 5 c3 o x 3 s s3 i x )n 所求通解为
x (5 c3 o x 3 s3 ix ) n
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定理 4.
分别是方程
y p y q f y k ( x )( k 1 ,2 , ,n )
利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:
y11 2(y1y2) excosx y221i(y1y2)exsinx
因此原方程的通解为
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
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小结: ypyqy0(p ,q 为常 ) 数
因此原方程的通解为
例2. 求解初值问题
d2s dt2
2ds dt
s
0
st04,
ds dt
t 0 2
解: 特征方程 r22r10有重根 r1r21,
因此原方程的通解为 s (C 1 C 2t)e t
利用初始条件得
C14, C2 2
于是所求初值问题的解为
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(YpYqY)
f(x ) 0 f(x )
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故 y Y (x ) y * (x )是非齐次方程的解, 又Y 中含有
项目212二阶常系数线性齐次微分方程15页PPT
例如 当 x( ,)时， ex，ex 线性无关
co2xs,1co2xs 线性相关
定 理2： 如 果y1(x)与y2(x)是 方 程 (2)的 两 个 线 性
无 关 的 特 解 , 那 么yC1y1C2y2就 是 方 程 (2)的 通 解 .
例如 yy0, y 1 cx o ,y s 2 six ,n
一对共轭复根 r1, r2 =α ± iβ
y(C1C2x)erx
y e x(C 1co x s C 2six n )
案例 求方 y程 2y3y0的通 . 解
1.11 解 特征方程为 r22r30,
解得 r11,r23 故所求通解为 yC 1exC2e3x.
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(2)的两个
解,那末yC1y1C2y2也是(2)的解.（C1, C2是常 数） 问题: yC1y1C2y2一定是通解吗？
定 义 ： 设 y1, y2 是 定 义 在 区 间 I 内 的 函 数 ． 如 果
y 2 常数 y1
那么称这两个函数在区间 I内线性相关．否则称 线性无关
项目2(1.2) 二阶常系数线性齐次微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为
y P ( x ) y Q ( x ) y f( x ) ( 1 )
称为二阶线性非齐次方程
其中P(x) 、Q(x)、f(x)是x的已知函数
如果f(x)≡0，方程(1)变为
y P ( x ) y Q ( x ) y 0 ( 2 )
所以满足初始条件的特解为 y xex.
案例1.13 求方 y2y程 5y0的.通解 解 特征方程为 r22r50,
解得 r1 ， 2 12 i, 故所求通解为
y e x ( C 1 c2 o x C s 2 s2 i x ) n .
co2xs,1co2xs 线性相关
定 理2： 如 果y1(x)与y2(x)是 方 程 (2)的 两 个 线 性
无 关 的 特 解 , 那 么yC1y1C2y2就 是 方 程 (2)的 通 解 .
例如 yy0, y 1 cx o ,y s 2 six ,n
一对共轭复根 r1, r2 =α ± iβ
y(C1C2x)erx
y e x(C 1co x s C 2six n )
案例 求方 y程 2y3y0的通 . 解
1.11 解 特征方程为 r22r30,
解得 r11,r23 故所求通解为 yC 1exC2e3x.
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(2)的两个
解,那末yC1y1C2y2也是(2)的解.（C1, C2是常 数） 问题: yC1y1C2y2一定是通解吗？
定 义 ： 设 y1, y2 是 定 义 在 区 间 I 内 的 函 数 ． 如 果
y 2 常数 y1
那么称这两个函数在区间 I内线性相关．否则称 线性无关
项目2(1.2) 二阶常系数线性齐次微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为
y P ( x ) y Q ( x ) y f( x ) ( 1 )
称为二阶线性非齐次方程
其中P(x) 、Q(x)、f(x)是x的已知函数
如果f(x)≡0，方程(1)变为
y P ( x ) y Q ( x ) y 0 ( 2 )
所以满足初始条件的特解为 y xex.
案例1.13 求方 y2y程 5y0的.通解 解 特征方程为 r22r50,
解得 r1 ， 2 12 i, 故所求通解为
y e x ( C 1 c2 o x C s 2 s2 i x ) n .
数学物理第二章-分离变量法
例1 设 b Rn ，求解线性方程组 Ax b.
4
解 A的n个线性无关的特征向量{Ti}(1 i n) 可以作为 Rn
n
n
的一组基。将x，b按此基展开为 x xi Ti ,b bi Ti，则
Ax b 等价于 n
i1
i1
n
xi ATi bi Ti
i1
i1
或
n
n
xi iTi bi Ti
l n ,n 1
n
n
l
2
,n
1
所以，可得
11
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1
因此,特征值问题（1）的解为
n
n
l
2
,n
1,
Xn (x)
sin
n
l
x, n
1.
注：
特征值问题是分离变量法的理论基础；
改变边界条件，相应的特征函数系也会改变；
Sturm-Liouville定理：特征函数系的正交性和完备性。
（3）导出 Tn (t)满足的方程，给出通解（傅里叶展开）；
（4）由初始条件确定通解系数.
注2 对齐次问题
u(x,t) 2 l(s)sin( n s)ds cos n a t sin n x
l0 n1
l
l
l
2
l
(s)sin( n
s)ds sin
0
xi0 i ,
n
f (t) fi T (t)6 i.
i 1
i 1
i 1
则原问题等价于 dx Ax f (t), x(0) x0
dt
T T n dxi
i1 dt
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（2.14）
可确定待定系数:
(2.15)
至此，定解问题（2.1）-(2.3)的解已经求出
注意：
分离变量法是有条件的，会受到一定的限制
(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离
(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式
2.2. 解的物理意义
分析的方法是：先固定时间t，看看在任一指定时刻波 是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。 特解 (2.12) 改写为
否则得零解，对于齐次微分方程是无意义． 我们所谓的求解是指的求出非零解
故得
（2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（2.７）这样简单的结论， 而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程
（2.5） （2.7）
定义：
本征值
不 能任意取，只能根据边界条件（2.7）取某些
cos
l
0
由于B≠0，故cosβl＝0，即
(2n1)(n0,1,2,3, )
2l
从而求得了一系列特征值与特征函数。
n
(2n1)22
4l2
(2 n 1 )
X n(x ) B nsin 2 l x (n 0 ,1 ,2 ,3 , )
中最小的一个
称为基频，
相应的
称为基波．
相应的
称为谐频， 称为谐波．
基波的作用往往最显著．
例 1 设有一根长为 10 个单位的弦，两端固定，初速度为零，初始 位移为(x) x(10 x) ，求弦作微小横向振动时的位移。
1000
解: 设位移函数为u(x,t)，它是定解问题
u2txu20a02,ux2u2x,1000x,t100,t 0
t0
0, 0 x l
解 这里所考虑的方程仍是（2.1），所不同的只是在 x＝l 这一端的边
界条件不是第一类齐次边界条件 u xl 0 ，而是第二类齐次边界条
u
件 x
xl
0 。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程（2.4）与
（2.5） T (t) a2T (t) 0 ， X (x) X (x) 0 ，但条件（2.6）应
特定值。 本征函数
不同 （ 2.5）所对应的解
本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函 数问题。
求解（2.5），将 三种可能逐一加以分析
（１）
（2.5）的解为
和
由（2.７）确定，即有
由此解出
（２）、
被排除 方程（2.5）的解是
和
由（2.7）确定，即
解出
也被排除．
（３）
（2.5）的解
代之以
X(0)X(l)0 （2.6）′
相应特征值问题为求
的非零解。
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
（2.5）
重复前面的讨论可知，只有当 λ＝β2>0 时，上述特征值问题才
有非零解，此时（2.5）的通解仍为
X (x ) A c o sx B s inx
代入条件（2.6）′得t0
x(10 x) , u 1000 t
t0
0,0 x 10
的解。这时 l＝10，并给定 a2 10000 （这个数字与
弦的材料，张力有关）。
直接应用已经得到的结果公式：
得到 B n 0
0 ,n 为 偶 数
A n 5 0 1 0 00 1 0 x ( 1 0 x )s in n 1 0 x d x 5 n 2 33( 1 c o sn) 5 n 4 33 ， 当 n 为 奇 数
第三步：先求特解，再叠加求出通解
对于每一个本征值 ，由方程（2.4）求出相应的
方程的解：
A 其中 和 B是待定常数．
（2.10） （2.11）
（2.9）和（2.11）代入到解
得到变量分离形式的特解
（2.12）
线性叠加后的解
这就是满足(2.1)和条件（2.2）的通解
（2.13）
第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(2.3)确定叠加系数
二阶常系数微分方程：y'' py' qy0
特征方程：r2 prq0
根的三种情况：
r1
r1
r2 r2
r
r i
得常系数微 分方程的通 解：
y y
C1er1x C1erx
C2er2x C2xerx
y ex(C1cosxC2 sinx)
直角坐标系中的分离变量法
2.1 分离变量法介绍
例1：具体考虑长为l两端固定的均匀弦的自由振动
因此，所求的解为
u (x ,t) 5 4 3n 0 (2 n 1 1 )3 s in (2 n 1 0 1 )x c o s 1 0 (2 n 1 )t
例2 解定解问题
2u
t
2
a2
2u x2
,0
x
l,t
0
u
x0
0, u x
xl
0,t 0
u
t0
x2 2lx, u t
(2.16)
驻波叠 加
振幅:
Nn
sin
nπx l
频率: n
初位相: n
波节:
波腹:
点数为2，3，4的驻波形状
图2.1
于是我们也可以说解
是由一系列频率不同
（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的．
所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相
的差异，由初始条件决定，而圆频率
与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．
第二章 分离变量法
本章重点：
（1）用分离变量法又称特征函数展开法，是求解偏 微分方程最常用的重要方法；
（2）用分离变量法求解各种有界问题； （3）用分离变量法求解各种有界问题的思路、步骤 及其核心问题—特征值（本征值或固有值）问题； （4）理解叠加原理的应用 （5）分析解的物理意义；
其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程， 其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题．
泛定方程
（2.１）
边界条件
（2.２）
初始条件
（2.３）
定解问题的泛定方程变为
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t,
也不依赖于x的常数，不妨设常数为 偏微分方程分离成两个常微分方程:
(2.4) (2.5)
由齐次边界条件有
X (0)T (t) 0
X
(l )T
(t
)
0
(2.6)
T (t) 0
和
由（2.7）确定，即
如
，则仍然解出
只剩下一种可能性：
C10,sinl0
l nπ
n
n2π2 l2
(n1,2,3, ) （2.8）
与 n 对应的函数为
Xn(x)
C2
sinnπx l
（2.9）
（2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．
常数 的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作 本征函数．方程（2.5）和条件（2.7）则构成 本征值问题或固有值问题．
可确定待定系数:
(2.15)
至此，定解问题（2.1）-(2.3)的解已经求出
注意：
分离变量法是有条件的，会受到一定的限制
(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分 方程并非总能实施变量分离
(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解， 不一定是分离变量的乘积形式
2.2. 解的物理意义
分析的方法是：先固定时间t，看看在任一指定时刻波 是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。 特解 (2.12) 改写为
否则得零解，对于齐次微分方程是无意义． 我们所谓的求解是指的求出非零解
故得
（2.7）
注意：
边界条件是齐次的，才得出（2.７）这样简单的结论， 而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．
第二步：求解本征值（或称为固有值）问题
上面推导的方程
（2.5） （2.7）
定义：
本征值
不 能任意取，只能根据边界条件（2.7）取某些
cos
l
0
由于B≠0，故cosβl＝0，即
(2n1)(n0,1,2,3, )
2l
从而求得了一系列特征值与特征函数。
n
(2n1)22
4l2
(2 n 1 )
X n(x ) B nsin 2 l x (n 0 ,1 ,2 ,3 , )
中最小的一个
称为基频，
相应的
称为基波．
相应的
称为谐频， 称为谐波．
基波的作用往往最显著．
例 1 设有一根长为 10 个单位的弦，两端固定，初速度为零，初始 位移为(x) x(10 x) ，求弦作微小横向振动时的位移。
1000
解: 设位移函数为u(x,t)，它是定解问题
u2txu20a02,ux2u2x,1000x,t100,t 0
t0
0, 0 x l
解 这里所考虑的方程仍是（2.1），所不同的只是在 x＝l 这一端的边
界条件不是第一类齐次边界条件 u xl 0 ，而是第二类齐次边界条
u
件 x
xl
0 。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程（2.4）与
（2.5） T (t) a2T (t) 0 ， X (x) X (x) 0 ，但条件（2.6）应
特定值。 本征函数
不同 （ 2.5）所对应的解
本征值问题 求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函 数问题。
求解（2.5），将 三种可能逐一加以分析
（１）
（2.5）的解为
和
由（2.７）确定，即有
由此解出
（２）、
被排除 方程（2.5）的解是
和
由（2.7）确定，即
解出
也被排除．
（３）
（2.5）的解
代之以
X(0)X(l)0 （2.6）′
相应特征值问题为求
的非零解。
X(x)X(x) 0
X(0)X(l) 0
（2.5）
重复前面的讨论可知，只有当 λ＝β2>0 时，上述特征值问题才
有非零解，此时（2.5）的通解仍为
X (x ) A c o sx B s inx
代入条件（2.6）′得t0
x(10 x) , u 1000 t
t0
0,0 x 10
的解。这时 l＝10，并给定 a2 10000 （这个数字与
弦的材料，张力有关）。
直接应用已经得到的结果公式：
得到 B n 0
0 ,n 为 偶 数
A n 5 0 1 0 00 1 0 x ( 1 0 x )s in n 1 0 x d x 5 n 2 33( 1 c o sn) 5 n 4 33 ， 当 n 为 奇 数
第三步：先求特解，再叠加求出通解
对于每一个本征值 ，由方程（2.4）求出相应的
方程的解：
A 其中 和 B是待定常数．
（2.10） （2.11）
（2.9）和（2.11）代入到解
得到变量分离形式的特解
（2.12）
线性叠加后的解
这就是满足(2.1)和条件（2.2）的通解
（2.13）
第四步: 利用本征函数的正交归一性确定待定系数 初始条件(2.3)确定叠加系数
二阶常系数微分方程：y'' py' qy0
特征方程：r2 prq0
根的三种情况：
r1
r1
r2 r2
r
r i
得常系数微 分方程的通 解：
y y
C1er1x C1erx
C2er2x C2xerx
y ex(C1cosxC2 sinx)
直角坐标系中的分离变量法
2.1 分离变量法介绍
例1：具体考虑长为l两端固定的均匀弦的自由振动
因此，所求的解为
u (x ,t) 5 4 3n 0 (2 n 1 1 )3 s in (2 n 1 0 1 )x c o s 1 0 (2 n 1 )t
例2 解定解问题
2u
t
2
a2
2u x2
,0
x
l,t
0
u
x0
0, u x
xl
0,t 0
u
t0
x2 2lx, u t
(2.16)
驻波叠 加
振幅:
Nn
sin
nπx l
频率: n
初位相: n
波节:
波腹:
点数为2，3，4的驻波形状
图2.1
于是我们也可以说解
是由一系列频率不同
（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的．
所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相
的差异，由初始条件决定，而圆频率
与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．
第二章 分离变量法
本章重点：
（1）用分离变量法又称特征函数展开法，是求解偏 微分方程最常用的重要方法；
（2）用分离变量法求解各种有界问题； （3）用分离变量法求解各种有界问题的思路、步骤 及其核心问题—特征值（本征值或固有值）问题； （4）理解叠加原理的应用 （5）分析解的物理意义；
其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程， 其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题．
泛定方程
（2.１）
边界条件
（2.２）
初始条件
（2.３）
定解问题的泛定方程变为
要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t,
也不依赖于x的常数，不妨设常数为 偏微分方程分离成两个常微分方程:
(2.4) (2.5)
由齐次边界条件有
X (0)T (t) 0
X
(l )T
(t
)
0
(2.6)
T (t) 0
和
由（2.7）确定，即
如
，则仍然解出
只剩下一种可能性：
C10,sinl0
l nπ
n
n2π2 l2
(n1,2,3, ) （2.8）
与 n 对应的函数为
Xn(x)
C2
sinnπx l
（2.9）
（2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．
常数 的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作 本征函数．方程（2.5）和条件（2.7）则构成 本征值问题或固有值问题．