高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

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北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(答案解析)(1)

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（） A ．122k + B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．设,,(0,1)a b c ∈，则1a b +，1b c +，1c a +（） A ．都不大于2B ．都不小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个大于23．某电影院共有(3000)n n ≤个座位.某天，这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人， 1010人，2019人(同一所学校的学生有的看上午场，也有的看下午场，但每人只能看一-场).已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有( )A ．12个B ．11个C ．10个D ．前三个答案都不对 4．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（）A ．都大于13 B ．都小于13 C ．至少有一个不大于13 D ．至少有一个不小于135．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？A ．正三角形的顶点B ．正三角形的中心C ．正三角形各边的中点D ．无法确定 6．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20647．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( )A ．0B ．13C ．12D ．18．“有些指数函数是减函数，2x y =是指数函数，所以2x y =是减函数”上述推理（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．以上都不是 9．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（）A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理11．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变12．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( )A ．12(1)k + B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 二、填空题13．用数学归纳法证明(1)(2)()2135(21)+++=⋅⋅⋅-n n n n n n 的过程中，由k 到1k +时，右边应增加的因式是____________.14．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》中，用图①的三角形形象地表示了二项式系数规律，俗称“杨辉三角形”．现将杨辉三角形中的奇数换成1，偶数换成0，得到图②所示的由数字0和1组成的三角形数表，由上往下数，记第n 行各数字的和为n S ，如11S =，22S =，32S =，44S =，……，则126S =______15．已知数列{}n a 为等差数列，则有12320a a a -+=1234330a a a a -+-=123454640a a a a a -+-+=类似上三行,第四行的结论为________________.16．已知[x]表示不大于x 的最大整数，设函数f （x ）=[log 2x 219+],得到下列结论：结论1：当2<x<3时，f （x ）max=-1.结论2：当4<x<5时，f （x ）max=1.结论3：当6<x<7时，f （x ）max=3.……照此规律，结论6为_____ 17．某成品的组装工序流程图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需要的时间（小时），不同车间可同时工作，同一车间不能同时做两种或两种以上的工作，则组装该产品所需要的最短时间是__________小时．18．观察下列等式：（1）24sinsin 033ππ+= （2）2468sinsin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sin sin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为，若31241234a a a a k ====，则12342234S h h h h k +++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于_____________． 20．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____．三、解答题21．已知数列{}n a 满足：()1(2)1n n na n a +=+-，且16(11)(211)a ==+⨯+. （Ⅰ）求2a ，3a ，4a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想.22．观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想．23．设，其中为正整数．（1）求，，的值；（2）猜想满足不等式的正整数的范围，并用数学归纳法证明你的猜想． 24．用数学归纳法证明11111112324n n n n n +++⋅⋅⋅+>++++*()n N ∈. 25．在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.26．已知函数()f x 满足()()233log log .f x x x =- (1).求函数()f x 的解析式；(2).当n *∈N 时，试比较()f n 与3n 的大小，并用数学归纳法证明你的结论.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】求出当n k =时，左边的代数式，当1n k =+时，左边的代数式，相减可得结果．【详解】当n k =时，左边的代数式为111 12k k k k++⋯++++，当1n k =+时，左边的代数式为11111 232122k k k k k k ++⋯++++++++，故用1n k =+时左边的代数式减去n k =时左边的代数式的结果为：11111 212212122k k k k k +-=-+++++，故选D ．【点睛】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n k =到1n k =+项的变化，属于中档题.2．D解析：D【解析】分析:利用举反例和反证法证明每一个命题，即得正确答案.详解:因为1116a b c b c a +++++>与都不大于2矛盾,所以A 错误. 若1315,,2,343a b a b ==+=<所以B 错误. 若111,,,222a b c <<<则a>2,b>2,c>2,所以C 错误. 故答案为D 点睛：（1）本题主要考查推理证明和反证法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于含有“至少”“至多”等概念的命题常用反证法.3．A解析：A【解析】分析：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则2007n ≥，依次验证即可得到答案. 详解：由题意要保证三所学校的学生都看一场电影，则9851010201920072n ++≥=，当2007n =时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有12人在同一座位上；当2008n =时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有11人在同一座位上；当2018=n 时，则丙中学的学生2019人中分上、下场至少有1人在同一座位上；当2019n =时，则甲乙丙中学的学生可以没有人在同一座位上；所以当n 有2007,2008,2009,,2018取法，即有12个取值，故选A.点睛：本题主要考查了适应应用问题，其中解答中正确理解题意，合理选择方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力，试题属于中档试题. 4．D解析：D【解析】分析：由题意结合反证法即可确定题中的结论.详解：不妨假设2,2,23a a a a +++都小于13，由不等式的性质可知：()()()22231a a a a +++++<，事实上：()()()2223a a a a +++++ 245a a =++()2211a =++≥，与假设矛盾，故假设不成立，即2,2,23a a a a +++至少有一个不小于13. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查不等式的性质，反证法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．B解析：B【解析】分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC 错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.本题选择B 选项.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．6．B解析：B【解析】第一行数字之和为1112-=；第二行数字之和为2122-=；第三行数字之和为3142-=；第四行数字之和为4182,...-=，第n 行数字之和为12n n a ，31041122a a ∴+=+ 810241032=+=，故选B.【方法点睛】本题主要考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.7．B解析：B【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13 ∴三个数中至少有一个大于或等于13 假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++< ∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13 故选B.8．C解析：C【解析】∵大前提的形式：“有些指数函数是减函数”，不是全称命题，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误，故选C.9．C解析：C【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.10．A解析：A【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理.本题选择A选项.点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．11．B解析：B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T分钟，小桶接满水需要t分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了++ 2m+2t+T22m t T分钟，共节省了T t- T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．故选B.【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法． 12．C解析：C【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k 时，左边为11112k k k k +++++，当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)k k k k k k k k +++++++++++++ 所以增加项为两式作差得：11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．二、填空题13．【分析】根据右边式子的含义以及n 的变化给式子带来的变化进行求解【详解】当时右式为当时右式为则右边应增加的因式是故答案为：【点睛】本题考查数学归纳法中由到时增加项的求解解题的关键是理解左边式子的意义属解析：2(21)k +【分析】根据右边式子的含义，以及n 的变化给式子带来的变化，进行求解.【详解】当(*)n k k N =∈时,右式为2135(21)k k ⋅⋅⋅-，当1n k =+时,右式为12135(21)(21)22135(21)(21)k k k k k k +⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅-+，则右边应增加的因式是2(21)k +，故答案为：2(21)k +【点睛】本题考查数学归纳法中由n k =到1n k =+时增加项的求解,解题的关键是理解左边式子的意义，属于容易.14．【分析】将杨辉三角中的奇数换成1偶数换成0可得第1次全行的数都为1的是第2行第2次全行的数都为1的是第4行…由此可知全奇数的行出现在2n 的行数即第n 次全行的数都为1的是第2n 行126＝27﹣2故可得解析：【分析】将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，问题得以解决．【详解】解：由题意，将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，可得第1次全行的数都为1的是第2行，第2次全行的数都为1的是第4行，…，由此可知全奇数的行出现在2n 的行数，即第n 次全行的数都为1的是第2n 行．126＝27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4＝31+2，∴S 126＝2×31+2＝64，故答案为：64点睛：本题考查归纳推理，属中档题.15．【解析】观察前三个式子可知三个式子的项数分别是所以第四个式子有项前三个式子奇数项为正偶数项为负项的系数满足二项式定理系数的形式所以第四项的结论：故答案为【方法点睛】本题通过观察几组多项式式归纳出一般解析：1234565101050a a a a a a -+-+-=【解析】观察前三个式子，可知三个式子的项数分别是3,4,5，所以第四个式子有6项，前三个式子奇数项为正，偶数项为负，项的系数满足二项式定理系数的形式，所以第四项的结论：1234565101050a a a a a a -+-+-=，故答案为1234565101050a a a a a a -+-+-=.【方法点睛】本题通过观察几组多项式式，归纳出一般规律来考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.16．当时【解析】由题意得当时其中根据上述的运算规律可以归纳得出结论当时点睛：本题考查归纳推理的应用解答中根据给定式子的计算得到计算的规律是解答的关键归纳推理属于合情推理对于合情推理主要包括归纳推理和类比解析：当1213x <<时，()122392max f x =⨯-= 【解析】由题意得，当1213x <<时，其中()max f x 根据上述的运算规律，可以归纳得出结论当1213x <<时，()max 122392f x =⨯-=．点睛：本题考查归纳推理的应用，解答中根据给定式子的计算，得到计算的规律是解答的关键，归纳推理属于合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．（而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)． 17．11【解析】A 到E 的时间为2+4=6小时或5小时A 经C 到D 的时间为3+4=7小时故A 到F 的最短时间就为9小时则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时即组装该产品所需要的最短时间是11小时解析：11【解析】A 到E 的时间，为2+4=6小时，或5小时，A 经C 到D 的时间为3+4=7小时，故A 到F 的最短时间就为9小时，则A 经F 到G 的时间为9+2=11小时，即组装该产品所需要的最短时间是11小时18．（或）【解析】由式子可知第n 个式子分母是2n+1共2n 项所以解析：24sin sin 2121n n ππ+++++24sin sin 02121k n n n ππ++=++（或212sin021n k k n π==+∑）【解析】由式子可知，第n 个式子，分母是2n+1,共2n 项。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(有答案解析)(1)

一、选择题1．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+，即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法2．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（）个 A ．1B ．2C ．3D ．43．一位数学老师在黑板上写了三个向量(,2)a m =，(1,)b n =，(4,4)c =-，其中m ，n 都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“a 与b 平行，且a 与c 垂直”，乙回答：“b 与c 平行”，丙回答：“a 与c 不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测m ，n 的值不可能为（） A ．3m =，2n =B ．2m =-，1n =-C ．2m =，1n =D ．2m n ==-4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 6．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？ A ．正三角形的顶点B ．正三角形的中心C ．正三角形各边的中点D ．无法确定7．我们把平面几何里相似的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就称它们是相似体，给出下面的几何体：①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥，则一定是相似体的个数是（） A ．4B ．2C ．3D ．18．下面结论正确的是（）①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m 是2的倍数，则m 一定是4的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式必为()n a n n =∈*N .A ．①③B ．②③C ．③④D ．②④9．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．1810．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（） A ．丙被录用了 B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了11．用反证法证明命题：“若x ，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( )A ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有两个小于12B ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 至多有一个小于12C ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都不小于12D ．假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于1212．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队 B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________． 15．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为d =,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___. 16．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项． 17．某同学在解决一道数学题时发现01212323434234345445567----222222222222====，，，，，依此规律可以求得112nk k k =+∑关于n 的最简表达式为__________．18．现有这么一列数，2，32，54，78，（），1332，1764，…，按照规律，（）中的数应为__________.19．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：根据以上排列规律，数阵中第n (3)n ≥行的从左至右的第3个数是_____． 20．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性．22．已知数列{}n x 满足10x =，21n n n x x x c +=-++()n N *∈，104c <≤，求证：数列{}n x 是递增数列.23．将下列问题的解答过程补充完整．依次计算数列1，121++，12321++++，1234321++++++，…的前四项的值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++的有限项的表达式，并用数学归纳法加以证明．解：计算 11=，1214++=，12321++++= ① ，1234321++++++= ② ，由此猜想123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++= ③ ．（*）下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即 123(1)(1)321k a k k k =++++-++-++++= ④ ．那么，当1n k =+时，1k a += ⑤k a =+ ⑥= ⑦ ．等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立． 24．已知数列{}n a 满足1a a =，112n na a +=-（*n N ∈）；（1）求2a 、3a 、4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式；（3）用数学归纳法证明你的猜想； 25．已知数列{}n a 中，11a =，136nn na a a +=-. （1）写出234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论. 26．依次计算数列114⎛⎫-⎪⎝⎭，111149⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1111114916⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111491625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的前4项的值，由此猜想21111111111491625(1)n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）的结果，并用数学归纳法加以证明.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】分析：由题意结合分析法的定义可知题中的证明方法应用了分析法. 详解：题中的证明方法为执果索因，这是典型的分析法，即原等式成立应用了分析法. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查分析法的特征及其应用，意在考查学生的转化能力和知识应用能力.2．C解析：C 【详解】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的；对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为)4π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．3．D解析：D 【解析】分析：讨论三种情况，甲判断正确，乙、丙判断不正确；乙判断正确，甲、丙判断不正确；丙判断正确，甲、乙判断不正确，由向量平行和垂直的条件，解方程结合选项即可得到结论.详解：若甲判断正确，乙、丙判断不正确，可得2mn =且480m -+=，解得2,1m n ==，则()()()2,2,1,1,4,4a b c ===-，可得b 与c 不平行，a 与c 垂直，则乙、丙判断不正确符合题意；若判断正确，甲、丙判断不正确，可得44n -=且480m -+=且48m =-，解得2,1m n ==-或2,1m n =-=-，则()()()2,2,1,1,4,4a b c ==-=- 或()()()2,2,1,1,4,4a b c =-=-=- 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直，则甲、丙判断不正确，符合题意；若丙判断正确，甲、乙判断不正确，可得480m -+≠且48m ≠-且44n -≠ 解得2m ≠且2m ≠-且1n ≠-，则3,2m n ==成立；2,1m n =-=-也成立；2,1m n ==也成立.2m n ==-，则甲乙丙判断均错.故选D.点睛：本题考查向量的平行和垂直的坐标表示，考查判断能力和运算能力，以及推理能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1，则变换中的第7项一定为2，变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8，变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B 【详解】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.6．B解析：B 【解析】分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC 错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.本题选择B 选项.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．7．B解析：B 【解析】分析：根据题意，结合题中所给的新定义，根据形状相同，大小不一定相同的几何体被视为相似体，逐一判断，可得结论.详解：两个长方体的长宽高的比值不能确定，两个正三棱柱的高与底面边长的比不能确定，两个正四棱锥的高与底面边长不能确定，所以②④⑤不能确定是正确的，只有所有的球体和所有的正四面体都是相似体，所以有两个是正确的，故选B.点睛：该题属于新定义的问题，属于现学现用型，这就要求我们必须把握好题中的条件，然后对选项中的几何体逐一判断，最后求得结果.8．A解析：A 【解析】①“所有2的倍数都是4的倍数，某数m 是2的倍数，则m 一定是4的倍数”这是三段论推理，但其结论是错误的，原因是大前提“所有2的倍数都是4的倍数”错误，故①正确；②在类比时，平面中的三角形与空间中的四面体作为类比对象较为合适，故②错误；③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理，且是类比推理，正确；④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是()n a n n N *=∈错误，如数列1,2,3,5，故④错误，∴正确的命题是①③，故选A.9．B解析：B 【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×13S•r=13•S•h ，r=14h ．（其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高）故选B ．点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）． 10．C解析：C 【分析】假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可. 【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，综上可得甲被录用了，故选：C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.11．D解析：D 【解析】试题分析：根据题意，由于反证法证明命题:“若2()f x x px q =++，那么(1)f ，(2)f ，(3)f 中至少有一个不小于12”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设(1)f ，(2)f ，(3)f 都小于12，故选D.考点：反证法. 12．B解析：B【解析】【分析】表示出拎小桶者先接水时等候的时间，然后加上拎大桶者一共等候者用的时间，用（2m+2T+t ）减去二者的和就是节省的时间；由此可推广到一般结论【详解】事实上，只要不按从小到大的顺序排队，就至少有紧挨着的两个人拎着大桶者排在拎小桶者之前，仍设大桶接满水需要T 分钟，小桶接满水需要t 分钟，并设拎大桶者开始接水时已等候了m 分钟，这样拎大桶者接满水一共等候了（m+T ）分钟，拎小桶者一共等候了（m+T+t ）分钟，两人一共等候了（2m+2T+t ）分钟，在其他人位置不变的前提下，让这两个人交还位置，即局部调整这两个人的位置，同样介意计算两个人接满水共等候了22m t T ++ 2m+2t+T 分钟，共节省了T t - T-t分钟，而其他人等候的时间未变，这说明只要存在有紧挨着的两个人是拎大桶者在拎小桶者之前都可以这样调整，从而使得总等候时间减少．这样经过一系列调整后，整个队伍都是从小打到排列，就打到最优状态，总的排队时间就最短．故选B. 【点睛】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决．经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法．二、填空题13．【解析】分析：令可求得由得两式相减得可依次求出观察前四项找出规律从而可得结果详解：中令可求得由得两式相减得即可得…归纳可得故答案为点睛：归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某些相同的性质二从已解析：212n n -【解析】分析：令1n =，可求得112a =，由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥，两式相减，得()1122n n a a n -+=≥，可依次求出234,,a a a ，观察前四项，找出规律，从而可得结果.详解：n n S n a =- 中令1n ，=可求得1a =1112122-=由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥，两式相减，得11n n n a a a -=-+，即()1122n n a a n -+=≥，可得222321;42a -==333721;82a -==4341521;182a -==… 归纳可得212n n na -=，故答案为212n n -. 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.14．217【分析】根据题意类比36的所有正约数之和的方法分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）计算可得答案【详解】根据题意由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方解析：217 【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案．【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52，所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=217．可求得100的所有正约数之和为217；故答案为：217. 【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．15．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离d ==2. 点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.16．【分析】分析题意根据数学归纳法的证明方法得到时不等式左边的表示式是解答该题的突破口当时左边由此将其对时的式子进行对比得到结果【详解】当时左边当时左边观察可知增加的项数是故答案是【点睛】该题考查的是有解析：2k . 【分析】分析题意，根据数学归纳法的证明方法得到1n k =+时，不等式左边的表示式是解答该题的突破口，当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，由此将其对n k =时的式子进行对比，得到结果.【详解】当n k =时，左边11112321k =++++-…，当1n k =+时，左边11111112321221k k k +=+++⋯+++⋯+--，观察可知，增加的项数是1121(21)222k k k k k ++---=-=，故答案是2k . 【点睛】该题考查的是有关数学归纳法的问题，在解题的过程中，需要明确式子的形式，正确理解对应式子中的量，认真分析，明确哪些项是添的，得到结果.17．【解析】分析：由已知中：可得：利用裂项相消法可得答案详解：由已知中：归纳可得：故故答案为：点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子解析：332nn +-. 【解析】分析：由已知中：01212323234345456,,, (222222222)=-=-=- 可得：1123222k k k k k k -+++=-，利用裂项相消法，可得答案. 详解：由已知中：01212323234345456,,, (222222222)=-=-=-，归纳可得：1123222k k k k k k -+++=-.故011223111344556233 (32222222222)k n n n k k n n n -=++++=-+-+-+-=-∑. 故答案为：332nn +-. 点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．18．【解析】由题意可得分子为连续的质数分母依次为首项为2公比为2的等比数列故括号中的数应该为点睛：归纳推理是由部分到整体由特殊到一般的推理由归纳推理所得的结论不一定正确通常归纳的个体数目越多越具有代表性解析：1116【解析】由题意可得，分子为连续的质数，分母依次为首项为2、公比为2的等比数列，故括号中的数应该为1116. 点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．19．【解析】试题分析：前行共有=个数所以第个数是故答案为考点：1合情推理与演绎推理；2等差数列求和解析：262n n -+ 【解析】试题分析：前n 1-行共有123...++++1n -=(1)2n n -(3)n ≥个数，所以第3个数是 ()216322n n n n --++=．故答案为262n n -+．考点：1、合情推理与演绎推理；2等差数列求和．20．【解析】试题分析：运用推理考点：1归纳推理2复数的运算解析：()()123123cos sin i αααααα+++++【解析】试题分析：运用推理()()123123cos sin i αααααα+++++ 考点：1.归纳推理.2.复数的运算.三、解答题21．（1）112S =，223S =，334S =，1n n S n =+，*n N ∈；（2）证明见解析．【分析】（1）1n =时，可求出1S ，2n ≥时，利用1n n n a S S -=-可得到关于n S 的递推关系，即可求出2S ，3S 的值，进而猜想出n S 的表达式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可. 【详解】（1）当1n =时，()22111S S -=，∴112S =，当2n ≥时，()()211n n n n S S S S --=-，∴112n n S S -=-，∴223S =，334S =，猜想1n nS n =+，*n N ∈；（2）下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，112S =，112n n =+，猜想正确； ②假设n k =时，猜想正确，即1k kS k =+，那么当1n k =+时，可得()111121121k k k S k S k k ++===-++-+，即1n k =+时，猜想也成立．综上可知，对任意的正整数n ，1n nS n =+都成立．【点睛】本题考查数学猜想和数学归纳法的应用，属于中档题. 22．证明见解析. 【分析】若104c<，要证{}nx 是递增数列．即证n x 对任意1n 成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．【详解】证明：若104c <≤，要证{}n x 是递增数列. 即210n n n x x x c +-=-+>，即证n x <1n ≥成立.下面用数学归纳法证明：当104c <≤时，n x 对任意1n ≥成立.①当1n =时，1102x =<，结论成立②假设当n k =（1k，N k *∈）时结论成立，即k x <因为函数()2f x x x c =-++在区间1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递增，所以()1k k x f x f+=<=∴当1n k =+时，1k x +成立.由①，②知，0n x <<1n ≥，N n *∈成立. 因此，21n n n n x x x c x +=-+>，即{}n x 是递增数列.【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．23．①：9；②：16；③：2n ；④：2k ；⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【分析】根据数学归纳法的定义依次填空得到答案. 【详解】123219++++=，123432116++++++=，由此猜想2123(1)(1)321n a n n n n =++++-++-++++=，下面用数学归纳法证明这一猜想．（i ）当1n =时，左边1=，右边1=，所以等式成立．（ⅱ）假设当(,1)n k k k *=∈N ≥时，等式成立，即2123(1)(1)321k a k k k k =++++-++-++++=．当1n k =+时，1123(1)(1)(1)321k a k k k k k +=++++-+++++-++++()2211k k a k +=+=+，等式也成立．根据（i ）和（ⅱ）可以断定，（*）式对任何n *∈N 都成立. 故答案为：①：9；②：16；③：2n ；④：2k ； ⑤：123(1)(1)(1)321k k k k k ++++-+++++-++++；⑥：21k +；⑦：2(1)k + 【点睛】本题考查了数学归纳法，意在考查学生对于数列归纳法的理解和应用能力.24．（1）212a a =-，3232a a a -=-，43243aa a-=-；（2）(1)(2)(1)n n n a a n n a ---=--；（3）证明见解析；【分析】（1）根据数列的递推关系式，代入运算，即可求解2a 、3a 、4a ；（2）由（1）可猜想得(1)(2)(1)n n n aa n n a---=--；（3）利用数学归纳法，即可证得猜想是正确的. 【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足1a a =，112n na a +=-（*n N ∈）；所以212a a=-，2321232a a a a -=-=-，43132243a a a a -==--；（2）由（1）可猜想得(1)(2)(1)n n n aa n n a---=--；（3）①当1n =时，1a a =，上式成立； ②假设当n k =时，(1)(2)(1)k k k aa k k a---=--成立，则当1n k =+时，()()()()()()()1111122211221k kk k a a k k a a k k a k k a k k a+--===--------+-⎡⎤⎣⎦--- ()()()()()111211111k k a k k a k ka k k a+--+-⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦==+-+-+-⎡⎤⎣⎦由①②可得，当n N +∈时，(1)(2)(1)k k k aa k k a---=--成立，即数列{}n a 的通项公式为(1)(2)(1)k k k aa k k a---=--.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式的应用，以及数学归纳法的证明，其中解答中根据数列的递推公式，准确计算，同时熟记数学归纳法的证明方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 25．（1）235a =，313a =，4317a =，猜想321n n a =+（2）见解析【解析】【分析】（1）依递推公式计算234,,a a a ，并把各分子都化为3，可归纳出n a ；（2）用数学归纳法证明即可．【详解】解：（1）11a =，136n n n a a a +=-，∴235a =，33193a ==，4317a =，猜想321n na =+ （2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，由13121a ==+知猜想成立； ②假设()*n k k N =∈时，猜想成立，即321k ka =+ 则()()119393321362162132211621k k k k k k k k a a a +++=====-++-+--+ ∴1n k =+时，猜想成立，根据①②可知，猜想对一切正整数n 都成立. 【点睛】本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明1n k =+时的命题时一定要用到n k =时的归纳假设，否则不是数学归纳法．26．22(1)n n a n +=+，证明见解析【分析】设21111111111491625(1)n a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ），分别求出前4项的值，并猜想，利用数学归纳法证明即可【详解】解：设21111111111491625(1)n a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）， 1234131121115111131,11,111,1111,44493491684916255a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--==---==----= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭猜想：22(1)n n a n +=+证明：①当1n =时，显然成立；②假设当n k =（k N +∈）命题成立，即22(k 1)k k a +=+，当1n k =+时，212212(2)1(2)11(2)2(1)(2)2(2)k k k k k a a k k k k +⎡⎤++-++=⋅-=⋅=⎢⎥++++⎣⎦，则1n k =+时成立，由①②可知，猜想成立，所以22(1)n n a n +=+【点睛】关键点点睛：此题考查归纳推理的应用，考查数学归纳法，考查计算能力，解题的关键是由n k =到1n k =+时，要弄清1,k k a a +的关系，即1211(2)k k a a k +⎡⎤=⋅-⎢⎥+⎣⎦，然后化简可得结果，属于中档题。

高中数学选修2-2第二章《推理与证明》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-2第二章《推理与证明1》单元测试题单元练习题一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（） A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞则111,,a b c b c a+++（）A ．都不大于2-B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③+；④-2中，与等价的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（） A ．只有最大值 B ．只有最小值 C ．只有最大值或只有最小值 D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6．若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（）A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81B ．81-C ．161D ．161-二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

2．已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2a x x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。

3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。

4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5．若数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++则10____a =。

高中数学选修2-2：第2章推理与证明章末综合测评含答案

章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个推理不是合情推理的是()A．由圆的性质类比推出球的有关性质B．由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°C．某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分D．蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的【解析】逐项分析可知，A项属于类比推理，B项和D项属于归纳推理，而C项中各个学生的成绩不能类比，不是合情推理．【答案】 C2．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是() A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案【解析】根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.【答案】 C3．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|P A|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，a n＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和S n的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【解析】由归纳推理的特点知，选B.4．“凡是自然数都是整数，4是自然数，所以4是整数．”以上三段论推理( )A ．完全正确B ．推理形式不正确C ．不正确，两个“自然数”概念不一致D ．不正确，两个“整数”概念不一致【解析】大前提“凡是自然数都是整数”正确．小前提“4是自然数”也正确，推理形式符合演绎推理规则，所以结论正确．【答案】 A5．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为( )A ．(5k －2k )＋4×5k －2kB ．5(5k －2k )＋3×2kC ．(5－2)(5k －2k )D ．2(5k －2k )－3×5k【解析】 5k ＋1－2k ＋1＝5k ·5－2k ·2＝5k ·5－2k ·5＋2k ·5－2k ·2＝5(5k －2k )＋3·2k . 【答案】 B6．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n ＝________时等式成立．( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．2k ＋2D ．2(k ＋2)【解析】根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2，故选B.7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123 D．199【解析】利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．【答案】 C8．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c ＝0，求证：b2－ac<3a”最终的索因应是() 【导学号：05410056】A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0【解析】因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c<a＋b＋c<3a，即a>0，c<0.要证明b2－ac<3a，只需证明b2－ac<3a2，只需证明(－a－c)2－ac<3a2，只需证明2a2－ac－c2>0，只需证明2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证明a ＋c＋(－b－c)>0，即证明a－b>0，这显然成立，故选A.【答案】 A9．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有() A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD ．b 1＋b 2＋…＋b n ＝b 1＋b 2＋…＋b 21－n 【解析】令n ＝10时，验证即知选B. 【答案】 B10．将石子摆成如图1的梯形形状．称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 016项与5的差，即a 2 016－5＝( )图1A ．2 018×2 014B ．2 018×2 013C ．1 010×2 012D ．1 011×2 013【解析】 a n －5表示第n 个梯形有n －1层点，最上面一层为4个，最下面一层为n ＋2个．∴a n －5＝(n －1)(n ＋6)2，∴a 2 016－5＝2 015×2 0222＝2 013×1 011. 【答案】 D11．在直角坐标系xOy 中，一个质点从A (a 1，a 2)出发沿图2中路线依次经过B (a 3，a 4)，C (a 5，a 6)，D (a 7，a 8)，…，按此规律一直运动下去，则a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝( )图2A ．1 006B ．1 007C ．1 008D ．1 009【解析】依题意a 1＝1，a 2＝1；a 3＝－1，a 4＝2；a 5＝2，a 6＝3；…，归纳可得a 1＋a 3＝1－1＝0，a 5＋a 7＝2－2＝0，…，进而可归纳得a 2 015＋a 2 017＝0，a 2＝1，a 4＝2，a 6＝3，…，进而可归纳得a 2 016＝12×2 016＝1 008，a 2 015＋a 2 016＋a 2 017＝1 008.故选C.【答案】 C 12．记集合T＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104|a i ∈T ，i ＝1，2，3，4，将M 中的元素按从大到小排列，则第2 016个数是( )A.710＋9102＋8103＋4104B.510＋5102＋7103＋2104 C.510＋5102＋7103＋3104 D.710＋9102＋9103＋1104【解析】因为a 110＋a 2102＋a 3103＋a 4104＝1104(a 1×103＋a 2×102＋a 3×101＋a 4)，括号内表示的10进制数，其最大值为9 999，从大到小排列，第2 016个数为9 999－2 016＋1＝7 984，所以a 1＝7，a 2＝9，a 3＝8，a 4＝4. 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为__________．【解析】圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1类似的性质为：过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.【答案】经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1 14．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是________ .【导学号：05410057】【解析】依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n 组中每个“整数对”的和均为n ＋1，且第n 组共有n 个“整数对”，这样的前n 组一共有n (n ＋1)2个“整数对”，注意到10×(10＋1)2＜60＜11×(11＋1)2，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．【答案】 (5,7)15．当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，你能得到的结论是__________．【解析】根据题意，由于当n ＝1时，有(a －b )(a ＋b )＝a 2－b 2，当n ＝2时，有(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3，当n ＝3时，有(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)＝a 4－b 4，当n ∈N ＋时，左边第二个因式可知为a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n ，那么对应的表达式为(a －b )·(a n ＋a n －1b＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋1.【答案】 (a －b )(a n ＋a n －1b ＋…＋ab n －1＋b n )＝a n ＋1－b n ＋116．如图3，如果一个凸多面体是n (n ∈N ＋)棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有________条，这些直线共有f (n )对异面直线，则f (4)＝________，f (n )＝__________.(答案用数字或n 的解析式表示)图3【解析】所有顶点所确定的直线共有棱数＋底边数＋对角线数＝n ＋n ＋n (n －3)2＝n (n ＋1)2.从题图中能看出四棱锥中异面直线的对数为f (4)＝4×2＋4×12×2＝12，所以f (n )＝n (n －2)＋n (n －3)2·(n －2)＝n (n －1)(n －2)2.【答案】 n (n ＋1)2 12 n (n －1)(n －2)2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明： (1)如果a ，b >0，则lg a ＋b 2≥lg a ＋lg b2；(2)6＋10>23＋2.【证明】 (1)当a ，b >0时，有a ＋b2≥ab ， ∴lg a ＋b2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2.(2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察以下各等式： sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．【解】猜想：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34. 证明如下：sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°) ＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α2＋sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α＝sin 2α＋34cos 2α－32sin αcos α＋14sin 2α＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N ＋)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．【解】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2.故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0， ∵p ，q ，r ∈N ＋，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列．20．(本小题满分12分)点P 为斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱BB 1上一点，PM ⊥BB 1交AA 1于点M ，PN ⊥BB 1交CC 1于点N .(1)求证：CC 1⊥MN ；(2)在任意△DEF 中有余弦定理：DE 2＝DF 2＋EF 2－2DF ·EF ·cos ∠DFE .扩展到空间类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．【解】(1)因为PM⊥BB1，PN⊥BB1，又PM∩PN＝P，所以BB1⊥平面PMN，所以BB1⊥MN.又CC1∥BB1，所以CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1SACC1A1cos α.其中α为平面BCC1B1与平面ACC1A1所成的二面角．证明如下：因为CC1⊥平面PMN，所以上述的二面角的平面角为∠MNP.在△PMN中，因为PM2＝PN2＋MN2－2PN·MN cos∠MNP，所以PM2·CC21＝PN2·CC21＋MN2·CC21－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，所以S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cos α.21．(本小题满分12分)如图4，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5.求证：图4(1)直线P A∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.【证明】 (1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A . 又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，所以DE∥P A ，DE ＝12P A ＝3，EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5，故DF 2＝DE 2＋EF 2，所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，所以DE ⊥平面ABC .又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC .22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n(n ≥2)． (1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明；(2)设b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <n 3.【解】 (1)容易求得：a 3＝17，a 4＝110.故可以猜想a n ＝13n －2，n ∈N ＋. 下面利用数学归纳法加以证明：①显然当n ＝1,2,3,4时，结论成立，②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即a k ＝13k －2.那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知：a k ＋1＝(k －1)a k k －a k ＝(k －1)×13k －2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1＝k －1(3k ＋1)(k －1) ＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，综上，对任意n ∈N ＋，a n ＝13n －2成立． (2)b n ＝a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1 ＝13n －2·13n ＋113n －2＋13n ＋1 ＝13n ＋1＋3n －2 ＝13(3n ＋1－3n －2)，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝13[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n ＋1－3n －2)] ＝13(3n ＋1－1)，所以只需要证明13(3n ＋1－1)<n3⇔3n ＋1<3n ＋1⇔3n ＋1<3n ＋23n＋1⇔0<23n(显然成立)，所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3.。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(含答案解析)

一、选择题1．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确2．一位数学老师在黑板上写了三个向量(,2)a m =，(1,)b n =，(4,4)c =-，其中m ，n 都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“a 与b 平行，且a 与c 垂直”，乙回答：“b 与c 平行”，丙回答：“a 与c 不垂直也不平行”，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测m ，n 的值不可能为（） A ．3m =，2n =B ．2m =-，1n =-C ．2m =，1n =D ．2m n ==-3．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得152x +=，类似上述过程，则33++=（）A ．1312+ B ．3 C ．6D ．224．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（）A ．1020B ．1010C ．510D ．5055．“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅，…，癸酉，甲戌，乙亥，丙子，…，癸未，甲申、乙酉、丙戌，…，癸巳，…，共得到60个组成，周而复始，循环记录，2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的（） A ．乙亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年6．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．237．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =8．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现9．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c ++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=10．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -11．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”12．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ……………………… A ．201620172⨯ B ．201501822⨯ C ．201520172⨯D ．201601822⨯二、填空题13．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 14．学校建议孩子们周末去幸福广场看银杏叶，舒缓高三学习压力，返校后甲、乙、丙、丁四位同学被问及情况.甲说：“我没去”；乙说：“丁去了”；丙说：“乙去了”；丁说：“我没去”.班主任了解到这四位同学中只有一位同学去了幸福广场，但只有一位说了假话，则去了幸福广场的这位同学是_______.15．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．16．把“二进制”数(2)1011001化为“十进制”数是 .17．在平面几何中，正三角形ABC 的内切圆半径为1r ，外接圆半径为2r ，则1212r r =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球半径为1R ，外接球半径为2R ，则12R R =__________． 18．观察下列数表：1 3 57 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29设2017是该表第m 行的第n 个数，则m n +的值为__________．19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =____. 20．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是__________．三、解答题21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，()4521S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，()*11n n n b T T n N ++=∈.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记nn na c T =，*n N ∈，证明：()122214n c c c n n +++<+. 22．已知数列{}n a 满足：12a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈. （1）求证：数列{}na n为等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）记2(1)n nb n a =+（*n N ∈），用数学归纳法证明：12211(1)n b b b n +++<-+，*n N ∈23．设数列的前n 项和为且对任意的正整数n 都有:.（1）求；（2）猜想的表达式并证明.24．设f （x ）=3ax 2+2bx+c ，若a+b+c=0，f （0）＞0，f （1）＞0，求证：a ＞0且﹣2＜＜﹣1．25．（1）求证：当2a >时，222a a a ++-<；（2）证明：不可能是同一个等差数列中的三项.26．已知数列{}n a 中，11a =，()122nn na a n N a ++=∈+ (1)求2a ，3a ，4a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式； (2)运用(1)中的猜想，写出用三段论证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列时的大前提、小前提和结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】分析：利用命题的否定的定义判断即可.详解：①2p q +≤的命题否定为2p q +>，故①的假设正确.2x =-或2x =”的否定应是“2x ≠-且2x ≠”② 的假设错误，所以①的假设正确，②的假设错误，故选C.点睛：本题主要考查反证法，命题的否定，属于简单题. 用反证法证明时，假设命题为假，应为原命题的全面否定.2．D解析：D 【解析】分析：讨论三种情况，甲判断正确，乙、丙判断不正确；乙判断正确，甲、丙判断不正确；丙判断正确，甲、乙判断不正确，由向量平行和垂直的条件，解方程结合选项即可得到结论.详解：若甲判断正确，乙、丙判断不正确，可得2mn =且480m -+=，解得2,1m n ==，则()()()2,2,1,1,4,4a b c ===-，可得b 与c 不平行，a 与c 垂直，则乙、丙判断不正确符合题意；若判断正确，甲、丙判断不正确，可得44n -=且480m -+=且48m =-，解得2,1m n ==-或2,1m n =-=-，则()()()2,2,1,1,4,4a b c ==-=- 或()()()2,2,1,1,4,4a b c =-=-=- 可得b 与c 不平行，a 与c 垂直，则甲、丙判断不正确，符合题意；若丙判断正确，甲、乙判断不正确，可得480m -+≠且48m ≠-且44n -≠ 解得2m ≠且2m ≠-且1n ≠-，则3,2m n ==成立；2,1m n =-=-也成立；2,1m n ==也成立.2m n ==-，则甲乙丙判断均错.故选D.点睛：本题考查向量的平行和垂直的坐标表示，考查判断能力和运算能力，以及推理能力.3．A解析：A 【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的()0m m =>，则两边平方得，得23m =，即23m m +=，解得m m ==舍去，故选A. 4．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.5．C解析：C 【解析】2015年是“干支纪年法”中的乙未年，2016年是“干支纪年法”中的丙申年，那么2017年是“干支纪年法”中的丁酉年，2018是戊戌年，2019年是己亥年，以此类推记得到2020年是庚子年．故答案为C ．6．C解析：C【解析】可以用归纳思想，1条弦，分圆成2个部分。

北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题1．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -2．甲、乙、丙、丁四个孩子踢球打碎了玻璃．甲说：“是丙或丁打碎的．”乙说：“是丁打碎的．”丙说：“我没有打碎玻璃．”丁说：“不是我打碎的．”他们中只有一人说了谎，请问是（）打碎了玻璃． A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 6．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（）A ．1020B ．1010C ．510D ．5057．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师.若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是( )A ．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B ．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C ．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D ．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师8．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.1259．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( ) A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩 10．用反证法证明“自然数,,a b c 中至多有一个偶数”时，假设原命题不成立，等价于( )A ．,,a b c 没有偶数B ．,,a b c 恰好有一个偶数C ．,,a b c 中至少有一个偶数D ．,,a b c 中至少有两个偶数11．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现12．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( ) A ．乙B ．甲C ．丁D ．丙二、填空题13．某个产品有若千零部件构成，加工时需要经过6道工序，分别记为A,?B,C,?D,?E,?F .其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工;有些工序因为是对同一个零部件进行处理，所以存在加工顺序关系.若加工工序Y 必须要在工序X 完成后才能开工，则称X 为Y 的紧前工序.现将各工序的加工次序及所需时间(单位:小时)列表如下：工序 ABCDEF加工时间 3 42 221紧前工序无C 无C ,A BD现有两台性能相同的生产机器同时加工该产品，则完成该产品的最短加工时间是__________小时.（假定每道工序只能安排在一台机器上，且不能间断）.14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知*()n n S n a n N =-∈，猜想n a =__________．15．点()00,x y 到直线0Ax By c ++=的距离公式为0022Ax By c d A B++=+,通过类比的方法，可求得：在空间中，点()1,1,2到平面230x y z +++=的距离为___.16．在平面内，点,,P A B 三点共线的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,x y ，满足向量关系式OP xOA yOB =+，且1x y +=.类比以上结论，可得到在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式__________．17．在ABC ∆中，D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，将命题类比到三棱锥中去得到一个类比的命题为__________．18．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 19．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =____. 20．如图所示，在三棱锥S ﹣ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SC ⊥SA ，且SA ，SB ，SC 和底面ABC 所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC ，△SAC ，△SAB 的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．三、解答题21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =-，()4521S a =+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11b =-，()*11n n n b T T n N ++=∈.（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）记nn na c T =，*n N ∈，证明：()122214n c c c n n +++<+. 22．已知数列{}n a 中，12a a =．()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N . （1）写出2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明． 23．选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．24．正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足1n n a S n =-. （Ⅰ）求1a ，2a ，3a ；（Ⅱ）猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.25．给出下面的数表序列：其中表()1,2,3,...n n =有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表()3n n ≥（不要求证明）（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和26．已知f （x ）=f （0）+f （1），f （﹣1）+f （2），f （﹣2）+f （3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．2．D解析：D 【分析】假设其中一个人说了谎，针对其他的回答逐个判断对错即可，正确答案为丁．【详解】假设甲打碎玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设乙打碎了玻璃，甲、乙说了谎，矛盾，假设丙打碎了玻璃，丙、乙说了谎，矛盾，假设丁打碎了玻璃，只有丁说了谎，符合题意，所以是丁打碎了玻璃；故选：D 【点睛】本题考查了进行简单的合情推理，采用逐一检验的方法解题，属基础题．3．A解析：A【解析】分析：由题意结合所给的逻辑关系进行推理论证即可. 详解：由题意可知：小红、小方、小强都没有打篮球，故小军打篮球；则小军没有踢足球，且已知小红、小强都没有踢足球，故小方踢足球. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查学生的推理能力，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1，则变换中的第7项一定为2，变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8，变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B 【详解】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果. 详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++,1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.6．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.7．C解析：C 【解析】丙的年龄比语文老师大，则丙是数学老师或英语老师，不是语文老师；甲的年龄和英语老师不同，则甲是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项B 错误；英语老师的年龄比乙小，则乙是数学老师或语文老师，不是英语老师；选项D 错误；选项A 中，英语老师的年龄比乙大，选项A 错误；据此可得：甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师. 本题选择C 选项.8．C解析：C 【解析】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为2sin0.25︒==，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C9．D解析：D 【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已的成绩了．给乙看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已的成绩了故选：D ．【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，属于中档题．10．D解析：D 【解析】“至多一个”的反面是“至少2个”所以原命题等价命题是“a,b,c 中至少有两个偶数 ”选D.11．C解析：C 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置．【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,，由于22441936,452025==，2244201945<<，所以故2019是第45行的倒数第4个数，所以数字2019的位置为（45,42）．故选C ．【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．（2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．12．A解析：A【分析】由题意，这个问题的关键是四人中有两人说真话，另外两人说了假话，通过这一突破口，进行分析，推理即可得到结论.【详解】在甲、乙、丙、丁四人的供词中，可以得出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙丁两人的供词应该是同真同假（即都是真话或都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人所得都是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话可推出丙是犯罪的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论；显然这两人是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的，乙、丙、丁中有一人是犯罪的，由丁说假话，丙说真话推出乙是犯罪的，综上可得乙是犯罪的，故选A.【点睛】本题主要考查了推理问题的实际应用，其中解答中结合题意，进行分析，找出解决问题的突破口，然后进行推理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.二、填空题13．【解析】分析：由题意根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品确定好加工顺序即可得到答案详解：由题意可确定如图所示的加工顺序如图所示可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品要完成该产品的最短加工解析：【解析】分析：由题意，根据题意两台性能相同的生产机器同时加工该产品，确定好加工顺序，即可得到答案.详解：由题意，可确定如图所示的加工顺序，如图所示，可得用两台性能相同的生产机器同时加工该产品，要完成该产品的最短加工时间为8小时.点睛：本题主要考查了实际应用问题，其中解答中正确理解题意，分析工艺的流程，确定好加工的顺序，得出加工顺序的图形是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与论证能力.14．【解析】分析：令可求得由得两式相减得可依次求出观察前四项找出规律从而可得结果详解：中令可求得由得两式相减得即可得…归纳可得故答案为点睛：归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某些相同的性质二从已解析：21 2nn【解析】分析：令1n =，可求得112a =，由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥，两式相减，得()1122n n a a n -+=≥，可依次求出234,,a a a ，观察前四项，找出规律，从而可得结果.详解：n n S n a =- 中令1n ，=可求得1a =1112122-=由()n n S n a n N *=-∈，得()1112n n S n a n --=--≥，两式相减，得11n n n a a a -=-+，即()1122n n a a n -+=≥，可得222321;42a -==333721;82a -==4341521;182a -==… 归纳可得212n n na -=，故答案为212n n -. 点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.15．【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可详解：类比点到直线的距离可知在空间中点到平面的距离故答案是点睛：该题考查的是类比推理利用平面内点到直线的距离公式类比着得解析：2. 【解析】分析：根据平面内点到直线的距离公式类比得到空间中点到平面的距离公式即可. 详解：类比点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离d =，可知在空间中点(0,1,1)-到平面230x y z +++=的距离d ==. 点睛：该题考查的是类比推理，利用平面内点到直线的距离公式类比着得出空间中点到平面的距离公式，代入求得结果，属于简单题目.16．且【解析】此类比仅是数量的变化即在空间中四点共面的充要条件是：对于平面内任一点有且只有一对实数满足向量关系式且解析：OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++= 【解析】此类比仅是数量的变化，即在空间中，,,,P A B C 四点共面的充要条件是：对于平面内任一点O ，有且只有一对实数,,x y z 满足向量关系式OP xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=17．在四面体A －BCD 中G 为△BCD 的重心则【解析】由类比四面体中点类比重心有由类比可得在四面体中为的重心则有故答案为在四面体中为的重心则有点睛:本题考查了从平面类比到空间属于基本类比推理利用类比推理可解析：在四面体A －BCD 中，G 为△BCD 的重心，则1()3AG AB AC AD =++ 【解析】由“ABC ”类比“四面体A BCD -”，“中点”类比“重心”有，由类比可得在四面体A BCD -中，G 为BCD 的重心，则有1()3AG AB AC AD =++，故答案为在四面体A BCD -中，G 为BCD 的重心，则有1()3AG AB AC AD =++. 点睛: 本题考查了从平面类比到空间，属于基本类比推理．利用类比推理可以得到结论、证明类比结论时证明过程与其类比对象的证明过程类似或直接转化为类比对象的结论，属于基础题；由条件根据类比推理，由“ABC ”类比“四面体A BCD -”，“中点”类比“重心”，从而得到一个类比的命题.18．【解析】由题意知：结论左端各项分别是和为的各数的倒数右端时为时为故时结论为故答案为【方法点睛】本题通过观察几组不等式归纳出一般规律来考察归纳推理属于中档题归纳推理的一般步骤:一通过观察个别情况发现某解析：2n【解析】由题意，知：结论左端各项分别是和为1的各数i a 的倒数()1,2,...,i n =，右端2n =时为242,3n ==时为293=，故12,...1i n a R a a a +∈+++=时，结论为()212111...2nn n a a a +++≥≥，故答案为2n . 【方法点睛】本题通过观察几组不等式，归纳出一般规律来考察归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.19．【解析】设正四面体的棱长为高为四个面的面积为内切球半径为外接球半径为则由得；由相似三角形的性质可求得所以考点：类比推理几何体的体积解析：127【解析】设正四面体ABCD 的棱长为a ，高为h ，四个面的面积为S ，内切球半径为r ，外接球半径为R ，则由11433Sr Sh ⨯=，得1144r h ===；由相似三角形的性质，可求得R =，所以12V V =3311()().327r R ==考点：类比推理，几何体的体积.20．【解析】试题分析：在△DEF 中由正弦定理得于是类比三角形中的正弦定理在四面体S ﹣ABC 中我们猜想成立故答案为考点：类比推理解析：312123sin sin sin S S S ααα== 【解析】试题分析：在△DEF 中，由正弦定理，得sin sin sin d e fD E F==．于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S ﹣ABC 中，我们猜想312123sin sin sin S S S ααα==成立．故答案为312123sin sin sin S S S ααα==．考点：类比推理．三、解答题21．（1）21n a n =-+，()1,11,21n n b n n n -=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.（2）见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程组求出1a 和d ，进而可得{}n a 的通项公式；由11n n n b T T ++=⋅，得1111n n T T +-=-，可得1n T n=-，利用1n n n b T T -=-，可得{}n b 的通项公式；（2）利用数学归纳法, ①当1n =时，左边1=，右边4=②假设n k =时成立，即()12214k c c c k k +++<+，证明当1n k =+时，不等式也成立. 【详解】解：（1）设首项为1a ，公差为d ，则()111346241a d a d a d +=-⎧⎨+=++⎩，解得11a =-，2d =-，故21n a n =-+，由11n n n b T T ++=⋅，得11n n n n T T T T ++=⋅-，即1111n n T T +-=-，11T =-，所以1nn T =-，即1n T n=-，所以()()1121n n n b T T n n n -=-=≥-，故()1,11,21n n b n n n -=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩. （2）由（1）知n c =()12214n c c c n +++<+， ①当1n =时，左边1=，右边4=②假设n k =时成立，即()12214k c c c k +++<+，即当1n k =+时，()21214k k c c c c k k+++++<++()214k k ⎡=++⎢⎢⎣()21k k=++⎣ 224k k ⎡⎢=++⎢⎣))()2243123k k k k k <+++=++. 即当1n k =+时，不等式也成立.由①，②可知，不等式()1212n c c c n +++<+对任意*n N ∈都成立. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及n S 法求数列的通项公式，考查数列归纳法，是中档题. 22．（1）232a a =，343a a =，454a a =；（2）猜想1n n a a n+=，证明见解析.【分析】（1）利用递推公式可计算出2a 、3a 、4a 的值；（2）根据数列{}n a 的前四项可猜想出()1n n a a n N n*+=∈，然后利用数学归纳法即可证明出猜想成立. 【详解】（1）()2122,n n a a a n n a *-=-≥∈N ，12a a =，则222132222a a a a a a a a =-=-=，2232242223332a a a a a a a a a a =-=-=-=，2243352224443a a a a a a a aa a =-=-=-=；（2）猜想()1n n a a n N n*+=∈，下面利用数学归纳法证明. 假设当()n k k N *=∈时成立，即1k k a a k+=，那么当1n k =+时，2212222111k k a a k k a a a a a ak a k k ak++=-=-=-=+++，这说明当1n k =+时，猜想也成立. 由归纳原理可知，()1n n a a n N n*+=∈. 【点睛】本题考查利用数列递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用数学归纳法证明数列通项公式，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 23．(1) (2)见解析【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用三角绝对值不等式的性质求得最小值的表达式，然后结合已知条件求解即可；（Ⅱ）首先由（1）及基本不等式，得，然后假设与同时成立，推出且，与相矛盾，即证得结论．试题（1）∵，∴. （2）∵且，由基本不等式知道：，∴假设与同时成立，则由及，得．同理，∴，这与矛盾，故与不可能同时成立.考点：1、基本不等式；2、三角绝对值不等式的性质；3、反证法．24．（Ⅰ）123135a a a ===，，（Ⅱ）猜想21n a n ，=-证明见解析【解析】分析：（1）直接给n 取值求出1a ，2a ，3a .(2)猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明.详解：（Ⅰ）令1n =，则10a =，又11S a =，解得11a =；令2n =，则2211a a =⇒=，解得23a =；令3n =，则3322a a =⇒=，解得35a =. （Ⅱ）由（Ⅰ）猜想21n a n =-；下面用数学归纳法证明21n a n =-. 由（Ⅰ）可知当1n =时，21n a n =-成立；假设当()*n k k N =∈时，21k a k =-，则21k k a k S k =-⇒=.那么当1n k =+时，()2111k k k a k S a k +++=⇒=-，由()22111k k k k a S S a k k +++=-=-- 2112k k a ka ++=-，所以()21121k k k a a +++=，又0n a >，所以121k a k +=+，所以当1n k =+时，()121211k a k k +=+=+-. 综上，21n a n =-.点睛：（1）本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该基础知识的掌握水平和基本计算能力.(2) 数学归纳法的步骤：①证明当n=1时，命题成立。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》检测(包含答案解析)(4)

一、选择题1．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9102．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -3．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（） A ．271B ．272C ．273D ．2744．甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖.有人分别采访了四位歌手，甲说：“乙或丙获奖”；乙说：“甲、丙都未获奖”；丙说：“丁获奖”；丁说：“丙说的不对”.若四位歌手中只有一个人说的是真话，则获奖的歌手是（） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁5．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．06．用数学归纳法证明“l+2+3+…+n 3=632n n +，n ∈N*”，则当n=k+1时，应当在n=k 时对应的等式左边加上（） A ．k 3+1 B ．（k 3+1）+（k 3+2）+…+（k+1）3C ．（k+1）3D ．63(1)(1)2k k +++7．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b bD ．3m n p r b b b b =8．高二年级有甲、乙、丙三个班参加社会实践活动,高二年级老师要分到各个班级带队,其中男女老师各一半,每次任选两个老师,将其中一个老师分到甲班,如果这个老师是男老师,就将另一个老师分到乙班,否则就分到丙班,重复上述过程,直到所有老师都分到班级,则 A ．乙班女老师不多于丙班女老师 B ．乙班男老师不多于丙班男老师 C ．乙班男老师与丙班女老师一样多 D ．乙班女老师与丙班男老师一样多9．下列四个类比中，正确的个数为（1）若一个偶函数在R 上可导，则该函数的导函数为奇函数。

高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案

推理与证实一、核心知识1.合情推理〔1〕归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论,像这样的推理通常称为归纳推理.归纳推理是由局部到整体,由个别到一般的推理.〔2〕类比推理的定义：根据两个〔或两类〕对象之间在某些方面的相似或相同, 推演出它们在其他方面也相似或相同,这样的推理称为类比推理.类比推理是由特殊到特殊的推理.2.演绎推理〔1〕定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论〔包括定义、公理、定理等〕根据严格的逻辑法那么得到新结论的推理过程.演绎推理是由一般到特殊的推理. 〔2〕演绎推理的主要形式：三段论“三段论〞可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M③结论：S是Po 其中①是大前提,它提供了一个一般性的原理；②是小前提,它指出了一个特殊对象；③是结论,它是根据一般性原理,对特殊情况做出的判断.3.直接证实直接证实是从命题的条件或结论出发,根据的定义、公理、定理,直接推证结论的真实性.直接证实包括综合法和分析法.〔1〕综合法就是“由因导果〞,从条件出发,不断用必要条件代替前面的条件,直至推出要证的结论.〔2〕分析法就是从所要证实的结论出发,不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子,可称为“由果索因〞.要注意表达的形式：要证A,只要证B, B应是A 成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用,不要将它们割裂开.4反证法〔1〕定义：是指从否认的结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否认是错误的,从而肯定原结论是正确的证实方法.（2）一般步骤：〔1〕假设命题结论不成立,即假设结论的反面成立；②从假设出发,经过推理论证,得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确,即所求证命题正确.(3)反证法的思维方法：正难那么反....5.数学归纳法(只能证实与正整数有关的数学命题)的步骤 (1)证实：当n 取第一个值nO (nOGN*)时命题成立；⑵假设当n=k (k€N*,且kNnO)时命题成立,证实当n=k+l 时命题也成立由(1), (2)可知,命题对于从nO 开始的所有正整数n 都正确. 二、典型例题例1.+ =⑴=1 (RE N*),猜测/(x)的表达式为(B )J(x) + 2A- /W = Tr-;; B- /W = T ；c. /(x) =； D. /(x)= —2―,2+2 x + \x + \2x + \例 2./(〃)= 1 + L + 1 +…+ ! (〃eN ), 2 3 n57/(8) > - , /(16)>3 , /(32) > -,由此推测：当〃 2 2 时,有 22(〃 e Nr _______________33例 3.：sin 1 2 3 4 5 300 +sin 290° +sin 21500 = - ； sin 250+sin 265°+sin 21250 =-2 2通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题：=-(* )并给出(* )式的证实.例 4.假设“,8c 均为实数,且 n = X 2 -2y + —= y 2 -2z + —,c = z 2 -2x + — 0 2 3 6求证：中至少有一个大于0.答案：(用反证法)假设“也c 都不大于0,即4«0.〃40.c«0 ,那么有a+b+cKO,23解：一般形式：sin 2sin2(a+ 60') +sin 二.+ 120°)=—22 - cos 2a 1 - cos(2a +120°) 1 - cos(2a + 240 °)3 + 2 + 23 1=---[cos2a + cos(2a +120°) + cos (2a + 240°)] 2 2 4 I . =---[cos2a + cos2acosl 20s - sin 2asin 120e +cos2cos240fl- sin 2asiii240 ] 3 1 r 1 八 6 .、 1 c二一——[cos la — — cos 2a — ——sin 2a --cos 2a + ——sin 2a] = — = 3a计算得/(2) = $, /(4) > 2 ,证实：左边而r/ + Z? + c = (x2 -2y + —) + (y2 -2z + ^-) + (z2 -2x + —) = (x-l)2+(y-l)2 +(z-l)2 +(— + —+ —)-3 2 3 6 2 3 6=(.r-l)2+(y-I)2 +(-1)2 +"3,.-1)2,(),一1产,(〞1)2 均大于或等于o, *3>o,,4+〃+c>0,这与假设“+b+cKO矛盾,故“力,c中至少有一个大于0.例5.求证：1+3+5+…+ (2n+l) =n2 (nGN*)三、课后练习1.数列1,3,6,10,15,…的递推公式可能是(B )a = 1, a】=1,A. B. ,a+i = 3+〃(〃£N') 〔&=品一1+ 〃(〃£'*, 〃力2)Zi = l, fa】=l,C・ J D. ,〔&+］ = 3+(〃—1) (〃£N,) =品-1+(〃- 1) 〃N2)［解析］记数列为{a},由观察规律：及比a多2, 必比国多3, &比&多= 1,4,…,可知当〃三2时比a-多〃,可得递推关系' _ (〃22,〃£“).a-&-1=〃2.用数学归纳法证实等式1+2 + 3 +…+(〃+3)=上±"U(〃WN・)时,验证〃=1,左边应取的项是(D )A. 1B. 1+2C. 1+2 + 3D. 1+2 + 3+4［解析］当〃=1时,左=1+2 +…+ (1+3) = 1+2+…+ 4,故应选D.3.F(〃) —nA,那么(D )n n-v 1 〃十2 nA.f(〃)中共有〃项,当〃=2 时,f(2)=:+( 乙JB.F(〃)中共有〃+1 项,当〃=2 时,f(2)=S+；+； 4 0 c lC.f(〃)中共有〃2—〃项,当〃 =2 时,f(2)=；+14 UD.f(〃)中共有〃2—〃+1 项,当〃=2 时,/•(2)=；+}+；乙 W X［解析］项数为5— 1)=6—〃+1,故应选D.4.a+,+c=0,那么aZ?+bc+ca 的值(D )A.大于0B.小于0C.不小于0D.不大于0［解析］解法1： ,.,a+6+.=0,# +万+ / + 2aS+2ac+26c=0,WO.5.c>l, <3=e+1-b=y［c—ylc—l,那么正确的结论是(B )A. a>bB. a<bC. a=bD. a、0大小不定［解析］=尸一&=*+&,〞—产=&+m,由于正+1>正>0, y［c>y［c—i>0,所以c+1 c— 1〉0,所以水上.sin/ cosB cosC …, 、6.假设丁丁=丁那么△月勿是〔C 〕A.等边三角形B.有一个角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个角是30.的等腰三角形-—sin力cosB cosC t［解析］.丁=丁=丁,由正弦定理得,sin力sin/ sinC . sin4 cos4 cosc sinC解析：用n=2代入选项判断.8.设人⑶二^^尤力⑶二力⑴,f2(x) = //(x),..., f n+[M = f n M, nGN,那么/2OO8(X)= _______解：cosx,由归纳推理可知其周期是49.函数/(x)由下表定义：X 2 5 3 1 41 2 3 4 5假设 4 = 5, 〞 = 0,1,2,…,那么4O()7=4.10.在数列1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,……中,第25 项为—7_.11.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的假设干图案,那么按此规律第〃个图案中需用黑色得砖4〃 + 8 块.(用含〃的代数式表示),由f…⑵(3) . ⑸12. 2XABC的三个角A、B、C成等差数列,求证：—^ + ―---- ;-oa +b b + c答案：证实：要证_L+_L = <_,即需证半上+『£=3.即证」_ +」L = i0 a+b b^c又需证.(8+c) + "(" + Z?) = (a + 〃X〃 + c), 需证 +(厂=uc + h"「△ABC三个角A、B、C成等差数列.AB=60°.由余弦定理,有序+『-加,8s 60.,b2 -c2 + a2 -ac o成立,命题得证.13.用分析法证实：假设a>0,那么,『+十-a2“ +!-2.答案：证实：要证•+只需证+4+22“ + •!■ +无. v cr .V a>0, ...两边均大于零,因此只需证(L2 + -4 + 2)2 >(« + -!- +V2)2只需证“2+4 + 4 + 4、“2 + 晨“2 +」+ 2+2 + 2及(“ + 3, a~ \ u- u~ “只需证「+拚斗,+?,只需证/+*2?/+ * + 2),即证M+,22,它显然成立.,原不等式成立. 0-14. AA3C中,3Z? = 2、行asinB ,且cosA = cosC,求证：AABC为等边三角形.解：分析：由3〃 = 2yf3a sin B = 3sin B = 2-73 sin Asin B = sin A = — = A =—2 3 3由cos A = cosC ^>A = C.\A = C = — = B3所以A48C为等边三角形15.：a、b、c£R,且a+b+c=L 求证：a +1)+c2^" J［证实］由3+Z/22a8,及力2 + c?22历,c' + a,e2ca 三式相加得a~+b~ + c~^ab+ bc+ ca.1.3 (a' + 6 + /) 2 (力 + 厅 + d) + 2 (aZ?+ Z?c+ ca) = (a+ /?+ c)~. 由a+ b+ c= 1,得 3 (a' + 斤 + /) 21,即,J2 2 2 2 2 2 23(将一般形式写成sin2(a-60 ) + sin2a + sin2(a + 60 )=」,2sin2(or-240") + sin2(a-120°) +sin2a =-等均正确o )2a b c ' . • 6 b c c.\sinB=cosB, sinC=cosC, /. ZB= ZC=^° , ,△力比是等腰直角三角形.7.观察式子…系拉"不沁99/9…,那么可归纳出式子为〔c〕D. 1 1 1 12* 2 32〃- 2〃 + 1n f 1 1 1 InD、1 ― ------------------- + —7 + …<22 32/2〃 + 1。

选修2-2第二章推理与证明测试题及答案

〔数学选修2-2〕第二章推理与证明一、选择题1．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于〔〕 A ．28 B ．32 C ．33 D ．272．设,,(,0),a b c ∈-∞那么111,,a b c b c a+++〔〕 A ．都不大于2- B ．都不小于2-C ．至少有一个不大于2-D ．至少有一个不小于2-3．正六边形ABCDEF ，在以下表达式①EC CD BC ++；②DC BC +2；③ED FE +；④FA ED -2中，与AC 等价的有〔〕 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内〔〕 A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值5．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，那么〔〕 A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =6．假设234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，那么x y z ++=〔〕A ．123B ．105C ．89D ．58 7．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 二、填空题1．从222576543,3432,11=++++=++=中得出的一般性结论是_____________。

2．实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，那么a =__________。

3．b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，那么y x ,的大小关系是_________。

4．假设正整数m 满足m m 102105121<<-，那么)3010.02.(lg ______________≈=m5．假设数列{}n a 中，12341,35,7911,13151719,...a a a a ==+=++=+++那么10____a =。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(含答案解析)(1)

一、选择题1．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问数学考试的成绩老师说：你们四人中有两位优秀、两位良好，我现在给乙看甲、丙的成绩，给甲看丙的成绩，给丁看乙的成绩，看后乙对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（） A ．甲可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．甲、丁可以知道对方的成绩 D ．甲、丁可以知道自己的成绩 2．观察下列各式：a+b=1.a 2+b 2=3，a 3+b 3=4 ，a 4+b 4=7,a 5+b 5=11,…，则a 10+b 10=（） A ．28B ．76C ．123D ．1993．下面几种推理过程是演绎推理的是（）．A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式 4．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．326．若实数,,a b c 满足1a b c ++=，给出以下说法：①,,a b c 中至少有一个大于13；②,,a b c 中至少有一个小于13；③,,a b c 中至少有一个不大于1；④,,a b c 中至少有一个不小于14.其中正确说法的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．07．在等差数列{}n a 中，如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中, 如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=，那么必有（）A ．3++=m n p r b b b bB ．3++=m n p r b b b b C ．3=m n p r b b b b D ．3m n p r b b b b =8．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 9．对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？ A ．正三角形的顶点B ．正三角形的中心C ．正三角形各边的中点D ．无法确定10．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．1811．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12512．在平面直角坐标系中,方程1x ya b+=表示在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b 的直线,类比到空间直角坐标系中,在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为(),,0a b c abc ≠的平面方程为( ) A ．1x y z a b c++= B ．1x y z ab bc ca++= C ．1xy yz zx ab bc ca++= D ．1ax by cz ++=二、填空题13．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上纹起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=……则按照以上规律，若100100100100n n=，具有“穿墙术”，则n =_____． 14．已知函数()11112f x x x x =++++，由()111111f x x x x -=++-+是奇函数，可得函数()f x 的图象关于点()1,0-对称，类比这一结论，可得函数()237126x x x g x x x x +++=++++++的图象关于点___________对称. 15．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．16．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为22n n+，记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数：211(,3)22N n n n =+；正方形数：2(,4)N n n =；五边形数：231(,5)22N n n n =-；六边形数：2(,6)2N n n n =-，…，由此推测(8,8)N =__________．17．观察下列数表：1 3 5 7 9 11 1315 17 19 21 23 25 27 29设2017是该表第m 行的第n 个数，则m n +的值为__________．18．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是__________．19．用数学归纳法证明某命题时，左式为（n 为正偶数），从“n=2k”到“n=2k+2”左边需增加的代数式为________. 20．给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论：对于=________________________．三、解答题21．已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝214nnb a -(n ∈N *)，且点P 1的坐标为(1，－1)．(1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N *，点P n 都在(1)中的直线l 上 22．用数学归纳法证明：()2135(21)N n nn ++++⋯+-=∈．23．数列{}n a 满足()*2N n n S n a n =-∈.（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 24．已知数列11111,,,,,12233445(1)n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，…的前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 表达式. 25．已知n *∈N ，(1)(2)(),n S n n n n =+++213(21)n n T n =⨯⨯⨯⨯-.(Ⅰ)求 123123,,,,,S S S T T T ；(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明. 26．设a ，b 均为正数，且a b ．证明：（1）664224a b a b a b +>+（2>【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先由乙不知道自己成绩出发得知甲、丙和乙、丁都是一优秀、一良好，那么甲、丁也就结合自己看的结果知道自己成绩了. 【详解】解：乙看后不知道自己成绩，说明甲、丙必然是一优秀、一良好，则乙、丁也必然是一优秀、一良好；甲看了丙的成绩，则甲可以知道自己和丙的成绩；丁看了乙的成绩，所以丁可以知道自己和乙的成绩，故选D. 【点睛】本题考查了推理与证明，关键是找到推理的切入点.2．C解析：C 【详解】由题观察可发现，347,4711,71118+=+=+=， 111829,182947+=+=，294776,4776123+=+=，即1010123a b +=, 故选C.考点：观察和归纳推理能力.3．C解析：C 【解析】分析：根据归纳推理、类比推理、演绎推理得概念判断选择.详解：某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班人数都超过50人,这个是归纳推理；由三角形的性质，推测空间四面体的性质，是类比推理；平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分，是演绎推理；在数列{a n }中，a 1＝1,23a =,36a =,410a =，由此归纳出{a n }的通项公式，是归纳推理，因此选C.点睛：本题考查归纳推理、类比推理、演绎推理，考查识别能力.4．C解析：C 【详解】分析：根据题意，利用类比推理的概念逐一判定，即可得到结论．详解：由题意，对于①中，根据复数的表示和复数的几何意义，可知“若复数12,z z ，则1212z z z z +≤+”是正确的；对于②中，根据平面与空间的类比推理可得：“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”是正确的；对于③中，由球的体积公式为343V R π=，其表面积公式为24S R π=，所以V S '=，所以是正确的；对于④中，如在极坐标系中，点(1,0),(1,)2C D π，此时CD 的中点坐标为(,)24π，不满足“极坐标系中两点1122(,),(,)C D ρθρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”，所以不正确，综上，正确命题的个数为三个，故选C ．点睛：本题主要考查了命题的真假判定，以及类比推理的应用，其中熟记类比推理的概念和应用，以及命题的真假判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题，以及推理与论证能力．5．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1，则变换中的第7项一定为2，变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8，变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.6．B解析：B 【解析】分析：根据反证法思想方法，可判定③④是正确的，通过举例子，可判定①②是错误的. 详解：由题意,,a b c 满足1a b c ++=，则在①、②中，当13a b c ===时，满足1a b c ++=，所以命题不正确；对于③中，假设,,a b c 三个数列都大于1，则1a b c ++>，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不大于1，所以是正确的；对于④中，假设,,a b c 三个数列都小于14，则1a b c ++<，这与已知条件是矛盾的，所以假设不成立，则,,a b c 中失少有一个不小于14，所以是正确的；综上可知，正确的命题由两个，故选B.点睛：本题主要考查了命题个数的真假判定，其中解答中涉及反证法的思想的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．D解析：D 【详解】分析：结合等差数列与等比数列具有的类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关的特点，即可类比得到结论.详解：由题意，类比上述性质：在等比数列{}n b 中，则由“如果,,,m n p r N *∈，且3m n p r ++=”，则必有“3m n p r b b b b =”成立，故选D.点睛：本题主要考查了等差数列与等比数列之间的类比推理，其中类比推理的一般步骤：①找出等差数列与等比数列之间的相似性或一致性；②用等差数列的性质取推测等比数列的性质，得到一个明确的结论（或猜想）.8．B解析：B 【详解】分析：分析n k =，1n k =+时，左边起始项与终止项，比较差距，得结果.详解：n k =时，左边为111123k k k++⋅⋅⋅+++, 1n k =+时，左边为111111233313233k k k k k k ++⋅⋅⋅++++++++++, 所以左边需添加的项是11111123132331313233k k k k k k k ++-=+-+++++++，选B. 点睛：研究n k =到1n k =+项的变化，实质是研究式子变化的规律，起始项与终止项是什么，中间项是如何变化的.9．B解析：B 【解析】分析：由题意结合几何体的空间关系进行类比推理即可求得最终结果.详解：绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC 错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心. 本题选择B 选项.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．10．B解析：B 【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×13S•r=13•S•h ，r=14h ．（其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高）故选B ．点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）． 11．C解析：C 【解析】设圆的半径为1，正多边形的圆心角为3600.5720︒︒=，边长为()112cos0.521cos0.52sin0.25︒︒︒+-=-=，所以7202sin0.252π︒⨯=，即0π720sin0.25=故选：C12．A解析：A 【分析】平面上直线方程的截距式推广到空间中的平面方程的截距式是1x y za b c++=. 【详解】由类比推理得：若平面在x 轴、y 轴、z 轴上的截距分别为,,a b c ，则该平面的方程为：1x y za b c++=，故选A. 【点睛】平面中的定理、公式等类比推理到空间中时，平面中的直线变为空间中的直线或平面，平面中的面积变为空间中的体积.类比推理得到的结论不一定正确，必要时要对得到的结论证明.如本题中，可令0,0x y ==，看z 是否为c .二、填空题13．9999【解析】分析：观察所告诉的式子找到其中的规律问题得以解决详解：按照以上规律可得故答案为9999点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数解析：9999 【解析】分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.详解：=，==，，按照以上规律=210019999n =-=. 故答案为9999.点睛：常见的归纳推理类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． (2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．14．【解析】由题得所以是奇函数所以函数的图象关于点对称故填解析：7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题得234567()6111111123456x x x x x x g x x x x x x x ++++++-=-+-+-+-+-+-++++++ 111111123456x x x x x x =+++++++++++ 7111111()67777772123456222222g x x x x x x x --=+++++-+-+-+-+-+-+ 7111111()6()5311352222222g x f x x x x x x x --=+++++=---+++ 111111()()531135222222f x f x x x x x x x ∴-=+++++=--------+-+-+所以()f x 是奇函数，所以函数()237126x x x g x x x x +++=++++++的图象关于点7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.故填7,62⎛⎫- ⎪⎝⎭. 15．1522【解析】由题意得每一行数字格式分别为它们成等差数列则前行总共有个数所以第40行最左的数字为点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起首先需要读懂题目所表达的具体含义以及观察所给定数解析：1522【解析】由题意得，每一行数字格式分别为1231,3,5,21n a a a a n ====-，它们成等差数列，则前39行总共有13939()39(12391)152122a a ++⨯-==个数，所以第40行最左的数字为1522.点睛：本题非常巧妙的将数表的排列问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和，另外，本题的难点在于根据数表中的数据归纳数列的知识，利用等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a a d n S 知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.. 16．176【解析】原已知式子可化为：正方形数:五边形数六边形数……由此推测由归纳推理可得故解析：176【解析】原已知式子可化为：211,322N n n n ==+（）正方形数:()22,402N n n n ==+ 五边形数()231,5?22N n n n ==- 六边形数()242,6?22N n n n ==- ……由此推测由归纳推理可得()224,22k k N n k n n --=+ 故()2648,88817622N =⨯+⨯= 17．【解析】根据数表的数的排列规律都是连续奇数第一行有个数第二行有个数且第一个数是；第三行有个数且第一个数是；第四行有个数且第一个数是第行有个数且第一个数是在第行是第行的第个数故答案为解析：508【解析】根据数表的数的排列规律，1,3,5,...都是连续奇数第一行，有1个数，第二行，有2个数,且第一个数是221-；第三行，有3个数，且第一个数是321-；第四行，有4个数，且第一个数是42 1...-，第n 行，有n 个数，且第一个数是21n - ，1011211023,212047-=-=， 2017∴在第10行，()20171023+12,498n n =-⨯=，2017∴是第10行的第498个数，10498508m n ∴+=+=，故答案为508.18．跑步【解析】由题意得由（4）可知乙参加了铅球比赛由（2）可知乙不是最高的所以三人中身高居中；再由（1）可知甲是最矮的参加了跳远丙是最高的参加了跑步比赛解析：跑步【解析】由题意得，由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，丙是最高的，参加了跑步比赛． 19．（写也给分）【解析】当n=2k 时左式为当n=2k+2时左式为所以增加的代数式为解析：112122k k -++（写也给分）【解析】当n=2k 时，左式为111111.234212k k -+-++--, 当n=2k+2时，左式为11111111.2342122122k k k k -+-++-+--++ 所以增加的代数式为112122k k -++. 20．1-【解析】解：根据已知的表达式可以观察归纳得到=1-解析：1-1(1)2nn +⋅．【解析】解：根据已知的表达式可以观察归纳得到=1-三、解答题21．（1）2x ＋y ＝1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出P 2的坐标，列出直线的两点式方程，化简即可；（2）由（1）知，n=1时，2a 1＋b 1=1成立，假设n=k 时，2a k ＋b k =1成立，进而证得当n=k+1时，2a k+1＋b k+1＝1也成立，故n ∈N *，P n 都在直线l 上.【详解】(1)由题意得a 1＝1，b 1＝－1，故b 2＝111413-=-⨯，a 2＝1×13＝13，∴P 211,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴直线l 的方程为11111133y x +-=+-，即2x ＋y ＝1. (2)证明:①当n ＝1时，由（1）知，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立，②假设n ＝k(k≥1且k ∈N *)时，2a k ＋b k ＝1成立．当n ＝k ＋1时，则()()111112122221211141212k k k k k k k k k k k k k kb b a a b a b b a b a a a a +++++-+=⋅+=+⋅=+⋅===--- ∴当n ＝k ＋1时，2a k+1＋b k+1＝1也成立．由①②知，对于n ∈N *，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 在直线l 上．【点睛】本题考查了直线的两点式方程；考查了数学归纳法的证明，一般步骤为： ①证明n 取第一个值n 0时命题成立；②假设n=k(k≥n 0且k ∈N *)时命题成立，证明n ＝k ＋1时命题也成立，即可确认命题从n 0开始的所有正整数都成立；注意，在证明n=k 到n=k+1成立时，一定要用到n=k 时得到的中间过渡式.22．证明见解析【分析】直接按照数学归纳法的步骤证明即可.【详解】当1n =时，左边211==右边，结论成立；当2n =时，左边2132+==右边，结论成立；假设n k =时结论成立，即2135(21)k k +++⋯+-=；当1n k =+时，左边135(21)[2(1)1]k k =+++⋯+-++-22[2(1)1]21k k k k =++-=++2(1)k =+=右边，所以，原命题结论成立．【点睛】用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证0n n =时结论成立；（2）假设n k =时结论正确，证明1n k =+时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.23．(1) 11a =；232a =；374a =；()*121N 2n n n a n --=∈. (2)证明见解析.【详解】分析：（1）将n 进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，证明猜想即可.详解：（1）当1n =时，1112a S a ==-，∴11a =；当2n =时，122222a a S a +==⨯-， ∴232a =；当3n =时，1233323a a a S a ++==⨯-， ∴374a =；由此猜想()*121N 2n n n a n --=∈；（2）证明：①当1n =时，11a =结论成立，②假设n k =（1k ≥，且*N k ∈）时结论成立，即1212k k k a --=，当1n k =+时，()11121k k k k a S S k a +++=-=+- 122k k k k a a a +-+=+-，∴122k k a a +=+，∴1122122k k k k a a +++-==， ∴当1n k =+时结论成立，由①②可知对于一切的自然数*N n ∈，1212n n n a --=成立. 点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等24．（1）12341234,,,2345S S S S ====，1n n S n =+（2）见解析【解析】分析：（1）计算可求得1234,,,S S S S ，由此猜想n S 的表达式；（2）利用数学归纳法，先证明当1n =时，等式成立，再假设当()*n k k N =∈时，等式成立，即()111111223344511k k k k +++++=⨯⨯⨯⨯⨯++，去证明当1n k =+时，等式也成立即可．详解：（I ）12341234,,,2345S S S S ==== 猜想1n n S n =+ （II ）①当1n =时，左边=112S =，右边=111112n n ==++，猜想成立．②假设当()*n k k N =∈时猜想成立，即 ()111111223344511k k k k +++++=⨯⨯⨯⨯⨯++，那么 ()()()()()111111112233445112112k k k k k k k k ++++++=+⨯⨯⨯⨯⨯++⨯+++⨯+ ()()()()()()()()()()222112112121212k k k k k k k k k k k k k ⨯++++=+==+⨯++⨯++⨯+++ ()11211k k k k ++==+++，所以，当1n k =+时猜想也成立．根据①②可知，猜想对任何*n N ∈都成立．点睛：本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．25．(Ⅰ) 1122332,12,120S T S T S T ======; (Ⅱ)详见解析.【分析】(Ⅰ)由题意可求得1122332,12,120S T S T S T ======；(Ⅱ)结合(I)的结论猜想n n S T =（*n N ∈），然后用数学归纳法进行证明即可.【详解】(Ⅰ)1122332,12,120S T S T S T ======；(Ⅱ)猜想：n n S T =（*n N ∈）证明：(1)当1n =时，11S T =；（2）假设当()*1n k k k N =≥∈且时，k k S T =，即()()()()1221321k k k k k k +++=⨯⨯⨯-，则当1n k =+时 ()()()()111)1211111k S k k k k k k k k （+=++++++-+++++=()()()()()2322122k k k k k ++++=()()()2132121221k k k k k ⨯⨯⨯-⨯+++ =()()112132121k k k k T ++⨯⨯⨯-+=.即1n k =+时也成立,由（1）（2）可知*n N ∈，n n S T =成立26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）运用作差比较法()()()()26642242222+a b a ba b a b a b+-+=-，判断差的符号，可得证；（2）运用作差比较法2-=，判断差的符号，可得证.【详解】（1）因为a ，b 均为正数，且a b ，所以()()()()664224642624a b a b a b a a b b a b +-+=-+- ()()()()()()242242222442222++>0a a b b b a a b a b a b a b =--=--=-，所以()()664224>0a b a b a b +-+，所以664224a b a b a b +>+成立.（2）因为a ，b 均为正数，且ab ，所以-=()2a b-==，>. 【点睛】本题考查用作差比较法证明不等式，把差式化成因式乘积的形式，是解题的关键，属于中档题.。

高中数学苏教版选修2-2第二章《推理与证明》word导学案(含解析)

第2章推理与证明第1课时合情推理——归纳推理教学过程一、问题情境学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.二、数学建构问题1什么是推理?解从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.问题2一般的推理由几个部分组成?解任何一个推理都包含前提和结论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.问题3推理的结论对吗?解推理的结论可能正确,也可能是错误的.问题4上述的推理有什么特点?解从个别事实推演出一般性结论.通过讨论,得出归纳推理的相关概念1.归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.2.归纳推理的思维规程大致为:概括、推广猜测一般性结论概念理解归纳推理的特点:(1)归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;(3)归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.三、数学运用【例1】蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:.[3](见学生用书P33)[处理建议]题目简单,让学生自己解答.[规范板书]解所有的爬行动物都是用肺呼吸的.【例2】三角形的内角和是180°,凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解对于凸n边形,n=3时,内角和180°=180°×1;n=4时,内角和360°=180°×2;n=5时,内角和540°=180°×3;……由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.(2)<,<,<,…由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5][处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.[规范板书]解由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).[题后反思]根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.【例3】观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)(例3)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由.提示当n=1时,小正方形个数为1+2=3,当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.[题后反思]根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:(1)寻找它们的共同特征,如例1;(2)寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;(3)结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.所以,A类事物具有性质P.【例4】已知数列的每一项都是正数,a1=1,===+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{a n}的一个通项公式.(见学生用书P34)[处理建议]先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.[规范板书]解当n=1时,a 1=1=;当n=2时,a2==;当n=3时,a3==;……由此我们猜想{a n}的一个通项公式为a n=.四、课堂练习1.(1)一元一次方程有1个实数根,一元二次方程最多有2个实数根,一元三次方程最多有3个实数根,由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.(2)先看下面的例子,试写出一般性结论.1+3=4,1+3+5=9,1+3+5+7=16,…1+3+5+…+(2n-1)=n2.2.对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为9.3.应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.解当n=1时,=3,当n=2时,=33,当n=3时,=333,归纳发现:=.五、课堂小结1.归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.2.归纳推理基于观察和实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.第2课时合情推理——类比推理教学过程一、问题情境模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢?学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.1.试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]等式的性质:猜想不等式的性质:等式不等式(1)加法法则:a=b∈a+c=b+c(2)减法法则:a=b∈a-c=b-c(3)乘法法则:a=b∈ac=bc(4)除法法则:a=b∈a÷c=b÷c(c≠0)(5)平方法则:a=b∈a2=b2教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.问题1等式与不等式之间为什么可以进行类比呢?它们在什么方面是相似的?教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.问题2如何开展类比呢?学生活动模仿就可以.问题3大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢?说明什么?学生活动说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.2.试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3][处理建议]结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.解圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆球弦截面圆直径大圆周长表面积圆面积球体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆点的连线垂直于弦与圆心距离相等的两弦相与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长圆的切线垂直于过切点的球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的经过切点且垂直于切面的直线必经过球心直线必经过圆心以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2x0)2+(y-y0)2=r2在教学的过程中,模仿第1题的方式.问题1平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的?学生活动它们的定义是相似的:圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.问题2如何展开类比?学生活动因为圆绕着一条直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.问题3类比的前提是什么?它的一般步骤是什么?[4]解进行类比推理时,首先,要找出两类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.二、数学建构概念理解由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.类比推理的一般步骤:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;(2)用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;(3)检验猜想.即观察、比较联想、类推猜测新的结论三、数学运用【例1】类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)[处理建议]可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.[规范板书]解在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:加(+) ↔ 乘(×)加数、被加数↔ 乘数、被乘数和↔ 积等等,它们具有下列类似的性质加法的性质乘法的性质a+b=b+a ab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)a+(-a)=0a·=1a+0=a a·0=0[题后反思]为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处?当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗?(a,b,c与a',b',c'相似或相同)所以B类事物具有性质d'.【例2】试找出等差与等比数列的类比知识.[处理建议]以学生活动为主,合作交流,将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.[规范板书]解(1)定义:a n+1-a n=d ↔ =q.(2)通项公式:a n=a1+(n-1)d ↔ b n=b1q n-1;a n=a m+(n-m)d ↔b n=b m q n-m.(3)等差中项:2a n+1=a n+a n+2 ↔ =b n·b n+2.(4)若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则a m+a n=a p+a q ↔ b m b n=b p b q.变式在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b 9=1,则有等式b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.提示本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:等差数列→用减法定义→性质用加法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m+a n=a p+a q;等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q.由此,猜测本题的答案为:b1b2…b n=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).[题后反思](1)等差数列的通项公式是a n=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是a n=a1q n-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“q n-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-)↔比(÷).(2)解题的过程中一些基本的方法是:+↔×,-↔÷,乘法↔乘方,除法↔开方,但这不是绝对的.(3)类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.四、课堂练习1.(1)已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么?结论是什么?(2)圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球?(3)平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论?解(1)类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.(2)球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.(3)空间不共面的4点确定一个球.2.已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.解若棱台的上底面积为,下底面积为S 2,则中截面面积S0=.3.等差数列{a n}中,a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论?结论正确吗?解等比数列{a n}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.五、课堂小结1.类比推理的步骤与方法:第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;第三步,用特例验证猜想或证明猜想.2.数学中常见的一些类比推理问题:(1)立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);(2)等差数列与等比数列问题;(3)加、减、乘、除运算问题;(4)进制问题等.第3课时演绎推理教学过程一、问题情境问题1类比上面的推理方法,写出你的结论.(1)所有的金属都能导电,铜是金属,所以,.(2)在学习整数时,有下面的推理:个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,2375的个位数是5,所以.二、数学建构问题2说说上述推理的特点.解由两个前提和一个结论组成.问题3上述推理的结论对吗?解只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.通过讨论,给出演绎推理的定义.在数学学习中,除了归纳推理、类比推理,我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:M—P(M是P)S—M(S是M)S—P(S是P)概念理解(1)在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.(2)三段论中包含了3个命题,第一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.(3)为了方便,在运用三段论推理时,常常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.三、数学运用【例1】(教材第71页例1)如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∈BFD=∈A,DE∈BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)(例1)[处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)同位角相等,两直线平行, (大前提)∈BFD与∈A是同位角,且∈BFD=∈ A,(小前提)所以,DF∈EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∈BA且DF∈EA,(小前提)所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)所以,ED=AF.(结论)[题后反思]在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么?【例2】(教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b<a,求证:<.[3](见学生用书P37) [处理建议]先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]证明(1)不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b<a,m>0,(小前提)所以mb<ma.(结论)(2)不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)mb<ma,ab=ab,(小前提)所以ab+mb<ab+ma,即b(a+m)<a(b+m).(结论)(3)不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)b(a+m)<a(b+m),a(a+m)>0,(小前提)所以<,即<.(结论)例2的证明通常简略地表述为:∈mb<ma∈ab+mb<ab+ma∈<∈<.[题后反思]在日常做证明题时,虽然不要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.【例3】用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)[处理建议]先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.[规范板书]解(1) lg a n=n lg a(a>0),(大前提)lg8=lg23,(小前提)所以lg8=3lg2.(结论)(2) lg=lg a-lg b(a>0,b>0), (大前提)lg0.8=lg,(小前提)所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)四、课堂练习1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.2.(教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:(1)因为∈ABC三边长依次为3,4,5,所以∈ABC是直角三角形;(2)函数y=2x+5的图象是一条直线.解(1)如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)∈ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)∈ABC是直角三角形.(结论) (2)一次函数的图象是一条直线, (大前提)函数y=2x+5是一次函数,(小前提)函数y=2x+5的图象是一条直线.(结论) 3.(教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.(1)整数是自然数,-3是整数,-3是自然数.(2)无理数是无限小数,是无限小数,是无理数.解(1)大前提错误.(2)不符合三段论推理的形式.4.有下列说法:①演绎推理是由一般到特殊的推理;①演绎推理得到的结论一定是正确的;①演绎推理一般模式是“三段论”形式;①演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.上面说法正确的有①①①.(填序号)五、课堂小结1.演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.2.演绎推理具有如下特点:(1)演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.3.演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.第4课时推理案例赏析教学过程一、问题情境在前两节中,我们分别对合情推理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异?合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的?二、数学建构正整数平方和公式的推导.[3][处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.提出问题我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1),①那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2=?①问题1如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢?先由学生讨论教师引导思路1(归纳的方案)如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.表1n123456…S2(n)1514305591…但是,从表1的数据中并没有发现明显的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n)与S2(n)会不会有某种联系?如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.表2n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591…问题2观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢?教师引导尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.表3n123456…S1(n)136101521…S2(n)1514305591……从表3中发现=,于是猜想S2(n)=.①公式①的正确性还需要证明.[题后反思]上面的数学活动是由那些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?思路2(演绎的方案)尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.(1)把正整数的平方表示出来,有12=1,22=(1+1)2=12+2×1+1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!(2)从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).(3)尝试把两项和的平方公式改为两项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.由此知S2(n)===,终于导出了公式.[题后反思]上面的数学活动是由哪些环节构成的?在这个过程中提出了哪些猜想?提出猜想时使用了哪些推理方法?合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用?三、数学运用【例1】(教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)[处理建议]本题宜采用师生共同参与、共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.[提出问题]问题1怎样求棱台的体积?联系所学推理方法,有什么启发?问题2能通过类比推导出棱台的体积公式吗?问题3什么知识可以和棱台进行类比?问题4怎样对梯形和四棱台作比较?思路以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.(1)确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.梯形棱台(四棱台)上、下底平行上、下底面平行另外两边不平行另外4个面不平行两腰延长后交于一点4个侧面伸展后交于一点中位线平行于上、下底中截面平行于上、下底面(2)对类比对象的进一步分析.梯形可以认为是用平行于三角形一边的直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:直线↔ 平面三角形↔ 棱锥梯形↔ 棱台进而有梯形底边长↔ 棱台底面积三角形面积↔ 棱锥体积梯形面积↔ 棱台体积(3)通过类比推理,建立猜想.求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为S梯形=h(a+b),①其中a,b分别表示梯形上、下底的长度,h表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式: V棱台=h(S上+S下),①其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.(4)验证猜想.①式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式①中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想①是错误的,需要修正.于是设想公式具有V棱台=h(S上+S0+S下)①的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.与①式相比,公式①的分母从2变为3,相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式①从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式①比公式①更合理.既然①式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台==h(S上+k=+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0= ,①式即为V棱台=h(S上++S下).四、课堂练习1.在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是类比推理.2.数列{a n}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{a n}的通项公式a n=,他们的说法用的是归纳推理.3.已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.。

(典型题)高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(答案解析)

一、选择题1．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n 代“勾股树”所有正方形的面积的和为（）A ．nB ．2nC ．1n +D ．1n -2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．用反证法证明命题①：“已知332p q +=，求证：2p q +≤”时，可假设“2p q +>”；命题②：“若24x =，则2x =-或2x =”时，可假设“2x ≠-或2x ≠”.以下结论正确的是（） A ．①与②的假设都错误 B ．①与②的假设都正确 C ．①的假设正确，②的假设错误D ．①的假设错误，②的假设正确5．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于136．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯7．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（） A ．aB ．bC ．cD ．d8．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．已知,,(0,2)a b c ∈，则(2),(2),(2)a b b c c a ---中（） A ．至少有一个不小于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都不大于1 D ．都不小于1 10．下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的是（）A ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条直线，若，则 B ．平面内的三条直线，若，则.类比推出：空间中的三条向量，若，则C ．在平面内，若两个正三角形的边长的比为，则它们的面积比为.类比推出：在空间中，若两个正四面体的棱长的比为，则它们的体积比为D ．若，则复数.类比推理：“若，则”11．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（）2017 2016 2015 2014……6 5 4 3 2 1 4033 4031 4029…………11 9 7 5 3 8064 8060………………20 16 12 8 16124……………………36 28 20 ………………………A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯12．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．已知f (x )＝21xx +（x ＞0），若f 1(x )＝f (x )，f n +1＝f （f n (x )），n ∈N *，则猜想f 2020(x )＝_____.14．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分．15．数表的第1行只有两个数字3，7，从第2行开始，先按序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第10行的各个数之和等于__________．16．下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2， l 3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2，… 由归纳思想，第n 个式子3333123(21)n ++++-=________17．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．18．已知()0,x ∈+∞，观察下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，3327274333x x x x x x+=+++≥，…，类比得()*1na x n n N x +≥+∈，则a =________． 19．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖__________________块. 20．给出下列等式：；；，由以上等式推出一个一般结论：对于=________________________．三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.22．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 23．选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）证明：与不可能同时成立．24．数列{}n a 满足()*2N n n S n a n =-∈.（1）计算123a a a 、、，并猜想n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．在数列{}n a 中，112a =，133n n n a a a +=+，求2a 、3a 、4a 的值，由此猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想． 26．若,x y 都是正实数，且2x y +>，求证：12x y +<或12yx+<中至少有一个成立.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由图二，可以求出当1n =时，所有正方形的面积，结合选项即可排除A 、B 、D 选项．【详解】由题意知，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，当2n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为3，以此类推，可得所以正方形面积的和为1n +；也可以通过排除法，当1n =时，“勾股树”所有正方形的面积的和为2，选项A 、B 、D 都不满足题意，从而选出答案．故选C. 【点睛】本题考查了归纳推理，考查了勾股定理的应用，属于基础题．2．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

选修2-2章末综合测评2 推理与证明【含答案】

章末综合测评(二)推理与证明(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是()A．归纳推理B．类比推理C．演绎推理D．非以上答案C[根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C.]2．在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，则有EF∥BC，这个问题的大前提为()A．三角形的中位线平行于第三边B．三角形的中位线等于第三边的一半C．EF为中位线D．EF∥BCA[这个三段论推理的形式为：大前提：三角形的中位线平行于第三边；小前提：EF为△ABC的中位线；结论：EF∥BC.]3．用数学归纳法证明：“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)”．从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1 B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1B[当n＝k时左端的第一项为(k＋1)，最后一项为(k＋k)．当n＝k＋1时，左端的第一项为(k＋2)，最后一项为(2k＋2)．∴左边乘以(2k＋1)(2k＋2)，同时还要除以(k＋1)．]4．下列推理正确的是()A．把a(b＋c)与log a(x＋y)类比，则有log a(x＋y)＝log a x＋log a yB．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin yC．把a(b＋c)与a x＋y类比，则有a x＋y＝a x＋a yD．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz) D[(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．] 5．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值() A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 D[法一：因为a＋b＋c＝0，所以a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，所以ab＋bc＋ca＝－a2＋b2＋c22≤0.法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ca＝0，否则a，b异号，所以ab＋bc ＋ca＝ab＜0，排除A，B，C，故选D.]6．对“a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a＝b与b＝c及a＝c中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数为()A．0个B．1个C．2个D．3个B[若(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0，则a＝b＝c，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a＝b与b＝c及a＝c中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．]7．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有()①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥．A．4个B．3个C．2个D．1个C[类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体．]8．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199C[利用归纳法，a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．]9．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是()A．sin(α＋β)＞sin α＋sin βB．sin(α＋β)＞cos α＋cos βC．cos(α＋β)＞sin α＋sin βD．cos(α＋β)＜cos α＋cos βD[因为α，β为锐角，所以0＜α＜α＋β＜π，所以cos α＞cos(α＋β)．又cos β＞0，所以cos α＋cos β＞cos(α＋β)．]10．在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b11＝1，则有()A．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b19－nB．b1·b2·…·b n＝b1·b2·…·b21－nC．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b19－nD．b1＋b2＋…＋b n＝b1＋b2＋…＋b21－nB[令n＝10时，验证即知选B.]11．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2 014项与5的差，即a2 014－5＝()A．2 018×2 014 B．2 018×2 013C．1 010×2 012 D．1 010×2 013D[由已知的图形可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n ＝1时，a 1＝2＋3＝12×(2＋3)×2；n ＝2时，a 2＝2＋3＋4＝12×(2＋4)×3；……由此可以推断：a n ＝2＋3＋…＋(n ＋2)＝12×[2＋(n ＋2)]×(n ＋1)，∴a 2 014－5＝12×[2＋(2 014＋2)]×(2 014＋1)－5＝1 009×2 015－5＝1 010×2 013.]12．如图(1)，在△ABC 中，AB ⊥AC 于点A ，AD ⊥BC 于点D ，则有AB 2＝BD ·BC ，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A在△BCD 内的射影为O ，则S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD ，那么上述命题( )(1) (2)A ．是真命题B ．增加条件“AB ⊥AC ”后才是真命题C ．是假命题D ．增加条件“三棱锥A -BCD 是正三棱锥”后才是真命题A [由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC ，△BCO ，△BDC 分别与题图(1)中的AB ，BD ，BC 进行类比即可．严格推理如下：连结DO 并延长交BC 于点E ，连结AE (图略)，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC .因为AD ⊥平面ABC ，所以AD ⊥AE .又因为AO ⊥DE ，所以AE 2＝EO ·ED ，所以S 2△ABC ＝(12BC ·EA )2＝(12BC ·EO )·(12BC ·ED )＝S △BCO ·S △BCD .故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y >2，则x ，y 中至少有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．x，y均不大于1(或者x≤1且y≤1)[“至少有一个”的反面为“一个也没有”，即“x，y均不大于1”，亦即“x≤1且y≤1”．]14．当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，你能得到的结论是________．(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1[根据题意，由于当n＝1时，有(a－b)(a＋b)＝a2－b2，当n＝2时，有(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3，当n＝3时，有(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝a4－b4，当n∈N*时，左边第二个因式为a n＋a n－1b ＋…＋ab n－1＋b n，那么对应的表达式为(a－b)(a n＋a n－1b＋…＋ab n－1＋b n)＝a n＋1－b n＋1.]15．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．1和3[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．故甲的卡片上的数字是1和3.法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]16．现有一个关于平面图形的命题：同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．a38[解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a3 8.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：(1)如果a ，b >0，则lga ＋b 2≥lg a ＋lg b 2； (2)6＋10>23＋2.[证明] (1)当a ，b >0时，有a ＋b 2≥ab ，∴lg a ＋b 2≥lg ab ，∴lg a ＋b 2≥12lg ab ＝lg a ＋lg b 2. (2)要证6＋10>23＋2，只要证(6＋10)2>(23＋2)2，即260>248，这是显然成立的，所以，原不等式成立．18．(本小题满分12分)观察：①tan 10°·tan 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1，②tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1.由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．[解] 从已知观察到10°＋20°＋60°＝90°，10°＋75°＋5°＝90°，因此猜测推广式为若α＋β＋γ＝π2，且α，β，γ都不为k π＋π2(k ∈Z )，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.证明如下：由α＋β＋γ＝π2，得α＋β＝π2－γ.因为tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－γ＝1tan γ.又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝1tan γ(1－tan αtan β)，所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝tan γ(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝tan γ(1－tan αtan β)·1tan γ＋tan αtan β＝1－tan αtan β＋tan αtan β＝1.19．(本小题满分12分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.试用综合法和分析法分别证明．[解] 法一(综合法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4.又∵1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)．法二(分析法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋b ab ≥8，只要证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4，也就是证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4，即证b a ＋a b ≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋a b ≥2成立，所以原不等式成立．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根．[解] (1)法一：任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1且ax 1>0，∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0，又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝(x 2－2)(x 1＋1)－(x 1－2)(x 2＋1)(x 1＋1)(x 2＋1) ＝3(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1)>0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0，故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．法二：f ′(x )＝a xln a ＋x ＋1－(x －2)(x ＋1)2 ＝a x ln a ＋3(x ＋1)2∵a >1，∴ln a >0，∴a x ln a ＋3(x ＋1)2>0， f ′(x )>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)法一：设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，则ax 0＝－x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1. ∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2，与假设x 0<0矛盾．故方程f (x )＝0没有负数根．法二：设x 0<0(x 0≠－1)，①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2，ax 0<1， ∴f (x 0)<－1.②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0，ax 0>0， ∴f (x 0)>0.综上，x <0(x ≠－1)时，f (x )<－1或f (x )>0，即方程f (x )＝0无负数根．21．(本小题满分12分) (1)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值b 2－a 2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 轴交于A ，B 两点，点P 是双曲线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，求证：AN →·BM →为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)．[解] (1)证明如下：设点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )．依题意，得A (－a,0)，B (a,0)，所以直线P A 的方程为y ＝y 0x 0＋a (x ＋a )，令x ＝0，得y M ＝ay 0x 0＋a .同理得y N ＝－ay 0x 0－a. 所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20. 又点P (x 0，y 0)在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2 ＝1，因此y 20＝b 2a 2(a 2－x 20)．所以y M y N ＝a 2y 20a 2－x 20＝b 2. 因为AN →＝(a ，y N )，BM →＝(－a ，y M )，所以AN →·BM →＝－a 2＋y M y N ＝b 2－a 2.(2)－(a 2＋b 2)．22．(本小题满分12分)各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋1－a 2n ＝2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤2n －1对一切n ∈N *恒成立． [解] (1)∵a 2n ＋1－a 2n ＝2，∴数列{a 2n }为首项为1，公差为2的等差数列，∴a 2n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，又a n >0，则a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明：由(1)知，即证1＋13＋…＋12n－1≤2n－1.①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立．当n＝2时，左边<右边，所以不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，即1＋13＋…＋12k－1≤2k－1，当n＝k＋1时，左边＝1＋13＋…＋12k－1＋12k＋1≤2k－1＋12k＋1<2k－1＋22k＋1＋2k－1＝2k－1＋2(2k＋1－2k－1)2＝2k＋1＝2(k＋1)－1所以当n＝k＋1时不等式成立．由①②知对一切n∈N*不等式恒成立．。

新北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点()3,4A -，且法向量为(1,2)n =-的直线（点法式）方程为：()()()13240x y ⨯++-⨯-=，化简得2110x y -+=.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点()1,2,3A ，且法向量为(1,2,1)m =--的平面的方程为（） A ．220x y z +--= B ．220x y z ---= C ．220x y z ++-=D ．220x y z +++=2．在数学归纳法的递推性证明中，由假设n k =时成立推导1n k =+时成立时，()f n =1+1112321n ++⋅⋅⋅+-增加的项数是( ) A ．1B ．21k +C ．2kD ．21k -3．某个命题与正整数n 有关，如果当()n k k N +=∈时命题成立，那么可推得当1n k =+时命题也成立. 现已知当8n =时该命题不成立，那么可推得（） A ．当7n =时该命题不成立 B ．当7n =时该命题成立 C ．当9n =时该命题不成立D ．当9n =时该命题成立4．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确5．用数学归纳法证明 11151236n n n ++⋅⋅⋅+≥++时，从n k =到1n k =+，不等式左边需添加的项是（） A ．111313233k k k +++++ B ．112313233k k k +-+++ C ．11331k k -++ D ．133k + 6．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20647．袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中 A ．一定有3号球B ．一定没有3号球C ．可能有5号球D ．可能有6号球8．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．189．圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖充之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小，如图所示，当圆的内接正多边形的边数为720时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（）A ．0720sin1B ．0720sin 0.5C ．0720sin 0.25D ．0720sin 0.12510．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -二、填空题13．已知数列{},{}n n a b 的通项公式分别为*31,2,nn n a n b n N =-=∈，将{}n a 与{}n b 中的各项混合，并按照从小到大的顺序排成一个新数列（相同元素以一个计）：2,4,5,8,11,，记新的数列为{}n c ，若2021n c =，则n =___________.14．我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：222233=，333388=，44441515=，55552424=，…．按照以上规律，若11111111n n=具有“穿墙术”，则n =_______． 15．观察下列等式：请你归纳出一般性结论______.16．点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为0022d A B=+，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(0,1,3)到平面2330x y z +++=的距离为__________． 17．研究cos n α的公式，可以得到以下结论：2cos )22cos )32cos )42cos )22cos )52cos )32cos )62cos )42cos )22cos )72cos )52cos )32cos 2(2,2cos3(3(2cos ),2cos 4(4(2,2cos5(5(5(2cos ),2cos 6(6(9(2,2cos 7(7(14(7(2cos ααααααααααααααααααααα=-=-=-+=-+=-+-=-+-),以此类推：422cos8(2cos )(2cos )(2cos )16(2cos )m p n q r ααααα=++-+，则m n p q r ++++=__________．18．已知结论“1a ，*2R a ∈，且121a a +=，则12114a a +≥；若1a 、2a 、*3R a ∈，且1231a a a ++=，则1239111a a a ++≥”，请猜想若1a 、2a 、…、*R n a ∈，且121n a a a +++=，则12111na a a +++≥__________． 19．观察下列等式：（1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．20．甲、乙、丙、丁四人分别去买体育彩票各一张，恰有一人中奖．他们的对话如下，甲说：“我没中奖”；乙说：“我也没中奖，丙中奖了”；丙说：“我和丁都没中奖”；丁说：“乙说的是事实”．已知四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，由此可判断中奖的是__________．三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的正整数n 都满足()21n n n S a S -=．（1）求1S ，2S ，3S 的值，猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 的表达式的正确性． 22．已知函数2()1f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2425()n n S n n f a +=+．（1）求1234,,,a a a a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且20S =，()*2n n S n na n N +=∈.（1）试写出数列{}n a 的任意前后两项（即n a 、1n a +）构成的等式；（2）用数学归纳法证明：()*23n a n n N =-∈.24．数列{}n a 满足2(n n S n a n =-∈N *）. （1）计算1234,,,a a a a ，并由此猜想通项公式n a ；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.25．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=⋅+∈，其中11a =.（1）求证：135,,a a a 成等差数列；（2）求证：数列{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n b 满足()121nb nn N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立. 26．给出下面的数表序列：其中表()1,2,3,...n n =有n 行，第1行的n 个数是1，3，5，…，21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（1）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表()3n n ≥（不要求证明）（2）每个数表中最后一行都只有一个数，它们构成数列1，4，12，…，记此数列为{}n b ，求数列{}n b 的前n 项和【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3），利用平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1），即可求得结论．【详解】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P （x ，y ，z ），则AP =（x ﹣1，y ﹣2，z ﹣3）∵平面法向量为n =（﹣1，﹣2，1）， ∴﹣（x ﹣1）﹣2×（y ﹣2）+1×（z ﹣3）＝0 ∴x +2y ﹣z ﹣2＝0，故选A ．【点睛】本题考查了类比推理，考查了空间向量数量积的坐标运算，由于平面向量与空间向量的运算性质相似，利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解问题，属于中档题．2．C解析：C 【解析】分析：分别计算当n k =时，()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+-，当1n k =+成立时， ()1?f k = + 1111123212221k k k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+-，观察计算即可得到答案详解：假设n k =时成立，即()1?f k = + 1112321k ++⋅⋅⋅+- 当1n k =+成立时，()1?f k = + 1111123212221k k k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+-+- ∴增加的项数是()()221212k k k k +---=故选C点睛：本题主要考查的是数学归纳法。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(答案解析)(2)

一、选择题1．观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f xB ．()f x -C ．()g xD ．()g x -2．已知数组1()1，12(,)21，123()321，，，…，121(,,,,)121n nn n --，…，记该数组为1()a ，23(,)a a ，456(,,)a a a ，…，则200a =( )A ．911B ．1011C ．1112D ．9103．观察如图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第n 个图案中正六边形的个数是()f n .由(1)1f =，(2)7f =，(3)19f ，…，可推出(10)f =（） A ．271B ．272C ．273D ．2744．已知a ，b ，c 均为正实数，则a b ，b c ，ca的值（） A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于15．体育课上,小红、小方、小强、小军四位同学都在进行足球、篮球、羽毛球、乒乓球等四项体自运动中的某一种，四人的运动项目各不相同，下面是关于他们各自的运动项目的一些判断:①小红没有踢足球，也没有打篮球； ②小方没有打篮球,也没有打羽毛球；③如果小红没有打羽毛球,那么小军也没有踢足球； ④小强没有踢足球,也没有打篮球.已知这些判断都是正确的,依据以上判断，请问小方同学的运动情况是( ) A ．踢足球 B ．打篮球 C ．打羽毛球 D ．打乒乓球 6．设a R ∈,则三个数2,2,23a a a a +++（） A ．都大于13B ．都小于13C ．至少有一个不大于13D ．至少有一个不小于137．命题“若,x y >则()()()()332222x y x y x yx xy y -+=--+”的证明过程：“要证明()()()()332222x y x y x y x xy y -+=--+，即证()()()()()3322.x y x y x y x y x xy y -+=-+-+因为,x y >即证()()3322x y x y x xy y +=+-+，即证33322223,x y x x y xy x y xy y +=-++-+ 即证3333,x y x y +=+因为上式成立，故原等式成立应用了（） A ．分析法B ．综合法C ．综合法与分析法结合使用D ．演绎法8．周末，某高校一学生宿舍甲乙丙丁四位同学正在做四件事情，看书、写信、听音乐、玩游戏，下面是关于他们各自所做事情的一些判断： ①甲不在看书，也不在写信； ②乙不在写信，也不在听音乐；③如果甲不在听音乐，那么丁也不在看书； ④丙不在看书，也不写信.已知这些判断都是正确的，依据以上判断，请问乙同学正在做的事情是（） A ．玩游戏 B ．写信 C ．听音乐 D ．看书 9．下列四个类比中，正确的个数为（1）若一个偶函数在R 上可导，则该函数的导函数为奇函数。

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推理与证明一、核心知识1.合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。

类比推理是由特殊到特殊的推理。

2.演绎推理(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

演绎推理是由一般到特殊的推理。

(2)演绎推理的主要形式：三段论“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

3.直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

直接证明包括综合法和分析法。

（1）综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证 B ，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

（3）反证法的思维方法:正难则反．．．．5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；(2)假设当 n=k (k ∈N*，且 k ≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。

二、典型例题例1. 已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ B ）A.4()22x f x =+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2()21f x x =+. 例2. 已知*111()1()23f n n N n=++++∈，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5(8)2f >，(16)3f >，7(32)2f >，由此推测：当2n ≥时，有 *21(2)()2n n f n N +>∈ 例3. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++ ； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_______________________________________=23（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 23)120(sin )60(sin sin 222=++++ ααα 证明：左边 = 2)2402cos(12)1202cos(122cos 1 +-++-+-ααα =)]2402cos()1202cos(2[cos 2123 ++++-ααα= -+-+- 240cos 2cos 120sin 2sin 120cos 2cos 2[cos 2123ααα]240sin 2sin α =]2sin 232cos 212sin 232cos 212[cos 2123ααααα+----= 右边=23（将一般形式写成 2223sin (60)sin sin (60),2ααα-+++=2223sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=等均正确。

）例4．若c b a ,,均为实数，且62,32,22222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。

求证：c b a ,,中至少有一个大于0。

答案：（用反证法）假设c b a ,,都不大于0，即0,0,0≤≤≤c b a ，则有0≤++c b a ，而3)632()1()1()1()62()32()22(222222-+++-+-+-=+-++-++-=++ππππππz y x x z z y y x c b a=3)1()1()1(222-+-+-+-πz y x ∴222)1(,)1(,)1(---z y x 均大于或等于0，03>-π，∴0>++c b a ，这与假设0≤++c b a 矛盾，故c b a ,,中至少有一个大于0。

例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=（n ∈N*）三、课后练习1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( B )A.⎩⎨⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *)B.⎩⎨⎧a 1＝1，a n＝a n －1＋n (n ∈N *，n ≥2)C.⎩⎨⎧ a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *)D.⎩⎨⎧a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *，n ≥2) [解析] 记数列为{a n }，由已知观察规律：a 2比a 1多2，a 3比a 2多3，a 4比a 3多4，…，可知当n ≥2时，a n 比a n －1多n ，可得递推关系⎩⎨⎧a 1＝1，a n－a n －1＝n (n ≥2，n ∈N *)．2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( D )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D. 3．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则( D )A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋14[解析] 项数为n 2－(n －1)＝n 2－n ＋1，故应选D. 4．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( D )A ．大于0B ．小于0C ．不小于0D ．不大于0 [解析] 解法1：∵a ＋b ＋c ＝0， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， ∴ab ＋ac ＋bc ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.5．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( B ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定[解析] a ＝c ＋1－c ＝1c ＋1＋c，b ＝c －c －1＝1c ＋c －1，因为c ＋1>c >0，c >c －1>0，所以c ＋1＋c >c ＋c －1>0，所以a <b . 6．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c，则△ABC 是( C )A ．等边三角形B ．有一个角是30°的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个角是30°的等腰三角形[解析] ∵sin Aa＝cos Bb＝cos Cc ，由正弦定理得，sin Aa ＝sin Bb＝sin Cc，∴sin B b ＝cos Bb ＝cos Cc ＝sin Cc，∴sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴∠B ＝∠C ＝45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形．7.观察式子：474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，…，则可归纳出式子为（ C ）A 、121131211222-<+++n n B 、121131211222+<+++n n C 、nn n12131211222-<+++D 、122131211222+<+++n nn解析：用n=2代入选项判断。

8.设)()(,cos )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则=)(2008x f解：x cos ，由归纳推理可知其周期是49.函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2007a = 4 ．10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为___7__．11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖______48n +_____块．（用含n 的代数式表示）12. △ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，求证：cb ac b b a ++=+++311。

答案：证明：要证cb ac b b a ++=+++311，即需证3=+++++++cb c b a ba cb a 。

即证1=+++cb ab ac 。

又需证))(()()(c b b a b a a c b c ++=+++，需证222b ac a c +=+∵△ABC 三个角A 、B 、C 成等差数列。

∴B=60°。

由余弦定理，有 60cos 2222ca a c b -+=，即ac a c b -+=222。

∴222b ac a c +=+成立，命题得证。

13.用分析法证明：若a >0，则212122-+≥-+aa a a 。

答案：证明：要证212122-+≥-+aa a a ，只需证212122++≥++aa a a 。

∵a >0，∴两边均大于零，因此只需证2222)21()21(++≥++aa aa 只需证)1(222211441222222a a aa aa aa +++++≥++++，只需证)1(22122a a a a +≥+，只需证)21(2112222++≥+aa a a ，即证2122≥+a a ，它显然成立。

∴原不等式成立。

14.ABC ∆中，已知B a b sin 323=，且C A cos cos =，求证：ABC ∆为等边三角形。

解: 分析：由32,323sin sin sin 32sin 3sin 323ππ=⇒=⇒=⇒=A A B A B B a b由C A C A =⇒=cos cos B C A ===∴3π所以ABC ∆为等边三角形15．已知：a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.[证明] 由a 2＋b 2≥2ab ，及b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca . 三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a 2＋b 2＋c 2)＋2(ab ＋bc ＋ca )＝(a ＋b ＋c )2. 由a ＋b ＋c ＝1，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥1，即a 2＋b 2＋c 2≥13.。

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