3.2平面直角坐标系的两点距离(数轴或直角坐标系)
3.2平面直角坐标系的两点距离(数轴或直角坐标系)
| AB |= 2,| AC |= ( 3)2 + ( 3 )2 = 3 , 22
·
A(-1,0) O
·
B(1,0) x
有 | AC |2 + | BC |2= | AB |2 ， 所以 DABC 是直角三角形.
根据边的 关系判断.
1.已知点A（-2,-1），B（a，3）且AB=5，则a的值
是（ C ）
Ｂ点在第四象限,到X轴的距离是3,到Y轴的距 离是1,求B点的坐标___________
E点在Y轴上,到原点的距离是3, 求E点的坐标 ___________
横数轴上的距离公式
A
B
x －1 0 1 1
x2
x
AB =x2-x1
=右-左
A（-2，0），B（3，0）两点间的距离__________
y AB =3-2 5
点A 到x轴的距离是3，
到y轴的距离是4，则点A坐标为
。
点A到原点的距离是
。
若点A在第三象限，则点A坐标为
。
已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5， 求P点的坐标
P(5,2) 或P(5,-2) 或P(-5,2)或P(-5,-2)
2. 点C到x轴的距离为1，
到y轴的距离为3，
则C点坐标是
。
(3,1) 或(-3,1)或 (-3,-1)或 (3,-1)
3
2
1
A
-2 -1
01
-1
B
23
x
-2
y
P1(x1 , y)
P2(x2 , y)
P1P2 =x2 -x1
P1(x1 , 0) O P2(x2 , 0)
x
x
3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
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课前探究学习
课堂讲练互动
活页限时训练
3.2 空间两点间的距离公式PPT名师课件
自学导引 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相 同单位长度的数轴： x轴、y轴、z轴 ，这样就建立了空间直角 坐标系 Oxyz. ②相关概念： 点O 叫做坐标原点， x轴、y轴、z轴 叫做坐标 轴．通过每两个坐标轴 的平面叫做坐标平面，分别称为 xOy 平 面、 yOz 平面、 zOx 平面．
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3．空间两点间的距离公式 (1) 在 空 间 中 ， 点 P(x ， y ， z) 到 坐 标 原 点 O 的 距 离 |OP|＝
x2＋y2＋z2. (2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与 P2(x2，y2，z2)的距离|P1P2|＝
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(2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 x轴 的正方向，食指指 向 y轴 的正方向，如果中指指向 z轴 的正方向，则称这个坐 标系为右手直角坐标系．
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八年级数学上册 3.2.2 平面直角坐标系教案 北师大版(2021学年)
八年级数学上册３.２.2 平面直角坐标系教案(新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册3.２.2 平面直角坐标系教案(新版)北师大版)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为八年级数学上册3.2.2 平面直角坐标系教案（新版)北师大版的全部内容。
课题:3。
2.２平面直角坐标系教学目标：1.在给定的直角坐标系下,会根据坐标描出点的位置。
通过找点、连线、观察,确定图形的大致形状的问题，能进一步掌握平面直角坐标系的基本内容.2.知道在坐标轴上的点以及与坐标轴平行的直线上点的坐标的特征。
知道不同象限点的坐标的特征。
３.经历画坐标系、描点、连线、看图以及由坐标找点等过程，进一步体会平面直角坐标系中点与坐标之间的对应关系,发展数形结合意识,培养学生的合作交流能力。
教学重点与难点:重点:在已知的直角坐标系下找点、连线、观察,确定图形的大致形状。
难点：在已知的直角坐标系下找点、连线、观察,确定图形的大致形状;熟练掌握平行于坐标轴的直线上的点的坐标关系及坐标轴上点的坐标的确定.课前准备:多媒体课件。
教学过程：一、复习回顾,引入新课（一)复习(课件展示）1．平面上组成平面直角坐标系, 叫x轴(横轴),取向为正方向, 叫y轴（纵轴），取向为正方向。
两轴的交点是．这个平面叫平面.2.如何划分象限？3.点的坐标如何确定？处理方式：问题１、2、3由学生口答完成,教师课件展示。
第１题：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系. 水平的数轴叫ｘ轴（横轴）,取右为正方向，铅直的数轴叫y轴（纵轴),取向上为正方向。
3.2《平面直角坐标系》(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平面直角坐标系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对坐标系的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.2《平面直角坐标系》（教案）
一、教学内容
3.2《平面直角坐标系》：本节课我们将围绕以下内容展开：
1.平面直角坐标系的定义与性质；
2.坐标平面上的点与坐标表示方法；
3.坐标轴上点的坐标特点；
4.两个坐标轴将平面分为的四个象限及其特点；
5.各象限内点的坐标规律；
6.相邻象限内点的坐标关系；
7.平行于坐标轴的直线上的点的坐标规律；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平面直角坐标系的基本概念。平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成的，它可以准确地表示平面上的点。它是解析几何的基础，对于解决实际问题非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过地图上的坐标系，我们可以找到某个地点的精确位置，并计算两点之间的距离。
其次，在新课讲授环节，我发现学生在理解坐标系概念和坐标表示方法方面存在一定难度。在讲解过程中，我尽量使用简洁明了的语言和丰富的实例，帮助他们更好地理解。但我也意识到，对于这部分内容，可能需要更多的时间让学生去消化和吸收。在接下来的教学中，我会适当调整教学节奏，给学生更多思考和提问的机会。
再谈谈实践活动，学生们在分组讨论和实验操作环节表现出了很高的热情。他们通过实际操作，对坐标系有了更直观的认识。但同时，我也注意到部分学生在讨论过程中过于依赖同伴，缺乏独立思考。针对这一问题，我将在后续教学中加强对学生的引导，培养他们的自主学习能力。
高中数学必修课件第二章平面直角坐标系中的距离公式
利用距离公式求解最值问题
结合函数性质和距离公式，求解与距离相关的最值问题，如点到直线的最短距离等。
思考题挑战
探究距离公式在三维空间中的推广
01
思考在三维空间中如何定义两点间的距离，并尝试推
导出三维空间中的距离公式。
利用距离公式解决实际应用问题
利用勾股定理
在平面直角坐标系中，任意两点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$之间的距离可以 通过勾股定理来推导，即$AB=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$。
向量法
将点$A$和点$B$分别看作向量$vec{OA}$和$vec{OB}$，则两点间的距离可以 表示为向量$vec{BA}$的模，即$|vec{BA}|=sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ 。
A、B两点间的距离。
02
判断点与直线的位置关系
通过计算点到直线的距离，判断点在直线上、直线外还是与直线重合。
03
求解平行线间的距离
给定两条平行线的方程，利用距离公式求解两条平行线间的距离。
拓展提高题
利用距离公式解决几何问题
通过构建直角坐标系，将几何问题转化为坐标运算问题，再利用距离公式求解。
求解点到圆心的距离及判断点与圆的位置关系
三角不等式在求解最短路径、证 明几何定理等方面具有广泛应用
。
04
典型例题分析与解答
计算两点间距离问题
例题1
在平面直角坐标系中，给定 点A(1,2)和点B(4,6)，求AB 的距离。
解题思路
利用距离公式 $d=sqrt{(x_2x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，代 入点A和点B的坐标进行计算 。
平面直角坐标系中两点间的距离
平面直角坐标系中两点间的距离一教材分析：“平面直角坐标系中两点间的距离”内容选自人教版《高中课程标准实验教科书》A版必修二第三章第三节第二小节。
平面直角坐标系中两点间的距离是在学习平面直角坐标系内的直线的方程和直线的交点坐标之后，也为以后学习空间内两点间的距离内容起铺垫作用，承上启下。
学习平面直角坐标系中两点间的距离有助于学生对数形结合思想的理解，进一步感受数形结合的魅力．在解题中渗透函数和方程思想。
二学情分析：学生在初中的时候已经学习数轴上两点间的距离，同时还学习了勾股定理，因此有着一定研究两点间的距离公式的基本方法，在解题中渗透函数和方程思想。
然而学生在思维方面对于抽象、推导方面的能力比较薄弱，造成对平面直角坐标系中两点间的距离公式的形成相对困难。
三教学目标：1、知识与技能：（1）使学生掌握平面内两点间的距离公式及推导过程；（2）使学生掌握如何建立适当的直角坐标系解决相应问题。
2、过程与方法：培养学生勇于探索、善于发现、独立思考的能力。
3、情感态度与价值观：培养学生不断超越自我的创新品质。
四 教学重难点： 教学重点：（1）平面内两点间的距离公式； （2）如何建立适当的直角。
教学难点：如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题 五 教法学法：教法：以引导发现为主，推导验证 学法：重视学生知识形成和学习体验 六 教学用具 三角板 七 教学过程（一）复习旧知，导入新课数轴上两点间的距离公式？如果数轴上两点2和-3，那么这两点之间的距离是5，公式为|2-（-3）|=|-3-2|=5 （二）提出问题，探究新知问题1：如果A 、B 是X 轴上两点，C 、D 是Y 轴上两点，它们的坐标分别是,,,A B C D x x y y ，那么,AB CD又怎么样求？解：易得A BAB x x =-，C DCD y y =-；问题2：求(3,4)B 到原点的距离？解：3,4OMBM ==，11221PQ N N x x ==-21221PQ M M y y ==-2221212PP PQ P Q =+12PP ⇒=总结：两点间的距离公式12PP =特殊的：①当x 1=x 2时，2121y y p p -=； ②当y 1=y 2时，2121x x p p -=；③原点O 与任一点P(x,y)间的距离OP= （三）典型例题例、求下列两点间的距离。
必修二示范教案空间两点间的距离公式
4.3.2 空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得 x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( )A.0B.735C.75D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值. 解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=mm AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.设计感想本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.。
初中北师大版数学八年级上册3.2【教学设计】《 平面直角坐标系》
《平面直角坐标系》第1课时《平面直角坐标系》是八年级上册第五章《位置与坐标》第二节内容。
本章是“图形与坐标”的主体内容，不仅呈现了“确定位置的多种方法、平面直角坐标系”等内容，而且也从坐标的角度使学生进一步体会图形平移、轴对称的数学内涵，同时又是一次函数的重要基础。
《平面直角坐标系》反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。
因此，教学过程中创设生动活泼、直观形象、且贴近他们生活的问题情境，会引起学生的极大关注，会有利于学生对内容的较深层次的理解；另一方面，学生已经具备了一定的学习能力，可多为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究。
【知识与能力目标】1、理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等概念；2、认识并能画出平面直角坐标系；3、能在给定的直角坐标系中，由点的位置写出它的坐标。
【过程与方法目标】1．通过画坐标系、由点找坐标等过程，发展学生的数形结合意识、合作交流意识；2．通过对一些点的坐标进行观察，探索坐标轴上点的坐标有什么特点，纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，培养学生的探索意识和能力。
【情感态度价值观目标】由平面直角坐标系的有关内容，以及由点找坐标，反映平面直角坐标系与现实世界的密切联系，让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用，提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心。
【教学重点】1．理解平面直角坐标系的有关知识；2．在给定的平面直角坐标系中，会根据点的位置写出它的坐标；3．由观察点的坐标、纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系，说明坐标轴上点的坐标有什么特点。
【教学难点】1．横（或纵）坐标相同的点的连线与坐标轴的关系的探究；2．坐标轴上点的坐标有什么特点的总结。
学生每人准备好草稿纸、铅笔、直尺；教师准备课件，图片，三角板。
高中数学3-3-2两点间的距离公式课件
∴|MA|＝|MB|＝|MC|.
[点评]
在建立坐标系时，适当的坐标系能使运算更加简
便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系)，故在建坐标系时 要有效地利用条件中的垂直、对称等关系．
课堂基础巩固
1．已知M(2,1)，N(－1,5)，则|MN|等于( A．5 B. 37
)
C. 13 D．4
[答案]
[解析]
C．6＋3 2 D．6＋ 10
[答案] C
4．一条线段的长是5个单位，它的一个端点是A(2,1)，另 一个端点B的横坐标是－1，则点B的纵坐标是( A．－3 B．5 )
C．－1或－3 D．－3或5
[答案]
D
5．若x轴上的点M到原点的距离与到点N(5，－3)的距离 相等，则M点的坐标是( A．(－2,0) B．(1,0) 3 C．(2，0) D．(3.4,0)
|AC|＝ 3－32＋－1－42＝5， |BC|＝ 1 3 5 2 2 2 －3 ＋ －4 ＝ . 2 2 2
因为|AB|＝|BC|，且|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝25， 所以△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
8．正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的 中点，试建立坐标系，求证：BF⊥AE. [分析] 以AB和AD分别作为x轴、y轴建立平面直角坐标
[答案] D
)
6．已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2，－ 4)，则BC边上的中线AM的长为________．
[答案]
65
1 3 7．已知点A(3，－1)，B( 2 ， 2 )，C(3,4)，试判断△ABC的 形状．
[解析] |AB|＝
由两点间的距离公式，得 12 32 5 2 3－ ＋－1－ ＝ ， 2 2 2
平面直角坐标系内两个点的距离公式
平面直角坐标系内两个点的距离公式下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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北师大版八年级数学上册课件 ：3.2平面直角坐标系(第1课时)
1
-4 -3 -2 -1 0
原点 -1
1 2 3 4 5 x 横轴
-2
第三象限 -3
第四象限
-4
注意:坐标轴上的点不属于任何象限。
纵轴 y
5
4
3 2
·B（- 4,1） 1
-4 -3 -2 -1 0 -1
-2 -3
-4
A点在x 轴上的坐标为4 A点在y 轴上的坐标为2
A点的坐标为(4, 2) 记作：A（4，2）
发现 归纳
• 在直角坐标系中，对于平面上的任意一点， 都有唯一的一对有序实数对（即点的坐标） 与它对应；
• 反过来，对于任意一对有序实数对，都有 平面上唯一的一点和它对应．
• 教学目标 • 认识并能画出平面直角坐标系，能在给定的直
角坐标系中，由点的位置写出坐标也能由坐标 确定点的位置。 • 归纳坐标轴上的点和具有特殊位置的点的坐标 特征。 • 通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展数形 结合思想，积累数学活动经验，激发学习数学 知识的兴趣。
思考 对比
1．平面直角坐标系中，点P(3,5)与Q(5,3)是 同一个点吗?
2.在平面直角坐标系下，点与实数对之间有何 关系？
*3.引入平面直角坐标系，有什么好处？
• 教学目标 • 认识并能画出平面直角坐标系，能在给定的
直角坐标系中，由点的位置写出坐标也能由 坐标确定点的位置。 • 归纳坐标轴上的点和具有特殊位置的点的坐 标特征。 • 通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展数
B（0，-3）
D（4，0） •
F（0，3）•
•
•
教学目标 认识并能画出平面直角坐标系，能在给定 的直角坐标系中，由点的位置写出坐标也 能由坐标确定点的位置。 归纳坐标轴上的点和具有特殊位置的点的 坐标特征。 通过画坐标系，由点找坐标等过程，发展 数形结合思想，积累数学活动经验，激发 学习数学知识的兴趣。
北师大版八年级数学上册课件：3.2 平面直角坐标系(共26张PPT)
2.对于边长为4的正三角形△ABC，建立适当的直角坐标系，
写出各个顶点的坐标.
y A 3
2
B
1
C
- –3–2– O 1 2 3 4 x
4
1–
–1
解:A(0,2 ), B(-2,0) ,C(2,0).
2–3
– 4
3.在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2） 和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（4， 4），如何确定直角坐标系找到“宝藏”？
y
5 4
·（4，4）
3 2
·（3，2）
·1
-4 -3 -2 -1-O1 1 -2
2
345 x
· （3，-2）
解：如图所示
-3
课堂 小结
坐标的特征
建立直角坐 标系
建立适当的 直角坐标系
第三章 位置与坐标 3.2 平面直角坐标系 建立平面直角坐标系确定点的坐标
学习目标
1.了解、掌握点的坐标及特殊位置上点的坐标特征；（重点） 2.能建立直角坐标系求点的坐标.（难点）
导入 1.你还记得什么是平面直角坐标系吗？ 新课 2.两条坐标轴把平面分成了几部分？（不包括坐标轴）
3.给你平面上的一个点，如何确定它的坐标？
在直角坐标系中，对于平面上任意一点， 都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与 它对应；
反过来，对于任意的一个有序实数对，都 有平面上唯一一点与之对应.
当堂 练习 1.在 y轴上的点的横坐标是（ 0 ），在 x轴上的点的纵坐标是（ ）0.
2.点 A（2，- 3）关 于 x 轴 对 称 的 点 的 坐 标 是（ （）2.,3）
当堂
练习 1. （南通·中考）在平面直角坐标系xOy中，已 知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形， 则满足条件的点Q共有(B ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
知识讲解_平面直角坐标系中的基本公式
平面直角坐标系中的基本公式【知识梳理】要点一：直线坐标系(1)定义：一条给出了原点、度量单位和正方向的直线叫做数轴，或者说在这条直线上建立了直线坐标系． 要点诠释：一般地，我们约定数轴水平放置，正方向为从左到右．(2)数轴上的点与实数的对应法则：P ←−−−−→一一对应实数x ． (3)记法：如果点P 与实数x 对应，则称点P 的坐标为x ，记作P (x )．当x ＞0时，点P 位于原点右侧，且点P 与原点O 的距离|OP |＝x ；当x ＜0时，点P 位于原点左侧，且点P 与原点的距离|OP |＝-x要点二：向量及数轴上两点间的距离公式(1)定义：位移是一个既有大小又有方向的量，通常叫做位移向量，本书简称为向量．从点A 到点B 的向量，记作AB ．点A 、B 分别叫做向量AB 的起点、终点．向量的长度：线段AB 的长叫做向量AB 的长度，记作|AB |．相等的向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等的向量．数量：我们可用实数表示数轴上的一个向量AB ，这个实数叫做向量AB 的坐标或数量．要点诠释：要正确区分向量、向量的长度、向量的坐标（数量）这几个概念，它们分别用AB 、||AB 、AB 来表示；两个向量相等，必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量，它的长度为0，方向不确定．(2)位移向量的和：在数轴上，如果点A 作一次位移到点B ，接着由点B 再作一次位移到点C ，则位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC AB BC =+．要点诠释：作和向量的规律特点：前一个向量的终点是下一个向量的起点(尾首相接)，而和向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点(首尾相连)．(3)数量和：数轴上任意三点A 、B ，C ，都具有关系AC ＝AB+BC ．要点诠释：①这个公式反映了数轴上向量加法的坐标运算法则，是解析几何的基本公式．②数轴上任意三点．A 、B 、C 都有关系AC ＝AB+BC ，但不一定有|AC |＝|AB |+|BC |，它与A 、B 、C 三个点的相对位置有关．(4)数轴上两点间的距离公式：向量的坐标计算公式：设AB 是数轴上的任意一个向量，点A 的坐标为1x ，点B 的坐标为2x ，则21AB x x =-．一般地，数轴上的任意一个向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标．用d (A ，B )表示A ，B 两点的距离，可得数轴上两点A ，B 的距离公式是21()||||d A B AB x x ==-，．要点三：平面直角坐标系中两点间的距离公式平面上有两点A (1x ，1y )，B (2x ，2y ) ，则两点间的距离为d (A ，B )＝|AB |＝222121()()x x y y -+-．要点诠释：两点间的距离公式是一个很重要的公式，要熟练地掌握，记住公式的形式，对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可以直接利用距离公式的特殊情况求解．要点四：中点坐标公式若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )，则线段AB 的中点M (x ，y )的坐标计算公式为122x x x +=，122y y y +=． 要点诠释：此公式的推导过程中注意把问题向数轴上转化，体现了数学上的转化思想．要点五：坐标法1．通过建立平面直角坐标系，用代数方法来解决几何问题的方法叫做坐标法，其体现的基本思想是数形结合思想．2．用解析法解决几何问题的基本步骤如下：(1)选择坐标系．坐标系的选择是否恰当，直接关系到以后的论证是否简洁．原则：选择坐标系要使得问题所涉及的坐标中尽可能多地出现零．为此，常常有以下约定：①将图形一边所在的直线或定直线作为x 轴．②对称图形，则取对称轴为x 轴或y 轴．③若有直角，则取直角边所在的直线为坐标轴．④可将图形的一个定点或两个定点连线的中点作为原点．(2)标出图形上有关点的坐标，按已知条件用坐标表示等量关系．(3)通过以上两个程序，把几何问题等价转化为代数式来计算．【典型例题】类型一：向量及数轴上点的距离公式例1．已知A 、B 、C 是数轴上任意三点．(1)若AB ＝5，CB ＝3，求AC ；(2)证明：AC+CB ＝AB ；(3)若|AB |＝5，|CB |＝3，求|AC |．【答案】（1）2（2）略（3）2或8【解析】 (1)AC ＝AB+BC ＝AB -CB ＝5-3＝2．(2)证明：设数轴上A 、B 、C 三点的坐标分别为A x 、B x 、C x ，则AC+CB ＝(C A x x -)+(B C x x -)＝B A x x AB -=，故AC+CB ＝AB ．(3)当点C 在A 、B 两点之间时，由下图①可知|AC |＝|AB |-|BC |＝5-3＝2；当点C 在A 、B 两点之外时，由上图②可知|AC |＝|AB |+|BC |＝5+3＝8．综上所述，|AC |＝2或8．【总结升华】 向量及向量长度的计算应熟练地运用公式AB ＝B A x x -，及|AB |＝||||B A A B x x x x -=-进行求解．对于(3)要注意点B (或点C )的位置，若不确定应分类讨论．举一反三：【变式1】已知数轴上A 、B 两点的坐标分别为1x a b =+，2x a b =-．求AB 、BA 、d (A ，B )、d (B ，A )．【答案】2b - 2b 2||b 2||b【解析】 21AB x x =-=()()2a b a b b --+=-，12()()2BA x x a b a b b =-=+--=，d (A ，B )＝21||2||x x b -=，d (B ，A )＝12||2||x x b -=．【变式2】 关于位移向量，下列说法正确的是 ( )A ．数轴上任意一个点的坐标有正负和大小，它是一个位移向量B ．两个相等的向量的起点可以不同C ．每一个实数都对应数轴上的唯一的一个位移向量D ．AB 的大小是数轴上A 、B 两点到原点距离之差的绝对值【答案】 B【解析】 一个点的坐标没有大小，每个实数对应着无数个位移向量。
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平面上两点间的距离公式
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，
y
A(x1 ，y1) O
B(x2，y2)
AB2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
P(x2,y1)
x
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
例1 求下列两点间的距离：
（1）A(- 1, 0), B(2,3) （2）A(4,3), B(7,- 1)
点A (3,2)到x轴的距离 2 到y轴的距离 3
到原点的距离
y3
A(3,2)
2
32 +22
= 13
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-1
-2
-3
-4
过点A作x轴的垂线段的长度叫做点到x轴的距离.
过点A作y轴的垂线段的长度叫做点到y轴的距离.
点A (3,2)到x轴的距离 -2 =2
到y轴的距离 -3 =3
当B为原点时，AB= x12 y12
一般地，若两点A,B的坐标分别为(x1，y1)， (x2， y2)，则A,B两点间的距离公式为
| AB | ( x2 x1)2 ( y2 y 1)2
点A 到x轴的距离是3，
到y轴的距离是4，则点A坐标为
。
点A到原点的距离是
。
若点A在第三象限，则点A坐标为
。
已知点P到x轴和y轴的距离分别是2和5， 求P点的坐标
P(5,2) 或P(5,-2) 或P(-5,2)或P(-5,-2)
2. 点C到x轴的距离为1，
到y轴的距离为3，
则C点坐标是
。
(3,1) 或(-3,1)或 (-3,-1)或 (3,-1)
A.1
B.-5 C.1或-5
D.-1或5
2.已知点M（-1,3），N（5,1），点P（x，y）到M,N
的距离相等，则点P（x，y）所满足的方程是（ B ）
A.x+3y-8=0
B.3x-y-4=0
C.x-3y+9=0
D.x-3y+8=0
当AB平行于x轴时，AB=|x2－x1|；
当AB平行于y轴时，AB=|y2－y1|；
解: (1) AB 2 12 3 02 3 2. 2 AB 7 42 1 32 5.
3.判定下列两点间的距离:
(1)A（-3，1），B（5，1）. |AB|=8
(2)A（1,-2）,B(1,7). |AB|=9 (3)A(3,2), B(-1,5). |AB|=5
x
-1
= 9+4 = 13
-2
B(-3,-2) -3 -4
点P (x,y)到x轴的距离 y 纵坐标 到y轴的距离 x 横坐标 到原点的距离
x2 y2 横坐标2 + 纵坐标2
点A (-6,-8)到x轴的距离 -8 8 。
到y轴的距离 -66 。
到原点的距离
。
-62 +10-82
有 | AC |= | BC | , 所以 DABC 是等腰三角形.
例 2.已知 DABC 的三个顶点是 A(- 1, 0), B(1, 0), C( 1 , 3 ) , 22
试判断 DABC 的形状.
解：如图,因为 | BC |= (1- 1)2 + ( 3 )2 = 1，
2
2
y
·C(1 , 3 ) 22
y3
2
到原点的距离
1
-32 + -22
= 9+4 = 13
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
-1
-2
B(-3,-2) -3 -4
点A (3,2)到x轴的距离 -2 =2
到y轴的距离 -3 =3
y3
2
到原点的距离
1
-32 + -22
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
| AB |= 2,| AC |= ( 3)2 + ( 3 )2 = 3 , 22
·
A(-1,0) O
·
B(1,0)AB |2 ， 所以 DABC 是直角三角形.
根据边的 关系判断.
1.已知点A（-2,-1），B（a，3）且AB=5，则a的值
是（ C ）
4.已知 DABC 的三个顶点是 A(1,1),B(4,5),C(5,3),试判断
DABC 的形状.
解:|AB|=5,|BC|= 5 ,|AC|= 2 5 ,
满足|AB|2=|AC|2+|BC|2，所以 三角形.
D
ABC
是直角
已知 DABC 的三个顶点是 A(1, 2), B(3, 4),C(5,0) ,试判断 DABC 的形状. 解：因为| BC |= (3- 5)2 + (4 - 0)2 = 2 5 ， | AB |= (1- 3)2 + (2 - 4)2 = 2 2, | AC |= (1- 5)2 + (2 - 0)2 = 2 5,
Ｂ点在第四象限,到X轴的距离是3,到Y轴的距 离是1,求B点的坐标___________
E点在Y轴上,到原点的距离是3, 求E点的坐标 ___________
横数轴上的距离公式
A
B
x －1 0 1 1
x2
x
AB =x2-x1
=右-左
A（-2，0），B（3，0）两点间的距离__________
y AB =3-2 5
3.已知点P（3，a），并且P点到x轴的 距
离是2个单位长度，求P点的坐标。 •分析：由一个点到x轴的距离是该点 纵坐标的绝对值，所以a的绝对值等 于2，这样a的值应等于±2。
解：因为P到X轴的距离是2 ，所以， a的值可以等于±2，因此P（3，2） 或P（3，-2）。
Ａ点在第二象限,到X轴的距离是3,到Y轴的距 离是1,求A点的坐标___________
1
-2 -1 0 1 2 3 x
-1 -2 B
结论：
y
P1P2 =y1-y2
P1(0, y1) P1(x1 , y1)
O P2(0, y2)
x P2(x1 , y2)
x轴上两点M1(x1,0), M2(x2,0)的距离M1M2=
x
1
x2
,
Y轴上两点N1(0,y1), N2(0,y2)的距离 N1N2= y1 y2 .
1、在平面直角坐标系中，若点A（1，3）与 B（x，3）点之间的距离为4，则x的值是___
2、在平面直角坐标系中，若点A（2，y）与 B（2，1）点之间的距离为4，则x的值是___
y
y2 y1
P1(x1,y1)
P2(x2, y2)
| P2Q | y2 y1
Q(x2,y1)
O x1
x2
x
| P1Q | x2 x1
3
2
1
A
-2 -1
01
-1
B
23
x
-2
y
P1(x1 , y)
P2(x2 , y)
P1P2 =x2 -x1
P1(x1 , 0) O P2(x2 , 0)
x
x
B
纵数轴上的距离公式
x2
AB =x2-x1
=上-下 x1
－1 0 1
A
A（0，2），B（0，-2）两点间的距离是_______
y
3
2 A AB =2-2 4