高考数学常考知识点之函数不等式

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高考数学经典常考题型之不等式 含详解

高考数学经典常考题型之不等式 含详解

1. 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若m 、n ∈[-1,1],m +n ≠0时nm n f m f ++)()(>0 (1)用定义证明f (x )在[-1,1]上是增函数; (2)解不等式 f (x +21)<f (11-x ); (3)若f (x )≤t 2-2at +1对所有x ∈[-1,1],a ∈[-1,1]恒成立,求实数t 的取值范围2 设不等式x 2-2ax +a +2≤0的解集为M ,如果M ⊆[1,4],求实数a 的取值范围3. 解关于x 的不等式2)1(--x x a >1(a ≠1)4. 设函数f (x )=a x 满足条件 当x ∈(-∞,0)时,f (x )>1;当x ∈(0,1]时,不等式f (3mx -1)>f (1+mx -x 2)>f (m +2)恒成立,求实数m 的取值范围5. ),的解集是的不等式,关于且已知0(110-∞>≠>x a x a a ,求关于的x 不等式0)1(log >-xx a 的解集。

6. 解关于)0(11)1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式。

7.已知。

,,11222=++=++>>c b a c b a c b a求证:(1)341<+<b a ;(2)19822<+<b a 。

8.某种商品原来定价每件p 元,每月将卖出n 件。

假若定价上涨)10010≤<x x x x ,成即成(注:,每月卖出数量将减少y 成,而售货金额变成原来的z 倍。

(1) 若来表示当售货金额最大的常数,用是满足,其中a a a ax y 131<≤=时的x 值;(2) 若x y 32= ,求使售货金额比原来有所增加的x 的取值范围。

9.已知函数)(x f 在R 上是增函数,R b a ∈,。

(1) 求证:如果)()()()(0b f a f b f a f b a -+-≥+≥+,那么;(2) 判断(1)中的命题的逆命题是否成立?并证明你的结论;(3) 解不等式)2()11(lg )2()11(lg -+-+≥++-f xx f f x x f 。

高考不等式知识点汇总

高考不等式知识点汇总

高考不等式知识点汇总不等式是高考数学中的重要知识点,是解决数学问题中常用的一种工具。

它不仅涉及到基本的不等式性质,还包括不等式的求解、图像表示以及应用等方面。

下面将对高考中常见的不等式知识点进行汇总。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性:若a < b,且b < c,则有a < c。

传递性是不等式推导中常用的重要性质。

2. 不等式的加减性:若a < b,则有a±c < b±c,其中c为实数。

加减性运算是在不等式两边同时加减一个数时成立的性质。

3. 不等式的倍乘性:若a < b,且c > 0,则有ac < bc;若a < b,且c < 0,则有ac > bc。

倍乘性是在不等式两边同时乘以一个正数或负数时成立的性质。

二、不等式的求解1. 一元一次不等式:例如ax + b < c或ax + b > c,其中a、b、c 为已知实数,x为未知数。

求解一元一次不等式时,可以采用移项和分段讨论等方法。

2. 一元二次不等式:例如ax^2 + bx + c < 0或ax^2 + bx + c > 0,其中a、b、c为已知实数,x为未知数。

求解一元二次不等式时,可以利用函数图像、判别式、因式分解等方法来进行求解。

3. 绝对值不等式:例如|ax + b| < c或|ax + b| > c,其中a、b、c为已知实数,x为未知数。

求解绝对值不等式时,可以利用绝对值的性质,将其转化为对应的复合不等式进行求解。

三、不等式的图像表示1. 不等式的区间表示:例如a < x < b或a ≤ x ≤ b,其中a、b为已知实数,x为未知数。

不等式的区间表示可以通过画数轴,标示出解集所在的区间。

2. 不等式的图像表示:例如y < ax + b或y > ax + b,其中a、b 为已知实数,x、y为未知数。

高考数学知识点之不等式

高考数学知识点之不等式

高考数学知识点之不等式考试内容:不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求:(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法.(5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │§06. 不 等 式 知识要点1. 不等式的基本概念(1) 不等(等)号的定义:.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式.(4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质(1)a b b a <⇔>(对称性)(2)c a c b b a >⇒>>,(传递性)(3)c b c a b a +>+⇒>(加法单调性)(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >⇒>>0,.(7)bc ac c b a <⇒<>0,(乘法单调性)(8)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向不等式相乘)(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>(异向不等式相除)11(10),0a b ab ab>>⇒<(倒数关系)(11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b ann且(开方法则)3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若(2))2||2(2,2222ab ab baab ba Rb a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号)(3)如果a ,b 都是正数,那么.2a b +(当仅当a=b 时取等号)极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则:○1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.,3a b ca b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号) 0,2b a ab ab>+≥(5)若则(当仅当a=b 时取等号)2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a>>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时,或(7)||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式(1)平均不等式: 如果a ,b 都是正数,那么2112a b a b +≤≤+(当仅当a=b 时取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数): 特别地,222()22a b a b ab ++≤≤(当a = b 时,222()22a b a b ab ++==)),,,(332222时取等c b a R c b a c b a cb a ==∈⎪⎭⎫⎝⎛+++≥++⇒幂平均不等式:22122221)...(1...n n a a a na a a +++≥+++注:例如:22222()()()ac bd a b c d +≤++. 常用不等式的放缩法:①21111111(2)1(1)(1)1n nn n n nn n n n-==-≥++--②1)n ==≥(2)柯西不等式: 时取等号当且仅当(则若nn nn n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸(或凹)函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法(1)整式不等式的解法(根轴法).步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论;②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩(3)无理不等式:转化为有理不等式求解1()0()0()()f xg x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬>≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f (4).指数不等式:转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a aa f x g x aaa f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>(5)对数不等式:转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;l og ()log ()(01)()0()()()()aa aa f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩(6)含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值; ○2应用数形思想; ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为注:常用不等式的解法举例(x 为正数): ①231124(1)2(1)(1)()22327x x x x x -=⋅--≤=②2222232(1)(1)124(1)()223279x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤类似于22sin cos sin (1sin )y x x x x ==-,③111||||||()2x x x xx x+=+≥与同号,故取等。

高考数学中如何处理不等式和函数不等式

高考数学中如何处理不等式和函数不等式

高考数学中如何处理不等式和函数不等式高中生的一大考验就是高考。

而在高考数学中,不等式和函数不等式是必考的考点。

然而,相较于直观的解题方法,不等式和函数不等式常常需要一定的技巧和灵活的思维方式。

本文将从解不等式和函数不等式的基本方法、案例分析和解题技巧等几个方面来探讨高考数学中如何处理不等式和函数不等式。

一、解不等式和函数不等式的基本方法1、将不等式化为一般形式。

处理不等式的第一步是把它化为一般形式,并且尽量把不等式的系数整理规范化。

然后,要对系数进行讨论来确定解不等式的范围。

举个例子:解不等式 $x-1\ge2x+3$。

我们可以移项化简得到$x\le-4$。

这样,我们就得出了不等式的解,也就是 $(-\infty,-4]$。

2、降低不等关系的阶数。

减少不等式中的绝对值、分式、开方等带有异于一次的函数形式,能促进求根工作。

有时还可以利用平方、移项等方法,将含有不等关系的式子处理为左式和右式的关系,即分成两个简单的不等式。

举个例子:解不等式 $|x+2|+|x+3|\ge5$。

我们可以使用等效方法将不等式处理为两个不等式的和,即 $|x+2|\ge1$ 或$|x+3|\ge4$。

最后的解集为 $x\le-3$ 或 $x\le-2$ 或 $x\ge2$。

3、分类讨论解不等式。

不同的不等式形式需要采用不同的解题方法。

没有一个万能的方法。

因此,我们需要根据特点和个别情况,考虑选择合适的解题方法。

举个例子:解不等式 $\frac{3}{1-x}+\frac{x+1}{x-3}\le0$。

我们可以把不等式的解划分为 $x\le-2$,$-2\lt x\lt1$ 和$x\ge1$ 三个区间来分别进行讨论。

二、案例分析1、绝对值不等式绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念。

例如: $|x-2|<5$ 。

这里,我们可以先把不等式转化成两种不等式:$x-2<5$ 和 $x-2>-5$,再分别求解,得:x<7 和 x>-3。

完整版高中数学不等式知识点总结

完整版高中数学不等式知识点总结

完整版高中数学不等式知识点总结高中数学中的不等式是学习数学中非常重要的一部分,在中高考中,不等式占据了较多的分数比重。

本文将对高中数学中的不等式进行全面的总结,内容涵盖了不等式的概念、基础知识、理论与定理、解题思路、常用不等式以及与其他章节的联系等方面。

一、不等式的概念与基础知识不等式是指含有不等关系的算式,一般表示成 a<b 或a>b,其中 a、b 可以是实数、分数或代数式等。

当 a<b 时,称 a 小于 b,也可以写成 b 大于 a;当 a>b 时,称 a 大于b,也可以写成 b 小于 a。

在不等式中,表示关系的符号“<”和“>”称为不等号。

解不等式可以用图像法、正推反证法和直接法等方法。

图像法:绘制不等式所代表的曲线或图形,在图形中表示不等关系所代表的区域,最终得出解不等式的集合。

正推反证法:通过推理判断得出不等式的解,其中正推法是根据不等式的性质进行推导和运算,而反证法则是通过推翻假设得出结论。

直接法:对不等式进行变形、化简和运算,得出解的过程。

不等式的基础知识:1. 加减法原则:若 a<b,则 a+c<b+c,a-c<b-c(c 为任意实数)。

2. 乘除法原则:若 a<b 且 c>0,则 ac<bc,a/c<b/c;若 a<b 且 c<0,则 ac>bc,a/c>b/c。

3. 平均值不等式:对于任意两个正数 a 和 b,有(a+b)/2>=√ab,等号当且仅当 a=b 时取到。

二、不等式的理论与定理1. 不等式传递性:若 a<b,b<c,则 a<c。

2. 柯西-施瓦茨不等式:对于任意两个实数序列a1,a2,...,an 和 b1,b2,...,bn,有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=((a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^ 2+...+bn^2)),等号当且仅当 a1/b1=a2/b2=...=an/bn 时取到。

高考数学常考知识点整理

高考数学常考知识点整理

高考数学常考知识点整理高考数学是每个高中生都不可避免要面对的考试科目之一。

而在数学知识点众多的情况下,我们不可避免会漏掉一些常考的、最基本的知识点,因此我整理了一些高考数学常考知识点,希望能对广大考生有所帮助。

1. 不等式题型不等式是每年高考都会涉及到的知识点之一,一般考察的都是一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等题型。

在解此类题目时,我们需要先化简,再套用对数性质、平方性质、加减法反证法等方法进行求解。

2. 矩阵与行列式高考数学中矩阵与行列式的考察问法一般不会很复杂,但牵涉到的基本概念和运算法则却非常重要。

熟记行列式的性质,掌握矩阵的基本运算法则,尤其是矩阵乘法的计算方法十分必要。

3. 函数高考数学中函数是必考的知识点之一,不仅考查函数的基本概念和性质,还考查函数的图像,函数的解析式等内容。

因此,我们要对常见函数的概念及图像进行熟练掌握,对解法进行归纳总结,尤其是对函数的构造和分段函数的构造要进行深入理解。

4. 三角函数三角函数是高考数学中难度较大的知识点之一,考查角度的概念及角度的计算,考查各种三角函数的性质,基本变化等。

在备考过程中,我们要熟记三角函数的基本公式,和各种三角函数的性质及变化规律,并掌握套路性的解法和推导的方法。

5. 导数与微分高考数学中的导数与微分是比较重要的知识点之一,考查计算函数的导数,求函数的极值点和凹凸区间等问题。

在备考中,我们需要熟悉导数的定义、导数的计算法则、函数的极值及函数的单调性等内容,并掌握各种解法和证明的方法。

6. 不定积分与定积分高考数学中的不定积分与定积分也是比较重要的知识点之一,考查函数的原函数,计算函数的不定积分与定积分等知识。

备考时我们需要熟悉不定积分与定积分的计算公式,掌握积分中的一些基本技巧和方法,如换元法、分部积分法等。

总之,高考数学中的知识非常多,但是只有掌握了其中的常考知识点,才能提高我们的成绩。

我们要认真理解这些知识点,重点刻画这些知识点的本质、特点、规律等。

高考数学最常考知识点总结

高考数学最常考知识点总结

高考数学最常考知识点总结数学作为高考的一门必考科目,考察的内容涵盖了代数、几何、概率统计等多个方面。

在高考中,数学作为一门综合性强的学科,常考的知识点也多种多样。

下面就对高考数学常考的知识点进行总结,希望对大家复习备考有所帮助。

一、代数1. 一次函数一次函数是高考中常考的知识点。

它的一般式是y=kx+b,其中k是斜率,b是常数。

考生需要熟练掌握一次函数的性质、图像、平行于坐标轴的线段等相关知识。

2. 二次函数二次函数是高考数学中一种重要的函数形式。

其一般式为y=ax²+bx+c,其中a、b、c为常数,a≠0。

考生需要熟练掌握二次函数的性质,如开口方向、顶点坐标、对称轴等。

3. 不等式在高考数学中,不等式也是一种常考的知识点。

考生需要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等不等式的解法和性质。

4. 分式方程分式方程也是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握分式方程的解法、性质和应用。

5. 幂函数幂函数也是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握幂函数的性质、图像、增减性等相关知识。

6. 对数函数对数函数是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握对数函数的性质、定义域、值域、图像等相关知识。

7. 序列与数列序列与数列是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握常数列的概念、性质、通项公式、前n项和等相关知识。

8. 绝对值绝对值是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握绝对值的性质、解法以及不等式中的应用等相关知识。

二、几何1. 平面向量平面向量是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握平面向量的定义、性质、数量积、向量的共线条件等相关知识。

2. 直线与圆直线与圆是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握直线与圆的位置关系、性质、切线方程、切点坐标等相关知识。

3. 三角形三角形是高考数学中常考的知识点。

考生需要熟练掌握三角形的性质、中线定理、高线定理、角平分线定理、外角定理等相关知识。

高考数学必考知识点归纳全

高考数学必考知识点归纳全

高考数学必考知识点归纳全高考数学是高中阶段学生面临的一次重要考试,它涵盖了多个数学领域的基础知识点。

以下是高考数学必考知识点的归纳:一、集合与函数- 集合的概念:集合的表示、子集、并集、交集、补集。

- 函数的概念:函数的定义、值域、定义域、单调性、奇偶性。

- 函数的表示:函数的图象、函数的解析式。

二、代数基础- 指数与对数:指数函数、对数函数、对数运算法则。

- 幂运算:幂的运算法则、根式。

- 代数方程:一元一次方程、一元二次方程、高次方程、方程组的解法。

三、不等式与不等式组- 不等式的基本性质:不等式的基本解法、不等式组的解集。

- 绝对值不等式:绝对值的定义、绝对值不等式的解法。

四、数列- 等差数列:等差数列的定义、通项公式、求和公式。

- 等比数列:等比数列的定义、通项公式、求和公式。

- 数列的极限:数列极限的概念、极限的运算。

五、三角函数与解三角形- 三角函数:正弦、余弦、正切等基本三角函数的性质和图像。

- 解三角形:正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式。

六、解析几何- 直线:直线的方程、直线的位置关系。

- 圆:圆的方程、圆与直线的位置关系。

- 椭圆、双曲线、抛物线:圆锥曲线的性质和方程。

七、立体几何- 空间直线与平面:空间直线的方程、平面的方程、线面关系。

- 多面体与旋转体:多面体的体积、旋转体的表面积和体积。

八、概率与统计初步- 随机事件的概率:概率的定义、概率的计算方法。

- 统计初步:数据的收集、整理、描述。

九、导数与微分- 导数的概念:导数的定义、几何意义。

- 基本导数公式:常见函数的导数公式。

- 微分的概念:微分的定义、微分的应用。

十、积分与应用- 不定积分:不定积分的概念、基本积分公式。

- 定积分:定积分的概念、定积分的计算方法。

- 积分的应用:面积、体积、物理量等的计算。

十一、复数- 复数的概念:复数的定义、复数的运算。

- 复数的几何表示:复平面、复数的模和辐角。

十二、逻辑推理与证明方法- 逻辑推理:命题逻辑、逻辑运算。

高考数学复习-常见的几个函数不等式及其应用

高考数学复习-常见的几个函数不等式及其应用

常见的几个函数不等式及其应用在近几年的高考中,无论是国家考试中心的数学命题,还是一些独立命题省市的数学命题,有一些函数不等式在命题中出现的频率很高,它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用,下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍(1))1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明:令x x x f -+=)1ln()(,则xxx x f +-=-+='1111)(.当01<<-x 时,0)(>'x f ;当0>x 时,0)(<'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极大值,故0)0()(=≤f x f ,所以)1()1ln(->≤+x x x .令x x x x g +-+=1)1ln()(,则22)1()1()1(11)(x xx x x x x g +=+-+-+='.当01<<-x 时,0)(<'x f ;当0>x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极小值,故0)0()(=≥g x g ,)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx.综上可知,)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式:)0(1ln >-≤x x x ,②)0(11ln >≥+x xx .③(2))1)(1(21ln ≥-≤x xx x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明:令)1(21ln )(x x x x f --=,则02)1()11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以,当1≥x 时,0)1()(=≤f x f ;当10≤<x 时,0)1()(=≥f x f .所以,不等式④,⑤成立.变式:)0(1)1ln(≥+≤+x x x x ⑥(3))1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明:令1)1(2ln )(+--=x x x x f ,则0)1()1()(22≥+-='x x x x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时,0)1()(=≥f x f ;当10≤<x 时,0)1()(=≤f x f .所以,不等式⑦,⑧成立.(4))10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明:令x x x f 1)1ln(1)(-+=,则221)1(ln )1(1)(xx x x f +++-=',而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+=',由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x x x 知,0)(<'x f ,所以)(x f 在10≤<x 上为减函数,12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x .综上可知,不等式⑨成立.(5))0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩证明:令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ,则0)1(2)(22≤+-='x x x f .故0)0()(=≤f x f .所以,不等式⑩成立.变式:)0)(111(21)11ln(>++≤+x x x x ⑪利用上述类似构造函数方法,还可以得到以下一些重要不等式:(6)贝努尼不等式:当1->x 时,)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ,⑫)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬(7))0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式,无论是去研究函数性质,还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。

高考数学复习考点知识讲解课件3 不等式性质 一元二次函数 方程和不等式

高考数学复习考点知识讲解课件3 不等式性质 一元二次函数 方程和不等式

+c(a>0)的
图象
ax2+bx+c =0(a>0)的

有两个不相 等的实数根 x1,x2(x1<x2)
有两个相等 的实数根 x1 =x2=-2ba
没有实数根
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— 6—
(新教材) 高三总复习•数学
判别式 ax2+bx+ c>0(a>0)的
解集 ax2+bx+ c<0(a>0)的
解集
Δ>0 {x_|x_<_x_1_或__x_>_x_2}
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— 返回 —
基础知识夯实
01
(新教材) 高三总复习•数学
知识梳理 1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法:aa--bb>=00⇔⇔aa_____>=_____bb,, a-b<0⇔a___<__b.
aba>∈1Ra∈,Rb>,0b,>0⇔a___>___b (2)作商法ab=1⇔a__=____ba,b≠0,
— 返回 —
— 8—
(新教材) 高三总复习•数学
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诊断自测 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若ab>1,则 a>b.( × ) (2)若 ab>0,则 a>b⇔1a<1b.( √ ) (3)若不等式 ax2+bx+c>0 的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程 ax2+bx+c=0 的 两个根是 x1 和 x2.( √ ) (4) 一 元 二 次 不 等 式 ax2 + bx + c≤0 在 R 上 恒 成 立 的 条 件 是 a<0 且 Δ = b2 - 4ac≤0.( √ )

新高考数学必考知识点归纳

新高考数学必考知识点归纳

新高考数学必考知识点归纳新高考数学作为高中数学教育的重要组成部分,其必考知识点覆盖了基础数学的多个领域。

以下是对新高考数学必考知识点的归纳:一、函数与导数- 函数的定义、性质、图像- 一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数- 函数的单调性、奇偶性、周期性- 导数的定义、几何意义、运算法则- 基本导数公式、复合函数的求导法则- 高阶导数、隐函数求导、参数方程求导二、三角函数与解三角形- 三角函数的定义、图像、性质- 正弦定理、余弦定理、正切定理- 三角恒等变换、和差化积、积化和差- 三角函数的反函数、同角三角函数关系三、不等式与方程- 不等式的基本性质、解法- 一元一次不等式、一元二次不等式- 分式不等式、绝对值不等式- 线性方程组、非线性方程组的解法- 一元高次方程的解法四、数列- 数列的概念、分类- 等差数列、等比数列的定义、通项公式、求和公式- 数列的极限、无穷等比数列的求和- 数列的单调性、有界性五、解析几何- 点、线、面的基本性质- 直线的方程、圆的方程、椭圆、双曲线、抛物线的方程- 直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系- 圆锥曲线的参数方程、极坐标方程六、立体几何- 空间直线、平面的基本性质- 空间向量、向量积- 空间直线与平面的位置关系- 多面体、旋转体的体积、表面积七、概率与统计初步- 随机事件的概率、概率的加法公式、乘法公式- 条件概率、独立事件- 离散型随机变量及其分布列、期望、方差- 统计数据的收集、整理、描述八、复数- 复数的概念、复数的运算- 复数的几何意义、复平面- 复数的共轭、模、辐角九、逻辑推理与证明- 逻辑推理的基本形式、演绎推理- 直接证明、反证法、数学归纳法十、数学思想与方法- 数学建模、数学思维- 解题策略、数学方法论新高考数学的备考需要对这些知识点有深入的理解和熟练的运用能力。

通过不断的练习和总结,考生可以提高解题速度和准确率,为高考取得优异成绩打下坚实的基础。

高三不等式的知识点总结

高三不等式的知识点总结

高三不等式的知识点总结高三是学生们备战高考的重要一年,数学是其中重要的一门科目。

在数学中,不等式是一个重要的分支,也是高考常考的内容之一。

掌握不等式的知识点对于高三学生来说至关重要,因此本文将对高三不等式的知识点进行总结。

一、基础概念不等式是数学中表示大小关系的一种特殊符号。

常见的不等式符号有“<”、“>”、“≤”和“≥”。

例如:4 < 5,表示4小于5;7 ≥ 3,表示7大于等于3。

二、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个未知数的一次方程中含有不等号的形式。

解一元一次不等式时,需要根据不等式的性质进行移项和合并同类项,得到解的区间。

三、二元一次不等式二元一次不等式是指含有两个未知数的一次方程中含有不等号的形式。

解二元一次不等式常用区域图法,即画出平面直角坐标系,并根据不等式的条件在平面直角坐标系上绘制出对应的区域,最后找出可行解所在的区域。

四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。

解绝对值不等式时,需要分两种情况讨论,具体分析绝对值的取值范围,然后解出不等式。

五、高次不等式高次不等式是指不等式中含有幂函数的形式。

解决高次不等式时,可以根据不等式的特点进行分类讨论,或者利用数学函数的性质进行推导,最后得到解的区间。

六、不等式的证明不等式的证明是数学推理的一种形式,常见的证明方法有直接证明法、反证法和数学归纳法。

在高考中,常考的不等式证明有柯西不等式、均值不等式等。

七、不等式的应用不等式的应用广泛,涉及到生活、经济、科学等各个领域。

例如在物理中,不等式可以用来描述力学问题中物体的位置、速度和加速度之间的关系;在经济学中,不等式可以用来描述供求关系、市场均衡等。

总结:高三不等式的知识点是高考数学中的重要内容,掌握不等式的方法和技巧对解题有着重要的帮助。

通过对一元一次不等式、二元一次不等式、绝对值不等式、高次不等式等基础概念的理解,以及对不等式的证明和应用的掌握,学生们将能够更好地应对高三数学的挑战,提高解题的能力。

高考数学中的不等式相关知识点详解

高考数学中的不等式相关知识点详解

高考数学中的不等式相关知识点详解数学是高考必考科目之一,而在数学中,不等式是重要的内容。

不等式是数学中的一个分支,是许多数学理论和应用中的核心。

在高考中,不等式占有很高的比重,因此,在高考中,掌握不等式相关知识点是非常重要的。

本文将详细解析高考中的不等式相关知识点。

一、基本不等式在学习不等式的时候,我们首先要了解基本不等式。

基本不等式是比较基本的不等式,是许多不等式的基础。

基本不等式的表达式为:a2+b2≥2ab。

其中,a和b为任意实数。

利用基本不等式可以解决很多的不等式问题。

我们可以通过基本不等式来证明很多与不等式有关的结论。

例如,证明平均值不小于几何平均值,证明勾股定理等等。

二、一元二次不等式及其解法一元二次不等式就是带有二次项的一元不等式,它的一般形式为:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0。

其中,a、b和c为常数,且a≠0。

一元二次不等式的解法有以下方式:1. 求解线性方程组对一元二次不等式的方程左边进行变形得到:ax2+bx+c≥0。

然后再根据二次函数图像上跨过X轴的方法,画出图像并求出x的取值范围。

最后,将图像左侧和右侧的值代入不等式,进而解出不等式的解。

2. 二次函数图像法通过画出二次函数图像,找到函数图像上跨过X轴的点,并根据函数图像上跨过X轴的点,解出不等式的解。

3. 公式法通过求出方程式ax2+bx+c=0的根,即可解出不等式的解。

当a>0时,方程的根为: x1=(-b+√(b2-4ac))/(2a) 和 x2=(-b-√(b2-4ac))/(2a)。

当 a<0时,方程的根为: (-b+√(b2-4ac))/(2a)<x<(-b-√(b2-4ac))/(2a)。

三、二元不等式二元不等式是指包含两个变量的不等式式子,它的一般形式为:f(x,y)≥0或f(x,y)≤0。

其中,x和y是变量,称为未知数,f(x,y)是由x和y组成的表达式。

二元不等式的解法有以下方式:1.用集合表示法通过用集合表示法定义不等式的解集,可以清晰地看到不等式的解集。

第二章 一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背(新教材)

第二章  一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背(新教材)

第二章一元二次函数、方程和不等式(公式、定理、结论图表)1.不等关系不等关系常用不等式来表示.2.实数a,b的比较大小文字语言数学语言等价条件a-b是正数a-b>0a>ba-b等于零a-b=0a=ba-b是负数a-b<0a<b3.重要不等式一般地,∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时,等号成立.4.等式的性质(1)性质1如果a=b,那么b=a;(2)性质2如果a=b,b=c,那么a=c;(3)性质3如果a=b,那么a±c=b±c;(4)性质4如果a=b,那么ac=bc;(5)性质5如果a=b,c≠0,那么ac=b c .5.不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b<a.(2)传递性:a>b,b>c⇒a>c.(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c.(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc.(5)加法法则:a>b,c>d⇒a+c>b+d.(6)乘法法则:a>b>0,c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则:a>b>0⇒a n>b n>0(n∈N,n≥2).6.基本不等式(1)有关概念:当a,b均为正数时,把a+b2叫做正数a,b的算术平均数,把ab叫做正数a,b的几何平均数.(2)不等式:当a,b是任意正实数时,a,b的几何平均数不大于它们的算术平均数,即ab≤a+b2,当且仅当a=b时,等号成立.7.已知x、y都是正数,(1)若x+y=S(和为定值),则当x=y时,积xy取得最大值S24.(2)若xy=p(积为定值),则当x=y时,和x+y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀:积定和最小,和定积最大.8.一元二次不等式的概念只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.9.一元二次不等式的一般形式(1)ax2+bx+c>0(a≠0).(2)ax2+bx+c≥0(a≠0).(3)ax2+bx+c<0(a≠0).(4)ax2+bx+c≤0(a≠0).思考1:不等式x2-y2>0是一元二次不等式吗?提示:此不等式含有两个变量,根据一元二次不等式的定义,可知不是一元二次不等式.10.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.思考2:类比“方程x2=1的解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可使等式成立”.不等式x2>1的解集及其含义是什么?提示:不等式x2>1的解集为{x|x<-1或x>1},该集合中每一个元素都是不等式的解,即不等式的每一个解均使不等式成立.11.三个“二次”的关系|b提示:结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R,则>0,+4a<0,解得a∈∅,所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R. 12.分式不等式的解法主导思想:化分式不等式为整式不等式类型同解不等式思考1:x -3x +2>0与(x -3)(x +2)>0等价吗?将x -3x +2>0变形为(x -3)(x +2)>0,有什么好处?提示:等价;好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式.13.(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件设二次函数y =ax 2+bx +c若ax 2+bx +c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2+bx +c ≥k 恒成立⇔y min ≥k14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解,认真审题,分析题目中有哪些已知量和未知量,找准不等关系.(2)设出起关键作用的未知量,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).(3)解不等式(或求函数最值).(4)回扣实际问题.思考2:解一元二次不等式应用题的关键是什么?提示:解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择其中起关键作用的未知量为x,用x来表示其他未知量,根据题意,列出不等关系再求解.<解题方法与技巧>1.作差法比较大小的一般步骤第一步:作差;第二步:变形,常采用配方、因式分解等恒等变形手段,将“差”化成“和”或“积”;第三步:定号,就是确定是大于0,等于0,还是小于0(不确定的要分情况讨论);最后得结论.概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键.典例1:已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小.[解]3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).∵x≤1得x-1≤0,而3x2+1>0,∴(3x2+1)(x-1)≤0,∴3x3≤3x2-x+1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,(2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.典例2:若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:e(a-c)2>e(b-d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质,分析所证不等式的结构,有理有据地导出证明结果.[证明]∵c<d<0,∴-c>-d>0.又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0.∴(a-c)2>(b-d)2>0.两边同乘以1(a-c)2(b-d)2,得1(a-c)2<1(b-d)2.又e<0,∴e(a-c)2>e(b-d)2.3.对基本不等式的理解2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面:(1)定理成立的条件是a、b都是正典例3:给出下面四个推导过程:①∵a、b为正实数,∴ba+ab≥2ba·ab=2;②∵a∈R,a≠0,∴4a+a≥24a·a=4;③∵x、y∈R,xy<0,∴xy+yx=-- 2.其中正确的推导为()A.①②B.①③C.②③D.①②③B[解]①∵a、b为正实数,∴ba、ab为正实数,符合基本不等式的条件,故①的推导正确.②∵a∈R,a≠0,不符合基本不等式的条件,∴4a+a≥24a·a=4是错误的.③由xy<0,得xy、yx均为负数,但在推导过程中将整体xy+yx提出负号后,为正数,符合均值不等式的条件,故③正确.]4.利用基本不等式比较大小1.在理解基本不等式时,要从形式到内含中理解,特别要关注条件.等号成立的条件是a=b;a2+b2≥2ab成立的条件是a,b∈R,等号成立的条件是a=b.典例4:(1)已知a,b∈R+,则下列各式中不一定成立的是()A.a+b≥2ab B.ba+a b ≥2C.a2+b2ab ≥2ab D.2aba+b≥ab(2)已知a,b,c是两两不等的实数,则p=a2+b2+c2与q=ab+bc+ca的大小关系是________.(1)D(2)a2+b2+c2>ab+bc+ac[解](1)由a+b2≥ab得a+b=2ab,∴A成立;∵ba+ab≥2ba·ab=2,∴B成立;∵a2+b2ab≥2abab=2ab,∴C成立;∵2aba+b≤2ab2ab=ab,∴D不一定成立.(2)∵a、b、c互不相等,∴a2+b2>2ab,b2+c2>2ac,a2+c2>2ac.∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac).即a2+b2+c2>ab+bc+.]5.利用基本不等式证明不等式1.条件不等式的证明,要将待证不等式与已知条件结合起来考虑,比如本题通过“1”的代换,将不等式的左边化成齐次式,一方面为使用基本不等式创造条件,另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系.2.先局部运用基本不等式,再利用不等式的性质(注意限制条件),通过相加(乘)合成为待证的不等式,既是运用基本不等式时的一种重要技能,也是证明不等式时的一种常用方法.典例5:已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1,求证:1a+1b+1c>9.[思路点拨]看到1a+1b+1c>9,想到将“1”换成“a+b+c”,裂项构造基本不等式的形式,用基本不等式证明.[证明]∵a,b,c∈R+,且a+b+c=1,∴1a +1b +1c =a +b +c a +a +b +c b +a +b +c c =3+b a +c a +a b +c b +a c +b c=3≥3+2b a ·a b+2c a ·a c+2c b ·b c=3+2+2+2=9.当且仅当a =b =c 时取等号,∴1a +1b +1c>9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件,即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话:若不正,用其相反数,改变不等号方向;若不定应凑出定和或定积;典例6:(1)已知x <54,求y =4x -2+14x -5的最大值;(2)已知0<x <12,求y =12(1-2x )的最大值.[思路点拨](1)看到求y =4x -2+14x -5的最值,想到如何才能出现乘积定值;(2)要求y=12x (1-2x )的最值,需要出现和为定值.[解](1)∵x <54,∴5-4x >0,∴y =4x -2+14x -5=--4x 3≤-2+3=1,当且仅当5-4x =15-4x,即x =1时,上式等号成立,故当x =1时,y max =1.(2)∵0<x<12,∴1-2x>0,∴y=14×2x(1-2x)≤14×=14×14=116∴当且仅当2x=1-2xx=14时,y max=116.7.利用基本不等式求条件最值1.本题给出的方法,用到了基本不等式,并且对式子进行了变形,配凑出满足基本不等式的条件,这是经常使用的方法,要学会观察、学会变形.f(x)=ax(b-ax)型.典例7:已知x>0,y>0,且满足8x+1y=1.求x+2y的最小值.[解]∵x>0,y>0,8x+1 y=1,∴x+2yx+2y)=10+xy+16yx≥10+2xy·16yx=18,+1y=1,=16yx,=12,=3时,等号成立,故当x=12,y=3时,(x+2y)min=18.8.利用基本不等式解决实际问题1.在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下思路和方法:(1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数;(2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题;(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;(4)正确写出答案.时,可用函数的单调性求解典例8:如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.现有36m 长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽分别设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?[解]设每间虎笼长x m ,宽y m ,则由条件知,4x +6y =36,即2x +3y =18.设每间虎笼面积为S ,则S =xy .法一:由于2x +3y ≥22x ·3y =26xy ,所以26xy ≤18,得xy ≤272,即S max =272,当且仅当2x =3y 时,等号成立.x +3y =18,x =3y ,=4.5,=3.故每间虎笼长为4.5m,宽为3m 时,可使每间虎笼面积最大.法二:由2x +3y =18,得x =9-32y .∵x >0,∴0<y <6,S =xy =-32y =32y (6-y ).∵0<y <6,∴6-y >0.∴S ≤32(6-y )+y 22=272.当且仅当6-y =y ,即y =3时,等号成立,此时x =4.5.故每间虎笼长为4.5m ,宽为3m 时,可使每间虎笼面积最大.9.不等式恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种:(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元,一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值的集合为B={y|m≤y≤n},则(1)y≥k恒成立⇒y min≥k即m≥k;(2)y≤k恒成立⇒y max≤k即n≤k.典例9:已知y=x2+ax+3-a,若-2≤x≤2,x2+ax+3-a≥0恒成立,求a的取值范围.[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题,可以利用函数的图象与性质求解.[解]设函数y=x2+ax+3-a在-2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数,设为g(a),则(1)当对称轴x=-a2<-2,即a>4时,g(a)=(-2)2+(-2)a+3-a=7-3a≥0,解得a≤73,与a>4矛盾,不符合题意.(2)当-2≤-a2≤2,即-4≤a≤4时,g(a)=3-a-a24≥0,解得-6≤a≤2,此时-4≤a≤2.(3)当-a2>2,即a<-4时,g(a)=22+2a+3-a=7+a≥0,解得a≥-7,此时-7≤a<-4.综上,a的取值范围为-7≤a≤2.。

高考数学知识点归纳

高考数学知识点归纳

高考数学知识点归纳高考数学知识点归纳整理高考数学多个常考知识点,包括函数、数列、不等式、三角函数、立体几何等重点内容,以下是小编整理的高考数学知识点归纳,希望可以提供给大家进行参考和借鉴。

高考数学知识点归纳第一,函数与导数主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。

第二,平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点,主要出一些基础题或中档题。

第三,数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点,主要出一些综合题。

第四,不等式主要考查不等式的求解和证明,而且很少单独考查,主要是在解答题中比较大小。

是高考的重点和难点。

第五,概率和统计这部分和我们的生活联系比较大,属应用题。

第六,空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直,求角和距离。

主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。

第七,解析几何高考的难点,运算量大,一般含参数。

高考数学冲刺注意事项重视新增内容考查,新课标高考对新增内容的考查比例远远超出它们在教材中占有的比例。

例如:三视图、茎叶图、定积分、正态分布、统计案例等。

立足基础,强调通性通法,增大覆盖面。

从历年高考试题看,高考数学命题都把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上,即关注学生在学习数学和应用数学解决问题的过程中最为重要的、必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能,紧紧地围绕“双基”对数学的核心内容与基本能力进行重点考查。

突出新课程理念,关注应用,倡导“学以致用”。

新课程倡导积极主动、勇于探索的学习方式,注重提高学生的数学思维能力,发展学生的数学应用意识。

加强应用意识的培养与考查是教育改革的需要,也是作为工具学科的数学学科特点的体现。

有意训练每年高考试题中都出现的高频考点。

高考数学必背公式一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc__cosA二、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 三、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a四、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cos A)/((1-cosA))五、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB数学解题方法1、剔除法利用题目给出的已知条件和选项提供的信息,从四个选项中挑选出三个错误答案,从而达到正确答案的目的。

历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案

历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案

历年高三数学高考考点之〈不等式〉必会题型及答案体验高考体验高考1.已知函数f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪x -12+⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +12,M 为不等式f (x )<2的解集. (1)求M ;(2)证明:当a ,b ∈M 时,|a +b |<|1+ab |.(1)解 f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2x ,x ≤-12,1,-12<x <12,2x ,x ≥12.当x ≤-12时,由f (x )<2得-2x <2,解得x >-1,所以-1<x ≤-12;当-12<x <12时,f (x )<2;当x ≥12时,由f (x )<2得2x <2,解得x <1, 所以,-12<x <1.所以f (x )<2的解集M ={x |-1<x <1}.(2)证明 由(1)知,当a ,b ∈M 时,-1<a <1,-1<b <1,从而(a +b )2-(1+ab )2=a 2+b 2-a 2b 2-1=(a 2-1)(1-b 2)<0,即(a +b )2<(1+ab )2, 因此|a +b |<|1+ab |.2.已知函数f (x )=|2x -a |+a .(1)当a =2时,求不等式f (x )≤6的解集;(2)设函数g (x )=|2x -1|.当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3,求a 的取值范围. 解 (1)当a =2时,f (x )=|2x -2|+2. 解不等式|2x -2|+2≤6得-1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |-1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时,f (x )+g (x )=|2x -a |+a +|1-2x |≥|2x -a +1-2x |+a =|1-a |+a , 当x =12时等号成立,所以当x ∈R 时,f (x )+g (x )≥3等价于|1-a |+a ≥3.①当a ≤1时,①等价于1-a +a ≥3,无解. 当a >1时,①等价于a -1+a ≥3, 解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2,+∞).高考必会题型题型一 含绝对值不等式的解法 含有绝对值的不等式的解法(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<-a ; (2)|f (x )|<a (a >0)⇔-a <f (x )<a ;(3)对形如|x -a |+|x -b |≤c ,|x -a |+|x -b |≥c 的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1 已知函数f (x )=|x -a |,其中a >1. (1)当a =2时,求不等式f (x )≥4-|x -4|的解集;(2)已知关于x 的不等式|f (2x +a )-2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2},求a 的值. 解 (1)当a =2时,f (x )+|x -4|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x +6,x ≤2,2,2<x <4,2x -6,x ≥4.当x ≤2时,由f (x )≥4-|x -4| 得-2x +6≥4, 解得x ≤1;当2<x <4时,f (x )≥4-|x -4|无解; 当x ≥4时,由f (x )≥4-|x -4| 得2x -6≥4,解得x ≥5;所以f (x )≥4-|x -4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}.(2)记h (x )=f (2x +a )-2f (x ), 则h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-2a ,x ≤0,4x -2a ,0<x <a ,2a ,x ≥a .由|h (x )|≤2,解得a -12≤x ≤a +12.又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2},所以⎩⎪⎨⎪⎧a -12=1,a +12=2,于是a =3.点评 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点;②划区间、去绝对值号;③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.变式训练1 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|. (1)证明:-3≤f (x )≤3;(2)求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集.(1)证明 f (x )=|x -2|-|x -5|=⎩⎪⎨⎪⎧-3,x ≤2,2x -7,2<x <5,3,x ≥5.当2<x <5时,-3<2x -7<3. 所以-3≤f (x )≤3. (2)解 由(1)可知,当x ≤2时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为空集;当2<x <5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x <5}; 当x ≥5时,f (x )≥x 2-8x +15的解集为 {x |5≤x ≤6}.综上,不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集为{x |5-3≤x ≤6}. 题型二 不等式的证明 1.含有绝对值的不等式的性质 |a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |. 2.算术—几何平均不等式定理1:设a ,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab .当且仅当a =b 时,等号成立. 定理2:如果a 、b 为正数,则a +b2≥ab ,当且仅当a =b 时,等号成立.定理3:如果a 、b 、c 为正数,则a +b +c3≥3abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立.定理4:(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1+a 2+…+a nn≥na 1a 2…a n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立. 例2 (1)已知x ,y 均为正数,且x >y .求证:2x +1x 2-2xy +y 2≥2y +3.(2)已知实数x ,y 满足:|x +y |<13,|2x -y |<16,求证:|y |<518.证明 (1)因为x >0,y >0,x -y >0, 2x +1x 2-2xy +y 2-2y=2(x -y )+1x -y2=(x -y )+(x -y )+1x -y2≥33x -y21x -y2=3,所以2x +1x 2-2xy +y 2≥2y +3.(2)因为3|y |=|3y |=|2(x +y )-(2x -y )|≤2|x +y |+|2x -y |, 由题设知|x +y |<13,|2x -y |<16,从而3|y |<23+16=56,所以|y |<518.点评 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法.作差法证明不等式的一般步骤:①作差;②分解因式;③与0比较;④结论.关键是代数式的变形能力. (2)在不等式的证明中,适当“放”“缩”是常用的推证技巧. 变式训练2 (1)若a ,b ∈R ,求证:|a +b |1+|a +b |≤|a |1+|a |+|b |1+|b |.(2)已知a ,b ,c 均为正数,a +b =1,求证:a 2b +b 2c +c 2a≥1.证明 (1)当|a +b |=0时,不等式显然成立. 当|a +b |≠0时,由0<|a +b |≤|a |+|b |⇒1|a +b |≥1|a |+|b |,所以|a +b |1+|a +b |=11|a +b |+1≤11+1|a |+|b |=|a |+|b |1+|a |+|b |≤|a |1+|a |+|b |1+|b |. (2)因为a 2b +b ≥2a ,b 2c +c ≥2b ,c 2a +a ≥2c ,故a 2b +b 2c +c 2a +(a +b +c )≥2(a +b +c ), 即a 2b +b 2c +c 2a ≥a +b +c , 所以a 2b +b 2c +c 2a≥1.题型三 柯西不等式的应用 柯西不等式(1)设a ,b ,c ,d 均为实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立. (2)设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3,…,b n 是实数,则(a 21+a 22+…+a 2n )(b 21+b 22+…+b 2n )≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0(i =1,2,…,n )或存在一个数k ,使得a i =kb i (i =1,2,…,n )时,等号成立.例3 (2015·福建)已知a >0,b >0,c >0,函数f (x )=|x +a |+|x -b |+c 的最小值为4.(1)求a +b +c 的值; (2)求14a 2+19b 2+c 2的最小值.解 (1)因为f (x )=|x +a |+|x -b |+c ≥|(x +a )-(x -b )|+c =|a +b |+c ,当且仅当-a ≤x ≤b 时,等号成立.又a >0,b >0,所以|a +b |=a +b . 所以f (x )的最小值为a +b +c . 又已知f (x )的最小值为4, 所以a +b +c =4.(2)由(1)知a +b +c =4,由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2+19b 2+c 2(4+9+1) ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2×2+b3×3+c ×12=(a +b +c )2=16, 即14a 2+19b 2+c 2≥87. 当且仅当12a 2=13b 3=c1,即a =87,b =187,c =27时等号成立.故14a 2+19b 2+c 2的最小值为87. 点评 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明. (2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a 21+a 22+…+a 2n )(1a 21+1a 22+…+1a 2n)≥(1+1+…+1)2=n 2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.变式训练3 已知定义在R 上的函数f (x )=|x +1|+|x -2|的最小值为a . (1)求a 的值;(2)若p ,q ,r 是正实数,且满足p +q +r =a ,求证:p 2+q 2+r 2≥3.(1)解 因为|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3,当且仅当-1≤x ≤2时,等号成立, 所以f (x )的最小值等于3,即a =3. (2)证明 由(1)知p +q +r =3, 又因为p ,q ,r 是正实数,所以(p 2+q 2+r 2)(12+12+12)≥(p ×1+q ×1+r ×1)2=(p +q +r )2=9, 即p 2+q 2+r 2≥3.高考题型精练1.如果关于x 的不等式|x -3|-|x -4|<a 的解集不是空集,求实数a 的取值范围. 解 设y =|x -3|-|x -4|, 则y =⎩⎪⎨⎪⎧-1,x ≤3,2x -7,3<x <4,1,x ≥4的图象如图所示:若|x -3|-|x -4|<a 的解集不是空集, 则(|x -3|-|x -4|)min <a .由图象可知当a >-1时,不等式的解集不是空集. 即实数a 的取值范围是(-1,+∞).2.设x >0,y >0,若不等式1x +1y +λx +y ≥0恒成立,求实数λ的最小值.解 ∵x >0,y >0,∴原不等式可化为-λ≤(1x +1y )·(x +y )=2+y x +xy.∵2+y x +x y ≥2+2y x ·xy=4, 当且仅当x =y 时等号成立. ∴[(1x +1y)(x +y )]min =4,∴-λ≤4,λ≥-4.即实数λ的最小值是-4.3.若不等式|2x -1|+|x +2|≥a 2+12a +2对任意实数x 恒成立,求实数a 的取值范围.解 设y =|2x -1|+|x +2|=⎩⎪⎨⎪⎧-3x -1,x <-2,-x +3,-2≤x <12,3x +1,x ≥12.当x <-2时,y =-3x -1>5; 当-2≤x <12时,y =-x +3>52;当x ≥12时,y =3x +1≥52,故函数y =|2x -1|+|x +2|的最小值为52.因为不等式|2x -1|+|x +2|≥a 2+12a +2对任意实数x 恒成立,所以52≥a 2+12a +2.解不等式52≥a 2+12a +2,得-1≤a ≤12,故a 的取值范围为[-1,12].4.设不等式|x -2|<a (a ∈N *)的解集为A ,且32∈A ,12∉A ,(1)求a 的值;(2)求函数f (x )=|x +a |+|x -2|的最小值.解 (1)因为32∈A ,且12∉A ,所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32-2<a ,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12-2≥a ,解得12<a ≤32.又因为a ∈N *,所以a =1.(2)因为|x +1|+|x -2|≥|(x +1)-(x -2)|=3, 当且仅当(x +1)(x -2)≤0,即-1≤x ≤2时取到等号,所以f (x )的最小值为3. 5.已知f (x )=|x +1|+|x -1|,不等式f (x )<4的解集为M . (1)求M ;(2)当a ,b ∈M 时,证明:2|a +b |<|4+ab |. (1)解 f (x )=|x +1|+|x -1|=⎩⎪⎨⎪⎧-2x ,x <-1,2,-1≤x ≤1,2x ,x >1.当x <-1时,由-2x <4,得-2<x <-1; 当-1≤x ≤1时,f (x )=2<4; 当x >1时,由2x <4,得1<x <2. ∴综上可得-2<x <2,即M =(-2,2). (2)证明 ∵a ,b ∈M , 即-2<a <2,-2<b <2,∴4(a +b )2-(4+ab )2=4(a 2+2ab +b 2)-(16+8ab +a 2b 2)=(a 2-4)(4-b 2)<0, ∴4(a +b )2<(4+ab )2, ∴2|a +b |<|4+ab |.6.已知a 2+2b 2+3c 2=6,若存在实数a ,b ,c ,使得不等式a +2b +3c >|x +1|成立,求实数x 的取值范围.解 由柯西不等式知[12+(2)2+(3)2][a 2+(2b )2+(3c )2] ≥(1·a +2·2b +3·3c )2即6×(a 2+2b 2+3c 2)≥ (a +2b +3c )2. 又∵a 2+2b 2+3c 2=6, ∴6×6≥(a +2b +3c )2, ∴-6≤a +2b +3c ≤6,∵存在实数a ,b ,c ,使得不等式a +2b +3c >|x +1|成立.∴|x +1|<6,∴-7<x <5. ∴x 的取值范围是{x |-7<x <5}. 7.设函数f (x )=|x -a |+3x ,其中a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )≥3x +2的解集; (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤-1},求a 的值. 解 (1)当a =1时,f (x )≥3x +2可化为|x -1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤-1.故不等式f (x )≥3x +2的解集为{x |x ≥3或x ≤-1}. (2)由f (x )≤0得|x -a |+3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x -a +3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,a -x +3x ≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ,x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ,x ≤-a 2.因为a >0,所以不等式组的解集为{x |x ≤-a2}.由题设可得-a2=-1,故a =2.8.(2015·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )=|x +1|-2|x -a |,a >0. (1)当a =1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解 (1)当a =1时,f (x )>1化为|x +1|-2|x -1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x -4>0,无解; 当-1<x <1时,不等式化为3x -2>0, 解得23<x <1;当x ≥1时,不等式化为-x +2>0,解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫2a -13,0,B (2a +1,0),C (a ,a +1),△ABC 的面积为23(a +1)2.由题设得23(a +1)2>6,故a >2.所以a 的取值范围为(2,+∞).。

高考函数与不等式知识点

高考函数与不等式知识点

高考函数与不等式知识点高考中的函数与不等式知识点高考是中国学生人生中关键的一场考试,考生们需要通过高考来决定自己的未来发展方向。

其中,数学科目是高考的重点考察内容之一,而函数与不等式是数学中的重要知识点之一。

本文将探讨高考中的函数与不等式知识点,并对其应用和解题要点进行分析。

一、函数知识点函数是数学中的重要概念之一,它描述了不同变量之间的关系。

在高考中,函数的定义、性质和图像是常见考点。

1.1 函数的定义函数是一种特殊的关系,它以一组输入值(自变量)和相应的输出值(因变量)之间的对应关系来定义。

函数表示为f(x),其中x为自变量,f(x)为对应的因变量。

函数的定义域是所有自变量可能取值的集合,值域是对应的因变量可能取值的集合。

1.2 函数的性质函数的性质包括奇偶性、周期性、单调性等。

其中,奇偶性指的是函数关于原点的对称性,周期性指的是函数在一定区间内重复出现的性质,单调性指的是函数在定义域内的递增或递减的趋势。

1.3 函数的图像函数的图像是通过绘制函数在直角坐标系中的所有可能点得到的曲线或直线。

图像可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势。

二、不等式知识点不等式是数学中的另一个重要概念,它描述了变量之间的大小关系。

在高考中,不等式的解集、性质和应用是常见考点。

2.1 不等式的解集不等式的解集是满足不等式条件的所有可能解的集合。

解集可以是有限集合、无限集合或空集。

2.2 不等式的性质不等式的性质包括加减乘除法则、取绝对值法则和两边平方等。

这些性质可以帮助我们对不等式进行等价变换,从而得到更简洁的形式。

2.3 不等式的应用不等式的应用涉及到实际问题的建模和求解。

例如,利用不等式可以确定某个问题的最优解,或者评估一个系统的稳定性。

三、应用与解题要点高考中的函数与不等式不仅仅是理论知识,更需要学生掌握其应用和解题要点。

3.1 应用学生需要理解函数和不等式在实际问题中的应用,运用数学知识解决实际问题。

例如,可以通过分析函数图像来解释某个实际问题中的变化趋势。

高三数学必背必考知识点

高三数学必背必考知识点

高三数学必背必考知识点高三数学必背必考知识点1第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数,这是我们整个高中阶段里最核心的板块,在这个板块里,重点考察两个方面:第一个函数的性质,包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题,重点考察的是二次函数和高次函数,分函数和它的一些分布问题,但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题,这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面:一个是划减与求值,第一,重点掌握公式,重点掌握五组基本公式。

第二,是三角函数的图像和性质,这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质,第三,正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块,重点考两个方面:一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何,在里面重点考察两个方面:一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴,当然应该掌握下面几个方面,第一……等可能的概率,第二………事件,第三是独立事件,还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题,是整个试卷里难度比较大,计算量的题,当然这一类题,我总结下面五类常考的题型,包括:第一类所讲的直线和曲线的位置关系,这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题,这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题,这类题时往往觉得有思路,但是没有答案,当然这里我相等的是,这道题尽管计算量很大,但是造成计算量大的原因,往往有这个原因,我们所选方法不是很恰当,因此,在这一章里我们要掌握比较好的算法,来提高我们做题的准确度,这是我们所讲的第六大板块。

第七、押轴题。

考生在备考复习时,应该重点不等式计算的方法,虽然说难度比较大,我建议考生,采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

高考数学必考知识点不等式

高考数学必考知识点不等式

高考数学必考知识点不等式:不等式导语:高考数学中,不等式是必考的重要知识点之一,掌握不等式的基本性质和解题方法对提高数学成绩至关重要。

本文将重点介绍不等式的基本概念、性质和解题方法。

一、不等式的基本概念不等式是数学中比较两个数大小关系的一种符号表示法。

常见的不等式符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)和小于等于(≤)。

二、不等式的性质1. 传递性:若a>b,b>c,则a>c。

即不等式大小关系具有传递性的特点。

2. 加减性质:若a>b,则a+c>b+c;若a>b,c>0,则ac>bc。

即不等式两边同时加上或减去相同的数,不等式的大小关系不变;不等式两边同时乘以一个正数(或除以一个正数),大小关系不变;不等式两边同时乘以一个负数(或除以一个负数),不等式的大小关系发生改变。

3. 倒置性质:若a>b,则-b>-a;若a>b,c<0,则ac<bc。

即不等式两边同时乘以-1,不等式的大小关系发生倒置。

4. 倒数性质:若a>b,c>d且c>0,d>0,则1/a<1/b;若a>b,c>d且c<0,d<0,则1/a>1/b。

5. 平方性质:对于正实数a和b,若a>b,则a²>b²;若a=b,则a²=b²;若a<0,b<0,则a²>b²。

即不等式两边同时平方,不等式的大小关系不变。

三、不等式的解题方法1. 直接比较法:通过观察和比较不等式中数的大小关系,直接求解不等式。

例题1:解不等式3x+5>2x-1。

解:首先将不等式移到等式两边,得3x-2x>-1-5,即x>-6。

例题2:解不等式(x+1)(x-2)<0。

解:使用区间法解不等式,首先找出等式的零点x=-1和x=2,然后根据零点将数轴划分为三个区间:(-∞,-1),(-1,2)和(2,+∞)。

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不等式
考试内容:
不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求:
(1)理解不等式的性质及其证明.
(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用.
(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式.
(4)掌握简单不等式的解法.
(5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
(1) 不等(等)号的定义:.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>-
(2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式.
(3) 同向不等式与异向不等式.
(4) 同解不等式与不等式的同解变形.
2.不等式的基本性质
(1)a b b a <⇔>(对称性)
(2)c a c b b a >⇒>>,(传递性)
(3)c b c a b a +>+⇒>(加法单调性)
(4)d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向不等式相加)
(5)d b c a d c b a ->-⇒<>,(异向不等式相减)
(6)bc ac c b a >⇒>>0,.
(7)bc ac c b a <⇒<>0,(乘法单调性)
(8)bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向不等式相乘)
(9)0,0a b a b c d c d
>><<⇒>(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b
>>⇒<(倒数关系) (11))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(平方法则)
(12))1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)
3.几个重要不等式
(1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
(2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号)
(3)如果a ,b 都是正数,那么
.2
a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则:

1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○
2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
,3
a b c a b c R +++∈(4)若、、则a=b=c 时取等号)
0,2b a ab a b
>+≥(5)若则(当仅当a=b 时取等号)
2222(6)0||;||a x a x a x a x a x a x a a x a >>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时,或
(7)||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若
4.几个著名不等式
(1)平均不等式: 如果a ,b 都是正数,那么
2112a b a b +≤+a=b 时
取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数): 特别地,222()22a b a b ab ++≤≤(当a = b 时,222()22
a b a b ab ++==) ),,,(332222时取等c b a R c b a c b a c b a ==∈⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++≥++ ⇒幂平均不等式:221222
21)...(1...n n a a a n a a a +++≥+++ 注:例如:22222()()()ac bd a b c d +≤++. 常用不等式的放缩法:①21111111(2)1(1)(1)1n n n n n n n n n n
-==-≥++--p p
1)n ==≥p p
(2)柯西不等式: 时取等号当且仅当(则
若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ΛΛΛΛΛΛ332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,
(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有 12121212()()()()()().2222
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸(或凹)函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根轴法).
步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解.
特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论;
②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论.
(2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
()()0()()0()()0;0()0
()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ (3)无理不等式:转化为有理不等式求解
1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩
定义域 ○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]
([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f (4).指数不等式:转化为代数不等式
()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅> (5)对数不等式:转化为代数不等式
()0()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩
(6)含绝对值不等式

1应用分类讨论思想去绝对值; ○2应用数形思想; ○
3应用化归思想等价转化 ⎩
⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为 注:常用不等式的解法举例(x 为正数):
①231124(1)2(1)(1)()22327
x x x x x -=⋅--≤=
②2222
232(1)(1)124(1)()22327x x x y x x y y --=-⇒=≤=⇒≤ 类似于22
sin cos sin (1sin )y x x x x ==-,③111||||||()2x x x x x x
+=+≥与同号,故取等。

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