不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式
第一章 多项式
定理1.6.1：若不可约多项式 p ( x ) 是 f ( x ) 的k重因式（k>1），则 p ( x ) 是 f ′ ( x ) 的k-1重因 式，特别多项式 f ( x ) 的单因式不是 f ′ ( x ) 的因 式。 证：
故 f ( x ) 在Q上的标准分解式为
3
f ( x ) = ( x 1) ( x 2 2 )
第一章
多项式
问题：多项式 f ( x ) 在 F [ x ] 中没有重因式， f ( x ) 在 F [ x ] 中是否也没有重因式？ 由于多项式 f ( x ) 的导数以及两个多项式互素 与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变， 故 f ( x ) 有没有重因式不因数域的扩大而改变。
于是： 1、判别 f ( x )有没有重因式，只要求 f ( x ) , f ′ ( x ) 的最大公因式 d ( x ) , f ( x ) 的重因式的重数恰好是 d ( x ) 中重因式的重数加1。此法不能求 f ( x ) 的单因式。 2、分离重因式，即求 f ( x ) 的所有不可约的单 因式：
f ( x ) = pk ( x ) g ( x ) ,
= p k 1 ( x ) kp′ ( x ) g ( x ) + p ( x ) g ′ ( x )
f ′ ( x ) = kp k 1 ( x ) p′ ( x ) g ( x ) + p k ( x ) g ′ ( x )
p ( x) g ( x), p ( x) p′ ( x ) ,
9q x+ p 2p
27q 2 p+ 4 p2
不可约多项式的判别
不可约多项式的判别一个多项式是否可约取决于它的系数所在的域。
下面给出了一些判别不可约多项式的方法。
1. 整数域中的多项式：在整数域中，两个常用的判别方法是Eisenstein 判别法和 Modulus 判别法。
- Eisenstein 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。
如果存在一个素数 p，满足以下条件：- p 不能整除 aₙ；- p 能整除 a₀, a₁, ..., aₙ₋₁；- p²不能整除 a₀；那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。
- Modulus 判别法：设 P(x) 是一个系数为整数的多项式，且可以表示为 P(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ。
如果存在一个素数 p，使得 P(x) 在有限域 Zₙ 上可约（即 P(x) 在模 p 的意义下有一个非常数的因子），那么多项式 P(x) 在整数域中是不可约的。
2. 实数域、复数域和有理数域中的多项式：在这些域中，不可约多项式的判别较为简单，只需要使用带余除法进行因子分解判别即可。
带余除法即根据多项式除法的原理，如果存在一个多项式 Q(x)和 R(x)，使得 P(x) = Q(x)B(x) + R(x) 并且 R(x) 为零次或者次数小于 B(x) 的多项式。
如果 R(x) 为零次多项式，则 P(x) 是可约的；如果 R(x) 的次数大于等于 1，则 P(x) 是不可约的。
需要注意的是，对于高次多项式，进行带余除法可能会非常复杂，需要借助计算机进行多项式除法运算。
综上所述，对于一个多项式的可约性的判别需要根据具体的域和具体的算法进行分析。
以上只是给出了一些常用的判别方法，实际的判别可能需要更加复杂的计算。
代数数论中的不可约多项式的性质与有限域的计算与应用
不可约多项式在数学中的重要性
定义：一个多项式在 某个数域上不能再被 分解为更低次的多项 式
性质：不可约多项式 是整数的唯一因数分 解的必要条件
应用：在代数数论、 几何学、组合数学等 领域有广泛应用
重要性：不可约多项 式是数学中一个重要 的概念，对于理解数 学的内在结构和发展 有着重要意义
Байду номын сангаас
03 有限域的基本概念
有限域在数据加密 中的具体实现方式
06
有限域在编码理论中的 应用
线性码与有限域的关系
线性码是有限域 的一个重要应用 领域
有限域的元素具有 线性组合和乘法运 算的封闭性，使得 线性码具有很好的 性质
线性码的生成矩 阵和校验矩阵可 以表示为有限域 上的矩阵
有限域的元素个 数决定了线性码 的码距和最小码 距
定义：有限域 的扩展运算是 指将有限域中 的元素进行有 限次运算，以 生成新的元素。
性质：有限域 的扩展运算具 有封闭性，即 运算结果仍属
于有限域。
运算规则：有 限域的扩展运 算具有特定的 运算规则，包 括加法、减法、 乘法和除法等。
应用：有限域 的扩展运算在 密码学、编码 理论等领域有
广泛应用。
05
有限域中的元素个数有限
有限域中的元素具有加法 逆元
有限域中的乘法是可结合 的，且满足交换律
有限域中的乘法是可结合 的，但不满足交换律
有限域的运算规则
加法运算规则： 有限域中的元素 只能进行加法运 算，不能进行减 法运算，通常用 模运算实现减法。
乘法运算规则： 有限域中的元素 只能进行乘法运 算，乘法满足结 合律、交换律和
RS码与有限域的关系
有限域是编码 理论中的基本 概念，为RS码 提供了数学基
有限域上本原多项式与不可约多项式判定
定义2.1.4（域） 可交换的除环称为域。
定义2.1.5一个域如果包含有限个元素，则称其为有限域，其元素的个数称为该域的阶。
2.2 多项式环
本节对有限环 上的多项式的相关理论做简单介绍，因为有限环 上的多项式的许多定义以及性质可以类推到有限域上，可以说，有限域上的多项式即是具有特殊限制条件的有限环 上的多项式。
（1）（封闭性） ， ，有 ；
（2）（结合性） ， ， ，有 ；
（3）在 中有一个元素 ，对 中任意元素 ，有 ，元素 称为单位元；
（4）对 中任一元素 ，都存在 中的一个元素 ，使得 ， 称为可逆元， 称谓 的逆元，记作 ，
则称 关于“ ”形成一个群（Group），记作 ， ，通常在不混淆的情况下省略“ ”，用 来表示一个群， 也简记为 。
（1）R关于加法运算“ ”构成一个Abel群；
（2）R关于乘法运算“ ”构成一个半群；
（3） ， ， ，有 ， ，即分配律成立。
则称R关于“ ”和“ ”形成一个环（Ring），记作 ， ， ，通常在不回产生混淆的情况下省略“ ”和“ ”，用 来表示一个环。
关于环的概念我们需要注意以下一点：
（一）加法单位元一般记作 ，称为零元。
论文的第一章为绪论部分，在绪论部分中，我们主要介绍了该课题研究背景、研究意义、研究现状以及本文的研究成果和各章节结构安排；在第二章中，参考文献[2]，对域、有限域以及有限域上的多项式等知识点进行了简要介绍，对基本定义以及相关的定理进行了初步的描述与证明；第三章中对王鑫和王新梅等人在其文献[1]中提出的判定有限域上不可约多项式与本原多项式的充要条件进行了论证，其中引理的证明参考了文献[4]中的相关知识。本次毕业设计我们使用Microsoft Visual Studio 2008软件，用c++语言编程实现算法，在第四章中我们对实现判定有限域上不可约多项式及本原多项式的算法进行了介绍，并对其中的模运算、乘法运算、快速指数算法、欧几里得算法、整数分解算法等核心模块进行了描述。第五章中我们对程序的运行进行了测试，使用的是文献[7]中的 上的30次以下的本原多项式。第六章为结论部分，对本次论文情况进行了总结，并提出了本次课题的不足之处以及可以改进的地方。
关于多项式不可约性的定理
关于多项式不可约性的定理
多项式不可约性定理（Irreducibility Theorem）是数论中
一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根。
多项式不可约性定理的形式很简单：任何一个非负整数的多项式，只要它的系数不全为
0，就是不可约的。
这个定理的证明是由古典数论中的结论——“欧拉定理”推导而来的。
欧拉定理宣称：任何一个大于1的正整数都可以表示为质数的乘积。
通过把多项式的系数转换为质数的乘积，可以把多项式分解为该质数的乘积，从而证明多项式不可约性定理。
多项式不可约性定理有着重要的应用价值。
它可以用来确定一个多项式是否可以被约分，以及求解多项式的根。
例如，如果一个多项式的系数都是质数，那么它就是不可约的，而且可以求出它的根；如果一个多项式的系数不全是质数，那么它就是可约的，可以用约分的方法求解。
多项式不可约性定理的另一个重要的应用是，它可以用来证明另外一个重要的定理，即“欧拉定理”。
例如，如果一个正整数大于
1，它可以表示为质数的乘积，那么它就是不可约的，而
且可以用多项式不可约性定理来证明。
总之，多项式不可约性定理是数论中一个重要的定理，它可以用来判断一个多项式是否可以被约分，从而可以帮助数学家们更好地求解多项式的根，也可以用来证明欧拉定理。
因此，它对数论的研究有着重要的意义。
不可约多项式和极小多项式
不可约多项式和极小多项式
不可约多项式和极小多项式是数学中的两个重要概念，它们在代数学、数论和计算机科学等领域得到广泛应用。
不可约多项式是指在给定域上不能被分解为两个或多个次数更低的多项式的多项式，而极小多项式则是指在给定线性空间上的一个元素的最小的首一不可约多项式。
在代数学中，不可约多项式是研究域的结构和扩张的基础，而极小多项式则是研究线性变换和矩阵的算法的基础。
在数论中，不可约多项式是研究数域和代数数的基础，而极小多项式则是研究离散对数算法和椭圆曲线加密算法的基础。
在计算机科学中，不可约多项式和极小多项式在编码理论、卷积码、纠错码等方面都有广泛的应用。
因此，不可约多项式和极小多项式的研究不仅是代数学、数论和计算机科学等学科的基础，也是许多实际应用的关键。
- 1 -。
不可约多项式
因为g( ),h( )为整数，所以
g( )=h( )，k=1,2,…,n+1.
由此可知 , ,…, 为多项式方程g(x)-h(x)=0的n个根。
又因为 （g(x)-h(x)）< n,所以g(x)-h(x)为零多项式，即
f(x)= =g(x)h(x)=
p!f(x)=p!+p!
因为P为质数，整系数多项式p!f(x)符合爱森斯坦判别法，所以整系数多项式p!f(x)在整数环上不可约，即整系数多项式p!f(x)在有理数域上不可约。由此可得多项式f(x)在有理数域上不可约。
例2.若P为质数，求证有理系数多项式f(x)=1+x+ +…+ 在有理数域上不可约。
证明：因为f(x)= ,不妨设x=y+1得到
f(x)=f(y+1)= =g(y).
g(y)= +p + …+
又因为p为质数，g（y）符合爱森斯坦判别法，所以g（y）在整数环上不可约，即f（x）在整数环上不可约，由此可得f（x）在有理数域上不可约。
（
例3.求证整系数多项式f（x）= -1在有理数域上不可约，其中 , ,…, 为n个互不相等的正数。
由此可知 , ,…, 为多项式方程的n个根。
又因为 （g(x)+h(x)）< n.所以g（x）+h（x）为零多项式，即有g（x）=-h（x）.
f(x)=g(x)h(x)=-
由此可得到f(x)的最高次项的系数为负数，与已知的f(x)的最高次项的系数为1相矛盾，假设不成立.所以整系数多项式f(x)在有理数域上不可约.
f(x)=g(x)h(x),其中
不可约多项式整除任意多项式的概念
不可约多项式整除任意多项式的概念随着数学的不断发展，不可约多项式整除任意多项式的概念逐渐成为了数学研究中的一个重要课题，在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
本文将深入探讨不可约多项式整除任意多项式的概念，阐明其理论意义和实际应用。
一、不可约多项式的定义我们来回顾一下不可约多项式的定义。
在代数学中，如果一个多项式不能被分解为两个次数更低的非零多项式的乘积，则称其为不可约多项式。
不可约多项式在数论、代数几何和编码理论等领域有着重要的应用，因此对其性质和特征进行研究具有重要意义。
二、不可约多项式整除的概念对于两个多项式P(x)和Q(x)，如果存在另一个多项式R(x)，使得P(x)=Q(x)·R(x)，则称P(x)可整除Q(x)，记作Q(x)|P(x)。
而对于不可约多项式来说，如果一个不可约多项式整除任意多项式，其特性将会是怎样呢？三、质数环中的不可约多项式整除在质数环中，不可约多项式的整除性质更加复杂和多样化。
对于给定的质数p，我们可以考察在有限域Fp上的多项式环中的不可约多项式。
通过适当的构造和分解，可以得到不可约多项式对其他多项式的整除规律，这为解决一些数论和计算机科学中的问题提供了重要的数学工具。
四、应用举例1. 数论领域通过对不可约多项式整除的相关性质进行研究，可以在数论领域中应用到素性测试以及大整数的分解等问题上。
在RSA公钥密码系统中，不可约多项式整除的概念被广泛应用于加密算法的设计和安全性分析中。
2. 代数几何领域在代数几何领域，不可约多项式整除的概念被应用于构造椭圆曲线密码系统和几何编码理论等方面。
通过对不可约多项式整除性质的研究，可以设计更加安全和高效的密码算法，并在信息传输和存储中发挥重要作用。
五、不可约多项式整除的研究现状目前，关于不可约多项式整除的研究还存在一些未解决的问题和挑战。
在高维空间中的多项式整除性质、不可约多项式整除与素数分解的关系等方面仍然需要更加深入和系统的研究。
如何判别一个多项式不可约
探索不可约多项式的 应用
除了在数学理论研究中的应用外 ，不可约多项式在实际应用中也 有着广泛的应用前景。例如，在 计算机科学、信息编码等领域中 ，不可约多项式可以用于构造一 些特殊的函数和编码。
推广判别不可约多项 式的方法
目前我们判别不可约多项式的方 法主要适用于有限域上的多项式 ，对于其他情况是否适用还需要 进一步的研究和探索。因此，推 广判别不可约多项式的方法也是 未来的一个研究方向。
判别二次多项式
对于形如 $ax^2 + bx + c$ 的二次多项式，如果判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 小于0 ，则该多项式不可约。
判别三次多项式
对于形如 $ax^3 + bx^2 + cx + d$ 的三次多项式，如果无法通过因式分解或使用其 他方法证明其不可约，则该多项式可能可约。
THANKS
谢谢您的观看
不可约多项式是整环上的 不可约元，即它不能被其 他非零元素整除。
不可约多项式在整环中是 不可约元，因此它在整环 中是不可约的。
不可约多项式是素数，即 它没有除了1和自身以外 的因数。
不可约多项式在整环中是 不可约的，因此它在整环 中是不可约的。
03
判别多项式不可约的方法
辗转相除法
辗转相除法是一种通过连续除法来判别多项式是否可约的方法。
数学研究
判别多项式是否可约在数学领域 具有重要研究价值，有助于深入 理解多项式的性质和结构。
算法设计
在实际应用中，多项式不可约的 判别方法可以用于设计高效的算 法，例如在符号计算、数值分析 等领域。
教育教学
对于学习数学的学生来说，掌握 多项式不可约的判别方法有助于 提高数学素养和解题能力。
有理数域上不可约多项式
有理数域上不可约多项式
有理数域上的不可约多项式是指在有理数范围内不能被分解为两个次数较低的多项式乘积的多项式。
在代数和数学的其他领域中，这些多项式具有非常重要的性质和应用。
首先，我们需要明确什么是有理数域。
有理数域是由所有有理数（即可以表示为两个整数之比的数）构成的数域。
有理数包括所有的整数、分数以及有限小数和无限循环小数。
有理数域在数学中占有重要地位，因为它是实数域的一个子域，并且许多数学定理和结论都是在有理数域上得出的。
接下来，我们讨论有理数域上的不可约多项式。
一个多项式如果在有理数域上不能被分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称该多项式为有理数域上的不可约多项式。
例如，多项式 x
2
−2 在有理数域上就是不可约的，因为它不能表示为两个一次多项式的乘积。
不可约多项式在代数中具有重要地位。
它们是多项式环中的“原子”，类似于整数环中的质数。
正如质数在整数分解中起到基本构建块的作用一样，不可约多项式在多项式分解中也扮演着类似的角色。
许多代数定理和结论都是基于不可约多项式的性质和存在性得出的。
此外，不可约多项式还与代数方程的解密切相关。
例如，一个代数方程在有理数域上是否有解，往往取决于其对应的多项式是否可以在有理数域上分解为线性因子的乘积。
如果多项式是不可约的，并且次数大于1，那么该方程在有理数域上就没有解。
总之，有理数域上的不可约多项式是代数和数学中的一个重要概念。
它们在多项式分解、代数方程的解以及更高级的代数理论中都具有广泛的应用和深刻的内涵。
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)课件
不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式
常用的判断Z2上一个n次多项式是可约的方 法有： 1）如果f(x)的常数项为0，除非f(x)=x，否则 一定可约。 2 ）如果 f(x) 中系数为 1 的项个数为偶数，则 一定可约。 3）如果(f(x),f’(x))1,则一定可约。 4）如果f(x+1)可约，则f(x)一定可约。 5）如果xnf(1/x)可约，则f(x)一定可约。
11.扩域与单扩域 线性空间与域的关系 素域 12.代数元与代数扩域 极小多项式 13.根域 根域的存在性与唯一性(同构意义下) 14.有限域，形式微商 15.本原元与本原多项式
二、证明及判别、计算 1.群 群？ 元素阶与群的阶 陪集与划分,拉格朗日定理应用,特别是补充证明的一些结论。 子群，正规子群的验证和证明 设 是群G上的等价关系 ,并且对于 G的任意三个元素 a,x,x‘， 若axax’则必有x x‘。证明：与G中单位元等价的元素全体 构成G的一个子群。 H={xG|xe} 对任意的xH，xe=xe=xx-1，因此有 ex-1，所以x-1H， 对任意的x,yH，有xe，ye， 即x-1xy=eye=x-1x，因此有xyxe， 所以xyH 用群同态基本定理证明群同构
5.本原元与本原多项式 有关定理和结论的证明 GF(pn)的表述,化简 求出所有本原元,本原多项式 已知 为 GF(pn) 上的本原元，怎样求出 GF(pn)上的所有本原元？ GF*(pn) 中的每个元素可表示为 的幂次 形式k。由习题14.19知，k的阶为pn -1 当且仅当 (k, pn -1)=1，即 k 为本原元当 且 仅 当 ( k, pn -1)=1。 因 此 我 们 就 可 在 ,2,pn-1中找出所有的本原元。
不可约多项式与重因式
不可约多项式与重因式不可约多项式和重因式这两个概念，就像是数学中的两颗小星星，看上去貌似不起眼，可一旦你真心去了解它们，那简直就是数学的隐藏秘籍。
今天，我们就来聊聊这两位不太显山露水，但又绝对有料的“老朋友”。
先说说不可约多项式。
你一定听过“不可约”这个词吧？就像有些人一看就知道，心思单纯，不能再细分；有些东西做出来了，你就知道它已经没办法拆开了。
比如，你看一道菜做好了，味道好了，没法再做啥改动。
不可约多项式的意思差不多，就是它不能被再分解成更简单的多项式了。
好比说，咱们的2x+3，能拆吗？不能！因为它只能用这两个项组成。
如果能拆，那就不叫不可约了，能拆就是可约多项式，听着就没有那么“高级”了。
所以，数学家就把它叫作“不可约”，就像你看到一块大石头，试图用小锤子砸它，发现它丝毫不动，硬如磐石。
你想啊，为什么有不可约多项式呢？它们就像是数学世界里的“元老”，它们的存在，让一切都变得有秩序。
如果你能搞明白一个不可约多项式，那你就能搞懂它背后所有的秘密，像破解密码一样神秘又令人兴奋。
搞定了不可约多项式之后，你可以利用它们去构建复杂的数学结构，简直就是打破了一个又一个的难题，给你一种超神的感觉。
再说回重因式。
这个东西听起来就像是大家都认识的“坏孩子”，有点爱惹事。
重因式，就是一个多项式被拆分出来以后，某个因子出现了不止一次。
想象一下，原本应该是一道简单的加法题，结果某个数字不停地重复出现，就好像你买了一个包子，包子皮一层又一层，吃着吃着你发现每一层几乎都是一样的。
“喂，这不对劲吧！”有点像是“有点心机”的家伙，总喜欢在背后搞小动作，重复出现的因子，简直能让你头大。
可是！重因式也有它的好处。
你想啊，反正你搞清楚了那些重复的因子，发现它们就是不断重复出现的某个因子。
你把这些因素一一消除，或者简化，你就会发现问题没有想象中的那么复杂了。
比如，如果有个因式是(x1)²，那你就知道，x=1一定是重复的解。
有理系数不可约多项式的判别
有理系数不可约多项式的判别在多项式环中，一个多项式是不可约的，如果它不能被分解为两个次数较低的有理系数多项式之积。
在数学领域中，有理系数多项式的不可约性判断是一个重要的研究问题。
以下是关于有理系数不可约多项式判别的详细解答。
1.定义与性质有理系数多项式是指系数为有理数的多项式。
对于一个有理系数多项式f(x)，如果存在两个有理系数多项式g(x)和h(x)，使得f(x)=g(x)⋅h(x)，则称f(x)是可约的，否则称为不可约的。
有理系数多项式的不可约性是一个重要的代数概念，具有重要的性质和实际应用价值。
一个不可约多项式不能被分解为两个次数较低的有理系数多项式之积。
因此，判断一个有理系数多项式是否不可约具有重要的实际意义。
1.艾森斯坦准则艾森斯坦准则是一种判断有理系数多项式不可约的有效方法。
根据艾森斯坦准则，一个有理系数多项式f(x)可约的充分必要条件是存在某个素数p，使得p能整除f(x)的每一个系数。
如果f(x)是不可约的，那么它的每一个系数都不能被同一个素数整除。
艾森斯坦准则提供了一种判断有理系数多项式是否不可约的有效方法。
然而，这种方法需要计算出多项式的每一个系数，并检查它们是否能被某个素数整除。
因此，当多项式的系数较大时，这种方法可能会变得非常复杂和耗时。
1.辗转相除法辗转相除法是一种常用的求解两个多项式最大公因式的算法，可以用来判断有理系数多项式的不可约性。
辗转相除法的思想是不断用较小的多项式去除较大的多项式，直到余数为零或无法继续分解为止。
如果最终得到的余数为零，则说明原始的两个多项式互质，即它们没有公因式。
如果辗转相除法无法得到余数为零的结果，则说明原始的两个多项式之间存在公因式，即它们不互质。
通过将一个有理系数多项式分解成若干个互质的多项式之积，可以判断该多项式是否不可约。
如果分解后得到的每个互质多项式都是不可约的，则原始的多项式也是不可约的。
1.判别法判别法是一种判断有理系数多项式是否不可约的方法。
二、不可约多项式
f ( x ), g ( x ) 的标准
f ( x ), g( x ) 就是那些同时在
分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带 方幂指数等于它在 f ( x ), g ( x ) 中所带的方幂指数 中较小的一个．
例如，若 f ( x ), g ( x ) 的标准分解式分别为
f ( x ) ap1r1 ( x ) p2 r2 ( x ) g( x ) bp1l1 ( x ) p2 l2 ( x ) ps rs ( x ), ri 0 ps ls ( x ), l i 0
f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )
由归纳假设 f1 ( x ), f 2 ( x ) 皆可分解成不可约多项式的积.
f ( x )可分解为一些不可约多项式的积.
再证唯一性 . 设 f ( x ) 有两个分解式
f ( x ) p1 ( x ) p2 ( x ) q1 ( x )q2 ( x )
一、问题的引入
二、不可约多项式
三、不可约多项式的性质
四、因式分解及唯一性定理
一、问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关
如： x 4 4 x 2 2
x2 2
2
2
（在有理数域上）
x 2 x 2
不可约多项式约束下的除法
不可约多项式约束下的除法让我们回顾一下多项式的定义。
一个多项式是由一系列的项组成的，每个项包含一个系数和一个变量的幂次。
例如，多项式2x^3 + 3x^2 - 5x + 1就是一个四次多项式，其中的项分别是2x^3、3x^2、-5x和1。
在代数学中，我们经常需要对多项式进行运算，其中包括加法、减法、乘法和除法。
在除法运算中，我们希望将一个多项式除以另一个多项式，并得到一个商和一个余数。
然而，在不可约多项式约束下，除法有一些限制。
不可约多项式是一种特殊的多项式，它不能被任何其他多项式整除。
换句话说，不可约多项式不能被分解为两个或更多个较低次数的多项式的乘积。
在这种情况下，除法的结果可能是一个有理多项式，也可能是一个不可约多项式。
如果结果是一个有理多项式，那么我们可以继续进行除法运算，直到得到一个不可约多项式或一个最简形式的有理多项式。
不可约多项式约束下的除法有一些特殊的性质。
首先，除法的结果是唯一的。
换句话说，对于给定的被除数和除数，在不可约多项式约束下，除法的结果是确定的。
这是因为不可约多项式的性质保证了唯一性。
除法的结果可能是一个零多项式。
零多项式是一个没有任何非零系数的多项式。
在不可约多项式约束下，除法的结果是零多项式的情况是可能的。
这意味着被除数可以被除数整除，而不会产生余数。
在不可约多项式约束下，除法的结果可能是一个最高次数小于被除数的多项式。
这是由于除法的定义，我们希望通过除法运算得到一个商和一个余数，而余数的次数应该小于除数的次数。
总结起来，不可约多项式约束下的除法是一个特殊的运算，它有一些特殊的性质和限制。
除法的结果可能是一个有理多项式或一个不可约多项式，而且除法的结果是唯一的。
此外，除法的结果可能是一个零多项式或一个最高次数小于被除数的多项式。
这些特点使得不可约多项式约束下的除法成为代数学中一个有趣且重要的问题。
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不可约多项式的判定及应用摘 要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。
对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。
研究了各判定方法的等价和包含关系。
此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。
关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。
定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。
定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。
反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。
注1: 带余除法中()g x 必须不为零。
下面介绍整除性的几个常用性质:（1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。
（2）如果()f x |()g x ,()g x |()h x ，那么()f x |()h x （整除的传递性）。
（3） ()f x |()g x ,()f x |()g x 1,2,,i r =，那么()f x |()1122()()()()()()r r u x g x u x g x u x g x +++，其中()i u x 是数域P 上任意多项式。
[1]2.2 本原多项式若是一个整系数多项式()f x 的系数互素， 那么()f x 叫做一个本原多项式。
2.3 有理数域上多项式的等价设()g x 有理数域上的一个多项式， 若()g x 的系数不全是整数，那么以()g x 系数分母的一个公倍数乘()g x 就得到一个整系数多项式()f x 。
显然，多项式()g x 与()f x 在有理数域上同时可约或同时不可约。
2.4 多项式的不可约相关概念在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下把49x -进行分解，可分解为49x -()()2233x x =+-但这是相对于有理数域而言的，对于实数域来说还可分进一步为()(4293x x x x -=++ 而在复数域上，还可以再进一步分解为()(49x x x x x -=+-由此可见，必须明确系数域后，所谓的不可再分，才有确切的涵义。
在下面的讨论中，仍然须选定一个数域P 作为系数域，数域P 上多项环P []x 中多项式的因式分解相关的不可约定义如下定义2.4.1 数域P 上的次数≥1的多项式()p x 称为域P 上的不可约多项式，如果它不能表示成数域P 上两个次数比()p x 的次数低的多项式的乘积。
我们要谈的多项式的不可约性问题的相关事实如下（1）一次多项式总是不可约多项式;（2）一个多项式是否不可约是依赖于系数域的;（3）不可约多项式()p x 与任一多项式()f x 之间只能是有两种关系，或者()p x |()f x 或者()(),()1p x f x =，事实上，如果()(),()p x f x =()d x ，那么()d x 或者是1，或者是()(0)cp x c ≠，当()d x = ()cp x 时，就有()p x |()f x 。
[1]2.5 有理数域上不可约多项式的定义如果()f x 是有理数域上次数大于零的多项式且不能表示成有理数域上两个次数比它低的多项式的乘积， 则()f x 称为有理数域上的不可约多项式。
3. 有理数域上不可约多项式的判定方法3.1 Eisenstein 判别法[1]在高等代数中，Eisenstein 判别法是最为经典和著名的，也是现行有理数域上不可约多项式判定判定方法中最为实用的。
而人们长久以来的研究衍生出了许多不同的方法。
3.1.1直接判别法[]2定理3.1.1 设0()n n f x a x a =+⋅⋅⋅+是一个整系数多项式，其中1n ≥，设存在一个素数p ，使得 p 不整除n a ，p 整除i a （i n <）但2p 不整除0a ，那么多项式()f x 在有理数域上不可约。
3.1.2 间接判别法对于分圆多项式不能直接应用 Eisenstein 判别法，可以做适当的变形之后便可以应用了。
在学习的过程中，面对此类问题，因为其系数较高，不能用定义法去判定。
我们所学的也只有Eisenstein 判别法，但不能直接运用。
考虑到多项式的等价，对多项式我们可以做适当代换x ay b =+，这样产生了 Eisenstein 判别法的间接判别法。
定理 3.1.2 有理系数多项式()f x 在有理数域上不可约的充分必要条件是: 对于任意的有理数0a ≠和b ，多项式()f ax b +在有理数域上不可约。
例1 证明4()1f x x =+在Q 上不可约。
证明: 4432(1)(1)14642f x x x x x x +=++=++++取2p =，则p 不整除1，p 整除4,6,2，2p 不整除2由 Eisenstein 判别法知(1)f x +在Q 上不可约，因此()f x 在Q 上不可约。
3.1.3 其他派生出的判别法这种由Eisenstein 判别法派生出的方法与Eisenstein 判别法相类似，能够用来判定Eisenstein 判别法所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式。
定理3.1.3 设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++⋅⋅⋅++是一个整系数多项式，如果存在一个素数p ，使p 整除常数项0a 但整除其他各项系数且2p 不整除最高次数项系数，那么多项式在有理数上不可约。
例2下列多项式在有理数域上是否可约？(1)21x +； (2) 4328122x x x -++； 63(3)1x x ++(4)1p x px ++，p 为奇素数；4(5)41x kx ++，k 为整数.解: (1) 令1x y =+，则有22()(1)(1)122g y f y y y y =+=++=++取素数p =2，由于21,2 | 2,但是222故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x =21x +在有理数域上也不可约。
(2) 取素数p =2,则21,2 | -8,2 | 12，但是222故由Eisenstein 判别法可知，该多项式在有理数域上也不可约。
(3) 令1x y =+，代入()f x =631x x ++,得65432()(1)615211893g y f y y y y y y y =+=++++++取素数p =3。
由于31,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是233，故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。
(4) 令1x y =-,代入()f x =1p x px ++,得()1122221()(1)p p p p p p p p p g y f y y C y C y C y C p y p ----=-=-+--++-由于p 是素数，且|1,|ip p p C /,(1,2,,2)i p =-，()1|+p p p C p -，2|p p /，故由Eisenstein判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。
（5）令1x y =+，代入()f x =441,x kx ++得432()(1)46(44)42g y f y y y y k y k =+=++++++取素数p =2，由于21，又2 | 4,2 | 6,2|(4k+4)，2 | (4k+2)，但22(4k+2)，故由Eisenstein 判别法可知，()g y 在有理数上不可约，从而()f x 在有理数域上也不可约。
3.2 Kronerker 判别法[]2定理3.2.1 设[]()f x Q x ∈，这里Q 为有理数域。
则在有限步下()f x 能分解成不可约多项式的乘积。
（只考虑整系数多项式的情形）例3 证明5()1f x x =+在Q 上不可约。
证明：522s =<取0121,,0,1a a a =-==，则(1)0,(0)1,(1)2f f f -===(1)0,(0)1,(1)2f f f -=== 从而(1)f -的因子是0，(0)f 的因子是1，(1)f 的因子是1，故令(1)0,(0)1,(1)1;(1)0,(0)0,(1)2g g g g g g -===-===应用插值多项式：212(1)(1)(1)(0)1()0(2)(01)(01)(11)(10)2(1)(1)2(1)(0)()01(01)(01)(11)(10)x x x x g x x x x x x x g x x +-+-=++=--+-+-+-+-=++=++-+- 由带余除法可知，1()g x 不整除()f x ，2()g x 不整除()f x ，所以()f x 在Q 上不可约。
3.3 Perron 判别法[]3定理 3.3.1 设12120(),0n n n n n f x x a x a x a a ----=+++⋅⋅⋅+≠是多项式，如果12310||1||||||||n n n a a a a a --->+++⋅⋅⋅++，则()f x 在Q 上不可约。
例4 证明542()41f x x x x =+++在Q 上不可约证明：该题不满足艾森斯坦判别法，但其为整系数多项式，满足Perron 判别法的条件，由题意可知411>+，所以据Perron 判别法可知该多项式在Q 上不可约。