小学数学 数数与计数

数数与计数（四）

本讲采用枚举法解决数数与计数的问题。比如老奶奶数鸡蛋，她小心翼翼地把鸡蛋从蓝子里一个一个地往外拿，边拿边数。篮子里的鸡蛋拿光了，有多少个鸡蛋也就数出来了。

这种最简单的数数与计数的方法就叫做枚举法。

例1 用分别写有数字1和2的两张纸片，能够排出多少个不同的二位数？

解：用代表这两张纸片。把所有可能的排法枚举出来，可知能排出两个二位数来。它们是：

例2 用分别写有数字0，1，2的三张纸片能排出多少个不同的二位数？

解：因为“0”不能作为首位数字，所以只能排出4个二位数，它们是：1作十位数字，0或2作个位数字：

2作十位数字，0或1作个位数字：

例3 用分别写有数字1，2，3的三张纸片能排出多少不同的三位数？

解：用枚举法，即把所有可能排出的每一个三位数都写出来。再数一数共有多少个。

共6个不同的三位数。

例4小明左边抽屉里放有三张数字卡片右边抽屉里也放有

三张卡片。如果他每次从左右两边抽屉里任意各拿一张出来，

组成一个二位数，在纸上记下来之后，再把卡片放回各自原来的抽屉里。然后再拿、再组数、再记、再放回……这样一直做下去，问他一共可能组成多少个不同的二位数？

解：不妨假设小明先从左边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在十位；再从右边抽屉拿，把拿出的数字卡片排在个位。下面是记下来的所有不同的二位数：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9个不同的二位数。

例5有一群人，若规定每两个人都握一次手而且只握一次手，求他们共

握多少次手？假设这群人是：

①两个人，②三个人，③四个人

解：画图。用点“·”代表人。如果两人握一次手就在两个点之间连一条线。那么，点和点之间连线的条数就代表握手的次数。见以下的图。

①两个人：

两点之间只能连一条线，表示两个人共握1次手。

②三个人：

三点之间有三条连线，表示三个人共握3次手。

③四个人：

四点之间有六条连线，表示四个人共握6次手。

例6 铁路上的火车票价是根据两站距离的远近而定的，距离愈远，票价愈高。如果一段铁路上共有五个车站，每两站间的距离都不相等，问这段铁路上的火车票价共有多少种？

解：

如图所示，用一条线段表示这段铁路，用线段上的五个点代表五个车站，各点间距离不同表示各车站间距离不同，因而票价不同。

由图可见，各段长度不同的线段就表示各种不同的票价。

数一数，票价种数是：4+3+2+1=10种。

例7小明到小华家有甲、乙两条路，小华到小英家有a，b，c三条路（如下图所示）。小明经过小华家去找小英，他想每次都不走完全重复的路线，问有多少种不同的走法？

解：共有6种不同的走法，见下图。

习题

1．用三张数字卡片，可以排出多少个不同的三位数？其中最大的比最小的大多少？

2．有四张数字卡片从中抽出三张组成三位数，问这些卡片可能组成多少个不同的三位数？

3．用两套数字卡片可组成多少个不同的二位数？

4．在一次小学数学竞赛的领奖台上有五名同学上台领奖，他们每两个人都互相握了一次手。问他们共握了多少次手？

5．全区六所小学举行小足球赛，每个学校派出一个代表队，要求规定每两个校队之间都要赛一场，问一共要赛多少场？

6．右图是小英家和学校之间的街道图。问小英去上学时，共有多少种不同的走法？（不准故意绕远走）

7．如右图所示，一只蚂蚁从一个正方体的A点沿着棱爬向B点，如不故意绕远，一共有几种不同的走法？

习题解答

1．解：注意，0不能当作首位数字。所能排出的三位数字共有4个。它们是：407，470，704，740。

最大的数是740，最小的数是407。

最大的数比最小的数大740-407=333。

2．解：注意0不能当作首位数字。所能排出的三位数字共18个。

102，104，120，124，140，142；

201，204，210，214，240，241；

401，402，410，412，420，421。

3．解：共组成25个不同的二位数。

11，12，13，14，15；

21，22，23，24，25；

31，32，33，34，35；

41，42，43，44，45；

51，52，53，54，55。

4．解：画图。用点代表人，用两点之间的连线代表两个人的一次握手。按这种规定连线的总条数就是握手的总次数。数一数，共有10条连线，所以共握手10次。

5．解：共赛15场。见下图。

①方法1：如右图所示这样数：

一小和二小、三小、四小、五小、六小共赛5场；

二小再和三小、四小、五小、六小共赛4场；

（二小不能再和一小赛，因为它们已经比赛过了，下同）

三小再和四小、五小、六小共赛3场；

四小再和五小、六小共赛2场；

五小再和六小共赛1场。

比赛场次总数：5+4+3+2+1=15（场）。

②方法2：每个学校都要和其他的五个学校各赛一场，共5场。因而六个学校所赛的场次是5×6=30场。但是这样计算还有个问题，比如说一小和二小赛了一场，这一场比赛被两个学校都计算在了自己所赛的场次里，因而被计了两次。所以总场数也就多计了一倍。也就是说，六个学校实际赛的总场次数是30÷2=15（场）。

6．解：小英由家到学校共有6种走法，见下图粗黑线所示。

7．解：蚂蚁沿着棱由A点爬到B点有6种不同的走法，见下图粗黑线所示。